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PI, o que é, para que serve e como calcular

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PI, o que é, para que serve e como calcular

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https://pt.wikipedia.org/wiki/Pi

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Contribuidores dos projetos da Wikimedia

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Nota: Este artigo é sobre a constante matemática. Para letra graga, veja Π. Para o estado brasileiro, veja Piauí. Para outros significados, veja PI.

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https://www.youtube.com/watch?v=S9KBT3xB5b0

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https://blog.facens.br/conheca-3-aplicacoes-do-numero-pi-no-dia-a-dia/

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O número pi, representado pela letra grega π, é a constante matemática mais famosa da história!

Ela é tão famosa, que comemora-se um dia só seu. Por decisão da Câmara de Representantes dos Estados Unidos, desde 2009, a cada dia 14 de março o país festeja o Dia Nacional do Pi.

"O pi é um número incrivelmente importante", explicou à BBC o matemático Chris Budd, da Universidade de Bath, no Reino Unido.

Embora possa ser arredondado para 3,141582, pi é um "número irracional", ou seja, têm uma infinita quantidade de dígitos que se prolongam sem jamais repetir o mesmo padrão.

A ambição de alcançar o valor mais exato possível de pi gerou a criação de conceitos matemáticos importantes, como os algoritmos iterativos.

Além disso, ele é aplicado em diferentes áreas como engenharia, física e cosmologia e, no dia a dia. Olha só:

Celular

Em uma feita pela Universidade da Califórnia, em Los Angeles (UCLA), o matemático norte-americano David H. Bailey explica que o pi tem um papel predominante na fórmula da Transformada de Fourier, uma ferramenta matemática que serve para decompor um sinal nas suas frequências constitutivas.

"O seu celular faz uma Transformada de Fourier quando se comunica com a torre de telefonia móvel local", escreve Bailey.

"Até o seu ouvido faz uma Transformada de Fourier (ainda que não seja por computação digital) quando distingue sons de diferentes padrões ou quando reconhece a voz de um amigo", acrescenta.

Essa ferramenta também é crucial para a conversão da voz em textos por equipamentos de reconhecimento vocal, explica Glen Whitney, fundador e diretor do Museu Nacional da Matemática, de Nova York.

"Quando você usa a Siri ou o Google Now, um dos primeiros passos do software consiste em captar a sua voz e fazer uma Transformada de Fourier", afirma o matemático à revista Smithsonian.

GPS

"É possível usar pi para descrever a geometria do mundo", disse Chris Budd à BBC. E esta frase não é metafórica, é literal.

Nas palavras do matemático, é importante "calcular pi com uma precisão alta para que tecnologias modernas como o GPS funcionem".

"Na criação de mapas, a maioria dos métodos utiliza pi como parte do cálculo", destaca o Conselho Nacional de Docentes da Matemática (NCTM, na sigla em inglês), dos Estados Unidos.

E esses números não servem apenas para a criação de um simples sistema de GPS de um automóvel.

"Quando os aviões voam grandes distâncias, o que estão fazendo, na realidade, é recorrer ao arco de um círculo. A rota deve ser calculada assim para medir com precisão o volume de combustível necessário", acrescenta o NCTM.

O pi aparece, inclusive, em cálculos de navegação fora da Terra. A Nasa, por exemplo, usa 16 dígitos (3,1415926535897932) do pi para conseguir a precisão desejada ao seu "GPS espacial", segundo um artigo publicado na revista Scientific American.

Relógio

Não é só a tecnologia atual que utiliza essa constante matemática. O pi também "está presente" nos relógios de pêndulo.

A fórmula matemática para o cálculo do tempo, que faz com que pêndulo oscile de um lado para o outro, se baseia no pi.

Em artigo publicado na revista Wired em 2013, Rhet Allain, professor de física da Universidade do Sudeste de Luisiana, nos EUA, disse que o "pi é quase mágico".

"Simplesmente aparece onde a gente menos espera."

Fascinante, não é? A BBC Brasil produziu um vídeo explicando um pouco mais sobre o universo desse número tão intrigante:

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Conheça 3 aplicações do número PI no dia a dia

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O número pi, representado pela letra grega π, é a constante matemática mais famosa da história! Ela é tão famosa, que comemora-se um dia só seu. Por decisão da Câmara de Representantes dos Estados Unidos, desde 2009, a cada dia 14 de março o país festeja o Dia Nacional do Pi.

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O teorema de Pitágoras é uma relação matemática entre os comprimentos dos lados de qualquer triângulo retângulo. Na geometria euclidiana, o teorema afirma que:

Num triângulo rectângulo, conhecendo o comprimento da hipotenusa e de um cateto, o Teorema de Pitágoras permite calcular o comprimento do outro cateto.

Antes de usar o Teorema de Pitágoras, deve confirmar-se que o triângulo é rectângulo .

Por definição, a hipotenusa é o lado oposto ao ângulo reto , e os catetos são os dois lados que o formam. O enunciado anterior relaciona comprimentos, mas o teorema também pode ser enunciado como uma relação entre áreas:

"

Em qualquer triângulo retângulo, a área do quadrado cujo lado é a hipotenusa é igual à soma das áreas dos quadrados cujos lados são os catetos.

"

Para ambos os enunciados, pode-se equacionar

onde c representa o comprimento da hipotenusa, e a e b representam os comprimentos dos outros dois lados.

O teorema de Pitágoras leva o nome do matemático grego Pitágoras (570 a.C. - 495 a.C.), que tradicionalmente é creditado pela sua descoberta e demonstração, embora seja frequentemente argumentado que o conhecimento do teorema seja anterior a ele (há muitas evidências de que matemáticos babilônicos conheciam algoritmos para calcular os lados em casos específicos, mas não se sabe se conheciam um algoritmo tão geral quanto o teorema de Pitágoras).

O teorema de Pitágoras é um caso particular da lei dos cossenos, do matemático persa Ghiyath al-Kashi (1380 - 1429), que permite o cálculo do comprimento do terceiro lado de qualquer triângulo, dados os comprimentos de dois lados e a medida de algum dos três ângulos.

Fórmula e corolários

Sendo c o comprimento da hipotenusa e a e b os comprimentos dos catetos, o teorema pode ser expresso por meio da seguinte equação:

Manipulando algebricamente essa equação, chega-se a que se os comprimentos de quaisquer dois lados do triângulo retângulo são conhecidos, o comprimento do terceiro lado pode ser calculado:

Outro corolário do teorema é que:

"

Em qualquer triângulo retângulo, a hipotenusa é maior que qualquer um dos catetos, mas menor que a soma deles.

"

maior que qualquer um dos catetos pois todos os comprimentos são necessariamente números positivos, e c² > b², logo c > b, e c² > a², logo c > a. E a hipotenusa é menor que a soma dos catetos pois c² = b² + a², e (b+a)² = b² + 2ba + a², logo c² < (b+a)², logo c < b + a.

Demonstrações

Não se sabe ao certo qual seria a demonstração utilizada por Pitágoras. O teorema de Pitágoras já teve muitas demonstrações publicadas. O livro The Pythagorean Proposition, de Elisha Scott Loomis, por exemplo, contém 370 demonstrações diferentes. Há uma demonstração no livro Os Elementos, de Euclides. E também ofereceram demonstrações, o matemático indiano Bhaskara Akaria, o polímata italiano Leonardo da Vinci, e o vigésimo presidente dos Estados Unidos, James A. Garfield. O teorema de Pitágoras é tanto uma afirmação a respeito de áreas quanto a respeito de comprimentos, algumas provas do teorema são baseadas em uma dessas interpretações, e outras provas são baseadas na outra interpretação.

Por comparação de áreas

1. Desenha-se um quadrado de lado

2. De modo a subdividir este quadrado em quatro retângulos, sendo dois deles quadrados de lados, respectivamente, e Traça-se dois segmentos de reta paralelos a dois lados consecutivos do quadrado, sendo cada um deles interno ao quadrado e com o mesmo comprimento que o lado do quadrado;

3. Divide-se cada um destes dois retângulos em dois triângulos retângulos, traçando-se as diagonais. Chama-se o comprimento de cada diagonal;

4. A área da região que resta ao retirar-se os quatro triângulos retângulos é igual a

5. Desenha-se agora o mesmo quadrado de lado mas coloca-se os quatro triângulos retângulos noutra posição dentro do quadrado: a posição que deixa desocupada uma região que é um quadrado de lado

6. Assim, a área da região formada quando os quatro triângulos retângulos são retirados é igual a

Como representa a área do quadrado maior subtraída da soma das áreas dos triângulos retângulos, e representa a mesma área, então . Ou seja: num triângulo retângulo o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos.

Por semelhança de triângulos

Esta demonstração se baseia na proporcionalidade dos lados de dois triângulos semelhantes, isto é, que a razão entre quaisquer dois lados correspondentes de triângulos semelhantes é a mesma, independentemente do tamanho dos triângulos.

Sendo ABC um triângulo retângulo, com o ângulo reto localizado em C, como mostrado na figura. Desenha-se a altura com origem no ponto C, e chama-se H sua intersecção com o lado AB. O ponto H divide o comprimento da hipotenusa, c, nas partes d e e. O novo triângulo, ACH, é semelhante ao triângulo ABC, pois ambos tem um ângulo reto, e eles compartilham o ângulo em A, significando que o terceiro ângulo é o mesmo em ambos os triângulos também, marcado como θ na figura. Seguindo-se um raciocínio parecido, percebe-se que o triângulo CBH também é semelhante à ABC. A semelhança dos triângulos leva à igualdade das razões dos lados correspondentes:

e

O primeiro resultado é igual ao cosseno de cada ângulo θ e o segundo resultado é igual ao seno.

Estas relações podem ser escritas como:

e Somando estas duas igualdades, obtém-se

que, rearranjada, é o teorema de Pitágoras:

Usando a mesma figura da demonstração acima, após ser mostrado que ΔABC, ΔACH e ΔCBH são semelhantes, pode-se demonstrar o teorema de Pitágoras usando-se o fato de que "a razão entre as áreas de triângulos semelhantes é igual ao quadrado da razão entre lados correspondentes", da seguinte forma: Chamando-se a área de ΔABC de x, a área de ΔACH é x*(b/c)², e a área de ΔCBH é x*(a/c)² (pois c, b e a são as hipotenusas de ΔABC, ΔACH e ΔCBH, respectivamente). Então, como a área do triângulo inteiro é a soma das áreas dos dois triângulos menores, tem-se x*(a/c)² + x*(b/c)² = x, então (a/c)² + (b/c)² = 1, então a² + b² = c².

A análise da figura da direita permite computar a área do quadrado construído sobre a hipotenusa de um triângulo retângulo: ela é quatro vezes a área desse triângulo mais a área do quadrado restante, de lado ( b−a). Equacionando-se, segue que:

Logo:

(o termo (b-a)² é um produto notável)

(por comutatividade da multiplicação: 2ab = 2ba)

Por cálculo diferencial

Pode-se chegar ao teorema de Pitágoras pelo estudo de como mudanças em um lado produzem mudanças na hipotenusa e usando um pouco de cálculo. É uma demonstração baseada na interpretação métrica do teorema, visto que usa comprimentos, não áreas.

Como resultado da mudança da no lado a,

por semelhança de triângulos e para mudanças diferenciais. Então,

por separação de variáveis.

que resulta da adição de um segundo termo para as mudanças no lado b.

Pela integração, segue:

Num espaço com um produto interno

Pode-se estender o teorema de Pitágoras a espaços com produto interno e com uma norma induzida por este. Nessa situação:

Dois vetores x e y são ditos perpendiculares se:

Segue então:

que é o teorema de Pitágoras.

Pelo rearranjo das partes

Uma demonstração por rearranjo é dada pela animação à esquerda. Como a área total e as áreas dos triângulos são constantes, a área preta total é constante também. E a área preta pode ser dividida em quadrados delineados pelos lados a, b, c do triângulo, demonstrando que = c ².

Na animação à direita, um grande quadrado inicial é formado da área c ² tornando adjacentes quatro triângulos retângulos idênticos, deixando um pequeno quadrado no centro do grande quadrado, de modo a acomodar a diferença de comprimentos dos lados dos triângulos. Dois retângulos são formados, de lados a e b, movendo-se os triângulos. Incorporando o pequeno quadrado central com um destes retângulos, os dois retângulos são feitos em dois quadrados de áreas a ² e b ², mostrando que c ² = .

Demonstração de Euclides

A finalidade é mostrar que a área do quadrado AOMG é igual à área do quadrado AIHD e que BEFG é igual a BCHI, mostrando que o quadrado da hipotenusa é igual à soma do quadrado dos catetos. Veja que a reta definida por HL passa pelo centro do ângulo reto AGB e é ortogonal ao segmento AB. Temos que GL = AB, pois ambos são a hipotenusa do triângulo; e AB = HI, pois que ABCD é uma quadrado. Logo GL=HI (Os triângulos ABG e igual ao triângulo GML). Assim sendo, as áreas dos quadriláteros AIHD e ANLG são igual, visto que tem a mesma base (HI = GL) e a mesma altura (AI). Mas temos que as áreas dos quadriláteros ANLG e AOMG são também iguais, pois que tem a base AG em comum e a mesma altura AO. Resulta que, pelo silogismo grego, se Y=Z e Z=W, então Y=W, em termo de área vale: AIHD = ANLG e ANLG = AOMG, então AIHD = AOMG.

Para mostrar que BEFG = BCHI segue-se de modo análogo.

Euclides mostra, desta forma puramente geométrica, que a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa.

A recíproca do teorema de Pitágoras também é verdadeira:

"Para qualquer triângulo com lados l, m, e r, se l² + m² = r², então o ângulo entre l e m mede 90°".

ou, usando apenas palavras,

"

Se num triângulo o quadrado em um dos lados for igual à soma dos quadrados construídos sobre os dois lados restantes do triângulo, o ângulo formado pelos dois lados restantes do triângulo é um ângulo reto.

"

Ela pode ser provada usando-se a lei dos cossenos.

Consequências e usos

Talvez nenhuma outra relação geométrica seja tão utilizada em matemática como o teorema de Pitágoras. Na geometria cartesiana, muito usada em ciências e engenharia, todos os cálculos que envolvem relações espaciais e trigonometria têm como base este teorema. É possível utilizar o teorema de Pitágoras em todos os polígonos, pois eles podem ser divididos em triângulos e esses em triângulos retângulos. E por extensão, em todos os poliedros.

A diagonal do quadrado

A diagonal do quadrado divide-o em dois triângulos retângulos congruentes. Sendo o lado e a diagonal, segue que:

Finalmente, o comprimento da diagonal é encontrado como:

A altura do triângulo equilátero

A altura do triângulo equilátero divide-o em dois triângulos retângulos congruentes. Sendo o lado e a altura, segue que:

Finalmente, a altura do triângulo equilátero é encontrada como:

A diagonal do cubo

Seja a a medida da aresta de um cubo (isto é, a medida de um lado de uma das faces quadradas), pelo teorema de Pitágoras:

(I) Pelo mesmo teorema, tem-se que:

(II)

De I e II:

Então:

Nas geometrias n-dimensionais, por raciocínio análogo pode-se obter pelo teorema de Pitágoras os valores das diagonais do hipercubo unitário em função de sua respectiva dimensão: As diagonais de quadrado, cubo, tesserato e n-cubo unitários medem, respectivamente, (ou seja, 2) e

Identidade trigonométrica fundamental

Disso, segue que:

Ternos pitagóricos

Um terno pitagórico (trio pitagórico) consiste em três números inteiros positivos a, b, e c, tais que . Em outras palavras, um terno pitagórico representa os comprimentos dos lados de um triângulo retângulo, onde todos os três lados têm comprimentos inteiros. Essa tripla é geralmente escrita como Alguns exemplos bem conhecidos são (3, 4, 5) e (5, 12, 13).

Um terno pitagórico primitivo é aquele em que a, b e c são coprimos (o máximo divisor comum de a, b e c é 1).

Lista de ternos pitagóricos primitivos até 100:

(3, 4, 5), (5, 12, 13), (7, 24, 25), (8, 15, 17), (9, 40, 41), (11, 60, 61), (12, 35, 37), (13, 84, 85), (16, 63, 65), (20, 21, 29), (28, 45, 53), (33, 56, 65), (36, 77, 85), (39, 80, 89), (48, 55, 73), (65, 72, 97)

A incomensurabilidade

Pitágoras sabia na época, entretanto, que seu teorema tinha uma falha: Quando os catetos do triângulo eram iguais, seu teorema não funcionava, pois não haveria uma medida racional para a hipotenusa. Conta a História que a primeira atitude de Pitágoras frente a essa incoerência na matemática foi a de esconder tal fato. Matemáticos e geômetras que o sucederam desde aquela época tentavam compreender o porquê da incomensurabilidade - os lados do triângulo não tinham medida em comum, ou seja, não podiam ser medidos de forma exata através de uma unidade comum a ambos.

Com efeito, suponha que seja a hipotenusa p e que os catetos sejam iguais e representados pela letra q. Sabe-se que p / q é uma fração irredutível (se não fosse torná-la-íamos, até que não mais pudéssemos, restando um numerador par e um denominador impar, ou vice- versa). Da aplicação do teorema resulta p² = 2q². Obviamente p² é par, pois é o dobro de q², ou seja, vem de um produto de um número multiplicado por 2. Se p² é par, implica que p é par (o quadrado de um número par é sempre número par e o quadrado de um número ímpar é sempre número ímpar), logo q obrigatoriamente deve ser ímpar, senão a fração dada acima não seria irredutível. Fazendo agora p = 2k (o que pode ser feito, pois p é par) reescrevemos: (2k)² = 2q² simplificando resulta 4k² = 2q² que resulta 2k² = q², o que quer dizer, pelo mesmo raciocínio anterior, que q é par, o que é absurdo pois antes resultou ser impar. Um número não pode ser par e impar ao mesmo tempo.

A solução só veio 25 séculos depois, no século XIX, com Dedekind quando foi necessária cortar a reta dos números racionais e introduzir o conjunto dos números irracionais para suprir essa deficiência da Matemática.

Uma das consequências do teorema de Pitágoras é que comprimentos incomensuráveis (ou seja, cuja razão é um número irracional, tal como a raiz quadrada de 2), podem ser construídos, com instrumentos como régua e compasso. Um triângulo retângulo com ambos os catetos de medida unitária tem uma hipotenusa de comprimento igual à raiz quadrada de 2. A figura da direita mostra como construir segmentos de reta com comprimentos iguais à raiz quadrada de qualquer número inteiro positivo.

Ver artigo principal: pi

Em Sobre as Medidas do Círculo, Arquimedes utilizou o teorema de Pitágoras para calcular uma aproximação para o valor do número pi. Ele fez isso posicionando um hexágono regular circunscrito a um círculo e um hexágono regular menor inscrito no círculo, e então realizando a progressiva duplicação do número de lados de cada polígono regular assim obtido, cujo perímetro em cada nova etapa ele calculava por meio do teorema de Pitágoras.

Distância entre dois pontos

O teorema de Pitágoras pode ser traduzido para a linguagem das coordenadas de Descartes:

Seja e Para auxiliar, seja

Como A e C possuem mesma ordenada,

Como B e C possuem mesma abcissa,

Então

Generalizações

Lei dos cossenos

O teorema de Pitágoras permite calcular um lado de um triângulo retângulo conhecendo os outros dois. A lei dos cossenos permite calculá-lo em qualquer triângulo. Assim, o teorema de Pitágoras é um caso especial do teorema mais geral que relaciona o comprimento dos lados de qualquer triângulo, a lei dos cossenos é a seguinte:

onde θ é o ângulo entre os lados a e b. Quando θ é 90 graus, cos(θ) = 0, assim, a fórmula reduz-se ao teorema de Pitágoras.

Teorema de Gua

O teorema de Pitágoras pode ser generalizado para um n-simplex retângulo: o quadrado do (n-1)-volume da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos (n-1)-volumes dos catetos. Em particular, num tetraedro retângulo (isto é, que tem três faces perpendiculares entre si - os "catetos"), o quadrado da área da "hipotenusa" (a face que não é perpendicular às restantes) é igual à soma dos quadrados das áreas dos catetos.

Figuras semelhantes nos três lados

O teorema de Pitágoras foi generalizado por Euclides em seu livro Os Elementos para estender-se além das áreas dos quadrados nos três lados, para figuras semelhantes:

"

Erguendo-se figuras semelhantes nos lados de um triângulo retângulo, então a soma das áreas das duas menores é igual à área da maior.

"

Outro matemático que demonstrou essa afirmação foi George Pólya, e o resultado ficou conhecido como Generalização do Teorema de Pitágoras que diz:

Se C, A e B são três figuras semelhantes, construídas, respectivamente, sobre a hipotenusa e os catetos do triângulo retângulo, então as áreas das figuras A, B e C satisfazem a relação A(C) = A(A) + A(B) (Podemos observar essa figura ao lado).

Demonstração: Usaremos o resultado que garante que se duas figuras X e X' são semelhantes com razão de semelhança , então . Como as figuras A, B e C são semelhantes, temos que

Daí, obtemos

e como o triângulo é retângulo, pelo Teorema de Pitágoras, temos que , substituindo na equação anterior, encontramos

Nas geometrias não euclidianas

O teorema de Pitágoras é derivado dos axiomas da geometria euclidiana, por isso, acreditava-se que a versão euclidiana não fosse válida nas geometrias não euclidianas. (Foi mostrado que o teorema de Pitágoras é equivalente ao postulado das paralelas, que por sua vez, é equivalente à afirmação de que "a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a dois ângulos retos", usada em todas as demonstrações apresentadas do teorema). Em outras palavras, numa geometria não euclidiana, a relação entre os lados de um triângulo deveria necessariamente tomar outra forma. Por exemplo, na geometria esférica, a² + b² ≠ c².

Seja c a hipotenusa de um triângulo rectângulo numa geometria não euclidiana e a e b os catetos. O teorema de Pitágoras toma uma das seguintes formas:

Entretanto, existe uma versão para a geometria hiperbólica (usando uma métrica adequada) na qual o teorema apresenta-se no formato conhecido.

Quanto aos espaços vetoriais, em alguns deles o teorema de Pitágoras (ou mesmo generalizações dele) é verdadeiro e em outros ele é falso. Sabe-se, por exemplo, que o teorema de Pitágoras é verdadeiro em espaços pré-hilbertianos. Erhard Schmidt provou o teorema de Pitágoras para espaços vetoriais abstratos com produto interno. Dieter Brill e Ted Jacobson derivaram o análogo do teorema de Pitágoras no espaço minkowskiano (que chamaram de "Teorema de Pitágoras para o espaço-tempo").

Embora o teorema de Pitágoras seja necessariamente falso em qualquer espaço descontínuo, Jean Paul Van Bendegem mostrou que num espaço desse tipo o teorema de Pitágoras pode ser usado como aproximação dentro de certos limites de tolerância.

O teorema de Pitágoras também foi generalizado para as geometrias riemannianas. Investigações nesse tema remontam ao próprio Bernhard Riemann, e a questão acerca da validade do teorema de Pitágoras na vizinhança de um ponto foi abordada por, dentre outros, Hermann von Helmholtz, Sophus Lie e Hermann Weyl.

O teorema de Pitágoras foi descoberto independentemente nas antigas civilizações babilônica, indiana, chinesa e grega.

A história do teorema pode ser dividida em quatro partes: o conhecimento de trios pitagóricos, conhecimento da relação entre os lados de um triângulo retângulo, conhecimento das relações entre ângulos adjacentes, e demonstrações do teorema dentro de sistemas dedutivos.

O historiador da matemática alemão Moritz Cantor, tomando por base que 3² + 4² = 5² era conhecido dos egípcios e que eles usavam cordas em agrimensura, especulou que eles construíam ângulos retos por meio de um uma corda com nós para formar um triângulo de lados 3, 4 e 5. Bartel van der Waerden afirmou que não há evidências que sustentem esta especulação, visão compartilhada por Thomas Little Heath.

Mesopotâmia

Há provas que os antigos babilônios já conheciam o teorema muito antes de Pitágoras. Tabletes de barro do período de 1800 a.C. a 1600 a.C. foram encontrados e estudados, estando hoje em vários museus. Um deles, Plimpton 322, mostra uma tabela de 15 linhas e 3 colunas, ilustrando trios pitagóricos.

Na Índia, o Sulba Sutra escrito por Baudhayana em data incerta entre os séculos VIII a.C. e II a.C., contém uma lista de trios pitagóricos descobertos algebricamente, um enunciado do teorema de Pitágoras, e uma demostração geométrica deste para um triângulo retângulo isósceles. O Sulba Sutra de Apastamba ( ca. 600 a.C.) contém uma demostração numérica do caso geral do teorema de Pitágoras, usando cálculo de áreas. Van der Waerden acreditava que esta demostração "estava certamente baseada em tradições antigas". Carl Benjamin Boyer pensava que os elementos achados em Śulba-sũtram deviam ter raízes mesopotâmicas.

Na China, o teorema também já era conhecido cerca de 600 anos antes do período Pitagórico. O problema "Gou Gu", do famoso livro chinês Zhoubi Saunjing é uma evidência da existência de conhecimento a respeito do teorema.

Pitágoras (569 a.C. - 475 a.C.) usou métodos algébricos para construir trios pitagóricos, de acordo com os comentários de Proclo sobre Euclides. Proclo, porém, escreveu entre os anos 410 e 485 d.C. Segundo Sir Thomas L. Heath (1861-1940), não existe nenhuma atribuição específica do teorema a Pitágoras na literatura grega que se conserva dos cinco séculos posteriores à época em que Pitágoras viveu. No entanto, quando autores como Plutarco e Cícero atribuíram o teorema a Pitágoras, fizeram-no de tal forma que sugeria que esta atribuição era amplamente conhecida e livre de qualquer dúvida. "Se esta fórmula é corretamente atribuída ao próprio Pitágoras, [...] pode-se assumir com certeza que pertence ao período mais antigo da matemática pitagórica"

Segundo Proclo, por volta do ano 400 a.C. Platão forneceu um método para encontrar trios pitagóricos que combinava álgebra e geometria. A demostração axiomática do teorema mais antiga que se conhece aparece nos Elementos de Euclides, que data aproximadamente do ano 300 a.C.

Referências

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O teorema de Pitágoras é uma relação matemática entre os comprimentos dos lados de qualquer triângulo retângulo. Na geometria euclidiana, o teorema afirma que: Num triângulo rectângulo, conhecendo o comprimento da hipotenusa e de um cateto, o Teorema de Pitágoras permite calcular o comprimento do outro cateto.

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https://www.youtube.com/watch?v=PGPRh4JBIsg

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Teorema de Pitágoras - Professora Angela

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https://www.naydastabile.com/post/superdica-curiosidade-voc%C3%AA-conhece-pit%C3%A1goras#:~:text=O%20Teorema%20de%20Pit%C3%A1goras%20%C3%A9,na%20geometria%20e%20na%20trigonometria.&text=Outra%20curiosidade%20interessante%20%C3%A9%20que,beb%C3%AA%20germinasse%20em%20seu%20est%C3%B4mago.

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SUPERDICA CURIOSIDADE: VOCÊ CONHECE PITÁGORAS?

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"Se o que tem a dizer não é mais belo que o silêncio, então cala-te." Nascido na ilha de Samus, na Ásia Menor, daí Pitágoras de Samus. Tretou com os filósofos da região, migrando para a Magna Grécia (atual sul da Itália), numa cidadela chamada Crotone (na sola da bota) e lá, fundou a Escola Pitagórica.

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https://brasilescola.uol.com.br/matematica/juros-simples.htm

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Podemos definir como o rendimento de uma aplicação financeira, valor referente ao atraso no pagamento de uma prestação ou a quantia paga pelo empréstimo de um capital. Atualmente, o sistema financeiro utiliza o regime de juros compostos, por ser mais lucrativo. Os juros simples eram utilizados nas situações de curto prazo. Hoje não utilizamos a capitalização baseada no regime simples, mas, de qualquer forma, vamos entender como ele funciona.

No sistema de capitalização simples, os juros são calculados com base no valor da dívida ou da aplicação. Dessa forma, o valor dos juros é igual no período de aplicação ou composição da dívida.

A expressão matemática utilizada para o cálculo das situações envolvendo juros simples é a seguinte:

J = juros
C = capital
i = taxa de juros
t = tempo de aplicação (mês, bimestre, trimestre, semestre, ano...)

M = montante final
C = capital
J = juros

Qual o valor do montante produzido por um capital de R$ 1.200,00, aplicado no regime de juros simples a uma taxa mensal de 2% durante 10 meses?

Capital: 1200
i = 2% = 2/100 = 0,02 ao mês (a.m.)
t = 10 meses

O montante produzido é de R$ 1.440,00.

Vamos construir uma planilha especificando passo a passo a aplicação de um capital durante o período estabelecido inicialmente.

Um capital de R$ 5.000,00 foi aplicado a uma taxa de juros mensais de 3% ao mês durante 12 meses. Determine o valor dos juros produzidos e do montante final da aplicação.

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O montante final foi equivalente a R$ 6.800,00, e os juros produzidos foram iguais a R$ 1.800,00.

Determine o valor do capital que, aplicado durante 14 meses a uma taxa de 6%, rendeu juros de R$ 2.688,00.

O valor do capital é de R$ 3.200,00.

Qual o capital que, aplicado a juros simples de 1,5% ao mês, rende R$ 3.000,00 de juros em 45 dias?

J = 3000
i = 1,5% = 1,5/100 = 0,015
t = 45 dias = 45/30 = 1,5

J = C * i * t
3000 = C * 0,015 * 1,5
3000 = C * 0,0225
C = 3000 / 0,0225
C = 133.333,33

O capital é de R$ 133.333,33.

Qual foi o capital que, aplicado à taxa de juros simples de 2% ao mês, rendeu R$ 90,00 em um trimestre?

O capital corresponde a R$ 1.500,00.

Qual o tempo de aplicação para que um capital dobre, considerando uma taxa mensal de juros de 2% ao mês, no regime de capitalização simples?

O tempo para que o capital aplicado a uma taxa mensal de 2% dobre é de 50 meses.

Por Marcos Noé
Graduado em Matemática

Ferramentas do dia a dia de quem trabalha com Matemática Financeira

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Podemos definir como o rendimento de uma aplicação financeira, valor referente ao atraso no pagamento de uma prestação ou a quantia paga pelo empréstimo de um capital. Atualmente, o sistema financeiro utiliza o regime de juros compostos, por ser mais lucrativo. Os juros simples eram utilizados nas situações de curto prazo.

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https://www.youtube.com/watch?v=bGn_K3k_ztI

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JURO SIMPLES - Professora Angela Matemática

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Juros simples? Como atua no nosso dia a dia

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Juros simples? Como atua no nosso dia a dia

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https://www.oeconomista.com.br/o-que-sao-juros/#:~:text=Por%20exemplo%2C%20se%20voc%C3%AA%20pega,R%24%2025%20dos%20juros).&text=Esse%20c%C3%A1lculo%20simples%20%C3%A9%20chamado%20de%20juros%20simples%20ou%20juros%20n%C3%A3o%20capitalizados.

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O que são juros e como eles atuam no dia a dia das pessoas

Autor: O Economista - 29 de março de 2019

Se existe uma palavra que faz parte do cotidiano das pessoas, essa palavra é: juros. Do recebimento do primeiro boleto à abertura de uma conta no banco, passando pelas compras a prazo, lá está ela informando que o atraso no pagamento resulta em multa de 2%, ou que o uso do cheque especial cobra 11,5% ao mês, ou ainda que parcelando em 10 vezes, a taxa de juros é de 9%. O que queremos dizer é que, em algum momento da sua vida, você vai pagar juros sobre algum valor. É algo praticamente inevitável.

Por isso que queremos explicar, aqui neste artigo, que faz parte da nossa série sobre educação financeira, como conviver com esse item do mercado sem desequilibrar seu orçamento pessoal. Nele, vamos apresentar o conceito de juros e de onde ele vem, a diferença entre juros simples e compostos e o que significa taxa de juros, um termo que vive nos noticiários e atinge diretamente nossas vidas. Vamos lá?

Juros: de onde vem esse conceito

Todo brasileiro deve acreditar que os juros foram inventados por aqui mesmo, não é verdade? Afinal, praticamente qualquer tipo de transação financeira envolve alguma questão relacionada a juros, seja para cobrar, seja para ressarcir alguém. Brincadeiras à parte, esse pagamento de um "aluguel" para usar um dinheiro que não é seu é bem mais antigo que o próprio Brasil.

Dados históricos da civilização suméria, de cerca de 3 mil anos a.C., revelam que o mundo antigo tinha um sistema de crédito baseado em dois produtos, o grão e a prata, e que eles eram emprestados e devolvidos, porém, em maior peso. Foram descobertos sistemas semelhantes em Tróia, na Babilônia, no Egito e na Pérsia. Na República Romana, por volta de 500 a.C., também houve registro da cobrança de juros. Em alguns documentos, inclusive, menciona-se a redução para 8,3% na taxa de juros.

Como bem sabemos, os sistemas financeiros evoluíram ao longo dos séculos e hoje temos um conjunto de leis e órgãos que regularizam a cobrança dos juros pelas empresas e instituições financeiras. Porém, entender todos os detalhes burocráticos que envolvem a legislação é algo trabalhoso e um tanto complexo. E que não nos ajudaria em nossa rotina.

Por isso, seguindo o objetivo da nossa série, que é facilitar seu entendimento sobre assuntos do cotidiano, vamos focar as explicações sobre os juros naquilo que pode vir a interferir no seu orçamento pessoal. E, por falar nesse assunto, antes de darmos sequência ao conteúdo, temos uma dica incrível para simplificar a sua vida financeira: o curso de Finanças Pessoais que O Economista preparou para ensinar você a organizar suas finanças, a entender mais de economia para fazer seu dinheiro render, a conhecer investimentos para incrementar sua renda e planejar o seu futuro. Clique na imagem abaixo e inscreva-se agora mesmo!

O que são juros simples e juros compostos

O mais importante para o dia a dia é compreender aquilo que nos atinge diretamente, que são os juros cobrados quando usamos o cheque especial, parcelamos a fatura do cartão de crédito, atrasamos o pagamento de carnês ou boletos ou pegamos um empréstimo. E também quando fazemos um investimento, como uma aplicação na poupança.

O que você precisa entender é que o valor dos juros é definido por uma porcentagem que se aplica por um determinado período sobre um montante de dinheiro. Por exemplo, se você pega R$ 500 emprestado por um mês, com taxa de juros de 5%, terá que devolver R$ 525 depois de 30 dias (R$ 500 do valor original + R$ 25 dos juros). No caso de pagar o boleto do aluguel atrasado, o valor de R$ 800 vai para R$ 816, pois há uma multa de 2%. Esse cálculo simples é chamado de juros simples ou juros não capitalizados.

Porém, há no mercado os juros compostos ou juros capitalizados, mais conhecidos como juros sobre juros. São aqueles que, após cada período de capitalização, são incorporados ao capital principal e passam também a render juros. Parece um pouco mais complicado, mas com o nosso exemplo, você vai entender facilmente, veja só!

Vamos imaginar que você aplicou R$ 500 na poupança, com rendimento de 1% ao mês. A cada mês, quando o cálculo for feito, além de usar o valor inicial, serão acrescentados nesse valor inicial os rendimentos dos meses anteriores. Veja:

1º mês: R$ 500 (capital inicial) + R$ 5 (1% de R$ 500) = R$ 505

2º mês: R$ 505 (capital inicial + juros) + R$ 5,05 (1% de 505) = 510,05

3º mês: R$ 510,05 + R$ 5,10 = R$ 515,15

4º mês: R$ 515,15 + R$ 5,15 = R$ 520,30

5º mês: R$ 520,30 + R$ 5,20 = R$ 525,50

Os valores vão aumentando sucessivamente enquanto o dinheiro ficar aplicado. Isso é algo muito bom quando falamos de juros compostos que vão render para aumentar o nosso patrimônio. No entanto, se esses mesmos juros estiverem sendo cobrados sobre uma dívida, ela pode virar uma bola de neve e comprometer todo a sua estabilidade financeira.

Por isso, fique sempre atento com os seguintes itens:

Operações financeiras: verifique se está lidando com juros simples ou compostos e qual impacto eles podem causar nas suas contas;

Tarifas e taxas de juros: confira o valor de cada uma delas e como são aplicadas. A inflação, por exemplo, sofre bastante variação e pode gerar desequilíbrio no orçamento pessoal;

Compras a prazo: nunca feche um negócio sem antes saber exatamente como serão calculados os juros das parcelas;

Investimentos: se vale na hora de pagar, também vale na hora de investir. Sempre que aplicar o seu dinheiro, saiba como os juros serão calculados, assim, fica mais fácil saber quanto vai lucrar.

Como é definida uma taxa de juros

Já que falamos sobre taxas de juros, é importante que você saiba que cada banco define os percentuais que vão praticar em cada operação. Essas taxas, porém, têm como base a taxa básica de juros do país, a conhecida Selic (Sistema Especial de Liquidação e Custódia). Ela é definida pelo Comitê de Política Monetária (Copom), um órgão do Banco Central, e usada como referência para o cálculo das demais taxas de juros de todo o crédito concedido na economia.

É importante saber também que, ao definir suas taxas, as instituições financeiras levam em conta, além da Selic, diversos fatores, como risco, volume e prazo da operação. Não é um percentual definido de qualquer maneira, com base em achismos. E, mesmo assim, ainda é possível negociar as taxas em determinadas ocasiões, como durante renegociações de dívidas, por exemplo.

Bom, saber como os juros influenciam as suas contas pessoais não é tão difícil assim, não é mesmo? Então, não perca tempo e coloque tudo na ponta do lápis para não ter surpresas no futuro e conseguir manter seu dinheiro seguro. Para ajudar você nessa missão, disponibilizamos uma planilha gratuita para controle das finanças pessoais. Para baixar, é só clicar na imagem abaixo!

Esperamos que você tenha gostado deste artigo e que o compartilhe com seus amigos, afinal, cuidar das finanças pessoais é importante para todo mundo! E, claro, continue nos acompanhando, pois ainda há muito conteúdo em nossa série sobre educação financeira. Se surgir alguma dúvida ou tiver alguma sugestão, é só deixar um comentário.

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O que são juros e como eles atuam no dia a dia das pessoas

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Só de ouvir falar em juros você já fica arrepiado, pois não entende nada sobre o assunto? Calma, estamos aqui para ajudá-lo. Neste artigo, mostramos que os juros não são um bicho de sete cabeças e que podem, sim, ser bem administrados. Confira!

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https://brasilescola.uol.com.br/matematica/juros-compostos.htm

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Os juros compostos são recorrentes nas relações comerciais, nas compras parceladas a longo prazo, nos investimentos, nos empréstimos e até mesmo no simples atraso do pagamento de contas. O juros pode ser um aliado ou um vilão. É importante dominar os fatores que influenciam o seu cálculo, que são o capital, a taxa de juros, o tempo e o montante.

Ao comparar o juros composto com o juros simples, precisamos entender que o primeiro é calculado sempre sobre o valor do exercício anterior, já o segundo é calculado sempre em cima do valor inicial. O juros composto terá maior crescimento com o passar do tempo, em comparação com o juros simples.
Veja também: Proporção - igualdade entre duas razões
Tópicos deste artigo

Fórmula do juros composto

O cálculo do juros composto é dado por esta fórmula:

Cada uma dessas letras é um importante conceito da matemática financeira:

Capital (C): é o primeiro valor investido. Conhecemos como capital o valor inicial da negociação, ou seja, ele é o valor de referência para calcularmos os juros com o passar do tempo.

Juros (J): é o valor de compensação para o rendimento. Quando uma instituição financeira faz um empréstimo, ela está abdicando-se de estar com esse dinheiro em um determinado prazo, porém, quando ela for recebê-lo, seu valor será corrigido pelo que chamamos de juros, e é com base nele que a empresa vê uma compensação pelo empréstimo. Em um investimento, trata-se do valor dos rendimentos adquiridos.

Taxa de juros (i): é a porcentagem cobrada em cima do capital a cada instante. Essa taxa pode ser ao dia (a.d.), ao mês (a.m.), ao bimestre (a.b.) ou ao ano (a.a.). A taxa de juros é uma porcentagem geralmente representada na forma percentual, porém, para calcular-se o juros composto, é importante escrevê-la sempre na forma decimal.

Tempo (t): é o tempo em que o capital ficará aplicado. É importante que a taxa de juros (i) e o tempo (t) estejam sempre na mesma unidade de medida.

Montante (M): é o valor final da transação. O montante é calculado pela soma do capital com os juros - M = C + J.

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Como calcular os juros compostos?

Saber manipular a fórmula é fundamental para o estudo dos juros compostos. Como há quatro variáveis (montante, capital, taxa de juros e tempo), os problemas que envolvem esse tema podem dar o valor de três delas e sempre pedir o cálculo da quarta variável, podendo ser qualquer uma delas. Por isso o domínio de equações é fundamental para a resolução de problemas que envolvem juros compostos.
Exemplo
Vale ressaltar que, para calcular-se os juros, é necessário conhecer o capital e o montante, pois o juros é dado pela diferença dos dois, ou seja:
Resolução
Um capital de R$1400 foi aplicado a juros compostos em um fundo de investimento que rende 7% a.a. Qual será o juros acumulado após 24 meses?

Dados importantes: C = 1400; i = 7% a.a.; t = 24 meses.

Note que o tempo e a taxa estão em unidades diferentes, mas sabemos que 24 meses é igual a 2 anos, logo, t = 2 anos, e que a taxa precisa ser escrita na forma decimal, i = 0,07.

M = 1400 (1 + 0,07)²

M = 1400 (1,07)²

M = 1400 . 1,1449

M = 1602,86.

Para encontrar o juros temos que:

J = M - C

1602,86 - 1400 = 202,86
Exemplo

Os juros compostos aumentam mais rapidamente do que os juros simples.

Resolução
Quanto tempo um capital de R$1500 aplicado a juros compostos, com taxa de 10% a.a, leva para gerar um montante de R$1996,50?
Dados:
Como t é uma potência, encontraremos uma equação exponencial que pode ser resolvida por fatoração ou, em muitos casos, só por logaritmo. Como nem sempre trata-se de números inteiros, o recomendado para esses problemas é que se use calculadora científica. No caso de vestibulares e provas de concurso, o valor do logaritmo é dado na questão.
Exemplo
C = 1500 M = 1996,50 i = 10% = 0,01
Resolução
Qual é a taxa de juros aplicada ao ano para que um capital de R$800 gere um juros de R$352 em dois anos?

Dados: C = 800; t = 2 anos; J = 352.

Para encontrar a taxa, precisamos primeiro encontrar o montante.

M = C + J

800 + 352 = 1152

Agora temos que:
Leia também: Grandezas inversamente proporcionais - relação como a de velocidade e tempo
Em forma percentual, podemos dizer também que i = 20%

Diferença entre juros simples e juros compostos

Os juros simples utilizam uma fórmula diferente da apresentada para os juros compostos:

A diferença entre o comportamento dos juros simples e o dos juros compostos, a curto prazo, é bastante sutil, mas, no decorrer do tempo, os juros compostos são bem mais vantajosos.

Acontece que o j uros s imples é sempre calculado sobre o valor inicial da transação. Por exemplo, se você aplica R$500 com juros simples de 10 % ao mês, isso significa que todo mês aquele capital renderá 10 % de R$500, ou seja, R$50, independentemente do tempo que ele permanecer lá. O juros simples é comum para o atraso de contas, como de água e energia. A cada dia de atraso, a soma dá-se com um valor fixo calculado em cima da conta.

Já o j uros composto, pensando no mesmo valor e na mesma taxa, no primeiro mês, seu rendimento é calculado em cima do valor anterior. Por exemplo, no primeiro mês, os 10% serão calculados em cima dos R$500, gerando R$50 de juros e um montante de R$550. No próximo mês, os 10 % serão calculados em cima do valor atual do montante, ou seja, 10 % de R$550, gerando um juros de R$55, e assim sucessivamente. Dessa forma, para investimentos, o juros composto é mais vantajoso. Ele é bastante comum exatamente nesse segmento de investimentos, como a poupança.

Veja a tabela comparativa do mesmo valor rendendo a 10 % a.m durante um ano a juros simples e a juros composto.

Exercícios resolvidos

Questão 1 - Quanto conseguirei se investir um capital de R$2000 a juros composto, de 3% a.a., durante um período de 48 meses?

Resolução
Dados: C = 2000,00

i = 3% a.a.

t = 48 meses = 4 anos (note que a taxa está em anos)

Questão 2 - Para investir R$25.000, Maria cotou duas opções:

A partir de quanto tempo a segunda opção é mais vantajosa?

Resolução
Para realizar a comparação, segue a tabela do cálculo dos juros da primeira e da segunda opção:

Ao comparar as duas opções, percebe-se a segunda como mais vantajosa para investimentos acima de 11 meses.

Por Raul Rodrigues de Oliveira
Professor de Matemática

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Juros compostos: fórmula, como calcular, exemplos - Brasil Escola

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Os juros compostos são recorrentes nas relações comerciais, nas compras parceladas a longo prazo, nos investimentos, nos empréstimos e até mesmo no simples atraso do pagamento de contas. O juros pode ser um aliado ou um vilão. É importante dominar os fatores que influenciam o seu cálculo, que são o capital, a taxa de juros, o tempo e o montante.

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https://www.youtube.com/watch?v=PoPgLqVZKro

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JURO COMPOSTO - Professora Angela Matemática

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https://blog.genialinvestimentos.com.br/juros-compostos/

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As relações de empréstimo geralmente envolvem juros, que nada mais são do que uma remuneração para quem cedeu o dinheiro. Na prática, os juros justificam o empréstimo, pois permitem que haja rentabilidade na operação. Essa definição é importante para saber o que são juros compostos, pois eles são uma modalidade de juros mais vantajosa para quem concede o empréstimo.

É por isso que as dívidas bancárias se tornam tão elevadas: é preciso que os bancos tenham alguma vantagem ao ceder dinheiro. É importante saber que, em geral, os juros podem ser ruins para quem pega o montante emprestado, mas podem ser excelentes para quem empresta. Isso tem tudo a ver com o universo dos investimentos, afinal, o investidor, em geral, empresta seu dinheiro a alguma instituição em troca de uma remuneração.

Confira na sequência e saiba o que são juros compostos. Aprenda a usá-los a seu favor!

Os juros no dia a dia

Se determinadas operações matemáticas que aprendemos na escola parecem pouco importantes para o dia a dia, em relação aos juros isso não se aplica. O fato é que os juros fazem parte de nossa rotina e mesmo quando desconhecemos o seu funcionamento, acabamos sendo impactados por eles.

Os juros aparecem sempre que há operações de crédito. Quando falamos em educação financeira, esse tema é fundamental. Eles estão presentes em cada compra feita a prazo, nas opções presentes nos boletos que recebemos em casa e em diversas outras situações. Enfim, é algo inevitável na vida de qualquer pessoa.

O que são juros compostos

Entendendo o que os juros representam, podemos partir para os tipos de juros, diferenciando o que são juros compostos dos juros simples. De uma maneira bem sucinta, podemos dizer que, enquanto os juros simples incidem sobre o valor emprestado, os juros compostos incidem sobre o valor emprestado acrescido dos juros do último período considerado.

Ficou difícil de entender? Então vamos para um exemplo prático: com juros simples, se você emprestar R$ 100 Reais a 1% ao mês, terá que lidar com 1 Real de juros como resultado todo mês. No fim de um ano, esse valor será de R$ 12, gerando uma dívida de R$ 112.

Com juros compostos, o mesmo empréstimo de R$ 100 a 1% ao mês trará um resultado diferente, pois no primeiro mês o montante será de R$ 101, valor sobre o qual será aplicada a taxa de 1% no mês seguinte, gerando R$ 102,01 e assim por diante. Perceba que a cada mês o valor do montante aumenta e a dívida também. Dessa forma, em 12 meses, o efeito dos juros compostos fará com que o valor dos juros do empréstimo seja de R$ 12, 68, totalizando uma dívida de R$ 112, 68. Esses centavos a mais podem parecer pouco, mas pense na diferença em casos nos quais a taxa de juros é maior, assim como o valor inicial e o tempo.

Os juros e os investimentos

Tomar empréstimos sob juros compostos é um problema que tende a aumentar com o tempo, por isso, o ideal é evitar dívidas como o cheque especial. Entretanto, se você usar a lógica dos juros compostos a seu favor, esse problema se transforma em uma solução.

Lembre-se de que juros surgem das relações de empréstimos, onde há alguém que pega emprestado e alguém que empresta. Quando você faz uma aplicação financeira como o Tesouro Direto e o CDB, por exemplo, é você quem empresta o dinheiro. A boa notícia é que essas aplicações financeiras rendem a juros compostos, ou seja, quanto maior o tempo do empréstimo, maior é o valor dos juros acumulados.

A ação do tempo

Ainda que você não disponha de tantos recursos, saiba que o tempo é o melhor amigo do investidor. Quer acumular? Então comece aos poucos, invista aquilo que cabe no seu orçamento e use o tempo a seu favor. Mesmo com aportes pequenos, com o passar dos anos, os juros renderão sobre juros, gerando resultados cada vez melhores. Sabendo o que são juros compostos, é questão de tempo até fazer deles um aliado na sua vida financeira.

Saiba mais sobre os Juros Compostos assistindo o vídeo abaixo:

Onde aplicar o dinheiro

Agora que você sabe o que são juros compostos e conhece o potencial que eles têm, é hora de entender como fazer o seu dinheiro render de verdade. O segredo é um só: investir sob juros compostos. Você pode procurar uma corretora de valores, fazer seu cadastro e então conhecer os produtos financeiros disponíveis. Algumas opções para você abusar dos juros compostos:

Certificados de Depósitos Bancários (CDB)

Imagine uma pessoa que costuma fechar o mês no vermelho. Se essa pessoa conseguir se reorganizar financeiramente de forma a eliminar gastos supérfluos e criar uma fonte de renda extra, em vez de ser uma tomadora de empréstimos, ela pode inverter a situação, concedendo empréstimos ao investir em Certificados Depósitos Bancários.

Vale lembrar que, na prática, os CDBs representam exatamente isso: eles são empréstimos que as pessoas podem fazer para os bancos viabilizarem operações, remunerados sob juros compostos.

Tesouro Direto

Outra opção muito interessante é o Tesouro Direto. Comprando títulos públicos, você empresta ao governo federal por meio do Tesouro Nacional. Esse dinheiro serve como subsídio para projetos de diferentes tipos.

Existe o Tesouro prefixado, no qual a rentabilidade é determinada logo na compra do ativo e o Tesouro pós-fixado, atrelado a um índice. Outra opção é a chamada modalidade híbrida, na qual há o índice IPCA e um valor previamente definido.

Um diferencial do Tesouro é a segurança, uma vez que, como ele é oferecido pelo governo brasileiro, seu risco de crédito é consideravelmente menor do que o de qualquer instituição.

Debêntures

Se os CDBs são títulos negociados por bancos e o Tesouro, pelo governo, as debêntures são títulos de dívida negociadas por empresas privadas. Resumindo, quando você investe seu dinheiro em uma debênture, está se tornando credor de uma companhia, passando a ajudar a financiar suas ações em troca de uma remuneração. Debêntures são interessantes, pois assim como o Tesouro, podem ser pós-fixadas, prefixadas ou híbridas.

Letras de Crédito

Também existem as Letras de Crédito Imobiliário (LCI) e do Agronegócio (LCA), que são títulos emitidos por instituições financeiras para viabilizar projetos em suas respectivas áreas. São opções especialmente interessantes, pois contam com um incentivo do governo brasileiro: a isenção do Imposto de Renda.

Ações

Investir em ações também é uma forma de usar os juros compostos ao seu favor. Pensando a longo prazo e em uma empresa que o investidor escolheu por causa do pagamento mensal de dividendos, os juros compostos aparecem justamente no reinvestimento do lucro dos dividendos nas ações dessa mesma companhia. Funciona assim: quanto mais ações você tiver, mais dividendos serão pagos. Portanto, é sempre interessante pensar quando se recebe uma boa quantia de dividendos. Mas uma coisa é certa: reinvestir os dividendos nas mesmas ações gerarão o efeito dos juros compostos.

Entendeu o que são os juros compostos? Então, saiba também quanto você deve poupar para viver de renda. Abra uma conta na Genial Investimentos para saber os melhores investimentos para fazer o seu dinheiro trabalhar por você!

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O que são Juros Compostos e a sua Importância | Genial Investimentos

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As relações de empréstimo geralmente envolvem juros, que nada mais são do que uma remuneração para quem cedeu o dinheiro. Na prática, os juros justificam o empréstimo, pois permitem que haja rentabilidade na operação. Essa definição é importante para saber o que são juros compostos, pois eles são uma modalidade de juros mais vantajosa para quem concede o empréstimo.