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"Spectre” è un poligono a 13 lati che da solo permette di ricoprire il piano secondo una pavimentazione aperiodica usando solo rotazioni e traslazioni. Questa scoperta compiuta nel 2023 da Smith, Myers, Kaplan e Goodman-Strauss ha risolto l' "einstein problem", estensione della seconda parte del 18° problema di Hilbert:

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Spiegare con una gif. La somma degli angoli esterni di un poligono = angolo giro

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Distanza tra un punto e una retta e proiezione di un punto su una retta

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Distanza tra un punto e una retta e proiezione di un punto su una retta

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Rette parallele tagliate da una trasversale

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Rette parallele tagliate da una trasversale

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Rette parallele tagliate da una trasversale

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Le posizioni di una retta nel piano partendo da situazioni reali (con esercizi da svolgere)

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Il video, adatto ai ragazzi della scuola secondaria di primo grado, riguarda le posizioni di una retta nel piano. Partendo da diverse situazioni reali, sono trattate in modo generale le rette complanari, sghembe, parallele, incidenti, coincidenti e perpendicolari. Il video contiene, inoltre, degli esercizi da svolgere per verificare la comprensione dell'argomento.

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La pagina Wikipedia sul grande matematico

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Euclide (in greco antico: Εὐκλείδης, Eukléidēs; IV secolo a.C. - III secolo a.C.) è stato un matematico e filosofo greco antico. Si occupò di vari ambiti, dall'ottica all'astronomia, dalla musica alla meccanica, oltre, ovviamente, alla matematica. Gli , il suo lavoro più noto, è una delle più influenti opere di tutta la storia della matematica e fu uno dei principali testi per l'insegnamento della geometria dalla sua pubblicazione fino agli inizi del '900.

Euclide è menzionato in un brano di Pappo, ma la testimonianza più importante su cui si basa la storiografia che lo riguarda viene da Proclo, che lo colloca tra i seguaci di Platone, ma più giovane dei discepoli di quest'ultimo.

"Non molto più giovane di loro, Ermotimo di Colofone e Filippo di Mende, Euclide; egli raccolse gli "Elementi", ne ordinò in sistema molti di Eudosso, ne perfezionò molti di Teeteto, e ridusse a dimostrazioni inconfutabili quelli che suoi predecessori avevano poco rigorosamente dimostrato. Visse al tempo del primo Tolomeo, perché Archimede, che visse subito dopo Tolomeo primo, cita Euclide; e anche si racconta che Tolomeo gli chiese una volta se non ci fosse una via più breve degli Elementi per apprendere la geometria; ed egli rispose che per la geometria non esistevano vie fatte per i re. Euclide era dunque più giovane dei discepoli di Platone, ma più anziano di Eratostene e di Archimede che erano fra loro contemporanei, come afferma in qualche luogo Eratostene. Per le idee Euclide era platonico e aveva molto familiare questa filosofia, tanto che si propose come scopo finale di tutta la raccolta degli Elementi la costruzione delle figure chiamate platoniche "

Sul finire del IV secolo a.C., Tolomeo I, allora faraone, sovrano illuminato, puntiglioso e propositivo nei suoi sforzi governativi, istituì ad Alessandria una scuola, chiamata Museo. Chi insegnava in questa scuola era un gruppo di studiosi, tra cui Euclide.

Euclide fu uno degli iniziatori dell'assettamento assiomatico delle teorie matematiche, impegno che venne intrapreso a partire dal suo secolo e che prevede assiomi e teoremi, che sono conseguenza dei primi. Questo modello è applicato a tutte le discipline scientifiche deduttive, come la logica e la matematica, e ha permesso ad esse di appropriarsi di quella metodicità che oggi attribuiamo loro, grazie all'articolazione di principi primi e di risultati da essi derivati. Nonostante i pochissimi precedenti storici della teoria assiomatica in campo matematico e non, va detto che l'assioma in sé è comunque alla base della matematica. Premesso che l'iniziazione a questo tipo di approccio sia un enorme merito da riconoscere al matematico di Alessandria, egli ha proposto un tipo di geometria fondata fortemente sulla teoria assiomatica, mentre, in modo antitetico, molti suoi colleghi contemporanei hanno rifiutato nettamente un tipo di geometria che partisse dagli assiomi.

Per ciò che concerne gli insegnamenti condotti da Euclide nel Museo, egli venne ricordato dai suoi allievi soprattutto per le ampie conoscenze in vari campi e per abilità espositive che hanno fatto di lui uno dei docenti più apprezzati e preparati nella scuola alessandrina. Queste esclusive qualità gli sono state d'aiuto anche nella scrittura della sua grande opera, gli Elementi.

Controversa è la notizia secondo cui sarebbe stato un platonico convinto. Oggi prevale anzi la tendenza a considerare questo giudizio come privo di fondamento e dettato verosimilmente dal desiderio di Proclo di annettere il più grande matematico dell'antichità alla schiera dei neoplatonici a cui lo stesso Proclo apparteneva.

Euclide, cui venne attribuito l'epiteto di στοιχειωτής (compositore degli Elementi), formulò la prima rappresentazione organica e completa della geometria nella sua fondamentale opera: gli , divisa in 13 libri. Di questi, sei concernono la geometria piana elementare, tre la teoria dei numeri, uno (il libro X) gli incommensurabili e gli ultimi tre la geometria solida. Ogni libro inizia con una pagina contenente delle affermazioni che possono essere considerate come una specie di definizioni che servono a chiarire i concetti successivi; esse sono seguite da altre proposizioni che sono invece veri e propri problemi o teoremi: questi si differenziano fra di loro per il modo con cui vengono enunciati e per la frase rituale con cui si chiudono.

Per dare un'idea della complessità di redazione degli Elementi di Euclide, basti pensare all'affermazione che, nell'incipit della parte prima di un suo saggio su Euclide, Pietro Riccardi, studioso del XIX secolo, fa in merito al numero spropositato di edizioni dell'opera euclidea: "Il numero delle edizioni dell'accennata opera di Euclide, e delle traduzioni e riduzioni che ne furono pubblicate col suo nome, è al certo superiore di quanto si possa comunemente congetturare; ed anzi tengo per fermo che non siavi libro di notevole importanza, eccettuata la Bibbia, il quale possa vantare un maggior numero di edizioni e di illustrazioni".

L'opera non passa in rassegna tutte le conoscenze geometriche del tempo, come si era erroneamente supposto, bensì tratta di tutta l'aritmetica cosiddetta elementare, ovvero relativa alla teoria dei numeri, oltre alla "geometria sintetica" (vale a dire un approccio assiomatico della materia), e all'algebra (intesa non nel senso moderno della parola, ma come applicazione della disciplina al campo geometrico).

Questo testo è stato tramandato grazie alla prima ricostruzione che ne fece Teone di Alessandria, che fu tradotta in latino da Adelardo di Bath.

Nel 1270, la traduzione di Adelardo fu riveduta, anche alla luce di altre fonti arabe (a loro volta derivate da altre versioni greche del manoscritto di Teone) da Campano da Novara. Questa versione (o una copia di una copia) venne stampata a Venezia nel 1482.

Successivamente, sono state ritrovate altre versioni greche del manoscritto di Teone e una copia greca che probabilmente è precedente a quella di Teone. La ricostruzione attuale si basa sulla versione del filologo danese J. L. Heiberg risalente al 1880 e su quella dello storico inglese T. L. Heath del 1908. La prima traduzione in lingua cinese dal latino fu opera del gesuita Matteo Ricci, nel 1607.

La prima edizione italiana è dovuta al matematico italiano Federigo Enriques e risale al 1935. Nel 1970 compare nei tipi della UTET un'altra versione italiana, tradotta da Lamberto Maccioni e commentata da Attilio Frajese.

Riguardo ad ulteriori traduzioni in latino, le più antiche sono tutte attestate a cavallo tra il XV e il XVI secolo. Le traduzioni in lingua latina maggiormente accreditate, però, risalgono a XVII e XVIII secolo e, in ordine cronologico, le più avvalorate sono quelle del Barrow (1639), del Borelli (1658), del Keill (1701), del Gregory (1703), e del Simson, considerata una delle, se non la più prestigiosa, tanto da essere tutt'oggi il primo testo di riferimento per i geometri scozzesi (1756). A proposito, invece, della traduzione in italiano, la prima risale al 1543 ed è frutto dell'interpretazione e dell'elaborazione di Nicolò Tartaglia. Più recenti, invece, sono le traduzioni, dei soli libri geometrici, del Viviani, del Grandi e del Flauti (rispettivamente XVII, XVII e XIX secolo).

Secondo alcune fonti, gli Elementi non sono tutta opera del solo Euclide: egli ha raccolto insieme, rielaborandolo e sistemandolo assiomaticamente, lo scibile matematico disponibile nella sua epoca. La sua opera è stata considerata per oltre 20 secoli un testo esemplare per chiarezza e rigore espositivo, e può considerarsi il testo per l'insegnamento della matematica e della precisione argomentativa di maggior successo della storia.
Gli Elementi non sono un compendio della matematica dell'epoca, bensì un manuale introduttivo che abbraccia tutta la matematica "elementare", cioè l'aritmetica (la teoria dei numeri), la geometria sintetica (dei punti, delle linee, dei piani, dei cerchi e delle sfere) e l'algebra (non nel senso moderno dell'algebra simbolica, ma di un equivalente in termini geometrici).
Di quest'opera non ci sono pervenute copie dirette; nella versione che ci è pervenuta, il trattato euclideo si limita a presentare una sobria e logica esposizione degli elementi fondamentali della matematica elementare.
Molte edizioni antiche contengono altri due libri che la critica più recente attribuisce rispettivamente a Ipsicle (II secolo a.C.) e a Isidoro di Mileto (V-VI secolo d.C.).

Nel 1899 David Hilbert si pone il problema di dare un fondamento assiomatico rigoroso alla geometria, ossia di descrivere la geometria euclidea senza lasciare nessun assioma inespresso. Giunge così a definire 28 assiomi, espressi nel suo lavoro Grundlagen der Geometrie (fondamenti di geometria). Molti di questi assiomi sono assunti implicitamente da Euclide negli Elementi: ad esempio, Euclide non dice mai espressamente "esiste almeno un punto esterno alla retta", o "dati tre punti non allineati, esiste un solo piano che li contiene", eppure li utilizza implicitamente in molte dimostrazioni.

Prendendo spunto da Hilbert, e ispirandosi allo spirito di Euclide, la collaborazione di alcuni dei migliori matematici attivi dal 1935 al 1975 riuniti sotto lo pseudonimo Nicolas Bourbaki compone la monumentale opera, Elementi di matematica, in 11 volumi e decine di migliaia di pagine, dando una trattazione assiomatica ai vari rami della matematica. Tuttavia, per il teorema di incompletezza di Gödel, nessuna assiomatizzazione della matematica che contenga almeno l'aritmetica può essere completa.

Non priva di interesse è la singolare edizione che dei primi sei libri degli Elementi di Euclide proporrà l'ingegnere e matematico irlandese Oliver Byrne nel 1847. Nelle intenzioni dell'autore l'utilizzo dei colori per i diagrammi e la ricerca di inediti linguaggi simbolici avrebbe dovuto facilitare la comprensione e il consolidamento delle conoscenze aritmetiche, non aveva cioè uno scopo puramente illustrativo ma didattico. Il risultato, piuttosto eccentrico, è un'autentica opera d'arte che anticipa le avanguardie artistiche del Novecento. "Nessuno di coloro che tengano questo libro tra le mani può sottrarsi al fascino che promana da queste pagine, proprio perché per questa via la comprensione delle più complesse e astratte regolarità matematiche è proposta nella maniera più semplice, come per ora appare, e dimostrata in modo del tutto concreto ad oculos".

Euclide ha avuto un'influenza enorme sulla cultura; in primis, naturalmente, in ambito matematico e geometrico. Riducendo all'osso alcune delle importanti teorie, da lui esposte all'interno degli "Elementi" e ancora oggi oggetto di studi, Euclide definisce tutti gli enti geometrici e aritmetici, partendo dal punto sino ad arrivare alla teoria delle rette parallele. Non si tratta di una costruzione di concetti, ma di una descrizione degli enti, affinché possano essere facilmente riconosciuti attraverso una soddisfacente nomenclatura. Gli enti geometrici, dunque, esistono già; il definirli implica solo il riconoscerli.

La geometria, in origine, non avrebbe dovuto avere a che fare con l'ontologia. In realtà, la documentazione circa i geometri greci è alquanto scarsa, quindi non abbiamo certezze di alcun tipo. Quello che traspare nei secoli successivi, però, è la consapevolezza comune che la geometria euclidea sia principalmente volta a descrivere lo spazio. Immanuel Kant, l'ultimo dei teorici razionalisti, conferma quest'ipotesi, asserendo che la geometria euclidea è la forma a priori della nostra conoscenza dello spazio.

Euclide fu autore di altre opere: i Dati, strettamente legati ai primi 6 libri degli Elementi; i Porismi, in 3 libri, giunti fino a noi grazie al riassunto che ne fece Pappo di Alessandria; i Luoghi superficiali, andato perduto; le Coniche, andato perduto; l' Ottica e la Catottrica, la prima delle quali rappresenta un'opera di valore, poiché è uno dei primi trattati sulla prospettiva, intesa come geometria della visione diretta. All'interno dell' Ottica Euclide propone un'originale teoria sulla visione della realtà, di tipo effusivo o emissivo, secondo cui dall'occhio partono dei raggi che si diffondono nello spazio, fino ad incontrare gli oggetti. Questo tipo di definizione è in netto contrasto con la precedente teoria prospettica di Aristotele, il quale, invece, ipotizzava che vi fosse una linea retta che congiungesse idealmente l'occhio con l'oggetto, permettendo l'azione dell'occhio sull'oggetto stesso. L' Ottica di Euclide aveva, tra i suoi tanti obbiettivi, quello di combattere il concetto epicureo secondo cui le dimensioni di un oggetto erano le medesime che l'occhio percepiva, senza tener conto del rimpicciolimento provocato dalla prospettiva da cui l'oggetto veniva visto.

Ancora, scrisse i Fenomeni, descrizione della sfera celeste; Sezione del Canone e la Introduzione armonica, trattati di musica.

Un'altra considerazione merita la Divisione delle figure, opera pervenutaci grazie ad una salvifica manovra di traduzione ad opera di alcuni scienziati arabi. L'opera originale in lingua greca, infatti, andò perduta, ma prima della sua sparizione fu adoperata una traduzione in arabo che fu a sua volta tradotta in latino e poi ancora nelle maggiori lingue moderne.

Solo nei 13 libri degli Elementi Euclide enuncia e dimostra ben 465 proposizioni o , senza contare i e i . A questi vanno aggiunte le proposizioni contenute in altre opere. I due teoremi che nei manuali scolastici di geometria vanno sotto il nome di primo e secondo teorema di Euclide, sono in realtà dei semplici corollari della Proposizione 8 del VI libro, che nel testo originale è così enunciata:

"Se in un triangolo rettangolo si conduce la perpendicolare dall'angolo retto alla base, i triangoli così formati saranno simili al dato, e simili tra loro"

Quelli che seguono sono invece i due enunciati chiamati "Teoremi di Euclide" nei manuali moderni.

"In un triangolo rettangolo ogni cateto è medio proporzionale tra l'ipotenusa e la sua proiezione sull'ipotenusa"

Lo stesso teorema si può esprimere geometricamente come segue:

"In un triangolo rettangolo il quadrato costruito su un cateto è equivalente al rettangolo che ha per dimensioni la sua proiezione sull'ipotenusa e l'ipotenusa stessa"

La proporzione invece è (con i=ipotenusa, c=cateto e p=proiezione del cateto)

"In un triangolo rettangolo l'altezza relativa all'ipotenusa è medio proporzionale tra le proiezioni dei cateti sull'ipotenusa"

Il secondo teorema può anche essere espresso come:

"In ogni triangolo rettangolo il quadrato costruito sull'altezza relativa all'ipotenusa è equivalente al rettangolo avente i lati congruenti alle proiezioni dei cateti sull'ipotenusa"

La proporzione quindi è (con p1=proiezione del primo cateto, h=altezza relativa all'ipotenusa e p2=proiezione del secondo cateto)

Tutta la geometria di Euclide si poggia su cinque postulati che il matematico Playfair (1795) espose nel seguente modo:

1. È sempre possibile tracciare una retta tra due punti qualunque;

2. È sempre possibile prolungare una linea retta;

3. È sempre possibile costruire una circonferenza di centro e raggio qualunque (ossia è sempre possibile determinare una distanza maggiore o minore);

4. Tutti gli angoli retti sono tra loro congruenti;

5. Data una retta e un punto esterno ad essa esiste un'unica retta parallela passante per detto punto.

Il quinto postulato è conosciuto anche come postulato del parallelismo ed è quello che distingue la geometria euclidea dalle altre, dette non euclidee.

Negando il quinto postulato nella versione data da Playfair possono ottenersi due diverse geometrie: quella ellittica (nella quale non esistono rette passanti per un punto esterno alla retta data ad essa parallele) e quella iperbolica (nella quale esistono almeno due rette passanti per un punto e parallele alla retta data). L'enunciato originale di Euclide (che è dato alla voce quinto postulato) era invece compatibile con la geometria ellittica.

In seguito, Euclide si dedica all'elenco di cinque postulati e cinque nozioni comuni (o assiomi). Aristotele, nella Metafisica, fa una distinzione simile. Il filosofo greco afferma che ci sono delle verità comuni a tutte le scienze, i principi logici universali (come quello di non contraddizione), mentre quelli comuni a più scienze sono meno evidenti e non prevedono l'approvazione dell'allievo, giacché riguardano esclusivamente la disciplina della quale si disquisisce. Qualche secolo dopo alcuni autori confermano la distinzione aristotelica, ma in un altro senso: gli assiomi sono da intendere come qualcosa che veniva accettato, i come qualcosa che doveva essere richiesto. Oggigiorno, invece, i matematici non differenziano in alcun modo i postulati dagli assiomi. Per quanto si può cogliere dagli "Elementi", Euclide definisce i postulati proposizioni primitive che si riferiscono agli enti geometrici prima definiti.

Come detto poc'anzi, in termini moderni siamo soliti chiamare i postulati assiomi, intendendo per enti quelli dati dalla nostra intuizione, i quali sono concepiti come realmente esistenti al di fuori di noi. Sui vocabolari di italiano, alla voce "assioma" è possibile leggere "verità o principio che si ammette senza discussione, evidente di per sé", mentre il "postulato" è una "proposizione che, senza essere dimostrata, si assume, o si richiede all'interlocutore di assumere, come fondamento di una dimostrazione o di una teoria". La valenza del termine "postulato" in relazione alle teorie matematiche è finito in disuso a partire dai primi anni del Novecento, mentre il verbo relativo viene utilizzato ancora oggi per la formulazione di un'ipotesi o di un assunto. È da qui che la parola "assioma" è finita per sostituire "postulato" nel suo significato originario ed è oggi consuetudine dire "assioma" per "postulato" e viceversa. È curioso, comunque, che si continui a parlare di "postulati" di Euclide e non di assiomi quasi a voler creare un legame indissolubile tra Euclide stesso e le sue proposizioni.

Euclide, il I libro degli Elementi. Una nuova lettura, a cura di Lucio Russo, Giuseppina Pirro, Emanuela Salciccia, Collana Frecce, Roma, Carocci, 2017, ISBN 978-88-430-8548-4.

Euclide, Tutte le opere. Testo greco a fronte, a cura di Fabio Acerbi, Collana Il pensiero occidentale, Milano, Bompiani, 2007, ISBN 978-88-452-5975-3.

Euclide, Ottica. Immagini di una teoria della visione, a cura di F. Incardona, Roma, Di Renzo Editore, 1998; ristampa 2011.

Euclide, Gli Elementi, a cura di Attilio Frajese e Lamberto Maccioni, Collana Classici della Scienza n° 14, Torino, UTET, 1970; ristampa 1996. - Collana I Classici del Pensiero n° 43, Milano, Mondadori, 2009.

() Euclide, Gli Elementi d'Euclide e la critica antica e moderna , a cura di Federigo Enriques, traduzione a cura di Maria Teresa Zapelloni, 3 Voll., Bologna, Zanichelli, 1912-1935.

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4. W. Oechslin, ^ The First Six Books of the Elements of Euclid di Oliver Byrne - didattici, colorati e eccentrici, trad. it. di Hagar Spano, in O. Byrne, The First Six Books of the Elements of Euclid, Taschen, Köln 2013².

5. In quest'opera Aristotele anticipa una delle ^ nozioni comuni euclidee: "Se da uguali si tolgono degli uguali, rimangono degli uguali" (Γ 3-8). Giovanni Reale, Aristotele. La Metafisica, Napoli, Loffredo, 1968, pp. 329-357, vol. I.

6. ^ , in Treccani.it - Vocabolario Treccani on line, Istituto dell'Enciclopedia Italiana. URL consultato il 2 aprile 2019.

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Le opere di Euclide , su web.unife.it.

Assiomi della geometria euclidea , su cs.unm.edu.

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Euclide (in greco antico: Εὐκλείδης, Eukléidēs; IV secolo a.C. - III secolo a.C.) è stato un matematico e filosofo greco antico. Si occupò di vari ambiti, dall'ottica all'astronomia, dalla musica alla meccanica, oltre, ovviamente, alla matematica.

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(367 a.C. ca. - 283 a.C.) È considerato il più importante matematico della storia antica e uno dei più importanti e riconosciuti di ogni tempo e luogo. Il V postulato di Euclide (o "Postulato delle parallele") è il postulato più conosciuto fra quelli che il matematico enuncia negli "Elementi", la più importante opera matematica della cultura greca antica.

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Angoli formati da due rette tagliate da una trasversale

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Angoli formati da due rette tagliate da una trasversale

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Videolezione su angoli alterni (interni ed esterni), coniugati (interni ed esterni) e corrispondenti (PowToon)

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Videolezione su rette parallele e postulato delle parallele di Euclide (PowToon)

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Distanza, proiezione  e asse di un segmento

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Distanza, proiezione  e asse di un segmento

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Videolezione su distanza di un punto da una retta, proiezione di un segmento su una retta, asse di un segmento (PowToon)

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Videolezione su rette coincidenti, incidenti e perpendicolari (PowToon)

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