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내가 발표하고자 하는 주제의 제목을 적어요.

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찾은 자료의 출처를 적습니다.
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자세히 작성해요.

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제목:전 국민을 코로나 진단키트로 검사하지 않는 수학적 이유

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제목:전 국민을 코로나 진단키트로 검사하지 않는 수학적 이유

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1년 동안 생명체 X는 모두 몇 쌍이 될까?

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LG사이언스랜드>과학이야기>모두의 수학>1년 동안 생명체 X는 모두 몇 쌍이 될까?

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https://www.lgsl.kr/sto/stories/60/STOR2021050001

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<풀이>
그림을 그려서 문제의 뜻을 생각해 보자.

이번엔 좀더 간단하게 표로 정리해서 규칙을 찾아보자.

5월에는 어른 X 2쌍이 각각 새끼를 생성하고 새끼는 다시 어른이 되므로 어른 3쌍과 새끼 2쌍이 된다. 여기까지를 바탕으로 규칙을 찾아보면,

3월은 1+1

4월은 1+2

5월은 2+3이 된다.

즉 바로 앞에 오는 두수의 합 을 구하면 된다는 것을 알 수 있다. 바로 전 달의 X는 모두 어른이 되므로 전달의 X수를 어른으로, 전전달의 X쌍의 수를 새끼 수(생성된 지 한 달이 지나 새끼를 생성 가능하므로)로 더하면 되는 것이다.

지금까지 규칙을 바탕으로 12월까지 정리해 보자.

이 문제는 "피보나치 수열"에 관한 문제이다. 이탈리아 수학자 피보나치(Fibonacci)가 발견한 수열로 처음 두 항을 1과 1로 한 후, 다음 항부터는 바로 앞의 두 개의 항을 더해 만드는 수열을 말한다. 이 수열에 속한 수 1, 1, 2, 3, 5, 8과 같은 수를 피보나치 수라 한다.

이번에는 피보나치 수열과 관련된 다른 문제도 풀어 보자.
<도전 문제>
아래 그림과 같이 두 줄로 연속된 벌집이 있다. 첫 번째 방을 출발한 벌이 벌집을 기어서 마지막 방(Q)으로 옮겨 가는 방법은 몇 가지일까? (단, 되돌아갈 수 없다.)
<풀이과정>
첫째. 방이 한 개일 때 벌이 움직일 방법은? (1가지)

둘째. 방이 두 개일 때 벌이 움직일 방법은? (2가지)

셋째. 방의 개수가 세 개일 때 벌이 움직일 방법은? (3가지)

넷째. 방의 개수가 네 개일 때 벌이 움직일 방법은? (5가지)

다섯째. 방의 개수가 다섯 개일 때 벌이 움직일 수 있는 방법은? (8가지)

벌이 움직일 수 있는 가짓수 1, 2, 3, 5, 8을 살펴보면 피보나치 수열이라는 것을 알 수 있다.
<정답>

따라서 총 17개의 방을 움직일 수 있는 가짓수를 구하면 2,584개가 있다.

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1년 동안 생명체 x는 모두 몇 쌍이 될까?

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과학이야기 > 모두의 수학 > 1년 동안 생명체 X는 모두 몇 쌍이 될까? | LG사이언스랜드 | STOR2021050001

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그림을 그려서 문제의 뜻을 생각해 보자. 이번엔 좀더 간단하게 표로 정리해서 규칙을 찾아보자. 5월에는 어른 X 2쌍이 각각 새끼를 생성하고 새끼는 다시 어른이 되므로 어른 3쌍과 새끼 2쌍이 된다. 여기까지를 바탕으로 규칙을 찾아보면, 3월은 1+1 4월은 1+2 5월은 2+3이 된다. 즉 바로 앞에 오는 두수의 합 을 구하면 된다는 것을 알 수 있다.

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소수

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수학자가 말하는 수학을 포기하면 안되는 이유

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출처: 유튜브 위니버스

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출처: 유튜브 위니버스

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네이버TV 수학백과

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소수 (naver.com)

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바코드 속에 적용된 일차방정식

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유튜브 EBS다큐 채널 - 일차방정식의 활용

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수학을 배워 어디에 쓰냐 묻는 사람들에게..

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수학을 배워 어디에 쓰냐 묻는 사람들에게..

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EBS 클립뱅크(Clipbank) - 일차방정식의 활용(Using Linear Equations)

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유뷰트 > 어쩌다  어른 > 박형주 소장 #05 | 생존 신호, 위작과 지문 감별... 수학을 배워서 어디에 쓰냐고 묻는 사람들에게

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유뷰트 > 어쩌다  어른 > 박형주 소장 #05 | 생존 신호, 위작과 지문 감별... 수학을 배워서 어디에 쓰냐고 묻는 사람들에게

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박형주 소장 #05 | 생존 신호, 위작과 지문 감별... 수학을 배워서 어디에 쓰냐고 묻는 사람들에게 | #어쩌다어른 #사피엔스 | CJ ENM 160825 방송

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부등식

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네이버tv 수학백과

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http://naver.me/xoro8xLO

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수학으로 이해하는 코로나 19예측과 집단면역

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3x3 마방진 채우기

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파이가 3.14...임을 증명하기

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사람들이 수학을 포기하는 이유

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유튜브>>유니버스>>수학으로 이해하는 코로나 예측과 집단면역

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유튜브-205와 엔트리: 파이가 3.14...임을 증명하는 영상

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전 국민을 코로나 진단키트로 검사하지 않는 수학적 이유 | 조건부확률

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수학 난제 (페르마의 정리)

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흥미로운 수학사실과 수학문제

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뫼비우스의 띠에 관한 비밀

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수학으로 이해하는 코로나 19 예측과 집단면역 (R0, 기초감염재생산수) [유튜브 자막]

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유튜브> 안될과학> 페르마의 마지막, 한방 정리!

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유투브 은근한 잡다한 지식

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스토리텔링 책의 29~33쪽

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출처 ( 유튜브-백수- 숫자와 수학에 관한 10가지 이야기)

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출처 ( 유튜브-백수- 숫자와 수학에 관한 10가지 이야기)

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숫자와 수학에 관한 10가지 이야기 │ 백수 - YouTube

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숫자와 수학에 관한 10가지 이야기 │ 백수

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에너지 산업과 수학

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https://youtu.be/3c4Sq2F6o8M

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페르마의 마지막, 한 방 정리! [안될과학-긴급과학]

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사람들이 수학을 포기하는 이유

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유튜브 YTN 사이언스 에너지 산업과 수학

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지뢰찾기

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수학동아 2020년 10월호

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[#문제적남자] 서울대생도 못 푸는 문제 12학번 타일러는 과연?? 뇌풀기 문제 쭉쭉 푸는 문남들 모음 (ft.공부할 때 염색금지) | #Diggle - YouTube

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[#문제적남자] 서울대생도 못 푸는 문제 12학번 타일러는 과연?? 뇌풀기 문제 쭉쭉 푸는 문남들 모음 (ft.공부할 때 염색금지) | #Diggle

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유튜브>>[지식in]뫼비우스의 띠
네이버>>수학산책>>뫼비우스의 띠

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스도쿠의 관한 것

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[지식in] 뫼비우스의 띠

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아래 그림은 재활용을 상징하는 마크의 모습이다. 자세히 보면 뫼비우스의 띠(Möbius strip) 모양을 하고 있다. 왜 재활용 마크로 뫼비우스의 띠를 사용하고 있을까? 뫼비우스 띠는 몇 가지 흥미로운 성질을 가지고 있는데, 가장 특징적인 것은 어느 지점에서나 띠의 중심을 따라 이동하면 출발한 곳과 정반대 면에 도달할 수 있고, 계속 나아가 두 바퀴를 돌면 처음 위치로 돌아온다는 점이다.

이 때문에 재활용 마크로 뫼비우스 띠를 사용하고 있는 것이다. 이렇게 보면, 이미 사용한 자원도 다시 사용할 수 있다는 재활용을 상징하는 것으로 뫼비우스의 띠보다 나은 것을 찾기도 어려운 것 같다.

뫼비우스 띠는 수학의 기하학과 물리학의 역학이 관련된 곡면으로, 경계가 하나밖에 없는 2차원 도형이다. 즉, 안과 밖의 구별이 없다. 이 띠는 1858년에 뫼비우스(August Ferdinand Möbius)와 요한 베네딕트 리스팅(Johann Benedict Listing)이 서로 독립적으로 발견했다.

이 띠를 만든 뫼비우스는 대중적인 천문학 논문인 '핼리혜성과 천문학의 원리'뿐만 아니라 정역학, 천체역학과 다양한 많은 수학적 논문을 발표한 천문학교수였는데, 오늘날 그는 뫼비우스 띠로 더 유명하다.

종이를 길게 잘라서 띠를 만든 후 종이 띠의 양 끝을 그냥 풀로 붙이면 도넛 모양의 토러스가 되는데, 한번 꼬아 붙이면 뫼비우스 띠가 된다.

이 꼬임으로 띠는 특별한 성질을 가지게 된다. 종이를 잘라 띠를 만든 후 그 띠를 한 번 꼬아서 붙이면 다음 그림과 같이 모서리 AD의 화살표와 모서리 CB의 화살표가 같은 방향으로 가는 하나의 화살표가 된다. 즉 꼭짓점 A는 꼭짓점 C, 꼭짓점 D는 꼭짓점 B와 일치하게 된다.

이런 뫼비우스 띠를 수학적으로 표현하면 어떻게 될까? 3차원 실공간 R ³ 에서 뫼비우스 띠는 두 매개변수 u, v(0≤u≤2π, -1≤v≤1)를 이용하여 다음과 같은 매개변수방정식으로 나타낼 수 있다.

위의 매개변수방정식을 그래프로 나타내면 오른쪽 그림과 같은 3차원 공간의 xy-평면위에 중심이 원점에 있고 반지름과 폭이 1인 뫼비우스 띠가 된다. 두 개의 변수 가운데 u는 뫼비우스 띠를 돌고, v는 모서리 사이를 움직인다.

뫼비우스 띠는 직교좌표계가 아닌 다른 좌표계를 이용하여 표현할 수도 있다. 공간에서 좌표계 하면 보통 세 개의 실수축이 서로 직교하는 직교좌표계를 생각한다. 물론 고등학교까지는 직교좌표계만 배운다.

그러나 대학에서는 또 다른 두 개의 좌표계가 등장하는데, 하나는 구의 특성을 이용한 구면좌표계(spherical coordinate system)이고 다른 하나는 원기둥의 특성을 이용한 원주좌표계(cylindrical coordinate system)이다.

구면좌표계는 3차원 공간상의 점을 나타낼 때 (r, θ, φ) 로 나타낸다. r은 원점에서 점까지의 거리, θ는 z축의 양의 방향과 이루는 각도, φ는 x축의 양의 방향과 이루는 각도이다. 원주좌표계는 3차원 공간상의 점을 나타낼 때 (ρ, φ, z) 로 나타낸다.

ρ은 z축에서 점까지의 거리, φ는 x축의 양의 방향과 이루는 각도, z는 xy-평면에서의 높이이다. 기회가 된다면 세 가지 좌표계에 관하여 자세히 소개하겠다. 어쨌든, 원주좌표계를 이용하면 뫼비우스 띠는 다음과 같이 표시할 수 있다.

뫼비우스 띠는 원상태로 돌아가 힘의 평형 상태를 유지하는 독특한 형태의 꼬인 부분이 있다. 직선이 운동할 때 생기는 곡면인 '가전면(可展面, developable surface)'을 수학 적으로 해석하는 것이 뫼비우스 띠의 모습을 예측하는 핵심이다.

이와 관련된 연구가 1930년에 처음 있었으나 그 규칙에 대해서는 지금까지 알려져 있지 않았다. 그로부터 77년이 지난 2007년 영국의 과학자들이 뫼비우스 띠를 만들 때 직사각형 모양의 띠의 폭과 길이의 비율에 따라 에너지 밀도가 달라지며, 띠의 모양에 영향을 준다는 사실을 밝혀냈다.

뫼비우스 띠를 역학적으로 연구한 것은 이것이 처음이며, 에너지 밀도는 띠를 접었을 때 재질 전체에 생기는 탄력에너지로 접힘이 심한 곳에서 가장 높고 평평하게 펴진 곳에서 가장 낮게 나타난다고 한다.

결국 연구팀은 자연계에서 뫼비우스 띠가 실제로 나타나는 모양의 비밀을 수학으로 풀어낸 것이다. 그리고 이 결과는 뫼비우스 띠처럼 꼬인 물체의 잘 찢기는 부분을 예측하거나 화학, 양자물리학과 나노테크놀로지를 이용해 새로운 약이나 구조를 만드는 분야에 다양하게 활용될 수 있다.

4 뫼비우스의 띠에 관한 연구를 첨단과학에도 응용할 수 있어

단순한 흥밋거리로만 알고 있었던 뫼비우스 띠가 매우 복잡한 수학을 이용하여 비밀이 풀렸고, 이를 첨단산업에 활용할 수 있다는 것이 새삼 놀랍다. 여러분도 주위를 유심히 살펴 아무리 사소한 것이라도 미래를 이끌 첨단 과학을 찾아보기 바란다.

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아래 그림은 재활용을 상징하는 마크의 모습이다. 자세히 보면 뫼비우스의 띠(Möbius strip) 모양을 하고 있다. 왜 재활용 마크로 뫼비우스의 띠를 사용하고 있을까? 뫼비우스 띠는 몇 가지 흥미로운 성질을 가지고 있는데, 가장 특징적인 것은 어느 지점에서나 띠의 중심을 따라 이동하면 출발한 곳과 정반대 면에 도달할 수 있고, 계속 나아가 두 바퀴를 돌면 처음 위치로 돌아온다는 점이다.

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[티비냥] 숫자 하나만 옮겨서 수식을 완성 시켜라❗ 대한민국 vs 싱가포르 글로벌 대항전의 첫 문제 | #문제적남자 190218

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오일러각으로 각도를 표현하는 방법

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네이버 수학산책

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http://naver.me/Fwn6d6EG

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스도쿠 라는 수학 퍼즐이 있다. 스도쿠는 전세계적으로 인기를 끌고 있어 다양한 컴퓨터, 휴대폰 게임으로도 만들어질 정도로 인기가 있다. 이 스도쿠를 수학자가 만들었다고 하던데, 어떤 사람일까? 그리고 스도쿠의 수학적 원리는 무엇일까? 스도쿠를 쉽게 푸는 수학적 원리 같은 게 있을까 한번 알아보자.

스도쿠는 가로 세로 9칸인 정사각형 모양의 빈 칸에 1부터 9까지 아홉 개의 숫자를 적당히 넣어 다음 세 조건을 만족하게 하는 것이다.

1. 어떤 가로줄에도 같은 숫자가 나타나지 않는다. 바꿔 말하면, 어떤 가로줄에도 1부터 9까지 아홉 개의 숫자가 모두 나타난다.
2. 어떤 세로줄에도 같은 숫자가 나타나지 않는다. 즉, 어떤 세로줄에도 아홉 개의 숫자가 모두 나타난다.
3. 굵은 테두리를 두른, 가로 세로 3칸인 작은 정사각형에도 같은 숫자가 나타나지 않는다. 즉, 아홉 개의 숫자가 모두 나타난다.

아래는 스도쿠 문제의 사례이다.

스도쿠(sudoku)라는 이름은 數獨(수독), 즉 외로운 숫자라는 뜻의 한자어를 일본식으로 읽은 것이다. 당연한 일이겠지만, 이 이름은 일본에서 지은 것이다. 그렇다면 스도쿠를 만든 사람도 일본인일까?

스도쿠가 처음 등장한 것은 1979년으로, 미국의 퍼즐 잡지인 델지(Dell magazine)에 Number Place라는 제목으로 실린 것이 인쇄 상태로는 최초의 것이다. 이 퍼즐은 하워드 간즈(Howard Garns)가 창안한 것으로 알려져 있다.

이 새로운 퍼즐은 이후 일본에 전해져 "숫자는 혼자로 제한된다 (数字は独身に限る)"라는 긴 이름으로 소개되었다. 일본의 퍼즐 잡지인 니코리(ニコリ)의 카지 마키(鍜治 真起) 회장은 이 긴 이름을 數獨으로 줄여서 세상에 내놓았고, 이후 전세계에 스도쿠 열풍이 불어닥쳤다.

스도쿠의 창안자는 하워드 간즈이지만, 이것을 상품화하여 세계적으로 유행하게 만든 데는 카지 마키의 공이 커서, 그는 "스도쿠의 아버지"라는 별명으로 불리기도 한다. 물론 그는 자신이 스도쿠를 창안했다고 주장한 적이 없으니, 일본이 독도에 이어 스도쿠까지 넘본다는 걱정은 할 필요없다.

하워드 간즈나 카지 마키는 뛰어난 퍼즐 작가이기는 하지만 수학자라고는 할 수 없다. 스도쿠를 만든 사람이 수학자라는 말은 어디서 나온 것일까?

수학의 역사에는 손꼽히는 천재들이 많은데, 18세기 최고의 수학자라면 단연 스위스의 오일러( Leonhard Euler, 1707-1783)라 할 수 있다. 그는 17세기에 개발된 미적분학을 최고의 수준으로 발전시켰을 뿐 아니라, 선대 수학자들은 생각지도 못했던 새로운 분야를 개척하여 수학의 수준을 한 단계 끌어올린 위대한 인물이었다.

오일러는 "해석학의 화신"이라는 별명이 있을 정도로 미적분학 분야에 뛰어난 수학자였지만, 한편으로 그는 지금은 조합론(combinatorics)이라 부르는 분야에서도 많은 업적을 남겼다.

그가 연구했던 주제 가운데 라틴 방진(Latin square)이라 불리는, 특수한 규칙에 따라 숫자를 배열하는 문제가 있다. 이것은 가로 세로 n개의 칸으로 이루어진 정사각형의 각 칸에 1부터 n까지의 수를 넣어, 가로와 세로 어느 쪽으로도 같은 수가 나오지 않게 하는 것으로, 바로 스도쿠의 세 가지 규칙 가운데 첫 번째와 두 번째에 해당한다.

다시 말해, 스도쿠는 가로와 세로가 아홉 개의 칸으로 이루어진 라틴 방진, 즉 9차 라틴 방진이다. 오일러가 라틴 방진에 대해 여러 가지 재미있는 결과들을 얻었기에, 수학자가 스도쿠를 만들었다는 말도 아주 틀린 말은 아닌 셈이다.

다만 원래 수학자란 존재는 자신의 발견으로 돈을 버는 데 익숙하지 않은 법이어서, 20세기가 될 때까지 라틴 방진은 수학자들 사이에서만 알려져 있을 뿐, 이것을 퍼즐로 만들 생각은 아무도 하지 못하였다. 오일러를 스도쿠의 창안자라고 할 수는 없더라도, "스도쿠의 할아버지" 정도로는 생각할 수 있지 않을까?

스도쿠는 9차 라틴 방진에 가로 세로 3칸인 작은 정사각형 9개에 대한 규칙을 추가한 것이다. 스도쿠의 조건을 만족하는 배열을 "스도쿠 방진"으로 부르자. 이제 자연스러운 질문은 스도쿠 방진이 몇 가지나 될지, 그리고 라틴 방진 전체에 비해 어느 정도의 비율이 될지를 묻는 것이다.

수학자 펠겐하우어(Bertram Felgehauer)와 자비스(Frazer Jarvis)는 스도쿠 방진으로 가능한, 그야말로 모든 경우의 수를 구하였는데, 그 값은 다음과 같다.

한편 9차 라틴 방진의 개수는 다음과 같다.

두 값을 비교해 보면 9차 라틴 방진에 대한 스도쿠 방진의 비율은 100만 분의 1 정도밖에 되지 않는다. 스도쿠 방진의 개수가 대단히 많지만, 이것은 좌우를 뒤집거나 전체를 회전하거나 1과 2의 자리를 맞바꾸는 등의 방법을 일일이 다 센 것이다.

적당히 변형하여 같은 방진이 되는 경우를 하나로 세기로 한다면 스도쿠 방진의 개수는 대폭 줄어든다. 그 개수는 다음과 같다.

줄었다고는 하지만 본질적으로 다른 스도쿠 방진이 54억 개가 넘는 셈이니, 스도쿠 문제가 더 이상 만들어지지 않을까 걱정할 필요도 없고, 스도쿠 문제를 모조리 풀어보겠다는 무모한 도전을 할 필요도 없다.

스도쿠는 처음 몇 개의 칸에 숫자를 주고서 나머지 칸을 규칙에 따라 채우는 것이다. 당연한 일이지만, 처음에 아무렇게나 숫자를 주어서는 칸을 채울 수 없는 경우가 있다.그러니 스도쿠를 푸는 것이 쉬운 일이 아니지만, 만드는 것도 쉬운 일이 아니다.

또, 어떤 스도쿠는 처음에 공개하는 숫자가 아주 많으면서도 둘 이상의 풀이가 존재하기도 한다. 다음 그림의 왼쪽은풀 수 없는사례이며, 오른쪽은 풀이가 2개 존재하는 사례이다.

이런 이유로 스도쿠는 유일한 풀이가 존재하도록 만드는 것이 원칙이다. 그렇다고 처음부터 너무 많은 숫자를 공개하면 푸는 재미가 줄어들어서, 되도록 적은 힌트를 주는 쪽이 더 어렵고 멋진 문제라고 할 수 있다.

스도쿠에 대한 미해결 문제 가운데 가장 유명한 것도 이에 관한 것이다. 즉, 유일한 풀이가 가능하도록 공개할 수 있는 숫자는 최소 몇 개가 가능하겠냐는 것이다. 현재 알려져 있는 최솟값은 17로 다음이 그 한 예이다.

17개의 숫자만 공개되어 있을 때 유일한 풀이가 존재하는 스도쿠 문제는 현재 48826개가 알려져 있지만, 16개의 숫자가 주어진 스도쿠 문제는 하나도 알려져 있지 않다. 그러나 이런 압도적인 증거에도 불구하고, 16개의 숫자면 충분한 스도쿠 문제가 단 하나라도 존재하면 17은 최솟값이 될 수 없다.

스도쿠의 묘미는 간단한 규칙으로 이루어져 있으면서도 푸는 것이 간단치 않은 데 있다고 할 수 있으니, 스도쿠를 간단히 푸는 방법을 찾는다는 것은 뭔가 모순된 상황이다. 어떤 알고리듬에 따라 해결하는 문제가 얼마나 쉽게 풀리는지를 설명하는 방법 가운데 하나가 복잡도(complexity)이다.

스도쿠는 복잡도에 따른 분류에서 NP-완전 문제임이 증명되어 있다. NP-완전 문제란 모든 경우의 수를일일히 확인해 보는 것 외에 뾰족히 푸는 방법이 없는 문제를 말한다. 따라서, 아무리 최첨단 수학 이론을 쓴다고 해도, 스도쿠를 한 방에 푸는 방법은 사실상 없다고 할 수 있다.

그러니 스도쿠를 푸는 기본 요령에 따라 열심히 풀어 보는 방법밖에 없다. 뭔가 놀라운 수학적 방법이라도 있을 것으로 기대한 분이 있다면 실망을 안겨드려 죄송하다. 그러나 세상 일이란 게 원래 그런 거 아니겠나.

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스도쿠라는 수학 퍼즐이 있다. 스도쿠는 전세계적으로 인기를 끌고 있어 다양한 컴퓨터, 휴대폰 게임으로도 만들어질 정도로 인기가 있다. 이 스도쿠를 수학자가 만들었다고 하던데, 어떤 사람일까? 그리고 스도쿠의 수학적 원리는 무엇일까? 스도쿠를 쉽게 푸는 수학적 원리 같은 게 있을까 한번 알아보자. [ 스도쿠란 어떤 것일까?

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네이버 tv 수학백과

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http://naver.me/xMxAg7dX

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주제 '방정식'으로 만든 파도 CG

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주제 '방정식'으로 만든 파도 CG

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https://youtu.be/RsqHxtFiH7s

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'방정식'으로 만든 파도…CG 기술에 숨은 수학 / YTN 사이언스

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공간에 대한 새로운 해석  위상수학

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네이버 수학백과, 네이버 IT용어 사전

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https://youtu.be/6pIVMY5ioLE

유튜브 어쩌다어른 사피엔스

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박형주 소장 #06 | 수학자가 말하는 '수포'하면 안 되는 이유 | #어쩌다어른 #사피엔스 | CJ ENM 160825 방송