# data[].attributes.attachment_caption
Из книги Васильева А. В. Целое число. — 1919

# data[].attributes.body
1758 год
При работе над теорией чисел Эйлер применял знания по геометрической прогрессии
(Васильев А. В. Целое число. — 1919)

# data[].attributes.body
18 век
Николай Гаврилович Курганов
(Галанин Д. Д. История методических идей по арифметике в России. — 1915)

# data[].attributes.body
1489 год
В книге  Иоганна Видмана "Быстрый и приятный счёт для всех торговцев" есть формула суммы членов геометрической прогрессии.
(Фаццари Г. Краткая история математики с древнейших времен кончая средними веками. — 1923 )

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
Иоганн Видман ( нем. Johannes Widmann, около 1460, Эгер - около 1505, Лейпциг) - немецкий математик. Получил известность тем, что первым употребил и опубликовал современные знаки плюса и минуса. В некоторых документах его фамилия передаётся как Johannes Weidemann.

О его жизни известно немного. В 1480-е годы Видман окончил Лейпцигский университет, в котором затем стал преподавателем математики. Его главный труд, в котором впервые появились знаки плюса и минуса для операций сложения и вычитания, назывался "Быстрый и приятный счёт для всех торговцев" ( нем. Behende und hubsche Rechenung auff allen Kauffmanschafft), опубликован в Лейпциге в 1489 году. Книга эта содержала богатый практический материал и долгое время пользовалась спросом.

# data[].attributes.attachment_link.title
Видман, Иоганн - Википедия

# data[].attributes.attachment_link.description
Иоганн Видман ( нем. Johannes Widmann, около 1460, Эгер - около 1505, Лейпциг) - немецкий математик. Получил известность тем, что первым употребил и опубликовал современные знаки плюса и минуса. В некоторых документах его фамилия передаётся как Johannes Weidemann. О его жизни известно немного. В 1480-е годы Видман окончил Лейпцигский университет, в котором затем стал преподавателем математики.

# data[].attributes.location_name
Шотландия, Великобритания

# data[].attributes.headline
Шотландия, Великобритания

# data[].attributes.subject
Шотландия, Великобритания

# data[].attributes.body
17 век
Основное свойство логарифма Непера: если величины образуют геометрическую прогрессию, то их логарифмы образуют прогрессию арифметическую.

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
Джон Не́пер ( англ. John Napier ['neɪpɪə]; 1550- 1617) - шотландский математик, один из изобретателей логарифмов, первый публикатор логарифмических таблиц, астроном. 8-й лэрд Мерчистона из клана Непер.

Подробности жизни учёного известны главным образом из книги "Биография Джона Непера из Мерчистона, его родословная, жизнь и время, с историей изобретения логарифмов", написанной его потомком Марком Непером (1798-1879).

6-й лэрд Александр Непер, дед учёного, погиб в битве при Пинки (1547 год), и замок перешёл к его старшему сыну, 14-летнему Арчибальду (1534-1608). Спустя два года Арчибальд Непер женился на Дженет Босуэлл (Janet Bothwell). Их сын Джон Непер появился на свет в 1550 году в родовом замке Мерчистон, который его предки воздвигли в XV веке. Замок (строго говоря, башня) защищал юго-западные окрестности Эдинбурга. После Джона в семье родились ещё двое детей: младший сын Фрэнсис и дочь Дженет. Отец Арчибальд был образованным человеком, хорошо знал латынь, с 1576 года руководил финансами Шотландии (в должности "мастер Монетного двора").

В декабре 1563 года неожиданно умерла мать, Дженет Непер. Отец решил отправить 13-летнего Джона в Сент-Эндрюсский университет. В этот период Непер совершил путешествие по Германии, Франции и, возможно, Италии. Историки предполагают, что в ходе путешествия Непер продолжал своё обучение, в частности, он мог общаться с такими крупными учёными, как Симон Стевин, Франсуа Виет и Михаэль Штифель.

Непер вернулся на родину в 1571 году, поселился в своем родном замке и затем уже никогда не оставлял Шотландии. В 1572 году он женился на Элизабет Стирлинг, у них родились сын Арчибальд и дочь Джоан. В 1579 году Элизабет умерла, и Непер женился вторично на её троюродной сестре Агнес. Во втором браке у него родились десять детей: пять сыновей и пять дочерей.

Как раз в этот период (1560 год) в Шотландии после ожесточённой борьбы совершилась протестантская Реформация. Страна переживала религиозный подъём, противостоя одновременно попыткам католической реставрации и давлению соседней англиканской церкви. Непер, искренне верующий пуританин, посвящал всё своё время занятиям богословием, астрологией и связанными с последней математическими расчётами. По его собственным словам, истолкование библейских пророчеств всегда составляло главный предмет его занятий, математика же служила для него только отдыхом.

Тем не менее Непер вошёл в историю как изобретатель замечательного вычислительного инструмента - логарифмов. Это открытие вызвало гигантское облегчение труда вычислителя. Кроме того, оно привело к появлению новой трансцендентной функции и показало пример решения дифференциального уравнения. Лаплас говорил, что Непер своим изобретением "продлил жизнь астрономов", упростив и ускорив их вычисления.

В 1588 году Джон Непер был избран делегатом шотландского парламента (Генерального Собрания) от эдинбургской пресвитерианской общины.

В начале 1617 года Непер тяжело заболел и 4 апреля скончался.

Потребность в сложных расчётах в XVI веке быстро росла. Значительная часть трудностей была связана с умножением и делением многозначных чисел. В ходе тригонометрических расчётов Неперу пришла в голову идея: заменить трудоёмкое умножение на простое сложение, сопоставив с помощью специальных таблиц геометрическую и арифметическую прогрессии, при этом геометрическая будет исходной. Тогда и деление автоматически заменяется на неизмеримо более простое и надёжное вычитание.

Можно с большой вероятностью предполагать, что Непер был знаком с книгой "Arithmetica integra" Михаэля Штифеля, в которой нашла своё выражение идея логарифма: сопоставить умножению в одной шкале (базовой) сложение в другой шкале (логарифмической). Штифель, впрочем, не приложил серьёзных усилий для реализации своей идеи.

В 1614 году Непер опубликовал в Эдинбурге сочинение под названием "Описание удивительной таблицы логарифмов" ( лат. Mirifici Logarithmorum Canonis Decriptio, 56 страниц текста и 90 страниц таблиц). Там было краткое описание логарифмов и их свойств, а также семизначные таблицы логарифмов синусов, косинусов и тангенсов для углов от 0° до 90°, с шагом 1′. Немного позже и независимо от Непера таблицу логарифмов опубликовал швейцарский математик Йост Бюрги, однако таблицы Непера были практичнее и удобнее в пользовании.

В предисловии к этой книге Непер писал:

Убедившись в том, что нет ничего другого... что вызывало бы бо́льшие трудности в математической практике, а также мешало и досаждало бы вычислителям, чем умножение, деление, извлечение квадратных и кубических корней, каковые операции помимо утомительной траты времени являются основным источником многочисленных ошибок, я начал размышлять над тем, каким надёжным и лёгким способом я мог бы устранить эти препятствия. И, обдумывая различные средства, пригодные для достижения этой цели, я, наконец, нашёл замечательные короткие правила, которыми можно будет пользоваться в дальнейшем. Среди всех этих правил нет более полезных, чем те, что... исключают из вычислений числа, которые должны быть перемножены, разделены или превращены в корни, и на их месте ставят другие числа, с помощью которых все вычисления выполняются только сложением, вычитанием или делением на два или три.

Сочинение Непера разделено на 2 книги, из которых первая посвящена логарифмам, а вторая - плоской и сферической тригонометрии, причём вторая часть одновременно служит практическим пособием по первой. Более развёрнутое описание содержалось в другом труде, изданном посмертно его сыном; там же Непер пояснил, как он составлял свои таблицы. Понятия функции тогда ещё не было, и Непер определил логарифм кинематически, сопоставив равномерное и логарифмически замедленное движение. В современной записи модель Непера можно изобразить дифференциальным уравнением dx/ x = − dy/ M, где M - масштабный множитель, введённый для того, чтобы значение получилось целым числом с нужным количеством знаков (десятичные дроби тогда ещё не нашли широкого применения). Непер взял M = 10 000 000.

Строго говоря, Непер табулировал не ту функцию, которая сейчас называется логарифмом. Если обозначить его функцию LogNap( x), то она связана с натуральным логарифмом (ln) следующим образом:

Очевидно, LogNap( M) = 0, то есть логарифм "полного синуса" есть нуль - этого и добивался Непер своим определением. LogNap(0) = ∞.

Основное свойство логарифма Непера: если величины образуют геометрическую прогрессию, то их логарифмы образуют прогрессию арифметическую. Однако правила логарифмирования для неперовой функции отличались от правил для современного логарифма, например

Все значения таблицы Непера, как оказалось, содержали вычислительную ошибку после шестого знака. Однако это не помешало новой методике вычислений получить широчайшую популярность, составлением и уточнением логарифмических таблиц занялись многие европейские математики, включая Кеплера. Книга Непера переиздавалась 5 раз и была переведена на многие языки мира.

В 1615 году Непера посетил оксфордский профессор математики Генри Бригс. Непер уже был болен, поэтому не смог усовершенствовать свои таблицы, однако дал Бригсу рекомендации видоизменить определение логарифма, приблизив его к современному. Бригс опубликовал свои таблицы в год смерти Непера (1617). Они уже включали десятичные, а не натуральные, логарифмы, и не только синусов, но и самих чисел (от 1 до 1000, с 14 знаками). Логарифм единицы теперь, как положено, был равен нулю. Но и в таблицах Бригса обнаружились ошибки. Первое безошибочное издание на основе таблиц Георга Веги появилось только в 1857 году в Берлине (таблицы Бремикера).

В 1620-е годы Эдмунд Уингейт и Уильям Отред изобрели первую логарифмическую линейку, до появления карманных калькуляторов - незаменимый инструмент инженера.

Современное определение логарифмирования - как операции, обратной возведению в степень - впервые появилось у Валлиса и Иоганна Бернулли, а окончательно было узаконено Эйлером в XVIII веке. Эйлеру принадлежит и заслуга распространения логарифмической функции на комплексную область.

Немалую популярность получил придуманный Непером оригинальный прибор для быстрого умножения - палочки Непера. Важным вкладом в сферическую тригонометрию стали открытые им " формулы аналогии Непера". В указанном выше сочинении 1614 года Непер сформулировал метод упрощённого получения всех основных соотношений в прямоугольном сферическом треугольнике, математически обоснованный в 1765 году с помощью звёздчатого пятиугольника Ламбертом и ныне известный в сферической тригонометрии как мнемоническое правило Непера. Непер изобрёл также гидравлический винтовой насос оригинальной конструкции для выкачивания воды из угольных шахт, который запатентовал в 1597 году.

Помимо математики, Непер занимался астрономией, астрологией и богословием. Его толкование Апокалипсиса: "Простое объяснение всех откровений св. Иоанна" ( англ. A plaine discovery of the whole revelation of S. John etc.) вышло в Эдинбурге, в 1593 году (последнее издание при жизни автора - Лондон, 1611). Оно написано в математической форме, то есть с разделением содержания на теоремы и доказательства. В частности, 26-я теорема утверждала, что папа есть Антихрист, 36-я - что упоминаемая в Апокалипсисе саранча означает турок и арабов. Конец света, как доказал автор, должен иметь место между 1688 и 1700 годами. Книга имела несравненно больший успех, чем все научные произведения автора. Появилось несколько её переводов в Германии, а французский, изданный в протестантской тогда Ла-Рошели, выдержал два издания (в 1662 и 1665 годах). В Англии после смерти Непера вышло ещё несколько изданий этой работы.

В честь Джона Непера названы:

# data[].attributes.attachment_link.title
Непер, Джон - Википедия

# data[].attributes.attachment_link.description
Джон Не́пер ( англ. John Napier ['neɪpɪə]; 1550- 1617) - шотландский математик, один из изобретателей логарифмов, первый публикатор логарифмических таблиц, астроном. 8-й лэрд Мерчистона из клана Непер. Подробности жизни учёного известны главным образом из книги "Биография Джона Непера из Мерчистона, его родословная, жизнь и время, с историей изобретения логарифмов", написанной его потомком Марком Непером (1798-1879).

# data[].attributes.location_name
Англия, Великобритания

# data[].attributes.headline
Англия, Великобритания

# data[].attributes.subject
Англия, Великобритания

# data[].attributes.body
17 век
Английский математик Джон Валлис применяет для бесконечных рядов термин «бесконечные прогрессии».

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
28 октября ( Джон Ва́ллис, точнее - Уо́ллис ( англ. John Wallis; - 8 ноября) 1703) - английский математик, один из предшественников создателей математического анализа.

Валлис - сын священника из Эшфорда, графство Кент. Уже в молодости вызывал восхищение как феноменальный счётчик: как-то в уме извлёк квадратный корень из 53-значного числа. Однако никакого математического образования он не получил, занимаясь самостоятельно.

По окончании Кембриджского университета ( Эммануил-колледж, 1632-1640) стал священником англиканской церкви и получил степень магистра. После женитьбы в 1645 году вынужден был покинуть университет, так как от профессоров в те годы требовался обет безбрачия.

Блестяще знал языки: латинский, греческий, иврит, в 1647-1648 годах самостоятельно совершенствовался в математике, изучая труды Декарта и Отреда. Вскоре начал собственные математические исследования. В период революции прославился расшифровкой перехваченных писем сторонников короля. Однако он выступил против казни короля Карла I. Репутация выдающегося математика, заслуженная Валлисом к тому времени, привела к тому, что в 1649 году его пригласили в Оксфорд занять освободившуюся там (после изгнания нескольких роялистов) кафедру геометрии, которую Валлис занимал до кончины в 1703 году. Исполнял также почётные обязанности хранителя Оксфордского университетского архива.

После реставрации монархии (1660) завоевал доверие нового короля, Карла II, который назначил его придворным священником. Валлис участвовал в создании в 1660 году Лондонского Королевского общества - британской Академии наук - и стал одним из первых его членов. Скончался в Оксфорде, погребён там же в церкви св. Марии. Прижизненное собрание научных трудов Валлиса вышло в 1693-1699 годах.

В честь Валлиса назван астероид 31982 Джонваллис.

Валлис получил значительные результаты в зарождавшемся тогда математическом анализе, геометрии, тригонометрии, теории чисел.

В 1655 году Валлис издал большой трактат "Арифметика бесконечного" ( лат. Arithmetica Infinitorum sive Nova Methodus Inquirendi in Curvilineorum Quadraturam, aliaque Difficiliora Matheseos Problemata), где ввёл придуманный им символ бесконечности. В книге он сформулировал строгое определение предела переменной величины, продолжил многие идеи Декарта, впервые ввёл отрицательные абсциссы, вычислил суммы бесконечных рядов - по существу интегральные суммы, хотя понятия интеграла тогда ещё не было.

Там же была приведена знаменитая формула Валлиса:

В "Трактате о конических сечениях", приложении к "Арифметике бесконечного", Валлис развил " метод неделимых" Кавальери, перенеся его с геометрической базы на алгебраическую с помощью понятия бесконечно малого. Здесь он также, в современной терминологии, вычислил ряд определённых интегралов для степенной функции и близких к ней функций. Начиная с Валлиса, конические сечения рассматриваются как плоские кривые; при этом Валлис использовал не только декартовы, но и косоугольные координаты.

В математике Валлис всегда уделял особое внимание практически-вычислительным аспектам, зачастую пренебрегая строгими доказательствами. Свои университетские лекции по алгебре он опубликовал в виде монографии "Всеобщая математика, или полный курс арифметики" (1657). В ней он творчески переработал достижения алгебры от Виета до Декарта. В 1685 году он опубликовал значительно дополненный "Трактат по алгебре", который историки расценивают как алгебраическую энциклопедию своего времени. Трактат содержал, среди прочего, обстоятельную теорию логарифмов, разложение бинома, приближённые вычисления, а также геометрическую интерпретацию комплексных чисел, оставшуюся незамеченной современниками. Валлис первый дал современное определение логарифмирования как операции, обратной возведению в степень; Непер, изобретатель логарифмов, определил их кинематически, затушевав их истинную природу. Валлис ввёл термины: мантисса, интерпретация, непрерывная дробь, интерполяция, вывел рекуррентные соотношения для подходящих дробей непрерывной дроби.

Труды Валлиса произвели большое впечатление на молодого Ньютона. Именно в письмах к Валлису Ньютон впервые открыто сформулировал принципы своей версии дифференциального исчисления ( 1692), и с разрешения автора Валлис опубликовал эти письма в переиздании своего "Трактата по алгебре" ( 1693).

В 1693 году Валлис в своей работе воспроизвёл перевод сочинения Насир ад-Дина ат-Туси о пятом постулате и предложил эквивалентную, но более очевидную формулировку этой аксиомы: существуют подобные, но не равные фигуры.

Из прочих работ Валлиса замечательны исследования по определению длины дуги некоторых кривых. Он сумел, на пари с Паскалем, найти длину дуги для арки циклоиды, её площадь и положение центра масс сегмента циклоиды. Одновременно с Гюйгенсом и Реном он решил вопрос об упругом соударении шаров, опираясь на закон сохранения количества движения. Валлис, кроме того, писал трактаты о логике, об английской грамматике, о способе обучения глухонемых разговору и множество сочинений богословского и философского содержания.

# data[].attributes.attachment_link.title
Валлис, Джон - Википедия

# data[].attributes.attachment_link.description
28 октября ( Джон Ва́ллис, точнее - Уо́ллис ( англ. John Wallis; - 8 ноября) 1703) - английский математик, один из предшественников создателей математического анализа. Валлис - сын священника из Эшфорда, графство Кент. Уже в молодости вызывал восхищение как феноменальный счётчик: как-то в уме извлёк квадратный корень из 53-значного числа.

# data[].attributes.location_name
Шотландия, Великобритания

# data[].attributes.headline
Шотландия, Великобритания

# data[].attributes.subject
Шотландия, Великобритания

# data[].attributes.body
В конце 17 века Грегори употребляет термин «ряд» для прогрессий.

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
Джеймс Гре́гори ( англ. James Gregory, ноябрь 1638, Драмоук, Абердиншир - октябрь 1675, Эдинбург) - шотландский математик и астроном. Наряду с Валлисом и Барроу - один из основоположников математического анализа, предшественник Ньютона, который высоко ценил Грегори и называл его в числе своих учителей и вдохновителей.

Джеймс Грегори родился в шотландской деревне Драмоук ( англ. Drumoak, Абердиншир), в семье протестантского священника. Его мать принадлежала к клану Андерсон. Учился в Абердине, затем закончил Сент-Эндрюсский университет. Интерес к математике, возможно, проявился у него под влиянием дяди А. Андерсона, ученика Виета.

В 1664 году Грегори приехал в Лондон, познакомился с Гуком, Коллинзом и другими видными учёными. В 1664-1668 гг. совершил путешествие в Италию, попутно расширяя свой математический кругозор. Там он ознакомился, в частности, с методом неделимых Кавальери и начал собственные исследования в области применения бесконечно малых.

Важнейшие математические работы Грегори начинаются в 1667 году. Он подготовил статью по математическому анализу, которую послал Гюйгенсу. Тот не ответил, но опубликовал в своём журнале обзор статьи, где часть результатов объявил ошибочными, а относительно верных результатов объявил, что он открыл их раньше, чем Грегори. В дальнейшем Грегори воздерживался от публикации части наиболее выдающихся своих достижений, и они были обнаружены только после его смерти.

В Англии труды Грегори сразу получили высокую оценку. В 1668 году он был избран членом Королевского общества. По ходатайству президента Общества король Карл II учредил в Сент-Эндрюсском университете кафедру математики специально для Грегори, который и занял её в конце 1668 года.

В 1669 году Грегори женился на вдове Мэри Джеймсон ( англ. Mary Jamesone), по первому мужу Бернет, дальней родственнице его матери. У них родились сын и две дочери.

В Сент-Эндрюсе Грегори провёл 6 лет. В 1674 году он перешёл в Эдинбургский университет, однако спустя год скончался.

В 1663 году 25-летний Грегори обратил на себя внимание, опубликовав книгу Optica Promota, где впервые описал конструкцию зеркального телескопа. Он обратился к лондонским мастерам, пытаясь заказать изготовление прибора, однако не добился успеха. Первый практически пригодный рефлектор изготовил Ньютон, у которого схема прибора была более простой, чем у Грегори. Тем не менее 10 лет спустя Роберт Гук сумел построить телескоп по схеме Грегори. Идея Грегори используется и в наши дни. В этой же книге Грегори предложил новый метод измерения расстояния от Земли до Солнца, вскоре с успехом использованный Галлеем.

В 1667 году, проживая в Падуе, Грегори обратился к математическому анализу. Вскоре он уже владел и свободно оперировал тем, что позднее получило название " ряд Тейлора" ( 1671). В письмах к Дж. Коллинзу и в своих работах "Истинная квадратура круга и гиперболы" ( Vera Circuli et Hyperbolae Quadratura), "Общая часть геометрии" ( Geometriae pars universalis) и др. он опубликовал множество разложений в бесконечные ряды, в том числе для синуса, косинуса, логарифма, логарифмов тригонометрических функций и обратных тригонометрических функций. В частности, он открыл разложение в ряд арктангенса, которое двумя столетиями ранее было известно индийским математикам:

где Эта формула и её модификации позволяют с высокой точностью вычислить значение числа .

Грегори показал, как использовать эти разложения для нахождения площадей, а также объёмов тел вращения. Независимо от Барроу Грегори сформулировал основную теорему анализа.

Открытия Грегори произвели огромное впечатление на молодого Ньютона, который всегда называл Грегори в числе своих идейных предшественников. Разложение в ряд стало основным методом Ньютона и важной составной частью созданного им математического анализа. Биографы предполагают, что Грегори мог также натолкнуть Ньютона на такие его ранние открытия, как общая формула бинома и интерполяционная формула. Грегори одним из первых оценил значение научных открытий Ньютона (тогда ещё не опубликованных), вёл с ним и с его коллегами дружескую переписку и использовал ньютоновские идеи в своём преподавании.

Среди других научных достижений Грегори:

1663 - Развитие оптики (Optica promota)

1667 - Истинная квадратура круга и гиперболы (Vera circuli et hyperbolae quadratura)

1668 - Геометрические упражнения (Exercitationes geometricae)

1668 - Общая часть геометрии (Geometriae pars universalis)

В честь учёного названы:

# data[].attributes.attachment_link.title
Грегори, Джеймс - Википедия

# data[].attributes.attachment_link.description
Джеймс Гре́гори ( англ. James Gregory, ноябрь 1638, Драмоук, Абердиншир - октябрь 1675, Эдинбург) - шотландский математик и астроном. Наряду с Валлисом и Барроу - один из основоположников математического анализа, предшественник Ньютона, который высоко ценил Грегори и называл его в числе своих учителей и вдохновителей. Джеймс Грегори родился в шотландской деревне Драмоук ( англ.

# data[].attributes.location_name
Великобритания

# data[].attributes.headline
Великобритания

# data[].attributes.subject
Великобритания

# data[].attributes.body
В XVIII веке в английских учебниках появились обозначения арифметической и геометрической прогрессии.

# data[].attributes.body
12-13 вв
Еще в древности итальянский математик Леонардо из Пизы (более известный под именем Фибоначчи) занимался решением практических нужд торговли. Перед монахом стояла задача определить, с помощью какого наименьшего количества гирь можно взвесить товар? В своих трудах Фибоначчи доказывает, что оптимальной является такая система гирь: 1, 2, 4, 8, 16…

# data[].attributes.headline
Россия, Новгород

# data[].attributes.subject
Россия, Новгород

# data[].attributes.body
1136 год
Новгородский монах Кирик написал математико-астрономическое сочинение с подробным расчётом даты сотворения мира. Полное наименование его сочинения таково: «Кирика диакона и доместика Новгородскаго Антониева монастыря учение им-же ведати человеку числа всех лет». Помимо хронологических расчётов, Кирик привёл пример геометрической прогрессии, возникающей от деления суток на всё более мелкие доли; на одной миллионной Кирик остановился, заявив, что «более сего не бывает»

# data[].attributes.body
6 век
Термин «прогрессия» был введён римским автором Боэцием и понимался в более широком смысле, как бесконечная числовая последовательность. Название «арифметическая» и «геометрическая» были перенесены из теории непрерывных пропорций, которыми занимались древние греки.

# data[].attributes.body
в 3 веке до н.э.
Формула суммы членов геометрической прогрессии дана в книге Евклида «Начала»

# data[].attributes.body
Из одной клинописной таблички можно заключить, что, наблюдая Луну от новолуния до полнолуния вавилоняне пришли к такому выводу:

В первые 5 дней после новолуния рост освещения лунного диска совершается по закону геометрической прогрессии со знаменателем 2.

# data[].attributes.body
2000 г. до н.э.
в Древнем Египте применялась в вычислениях геометрическая прогрессия. Впрочем нам известно только то, что египтяне использовали для прогрессии числа «2» и «1/2», то есть могли получать такие значения как: 1/2, 1/4, 1/8… и 2, 4, 8, 16…

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
Математический папирус Ахмеса (также известен как папирус Ринда или папирус Райнда) - древнеегипетское учебное руководство по арифметике и геометрии периода XII династии Среднего царства (1985-1795 гг. до н. э.), переписанное в 33 год правления царя Апопи (ок. 1550 г. до н. э.) писцом по имени Ахмес на свиток папируса. Отдельные исследователи[кто? ] предполагают, что папирус времен XII династии мог быть составлен на основании ещё более древнего текста III тысячелетия до н. э. Язык: среднеегипетский, письменность: иератическое письмо.

Папирус Ахмеса был обнаружен в 1858 году в Фивах и часто называется папирусом Ринда (Райнда) по имени его первого владельца. В 1887 году папирус был расшифрован, переведён и издан Г. Робинсоном и К. Шьютом. Ныне большая часть рукописи находится в Британском музее. Она состоит из двух частей: BM 10057 (32 см × 295,5 cм) и BM 10058 (32 см × 199,5 cм). Между ними должен быть кусок примерно 18 см длиной, который был утерян. Некоторые фрагменты, которые частично заполняют этот промежуток, были обнаружены в 1922 году в музее Нью-Йоркского исторического общества.

Папирус Ахмеса включает условия и решения 84 задач и является наиболее полным египетским задачником, дошедшим до наших дней. Московский математический папирус, находящийся в Государственном музее изобразительных искусств имени А. С. Пушкина, уступает папирусу Ахмеса по полноте (он состоит из 25 задач), но превосходит его по возрасту.

Во вступительной части папируса Ахмеса объясняется, что он посвящён "совершенному и основательному исследованию всех вещей, пониманию их сущности, познанию их тайн". Все задачи, приведённые в тексте, имеют в той или другой степени практический характер и могли быть применены в строительстве, размежевании земельных наделов и других сферах жизни и производства. По преимуществу это задачи на нахождение площадей треугольника, четырёхугольников и круга, разнообразные действия с целыми числами и аликвотными дробями, пропорциональное деление, нахождение отношений. Для решения многих из них вырабатывались общие правила.

Вместе с тем, в папирусе есть целый ряд свидетельств того, что математика в Древнем Египте переросла исключительно практическую стадию и приобрела теоретический характер. Так, египетские математики умели брать корень и возводить в степень[источник не указан 2531 день ], были знакомы с арифметической и геометрической прогрессией (одна из задач папируса Ахмеса сводится к нахождению суммы членов геометрической прогрессии). Множество задач, сводящихся к решению уравнений (в том числе квадратных) с одним неизвестным, связаны употреблением специального иероглифа "множество" (аналога латинского , традиционно употребляемого в современной алгебре) для обозначения неизвестного, что указывает на оформление зачатков алгебры.

Папирус Ахмеса, как и Московский математический папирус, показывает, что древние египтяне с лёгкостью справлялись с измерением площади треугольника и относительно точно определяли приближение числа , , тогда как на всём Древнем Ближнем Востоке оно считалось равным трём. Однако папирус свидетельствует и о недостатках египетской математики. Например, площадь произвольного четырёхугольника в них вычисляется перемножением полусумм длин двух пар противоположных сторон , что верно только в частных случаях (например в прямоугольнике). Для трапеции эта формула неверна, но египтяне знали и пользовались правильной формулой. Кроме того, обращает на себя внимание и то обстоятельство, что египетский математик пользуется только аликвотными дробями (вида , где - натуральное число). В других случаях дробь вида заменялась произведением числа и аликвотной дроби , что зачастую усложняло вычисления, хотя в отдельных случаях могло и облегчить их.

Египтяне выполняли умножение и деление через сумму, удвоение и деление пополам. Вычитание выполнялось дополнением вычитаемого до уменьшаемого. Для обозначения всех указанных действий в египетском языке использовался один глагол wAH

(условно читается "вах" или "уах" и означает "класть"; "продолжать" и т. п.). Для обозначения результата действий с числами использовался глагол xpr

(условно читается "хепер", означает "появляться") или существительное dmD

(условно читается "демедж", означает "итого"). Искомое число обозначалось существительным aHa

(условно читается "аха", означает "число", "множество").

Перед тем как оценить математические методы египтян, надо рассказать об особенностях их мышления. Они хорошо выражены в следующем высказывании: "Несмотря на то, что греки приписывали египтянам мудрость философов, ни один народ не испытывал такого отвращения к отвлеченным размышлениям и не был так чистосердечно предан материальным интересам, как египтяне". Из всех наук это утверждение больше всего подходит к математике египтян. Египтянин не говорит и не думает о числе "восемь" как об абстрактном числе, он думает о восьми хлебах или восьми овцах. Он вычисляет наклон стороны пирамиды вовсе не потому, что это интересно, а потому, что ему нужно объяснить каменщику, каким образом надо будет обтесывать камень (т. н. "священный угол" в 52 градуса - это предельная величина, на которой известняковая облицовка не срывается со ступеней пирамиды под собственным весом). Если он раскладывает на , то вовсе не потому, что это ему нравится, а просто потому, что рано или поздно он встретится с дробью при сложении, а поскольку он не знает, как складывать дроби, чей числитель больше единицы, ему потребуется приведенное выше разложение.[5]

Поскольку древние египтяне ещё не знали таблицу умножения, все вычисления были крайне громоздкими и производились в несколько этапов. Для выполнения таких операций как умножение или деление использовался следующий метод:

Сначала записывался такой ряд чисел, что каждое последующее число получалось путём удвоения предыдущего, например: 1, 2, 4, 8, 16 ... Для некоторых задач для упрощения счета первый ряд чисел мог начинаться с числа, отличного от единицы, однако принцип удвоения предыдущего числа для образования последующего сохранялся.

Напротив единицы писалось наибольшее число из множества (в нашем примере это число 60), далее с этим числом создавалась такая же прогрессия, так что каждое последующее число получалось удвоением предыдущего. Такой ряд чисел записывался напротив первого. Соответственно, напротив 2 писалось 120 (то есть 60 х 2), напротив 4 - 240 (то есть 120 х 2), напротив 8 - 480 (то есть 240 х 2), напротив 16 - 960 (то есть 480 х 2) ...

Наименьшее число (в нашем примере 22) разлагалось на минимальное количество чисел из первого ряда (1, 2, 4, 8, 16 ...). С этой целью сначала бралось число, наиболее близкое по значению к 22, это 16, с остатком производилось аналогичное действие: 22 - 16 = 6, число из первого ряда, наиболее близкое по значение к 6 - 4, и т. д., пока сумма выбранных из первого ряда чисел не равнялась 22, то есть наименьшему в множестве числу. Получаем: 22 = 16 + 4 + 2.

Затем выбирались числа из второго ряда, которые стояли напротив выбранных нами ранее чисел из первого ряда. Из первого ряда мы выбрали 16, 4 и 2, во втором ряду им соответствуют числа 960, 240 и 120.

Произведение чисел 22 и 60 равнялось сумме выбранных чисел из второго ряда, то есть 960 + 240 + 120 = 1320.

Сначала записывался такой ряд чисел, что каждое последующее число получалось путём удвоения предыдущего, например: 1, 2, 4 ... Для некоторых задач для упрощения счета первый ряд чисел мог начинаться с числа, отличного от единицы, однако принцип удвоения предыдущего числа для образования последующего сохранялся.

Напротив единицы писалось наименьшее число, в нашем случае это 20, далее с этим числом создавалась такая же прогрессия, так что каждое последующее число получалось удвоением предыдущего. Такой ряд чисел записывался напротив первого. Соответственно, напротив 2 писалось 40 (то есть 20 х 2), напротив 4 - 80 (то есть 40 х 2) ...

Выбиралось такое число из второго ряда, которое было наиболее близко по значению к 30, то есть наибольшему числу в нашем примере. Это 20.

Числу 20 в первом ряду соответствовала цифра 1. Эти цифры запоминались.

Поскольку 30 было больше чем 20 и меньше, чем 40 (то есть сумма значений цифр из второго ряда не давала 30), далее использовалось деление пополам.

Для этого записывался такой ряд чисел, начиная с 1/2, что каждое последующее число было в два раза меньше предыдущего: 1/2, 1/4, 1/8 ... Для других примеров могла быть использована другая дробь, однако принцип деления пополам предыдущего числа для образования последующего сохранялся.

Напротив 1/2 писалась половина наименьшего числа (так как если бы дробь умножалась на число), в нашем случае 20/2 = 10, далее с этим числом создавалась такая же прогрессия, так что каждое последующее число было в два раза меньше предыдущего. Такой ряд чисел записывался напротив первого. Соответственно, напротив 1/4 писалось 5 (то есть 10/2) ... Если делить дальше было нельзя (во втором ряду должны быть только целые числа!), то при необходимости (если решение ещё не было найдено) составлялся новый аналогичный ряд с использованием таких же или других дробей (например, 5 нельзя было разделить на 2, но можно было разделить на 5), пока числа из второго ряда не выбирали остаток суммы до большего по условию задачи числа.

Далее необходимо было найти такое минимальное количество чисел из второго ряда, которое в сумме с ранее найденным числом 20 давали бы 30, то есть наибольшее число в нашем примере. Это число 10 (20 + 10 = 30).

Числу 10 из второго ряда соответствовала дробь 1/2 из первого ряда.

Отношение 30 к 20 равнялось сумме выбранных чисел из первого ряда, то есть 1 + 1/2 (=1,5)

Деление не всегда было связано с поиском дробных чисел, в этом случае подбиралось минимальное количество чисел из второго ряда, которое в сумме давало бы наибольшее данное по условиям задачи число, а решением задачи в этом случае была бы сумма соответствующих им чисел из первого ряда.

Иногда наряду с удвоением и деление пополам использовалось умножение и деление на 5 и на 10, а также на 50, 100 и т. д. (как свойство десятичной системы измерений).

При операциях с дробями использовались канонические разложения дробей типа 2/n (их полагалось знать наизусть, так как они использовались очень часто, например 1/3 + 1/3 = 1/2 + 1/6; 1/9 + 1/9 = 1/6 + 1/18 и т. д.), а также метод "красного числа" (дополнительные числа, добавляемые к дроби для приведения её к аликвотной форме, писались красными чернилами). Этот метод использовался для больших дробей. en:Red auxiliary number Например, 2/43 необходимо было выразить суммой аликвотных дробей (так как древние египтяне использовали только дроби с числителем, равным единице). Для этого числитель и знаменатель умножались на 42 (то есть 43 - 1), получалось 84/1806. Используя тот же метод, как при умножении или делении, определялись и записывались красными чернилами числа, кратные знаменателю (1806): 43, 42, 21, 14, 7, 6, 4, 3, 2, 1, далее выбиралось минимальное количество таких красных чисел, так чтобы их сумма была равна числителю (84), это 43, 21, 14 и 6. Наконец, дробь 2/43 записывалась как (43 + 21 + 14 + 6)/1806 = 43/1806 + 21/1806 + 14/1806 + 6/1806 = 1/42 + 1/86 + 1/129 + 1/301. Разложение было закончено.

Египетские дроби передавались предлогом r, который выражает отношение. Иероглифически этот предлог передавался знаком

Например, писалась следующим образом:

Египетские дроби были аликвотными. В порядке исключения у древних египтян было два символа для обозначения дробей и :

и

соответственно.

Ход сложения дробей не отличался от современного способа приведения их к общему знаменателю. Результат умножения на больший из имеющихся знаменателей писался под дробью красными чернилами, при этом не обязательно должны были получаться целые числа. Затем результат складывался.

Необходимо разделить между 10 людьми 1, 2, 6, 7, 8, 9 хлебов. Так как древнеегипетские дроби были аликвотными, то все дроби, у которых числитель больше 1 (кроме исключений), выражались как сумма дробей с 1 в числителе. Используя рассуждения в папирусе, получим следующие решения:

1/10=1/10, то есть, чтобы разделить между 10 людьми 1 хлеб, нужно разделить его на 10 частей и дать каждому по одной.

2/10=1/5, то есть, чтобы разделить между 10 людьми 2 хлеба, нужно разделить каждый хлеб на 5 частей и дать каждому по одной.

6/10=1/2+1/10, то есть, нужно разделить 5 хлебов пополам, и дать каждому по половине, а затем разделить оставшийся хлеб на 10 частей и дать каждому по одной.

7/10=2/3+1/30, то есть, нужно сначала каждый хлеб разделить на 3 части, и дать каждому по две, а затем, разделить оставшуюся треть на 10 частей и дать каждому по одной.

8/10=2/3+1/10+1/30, то есть, нужно сначала разделить 7 хлебов на 3 части и дать каждому по две, затем, разделить оставшийся хлеб на 10 частей и дать каждому по одной, затем, разделить оставшуюся треть на 10 частей и дать каждому по одной.

9/10=2/3+1/5+1/30, то есть, нужно разделить 7 хлебов на 3 части, и дать каждому по две, затем, разделить оставшиеся 2 хлеба на пять частей каждый и дать каждому по одной, затем, нужно разделить оставшуюся треть на 10 частей и дать каждому по одной[источник не указан 1801 день ].

Неизвестное число ( aHa) складывается с 1/4, которое также содержит aHa, и получается 15, то есть

Первый шаг: древний математик подставляет вместо "х" 4. Очевидно, что это число не подходит для решения, :

Результат: 5.

Второй шаг: Мы в первом шаге получили вместо 15 только 5. Какая связь между этими двумя числами ?

Если умножить 5 на 3, получается 15. Перемножим взятое произвольно число "4" и полученное нами число "3", так мы получим искомое aHa , то есть 4 х 3 = aHa.

Третий шаг: вычислим 4 x 3 :

Ответ: 12.

Четвёртый шаг: Проверим результаты наших вычислений, то есть

Искомое число aHa равно 12.

Задача № R44 свидетельствует, что египтяне знали формулу для нахождения объёма прямоугольного параллелепипеда: где L, S и H соответственно длина, ширина и высота.

"Пример вычисления объёма квадратного хлебного амбара. Его длина 10, ширина 10 и высота 10. Сколько вместится зерна? Умножьте 10 на 10. Это 100. Умножьте 100 на 10. Это 1000. Возьмите половину от 1000, то есть 500. Это 1500. Вы получили количество в мешках. Умножьте 1/20 на 1500. Вы получите 75. Переведите это количество зерна в хекаты (то есть умножьте на 100) и вы получите ответ - 7500 хекат зерна".

Один мешок или "хар" был равен равен 75,56 л и состоял из 10 хекатов.

и

Один сечат или арура (греческое название) равен 100 кв. локтям, то есть составляет 0,28 Га. В реальности это был участок земли не 10 х 10 локтей, а 1 х 100 локтей. Один локоть был равен 52,5 см и, в свою очередь, состоял из 7 ладоней, а каждая ладонь - из 4 пальцев.

Сложность этой задачи заключается в том, что в папирусе к ней не приводится никаких поясняющих текстов. Перед нами только две таблицы цифр и один рисунок. На рисунке изображена фигура, напоминающая восьмиугольник или окружность, вписанная в квадрат.

Согласно одной из теорий на рисунке изображён квадрат, стороны которого равны длине диаметра вписанной окружности. Площадь восьмиугольника вычисляется по формуле: , в этом случае площадь круга должна составлять 64[7].

Вторая теория, предложенная Michel Guillemot, более точно объясняет рисунок. Теория утверждает, что на рисунке изображен неправильный восьмиугольник, чья площадь должна быть равна вписанному в квадрат кругу. Площадь такого восьмиугольника ищется по формуле: . Но Michel Guillemot пошел дальше и предположил, что древние египтяне имели представление о квадратуре круга и могли строить равновеликий квадрат по площади данного круга.

Людвиг Борхардт нашел очень похожий рисунок на стенах храма в Луксоре.

"Есть окружности в 9 хетов. Какова площадь окружности? Нужно вычесть от 9 единицу. Останется 8. Умножьте 8 на 8. Это будет равняться 64. Вот перед вами и ответ - площадь круга равна 64 сечатам. Подробный ход вычисления: "

"После вычитания получается 8".

"Площадь круга составляет 64".

1 хет состоял из 100 локтей и равнялся 52,5 м. Один сечат был равен 0,28 Га.

Очевидно, что в данном случае применялась такая формула: . Здесь представляется, что диаметр равен 9 хетам. Однако то же самое можно было написать и иначе: . Современная формула для вычисления площади круга: или . Ученые считают, что египтяне для своего времени достигли больших успехов в математике - они определяли отношение длины окружности к длине её диаметра (или ) равным , то есть 3,1605. Это очень близко к истине (число ). Однако "Задача R50" свидетельствует, что египтяне не знали о существовании константы .

Пример расчета площади треугольника. Если кто-то говорит вам: "Треугольник имеет "mryt" в 10 хет, а его основание - 4 хета. Какова его площадь?" Вычислить вам нужно половину от 4-х. Затем 10 умножьте на 2. Вот перед вами и ответ.

Слово "mryt", вероятно, означает высоту.

Формула египтян идентична современной:

Задача R52 посвящена вычислению площади трапеции.

"Какова площадь усеченного треугольника, если его высота - 20 хет, основание - 6 хет, а верхнее основание - 4 хета? Сложите нижнее основание трапеции с верхним. Получите 10. Разделите 10 пополам. А затем 5 умножьте на 20. Помните, что 1 хет = 100 локтей. Посчитайте ваш ответ".

Это решение можно записать следующей формулой: .

Задачи R56, R57, R58 и R59 подробно рассматривают способы вычисления наклона пирамиды.

Древнеегипетский термин "" обозначал, с современной точки зрения, котангенс угла (). В древности он измерялся как длина отрезка по измерительной линейке угломера, который также назвался "секед". Длину измеряли в ладонях и пальцах (1 ладонь = 4 пальца). Математически он находился через отношение половины основания к высоте.

"Способ расчёта пирамиды, основание которой составляет 360 локтей, а высота - 250 локтей. Чтобы узнать её секед, ты должен взять половину от 360, она равна 180. Затем ты должен разделить 180 на 250, получаем: 1/2, 1/5, 1/50 локтя (то есть 0,72 локтя). Поскольку локоть - это 7 ладоней, ты должен умножить результат на 7 (=5,04 ладони)".

Сегодня при решении этой задачи мы искали бы котангенс угла, зная половину основания и апофему[8]. В общем виде египетская формула вычисления секеда пирамиды выглядит так: , где b - 1/2 основания пирамиды, а h - её высота. Сам угол в градусах можно рассчитать используя обратную тригонометрическую функцию арккотангенса или - по таблице Брадиса.

Соотношение секеда и углов наклона:

Задача № R64 говорит нам о том, что в Древнем Египте применялась в вычислениях арифметическая прогрессия.

"Пример разделения на части. Если кто-то говорит вам: у нас есть 10 хекат пшеницы на 10 человек, но есть разница между ними в 1/8 хеката пшеницы. В среднем это 1 хекат. Вычитаем 1 из 10, получаем 9. Возьмем половину от разницы, т.е. 1/16. Умножим на 9. Далее 1/2 и 1/16 хеката прибавим к среднему значению и вычтем 1/8 хеката у каждого последующего человека. Вот расчеты того, о чем с вами говорим: ".

Объяснение: Задача заключается в том, чтобы поделить 10 хекат пшеницы между 10 людьми. Обозначим людей: H1, H2, H3, H4, H5, H6, H7, H8, H9 и H10. S - это общее количество, то есть 10 хекат пшеницы. N - количество частей. У каждого разное количество хекат. При этом у каждого на 1/8 хекат больше, чем у предыдущего. Пусть H2 = H1 + 1/8, H3 = H2 + 1/8 и т. д., у последнего больше всех пшеницы. Шаг прогрессии составляет R = 1/8.

Находим среднее количество хекат, которое раздается каждому, то есть S/N = 10/10 = 1.

Затем вычислим ту разницу, которая получается при последующем делении. То есть N-1 = 10-1, равно 9. Таким образом R/2 = 1/16, а R/2 * (N-1) = 1/16 * 9 = 1/2 + 1/16. Самое большое количество вычисляется по формуле: R/2 * (N-1) + S/N = 1/2 + 1/16 + 1.

Распределение на 10 частей :

Вполне возможно, что решение этой задачи имело практическое применение.

Можно записать решение в виде формул:

Задача № R79 говорит нам о том, что в Древнем Египте применялась в вычислениях геометрическая прогрессия. Впрочем нам известно только то, что египтяне использовали для прогрессии числа "2" и "1/2", то есть могли получать такие значения как: 1/2, 1/4, 1/8... и 2, 4, 8, 16... Так же остается открытым вопрос о практическом использовании геометрической прогрессии в Древнем Египте.

Бобынин В. В. Математика древних египтян (по папирусу Ринда). - М., 1882.

Ван дер Варден Б. Л. Пробуждающаяся наука: Математика древнего Египта, Вавилона и Греции. - М.: Физматгиз, 1959. (Репринт: М.: УРСС, 2007)

Выгодский М. Я. Арифметика и алгебра в Древнем мире. - М.: Наука, 1967.

Раик А. Е. Очерки по истории математики в древности. - Саранск: Мордовское гос. изд-во, 1977.

Ринда папирус // Большая советская энциклопедия : [в 30 т.] / гл. ред. А. М. Прохоров. - 3-е изд. - М. : Советская энциклопедия, 1969-1978.

Gillings R. J. Mathematics in the time of the pharaohs. - Cambridge: MIT Press, 1972.

Peet T. E. The Rind mathematical papyrus. - Liverpool University Press, L.: Hodder & Stoughton, 1923.

Robins G., Shute C.C.D. The Rhind mathematical papyrus: an Ancient Egyptian text. - N. Y.: Dover, 1987.

# data[].attributes.attachment_link.title
Папирус Ахмеса - Википедия

# data[].attributes.attachment_link.description
Математический папирус Ахмеса (также известен как папирус Ринда или папирус Райнда) - древнеегипетское учебное руководство по арифметике и геометрии периода XII династии Среднего царства (1985-1795 гг. до н. э.), переписанное в 33 год правления царя Апопи (ок. 1550 г. до н. э.) писцом по имени Ахмес на свиток папируса. Отдельные исследователи[кто?

# data[].attributes.location_name
Сицилия, Италия

# data[].attributes.headline
Сицилия, Италия

# data[].attributes.subject
Сицилия, Италия

# data[].attributes.body
ок. 287 – 212 гг. до н.э.
На связь между прогрессиями первым обратил внимание великий Архимед.

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
Архиме́д ( др.-греч. ; 287-212 годы до н. э.) - древнегреческий учёный и инженер. Родился и бо́льшую часть жизни прожил в городе Сиракузы на Сицилии.

Сделал множество открытий в области геометрии, предвосхитил многие идеи математического анализа. Заложил основы механики, гидростатики, был автором ряда важных изобретений. С именем Архимеда связаны многие математические понятия. Наиболее известно приближение числа π (22/7), которое называется Архимедовым числом. Кроме того, его имя носят граф, ещё одно число, копула, аксиома, спираль, тело, закон и другие. Работы учёного использовали в своих сочинениях всемирно известные математики и физики XVI-XVII веков, такие, как Иоганн Кеплер, Галилео Галилей, Рене Декарт и Пьер Ферма. Согласно современным оценкам, открытия Архимеда стали основой для дальнейшего развития математики в 1550-1650-х годах. В частности, работы Архимеда легли в основание математического анализа.

С жизнью Архимеда связаны несколько легенд. Широкую известность получил рассказ о том, как Архимед сумел определить, сделана ли корона царя Гиерона полностью из золота, выданного царём для этого заказа, или нанятый ювелир сжульничал, подмешав в расплав серебро. Размышляя о поставленной задаче, Архимед пришёл в баню и, погружаясь в ванну, обратил внимание на поведение уровня воды. В этот момент его осенила идея о приложении вытесняемого объёма к весу, которая легла в основу гидростатики. С криком " Эврика!" Архимед выскочил из ванны и голым побежал к царю. Сравнив объёмы воды, вытесненные короной и слитком золота равного с ней веса, учёный доказал обман ювелира. Согласно другой легенде, благодаря открытию теории рычага и созданию полиспаста Архимед смог в одиночку сдвинуть с места огромный корабль при перевозке его по суше на катках. Ошеломлённым соотечественникам учёный сказал, что, будь у него точка опоры, он бы перевернул Землю.

Во время штурма Сиракуз римлянами созданные Архимедом устройства привели к поражению целой армии, которая атаковала город с моря и суши. Римляне, надеявшиеся быстро захватить город, были вынуждены отказаться от первоначального плана и перешли к осаде. Через два года город захватили благодаря изменнику. Во время штурма Архимед был убит.

Сведения о жизни Архимеда оставили нам Полибий, Тит Ливий, Цицерон, Плутарх, Витрувий, Диодор Сицилийский и другие. Почти все они жили на много лет позже описываемых событий, и достоверность этих сведений оценить трудно.

Впервые биография Архимеда была описана неким Гераклидом, вероятно, его учеником. Она существовала ещё в VI веке н. э., так как её упоминает математик Евтокий Аскалонский в комментариях к работам античного учёного. Наиболее ранние из дошедших до современников сведения об Архимеде содержатся в "Истории" Полибия (200-120 годы до н. э.). Этот историк подробно рассказывает о созданных сиракузским учёным машинах.

Историк I века до н. э. Диодор Сицилийский описывает архимедов винт, который был изобретён учёным во время пребывания в Египте. О том, что Архимед учился математике в Александрии и не порывал связи с тамошними учёными, написано в его работах. Римский писатель Тит Ливий характеризует Архимеда как астронома и гениального конструктора и инженера. Имя сиракузского учёного упоминает оратор и политик Цицерон, который, по собственным словам, обнаружил могилу учёного. Неоднократно Архимеда упоминает римский архитектор и механик Марк Витрувий Поллион. Он пишет о сиракузянине как о знатоке законов течения воды в трубах, авторе руководств по строительной механике, которые не сохранились, ссылается на работу "О плавающих телах". Наиболее поздним автором, который приводит ранее неопубликованные из дошедших до наших дней источников данные об Архимеде, является Плутарх. В биографии римского полководца Марцелла Архимеду посвящено несколько страниц. Этим, собственно, и исчерпываются свидетельства античных авторов о сиракузском учёном.

Изображение родственника и покровителя Архимеда сиракузского царя Гиерона II на античной монете

Архимед родился в Сиракузах - греческой колонии на острове Сицилия в 287 году до н. э. Отцом Архимеда предположительно был математик и астроном Фидий. По мнению историка С. Я. Лурье, семья Архимеда на момент его рождения была небогатой. Отец не смог обеспечить сыну всестороннее образование, в основе которого в то время были занятия философией и литературой. Фидий смог обучить Архимеда только тому, что знал сам, а именно математическим наукам. По сообщению Плутарха, Архимед был родственником будущего тирана, а затем и царя Сиракуз, Гиерона, который в то время был одним из граждан города.

Гиерон участвовал в Пирровой войне (280-275 годы до н. э.), на стороне греков против римлян. Во время боевых действий он отличился, стал одним из военачальников, и, вскоре после ухода Пирра в Грецию, смог захватить власть в Сиракузах. Это отразилось и на материальном благополучии семьи Гиерона. Молодой Архимед получил возможность отправиться в один из главных научных центров Античности - Александрию.

Учёные, к кругу которых примкнул Архимед, группировались вокруг Александрийского мусейона. В состав мусейона входила знаменитая Александрийская библиотека, в которой было собрано более 700 тысяч рукописей. По-видимому, именно здесь Архимед познакомился с трудами Демокрита, Евдокса и других геометров, о которых он упоминал в своих сочинениях.

В Александрии Архимед познакомился и подружился со знаменитыми учёными: астрономом Кононом, разносторонним учёным Эратосфеном из Кирены, с которыми потом переписывался до конца их жизни. Архимед называл Конона своим другом, а две свои работы " Метод механических теорем" и " Задача о быках " снабдил введениями, адресованными Эратосфену. После смерти Конона (ок. 220 года до н. э.) Архимед активно продолжал переписываться с его учеником , и многие трактаты Архимеда последних лет начинаются словами: "Архимед приветствует Досифея".

"Архимед с криком „Эврика" бежит к царю". Гравюра Г. Маззучелли , 1737 год

"Архимед переворачивает Землю". Гравюра 1824 года

По окончании обучения Архимед вернулся на Сицилию. Молодой учёный не имел желания делать карьеру придворного. Как родственнику сиракузского царя ему были обеспечены соответствующие условия жизни. Гиерон лояльно относился к "чудачествам" своего родственника. В отличие от Архимеда, которого интересовала наука как таковая, царь Сиракуз искал возможности её практического применения. Именно он, возможно играя на честолюбии Архимеда, убедил того создать механизмы и машины, работа которых завораживала современников и во многом принесла всемирную славу своему создателю. Уже при жизни Архимеда вокруг его имени создавались легенды, поводом для которых служили его поразительные изобретения, производившие ошеломляющее действие на современников.

Широкую известность получил рассказ, описанный у Витрувия, о том, как Архимед сумел определить, сделана ли корона царя Гиерона из чистого золота, или ювелир подмешал туда значительное количество серебра. По весу корона соответствовала количеству отпущенного на её изготовление благородного металла. После доноса о том, что часть золота заменили серебром, царь приказал Архимеду определить истину. Учёный как-то случайно пришёл в баню, опустился в ванну и увидел, как из неё вытекает вода. Согласно легенде в этот момент его осенила идея, лёгшая в основу гидростатики. С криком " Эврика!" Архимед выскочил из ванны и голым побежал к царю. Автор легенды не учёл, что Гиерон II жил в укреплённой резиденции на острове Ортигия вне Сиракуз и, соответственно, Архимед физически не мог прибежать к нему из городской бани. Архимед попросил сделать два слитка из серебра и золота, равных по весу короне. Затем он наполнил водой до краёв некую ёмкость, в которую последовательно погружал слитки и корону. Вынимая предмет из воды, он доливал в ёмкость определённое количество жидкости из мерного сосуда. Корона вытеснила больший объём воды, чем равный ей по весу золотой слиток. Таким образом Архимед доказал обман ювелира. Учёные подчёркивают, что решение задачи определения удельного веса тел, путём измерения их объёма погружением в жидкость, не требовало открытия принципов гидростатики, вошедших в науку под названием " закона Архимеда ".

Согласно другой легенде, приведённой у Плутарха, Архимед написал Гиерону, что сможет сдвинуть любой груз. Также он добавил, что будь в его распоряжении другая земля, на которую можно было бы встать, он сдвинул бы с места и нашу. Для проверки утверждений Архимеда на берег вытащили трёхмачтовое грузовое судно. Его трюм наполнили кладью и посадили на корму команду матросов. Архимед сел поодаль и начал вытягивать пропущенный через систему блоков ( полиспаст) и прикреплённый к кораблю канат. Судно начало двигаться, "так ровно и медленно, словно плыло по морю". По другой, описанной у Афинея, версии речь шла о корабле " Сиракузия", который впоследствии подарили египетскому фараону Птолемею III Эвергету. Когда огромное по античным меркам судно было построено, царь распорядился спустить его на воду, чтобы там завершить остальные работы. О том, как это сделать, было много споров. Задачу решил Архимед, который вместе с немногочисленными помощниками сумел сдвинуть огромный корабль с места, изготовив систему сложных блоков с лебёдками. В современных интерпретациях крылатая фраза Архимеда звучала, как др.-греч. Δός μοι πᾷ στῶ καὶ τὰν γᾶν κινήσω ("Дай мне, где стать, и Землю поверну", в другом варианте: "Дайте мне точку опоры, и я переверну Землю").

"Архимед руководит обороной Сиракуз". Томас Ральф Спенс, 1895 год

Инженерный гений Архимеда с особой силой проявился во время осады Сиракуз римлянами в 214-212 годах до н. э. в ходе Второй Пунической войны. Городом с 215 года до н. э. правил Гиероним, внук Гиерона II. Он поддержал в войне Карфаген, и римские войска двинулись на Сиракузы. Гиеронима свергли через 13 месяцев после прихода к власти. Пришедшие ему на смену военачальники продолжили войну с Римом. Подробное описание осады Сиракуз римским полководцем Марцеллом и участия Архимеда в обороне содержится в сочинениях Плутарха и Диодора Сицилийского.

Деталь фрески Джулио Париджи 1599-1600 годов с "когтем Архимеда". Галерея Уффици, Флоренция, Италия

После того, как римская армия подошла к Сиракузам, ими был выработан следующий план штурма города. Аппию Клавдию Пульхру было поручено наступление на суше. Его войску следовало подойти к крепостной стене, которая окружала "большие Сиракузы" вместе с предместьями, именуемыми Эпиполами. Одновременно римский флот под командованием Марка Клавдия Марцелла должен был напасть на нижнюю часть города - Акрадину. Римляне предполагали быстро занять Сиракузы.

Когда римляне напали на город с двух сторон, жители Сиракуз растерялись. В этот момент в ход пустили сконструированные Архимедом машины. Они забрасывали римские войска на суше тяжёлыми камнями. На вражеские суда стали опускаться укреплённые на стенах брусья. Они либо топили корабли силой своего толчка, либо захватывали их крючьями и поднимали за нос над водой. Затем " когти Архимеда" раскручивали римские галеры и швыряли их об утёсы у подножья городской стены. " Нередко взору открывалось ужасное зрелище: поднятый высоко над морем корабль раскачивался в разные стороны до тех пор, пока все до последнего человека не оказывались сброшенными за борт или разнесёнными в клочья, а опустевшее судно разбивалось о стену или снова падало на воду, когда железные челюсти разжимались". Римский полководец предполагал, что восемь судов, несущие высокую башню "самбуку", смогут подойти к стенам. Затем, согласно плану Марцелла, легионеры по башне должны были проникнуть в город. Однако несколько удачно выпущенных катапультами камней "весом в десять талантов" (около 250 кг) смогли её разрушить. После этого Марцелл приказал отступить. На военном совете римляне предположили, что защитные орудия Сиракуз действуют только на дальние расстояние, а вблизи неэффективны. Ночью римляне совершили ещё одну неудачную попытку захватить город. Незаметно они проникли под городские стены, где были встречены скорпионами и другими машинами, разящими короткими стрелами через предварительно приготовленные в городской стене отверстия. В 2005 году были проведены несколько экспериментов с целью проверить правдивость описания этого "сверхоружия древности", получившего название " коготь Архимеда "; построенная конструкция показала свою полную работоспособность.

Римляне вынуждены были отказаться от мысли взять город штурмом и перешли к осаде. Знаменитый историк древности Полибий писал: " Такова чудесная сила одного человека, одного дарования, умело направленного на какое-либо дело... римляне могли бы быстро овладеть городом, если бы кто-либо изъял из среды сиракузян одного старца. Но так как этот один был среди сиракузян, они не дерзали нападать на город ".

Деталь фрески Джулио Париджи 1599-1600 годов, на которой Архимед с помощью зеркала поджигает корабль. Галерея Уффици, Флоренция, Италия

По одной из легенд, впервые описанной у Диодора Сицилийского, когда римский флот, потерпев поражение, отошёл на безопасное и недосягаемое для камней катапульт расстояние, Архимед задействовал ещё одно из своих изобретений - " Зеркала Архимеда". Он установил большое зеркало, в которое направил лучи из других зеркал поменьше. Отражённый луч смог поджечь и уничтожить римские корабли. Достоверность данной легенды больше занимала физиков, нежели историков. Рене Декарт и Иоганн Кеплер отвергали возможность поджога при помощи солнечного луча на большом расстоянии. Эксперименты с тепловым лучом проводили и в Новейшее время. Так, греческому учёному Иоаннису Саккасу в 1973 году удалось поджечь фанерную модель римского корабля, обработанную смолой, с расстояния 50 м, используя 70 медных зеркал.

"Смерть Архимеда". Тома Дежорж, 1815 год

Осенью 212 года до н. э. Сиракузы были взяты римлянами. Это произошло во время праздника Артемиды, когда охранники были пьяны. Один из охранников открыл врагу потайной ход в стене. Во время штурма города Архимед был убит. Рассказ о смерти Архимеда от рук римлян в античных источниках существует в нескольких версиях. Римские авторы Тит Ливий и Плиний Старший, признавая злодеяние, совершённое соотечественниками, пишут о том, что это произошло случайно и в суматохе. Также они подчёркивают недовольство Марцелла, который якобы приказал не убивать Архимеда во время штурма.

Греки по национальности Диодор Сицилийский и Плутарх, жившие во времена владычества Рима, представляют захватчиков Сиракуз необразованными, далёкими от науки и даже трусливыми солдатами, занятыми грабежом. Жестокость войск Марцелла даже разбирали в сенате, на котором военачальника оправдали. Когда через 2 года Марцеллу поручили вновь поехать в Сицилию, присутствовавшие в Риме жители острова облачились в траурные одежды и стали ходить по домам сенаторов, говоря, что если Марцелл вернётся на их родной остров, то все островитяне покинут свои дома. Согласно Диодору Сицилийскому, некий легионер схватил Архимеда. Тогда учёный воскликнул: "Быстро, кто-нибудь, подайте одну из моих машин!" Римский солдат испугался, решив, что относительно него хотят применить какое-то очередное открытие Архимеда, и зарубил 75-летнего старика мечом. Плутарх приводит три существовавших версии о гибели сиракузского учёного. По одной из них римский солдат, согласно приказу, схватил Архимеда и хотел отвести его к Марцеллу. Однако пленник наотрез отказывался следовать к главнокомандующему римской армией, так как должен был решить некую математическую задачу. Тогда возмущённый солдат убил Архимеда. По другой, описанной у Плутарха, версии Архимед перед гибелью просил солдата немного обождать, чтобы задача, которой он был на тот момент занят, получила решение. И по третьей плутарховой версии Архимед сам отправился к Марцеллу со своими математическими приборами. Легионеры решили, что старик несёт что-то ценное, и убили его с целью грабежа. Оба автора подчёркивают, что главнокомандующий римской армией Марцелл был опечален случившимся.

Ещё одну версию приводит византийский филолог XII века Иоанн Цец (Chiliad, книга II). В разгар боя 75-летний Архимед сидел на пороге своего дома, углублённо размышляя над чертежами, сделанными им прямо на дорожном песке. В это время пробегавший мимо римский воин наступил на чертёж, и возмущённый учёный бросился на римлянина с криком: " Не тронь моих чертежей! " (по другой версии "кругов"). Солдат остановился и хладнокровно зарубил старика мечом.

Римская гробница, построенная не менее чем через 2 века после гибели Архимеда в Сиракузах и которую принято называть "Гробницей Архимеда" (итал. Tomba di Archimede)

"Цицерон находит могилу Архимеда". Бенджамин Уэст, 1804 год. Художественная галерея Йельского университета, США

Цицерон, бывший квестором на Сицилии в 75 году до н. э., писал в " Тускуланских беседах", что ему спустя 137 лет после смерти Архимеда удалось обнаружить полуразрушенную могилу учёного. На ней, как и завещал Архимед, было изображение шара, вписанного в цилиндр.

Подлинные обстоятельства смерти Архимеда, а также истинная реакция Марцелла на это событие остаются невыясненными. Приведённые легенды античных авторов однозначно свидетельствуют, что учёного убили во время волны грабежей и убийств сразу после взятия Сиракуз римлянами. Не исключено, что Марцелл демонстрировал скорбь и даже распорядился отдать почести убитому. Римляне нуждались в поддержке греков, и им было крайне невыгодно предстать в роли убийц и насильников, истребляющих лучших представителей эллинской цивилизации. Как бы то ни было, первое время в Сиракузах было небезопасно вспоминать своего гениального соотечественника.

Работы Архимеда относились почти ко всем областям математики того времени: ему принадлежат исследования по геометрии, арифметике, алгебре. Он нашёл все полуправильные многогранники, которые теперь носят его имя, значительно развил учение о конических сечениях, дал геометрический способ решения кубических уравнений вида , корни которых он находил с помощью пересечения параболы и гиперболы. Архимед провёл и полное исследование этих уравнений, то есть нашёл, при каких условиях они будут иметь действительные положительные различные корни и при каких корни будут совпадать[38][39].

Однако главные математические достижения Архимеда касаются проблем, которые сейчас относят к области математического анализа. Греки до Архимеда сумели определить площади многоугольников и круга, объём призмы и цилиндра, пирамиды и конуса. Но только Архимед нашёл гораздо более общий метод вычисления площадей или объёмов; для этого он усовершенствовал и виртуозно применял метод исчерпывания Евдокса Книдского. В своей работе "Послание к Эратосфену о методе" (иногда называемой "Метод механических теорем") он использовал бесконечно малые для вычисления объёмов. Идеи Архимеда легли впоследствии в основу интегрального исчисления.

Квадратура сегмента параболы

В сочинении "Квадратура параболы" Архимед доказал, что площадь сегмента параболы, отсекаемого от неё прямой, составляет 4/3 от площади вписанного в этот сегмент треугольника (см. рисунок). Для доказательства Архимед подсчитал сумму бесконечного ряда:

Каждое слагаемое ряда - это общая площадь треугольников, вписанных в неохваченную предыдущими членами ряда часть сегмента параболы.

В математике, естественных науках и технике очень важно уметь находить наибольшие и наименьшие значения изменяющихся величин - их экстремумы. Например, как среди цилиндров, вписанных в шар, найти цилиндр, имеющий наибольший объём? Все такие задачи в настоящее время могут быть решены с помощью дифференциального исчисления. Архимед первым увидел связь этих задач с проблемами определения касательных и показал, как решать задачи на экстремумы.

Архимед сумел установить, что объёмы конуса и шара, вписанных в цилиндр, и самого цилиндра соотносятся как 1:2:3. Лучшим своим достижением он, согласно Цицерону, считал определение поверхности и объёма шара - задача, которую до него никто решить не мог. Архимед просил выбить на своей могиле шар, вписанный в цилиндр.

Шар, вписанный в цилиндр

Помимо перечисленного, Архимед вычислил площадь поверхности для сегмента шара и витка открытой им " спирали Архимеда", определил объёмы сегментов шара, эллипсоида, параболоида и двуполостного гиперболоида вращения.

Следующая задача относится к геометрии кривых. Пусть дана некоторая кривая линия. Как определить касательную в любой её точке? Или, если переложить эту проблему на язык физики, пусть нам известен путь некоторого тела в каждый момент времени. Как определить скорость его в любой точке? Первый общий метод решения этой задачи был найден Архимедом. Этот метод впоследствии лёг в основу дифференциального исчисления.

Схема архимедова метода вычисления числа

Огромное значение для развития математики имело вычисленное Архимедом отношение длины окружности к диаметру. В работе "Об измерении круга" Архимед дал своё знаменитое приближение для числа : " архимедово число" . Более того, он сумел оценить точность этого приближения: . Для доказательства он построил для круга вписанный и описанный 96-угольники и вычислил длины их сторон. Он также доказал, что площадь круга равна (числу пи), умноженному на квадрат радиуса круга ( )[46][42].

Утверждение: "Все 3 высоты треугольника пересекаются в одной точке", называемой теперь ортоцентром, часть историков приписывает Архимеду и называют его теоремой Архимеда. Ортоцентр впервые в греческой математике использован в "Книге лемм" Архимеда, хотя явного доказательства существования ортоцентра Архимед не привёл. Тем не менее до середины девятнадцатого века, ортоцентр нередко называли архимедовой точкой.

Архимеду также приписывают лемму Архимеда.

В работе " О шаре и цилиндре" Архимед постулирует, что любая величина при её добавлении к себе достаточное число раз превысит любую заданную величину. Это свойство - аксиома Архимеда, включаемая сейчас в аксиоматику вещественных чисел. Она утверждает следующее:

Если имеются две величины, и , и меньше , то, взяв слагаемым достаточное количество раз, можно превзойти :

В не дошедшем до нас "послании к Зевксиппу" Архимедом была предложена система именования больших чисел, для которых греческая система счисления была не приспособлена. Система Архимеда позволяла давать имена числам вплоть до числа .

Эту систему он использует в трактате Псаммит, где он опровергал мнение, что песчинок в мире больше, чем самое большое число, которое может быть названо. Архимед, предположив, что маковое зёрнышко может содержать не больше одной мириады песчинок, показал, что если под "миром" понимать сферу с центром в Земле и радиусом до Солнца, как было принято в геоцентрической модели того времени, то в мире не может поместиться более песчинок. Если же принять гелиоцентрическую модель его современника Аристарха, и считать "миром" сферу неподвижных звёзд (радиус которой, как предположил Архимед, превышает расстояние до Солнца, во столько же раз, во сколько расстояние до Солнца превышает радиус Земли), то число песчинок будет не более чем . Это гораздо меньше самого большого числа, которое можно назвать в системе Архимеда[50][51].

Альтернативную систему наименования больших чисел предложил Аполлоний Пергский в своей работе "Быстросчёт" ( др.-греч. ). Вероятно, в связи с полемикой Архимеда с Аполлонием (или Эратосфеном) появилась " Задача о быках ", в решении которой встречаются большие числа.

"Если величины будут несоизмеримы, то они точно так же уравновесятся на длинах, которые обратно пропорциональны этим величинам"

Видеоурок: полиспаст. Описание технологии с помощью которой, по мнению современников, Архимед смог одной рукой перетянуть гружёный корабль

В течение многих веков основой механики была изложенная в труде Архимеда " О равновесии плоских фигур " теория рычага. В основе этой теории лежат следующие постулаты:

Равные тяжести на равных длинах уравновешиваются, на неравных же длинах не уравновешиваются, но перевешивают тяжести на большей длине;

Если при равновесии тяжестей на каких-нибудь длинах к одной из тяжестей будет что-нибудь прибавлено, то они не будут уравновешиваться, но перевесит та тяжесть, к которой было прибавлено;

Точно так же если от одной из тяжестей будет отнято что-нибудь, то они не будут уравновешиваться, но перевесит та тяжесть, от которой не было отнято.

На основании этих постулатов Архимед сформулировал закон рычага следующим образом: " Соизмеримые величины уравновешиваются на длинах, которые будут обратно пропорциональны тяжестям. Если величины будут несоизмеримы, то они точно так же уравновесятся на длинах, которые обратно пропорциональны этим величинам ".

В том же труде Архимедом дано определение центра тяжести тела как " некоторая расположенная внутри его [тела] точка - такая, что если за неё мысленно подвесить тело, то оно остаётся в покое и сохраняет первоначальное положение". Также им были описаны принципы расчёта центра тяжести треугольника, параллелограмма, трапеции, сегмента параболы, криволинейной трапеции, боковые стороны которой являются дугами парабол.

Изложенные Архимедом принципы работы рычагов и понятие центра тяжести практически в неизменном виде используются и на сегодняшний день.

Архимед прославился многими механическими конструкциями. Рычаг был известен и до него, но лишь Архимед изложил его полную теорию и успешно её применял на практике. Плутарх сообщает, что Архимед построил в порту Сиракуз немало блочно-рычажных механизмов для облегчения подъёма и транспортировки тяжёлых грузов. В легенде о том, как Архимед движением руки начал двигать корабль, современники видят работу не рычага, а полиспаста или многоступенчатого редуктора, которые сумел создать древнегреческий сиракузский учёный.

Подъём предметов с помощью Архимедова винта

Большая часть открытий Архимеда связана с потребностями его родного города Сиракузы. Древнегреческий писатель Афиней (II-III века н. э.) описал, как царь Гиерон II поручил учёному спроектировать громадный по античным меркам корабль " Сиракузия". Судно предполагали использовать во время увеселительных путешествий, а также для перевозки грузов и солдат. По современным оценкам роскошный корабль, отделанный драгоценными камнями и слоновой костью, имел длину около 100 метров и мог перевозить до 5 тысяч человек.

Согласно Афинею, на корабле были сад, гимнасий и даже посвящённый Афродите храм. Предполагалось, что такое судно будет давать течь. Разработанный Архимедом винт позволял выкачивать воду всего лишь одному человеку.

Это устройство представляло собой вращающийся внутри цилиндра винт с косым направлением витков резьбы, что представлено на анимационной картинке. Строение архимедова винта дошло до нас из трудов римского архитектора и механика I века до н. э. Витрувия. Несмотря на кажущуюся простоту, данное изобретение позволило решить поставленную перед учёным проблему. Его впоследствии стали применять в самых различных отраслях народного хозяйства и промышленности, в том числе и для перекачки жидкостей и сыпучих твёрдых веществ, таких как уголь и зерно. Первенство Архимеда в его открытии оспаривается. Возможно, архимедов винт представляет собой несколько модифицированную систему водяного насоса, который использовали при орошении построенных задолго до корабля "Сиракузия" висячих садов Семирамиды в Вавилоне.

Видеоурок: закон Архимеда

Родной город Архимеда Сиракузы был портовым. Вопросы плавучести тел в нём ежедневно решались на практике судостроителями и мореплавателями. Существует легенда о том, что закон Архимеда был открыт благодаря практической задаче о содержании примесей в золоте из которого изготовили корону Гиерона II. Однако задача, поставленная царём Сиракуз, требовала лишь знания объёмов короны и золота того же веса. Использование закона гидростатики, получившего название "закона Архимеда", при её решении не требовалось.

Сочинение " О плавающих телах" состоит из двух частей. В первой, вступительной, даётся описание основных положений, во второй рассматриваются вопросы равновесия плавающего в жидкости тела (на примере параболоида вращения).

Аксиома, из которой выводятся остальные умозаключения в сочинении Архимеда, звучала как " жидкость имеет такую природу, что из её частиц, расположенных на одинаковом уровне и прилежащих друг к другу, менее сдавленные выталкиваются более сдавленными и что каждая из частиц сдавливается жидкостью, находящейся над ней по отвесу, если только жидкость не заключена в каком-нибудь сосуде и не сдавливается чем-нибудь другим". Далее он формулирует утверждение " Поверхность всякой жидкости, установившейся неподвижно, будет иметь форму шара, центр которого совпадает с центром Земли". Таким образом античный учёный считал Землю шаром, а поверхность Мирового океана сферической.

Путём логических рассуждений, а также на основе их подтверждения в экспериментах, Архимед пришёл к выводам, что более лёгкое относительно воды тело погружается до тех пор, пока вес жидкости в объёме погрузившейся части не станет равным весу всего тела. Исходя из этого, он пишет утверждения, содержащие формулировки названного в его честь закона гидростатики: " Тела более лёгкие, чем жидкость, опущенные в эту жидкость насильственно, будут выталкиваться вверх с силой, равной тому весу, на который жидкость, имеющая равный объём с телом, будет тяжелее этого тела" и " Тела более тяжёлые, чем жидкость, опущенные в эту жидкость, будут погружаться, пока не дойдут до самого низа, и в жидкости станут легче на величину веса жидкости в объёме, равном объёму погружённого тела ".

В Большой российской энциклопедии закон Архимеда звучит следующим образом: " На всякое тело, погружённое в жидкость (или газ), действует со стороны этой жидкости (газа) поддерживающая сила, равная весу вытесненной телом жидкости (газа), направленная вверх и проходящая через центр тяжести вытесненной жидкости ".

Кроме математики и механики Архимед уделял внимание и оптике. Он написал объёмный труд "Катоптрика", который до сегодняшнего дня не сохранился. В позднем пересказе из сочинения уцелела единственная теорема, в которой учёный доказывал, что при отражении луча угол отражения света равен углу его падения на зеркало.

Из отрывков трудов античных авторов можно сделать вывод о том, что Архимед хорошо знал зажигательные свойства вогнутых зеркал, проводил опыты по преломлению света, исследовал свойства изображений в вогнутых, плоских и выпуклых зеркалах.

С научными работами Архимеда по оптике связана легенда о поджоге римского флота во время осады Сиракуз.

Система мира Архимеда

До сегодняшнего дня дошли сведения о трёх астрономических работах учёного. В сочинении " Псаммит" Архимед задался вопросом о размере Вселенной. Ипполит Римский (170-230-е годы н. э.) в приписываемом ему трактате " Обличение всех ересей" приводит расстояния между планетами, взятые из какой-то из утерянных ныне работ Архимеда. Также сохранились четыре упоминания о своеобразном планетарии или "небесном глобусе", сконструированном Архимедом.

В "Псаммите" он экспериментальным путём нашёл угловой диаметр Солнца - от 27' до 32'55". Истинное значение показателя составляет 31'28"-32'37". То есть, как подчёркивают современные авторы, Архимеду удалось впервые определить данную величину.

Архимед построил планетарий или "небесную сферу", при движении которой можно было наблюдать движение пяти планет, восход Солнца и Луны, фазы и затмения Луны, исчезновение обоих тел за линией горизонта. Занимался проблемой определения расстояний до планет; предположительно в основе его вычислений лежала система мира с центром в Земле, но планетами Меркурием, Венерой и Марсом, обращающимися вокруг Солнца и вместе с ним - вокруг Земли. В своём сочинении "Псаммит" донёс информацию о гелиоцентрической системе мира Аристарха Самосского.

Сведения о некоем "небесном глобусе", который наглядно изображал систему мира с Землёй в центре, вокруг которой вращаются Солнце, Луна и планеты, содержатся в нескольких античных источниках. Цицерон, в пересказе, передаёт слова Гая Сульпиция Галла, который якобы видел в доме Марцелла устройство, сконструированное Архимедом, и привезённое завоевателем Сиракуз в качестве трофея. Одновременно он говорит о более известной "другой сфере Архимеда", которую Марцелл передал в храм Доблести. Это устройство упоминали Овидий, Лактанций и Клавдий Клавдиан.

Обращает на себя внимание, что Клавдиан описывает работу "небесного глобуса" через 6 веков после смерти Архимеда. Все из перечисленных авторов изумлены и восхищены данным устройством. " Если в мире это [движение планет] не может совершиться без бога, то и в сфере своей Архимед не мог бы воспроизвести это без божественного вдохновения ", - резюмирует описание архимедова шара Цицерон.

Архимед за свою жизнь написал множество научных трудов. В период античности не было создано "Корпуса работ Архимеда". Оставшиеся после него сочинения были частично утрачены в Средние века, некоторые дошли до наших дней благодаря арабским переводам. Изучение наследия сиракузского учёного продолжается и в XXI веке. Так, пергаментный кодекс " палимпсест Архимеда " был обнаружен лишь в XX веке и содержал неизвестные науке ранее труды. О существовании некоторых работ возможно судить исключительно из научных трудов античных и средневековых авторов, живших значительно позднее Архимеда.

Наиболее полное собрание сочинений сохранившихся на 1970-е годы работ Архимеда включает 19 трактатов. Их перечисление, в том числе и не вошедшего в собрание, приведено в том порядке, в котором они расположены в указанном источнике:

трактат из двух частей "О шаре и цилиндре" (др.-греч. περὶ σφαίρας καὶ κυλίνδρου ). В нём Архимед доказал, что площадь любой сферы радиуса r в четыре раза превышает площадь её наибольшего круга (в современных обозначениях S=4πr²); объём шара равен двум третям того цилиндра, в который он вписан, что с учётом объёма цилиндра приводит к получению формулы объёма шара πr³[42]. Там же приводится аксиома Архимеда[72];

"Измерение круга" (др.-греч. κύκλου μέτρησις ) в дошедшем до нас виде представляет сочинение из трёх теорем. Первая даёт описание определения площади круга как произведения полупериметра на радиус. Третья выводит отношение между длиной окружности и диаметром, известное как число . Вторая, которую следовало бы поместить после третьей, приводит классический метод вычисления площади круга[46][42];

"О коноидах и сфероидах" (др.-греч. περὶ κωνοειδέων καὶ σφαιροειδέων ) - первое произведение среди всей мировой математической литературы, в котором рассматриваются поверхности второго порядка. Основной задачей, решение которой Архимед приводит в сочинении, является определение объёмов сегментов параболоида, гиперболоида и эллипсоида вращения[44][42][45];

трактат "О спиралях" (др.-греч. περὶ ἑλίκων ) написан позже двухтомника "О шаре и цилиндре" и до сочинения "О коноидах и сфероидах". Тема трактата была предложена Архимеду Кононом. Сиракузский учёный описывает множество свойств спирали, которая представляет линию, соединяющую местоположения точки, движущейся с одинаковой скоростью вдоль прямой линии, которая сама вращается с постоянной скоростью вокруг фиксированной точки. Полученную кривую называют архимедовой спиралью[43][42];

трактат "О равновесии плоских фигур" (др.-греч. περὶ ἰσορροπιῶν ) состоит из двух книг, в которых выводится закон равновесия рычага; доказывается, что центр тяжести плоского треугольника находится в точке пересечения его медиан; находятся центры тяжести параллелограмма, трапеции и параболического сегмента. Большая часть книги по мнению современников не является подлинной и состоит из поздних дополнений[42];

"Псаммит" (др.-греч. ψαμμίτης , в дословном переводе "О счислении песчинок"). Он стал одним из последних сочинений Архимеда. Его суть изложена в подразделе "Астрономия" статьи;

в "Квадратуре параболы" (др.-греч. τετραγωνισμὸς παραβολῆς ) обосновывается, что площадь сегмента параболы равна вписанного в неё треугольника. Трактат является первым из нескольких посланий Досифею, написанным вскоре после смерти Конона (около 220 года до н. э.)[73][42];

произведение "О плавающих телах" (др.-греч. περὶ τῶν ὀχουμένων ) относится к числу поздних сочинений Архимеда, возможно, представляя собой последнее из них. В XIII веке некий Вильгельм из Мербека перевёл текст с греческого на латынь для Фомы Аквинского. Греческий оригинал не сохранился, в отличие от перевода, который хранится в Ватиканской библиотеке. Качество перевода было низким в связи с отсутствием у переводчика необходимых математических познаний. В 1905 году сочинение, точнее его ¾, обнаружили в Палимпсесте Архимеда. Недостающую часть в палимпсесте дополнили по переводу XIII века[74];

"Стомахион" (др.-греч. στομάχιον ) был обнаружен в начале XX века в палимпсесте и посвящён древнегреческой головоломке, состоящей в составлении квадрата из многоугольников, на которые он был вначале разрезан. Задача состоит в сборке квадрата из 14 его частей, среди которых 1 пятиугольник, 2 четырёхугольника и 11 треугольников[75];

трактат "Послание к Эратосфену о механическом методе" (др.-греч. πρὸς Ἐρατοσθένην ἔφοδος ), или "Эфод", также обнаружен в начале XX века. Он описывает процесс открытий в математике. Это единственное античное произведение, затрагивающее данную тему[42].

в трактате "Задача о быках" (др.-греч. πρόβλημα βοεικόν ) Архимед ставит задачу, приводимую к уравнению Пелля. Эта работа была обнаружена Готхольдом Эфраимом Лессингом в греческой рукописи, состоящей из стихотворения в 44 строки, в библиотеке герцога Августа в Вольфенбюттеле в Германии. Текст задачи был опубликован в издании "Beiträge zur Geschichte und Litteratur" в Брауншвейге в 1773 году. Авторство Архимеда у антиковедов не вызывает сомнений, так как и по стилю, и по характеру трактат соответствует математическим эпиграммам той эпохи. Задача о быках авторства Архимеда упоминается в одном из античных схолиев к диалогу Платона "Хармид, или О благоразумии". Она адресована Эратосфену и математикам Александрии. Архимед ставит им задачу подсчитать количество голов скота в стаде Гелиоса. Полное решение задачи было впервые опубликовано только в 1880 году[76][77];
Третий том указанного собрания сочинений включает сочинения Архимеда, сохранившиеся благодаря переводам арабских учёных, а именно[71]:

трактаты "О касающихся кругах" и

"О началах геометрии" сохранились в рукописи арабского математика Сабит ибн Курра (836-901), хранящейся в библиотеке города Патна в Индии. Их издали в 1940 году в Хайдарабаде[71];

"Книга лемм" сохранилась в виде арабской обработки и её латинского перевода. Историю книги можно представить так. Арабский математик Сабит ибн Курра перевёл ряд принадлежащих Архимеду текстов. Затем через столетие персидский математик из Багдада Абу Сахль аль-Кухи систематизировал перевод предшественника. Ещё через полвека третий учёный Ан-Насави написал комментарии, а затем четвёртый, чьё имя достоверно не известно, сократил получившийся текст. Латинский перевод арабского текста, отстоящего от Архимеда четырьмя переработками, был опубликован в 1659 году. В книге приведены сведения о проблеме трисекции угла, а также способ определения площади салинона[78];

"Книга о построении круга, разделённого на семь равных частей" состоит из трёх трактатов: "О свойствах прямоугольных треугольников", "О кругах" и "О построении правильного семиугольника". Они также сохранились до наших дней благодаря арабской рукописи[71];

"О касающихся кругах"[71];

"Нахождение высоты и площади треугольника по его сторонам" сохранился благодаря переводу средневекового персидского учёного Аль-Бируни[71];

"Трактат о построении около шара телесной фигуры с четырнадцатью основаниями"[79];

"Часы Архимеда"[71];

трактат "О параллельных линиях" в переработке Сабита ибн Курры "Книга о том, что две линии, проведённые под углами, меньшими двух прямых, встречаются", как указывают рецензенты, не приведён в указанном собрании сочинений. По их мнению, включение этого трактата в сборник наследия Архимеда оправдано так же, как и приведённые трактаты, дошедшие до наших дней исключительно в переводе и обработке средневековых арабских учёных[71].

Собрание сочинений Архимеда, изданное Й. Л. Гейбергом

В связи с масштабами и новаторством достижений Архимеда в математике, влияние его работ на развитие науки в Античности оказалось скромным. Современники Архимеда использовали лишь наиболее простые для понимания результаты его трудов, как то: формулы для вычисления окружности и площади круга, объёма шара с применением приближения Архимеда для числа π), равного 22/ 7.

Человечество дважды вновь "открывало" Архимеда, и дважды учёные делали попытки продвинуться в своих открытиях дальше. Первый раз это произошло на арабском Востоке. В Средние века часть трактатов Архимеда перевели на арабский язык. Достижения античного учёного оказали влияние на развитие математики исламского Средневековья, в частности на определение объёмов тел вращения, центров тяжести сложных геометрических конструкций. Несмотря на то, что Сабит ибн Курра, Ибн аль-Хайсам и учёные их школ овладели методом верхних и нижних сумм и даже вычислили несколько новых интегралов, далеко они не продвинулись. Их достижения лишь несколько дополнили открытия Архимеда.

Но наибольшее влияние работы Архимеда оказали на математиков Европы в XVI-XVII веках. Результаты его работ использовали в своих сочинениях такие всемирно известные математики и физики, как Иоганн Кеплер (1571-1630), Галилео Галилей (1564-1642), Рене Декарт (1596-1650), Пьер Ферма (1601-1665), Исаак Ньютон (1642-1727), Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646-1716) и др.

Первые печатные издания сборников уцелевших трудов Архимеда датированы XVI веком. Они представляют собой перепечатку манускрипта, который по имени владельца в XV столетии носит название "манускрипта Валла". В нём были записаны лишь 7 (в списке сочинений с первого по седьмой) произведений Архимеда. В 1544 году в Базеле опубликовали Editio Princeps, содержавшие архимедовы трактаты на древнегреческом. В 1558 году появились печатные латинские переводы Федерико Командино. Именно их использовали Иоганн Кеплер и Галилео Галилей. Рене Декарт и Пьер Ферма при написании своих работ брали сведения из другого перевода трактатов Архимеда на латынь 1615 года, выполненного Давидом Риво.

В 1675 году в Лондоне увидел свет латинский перевод трудов Архимеда, выполненный И. Барроу. Его особенностью стали вольные трактовки. Переводчик посчитал возможным, не придерживаясь оригинала, излагать положения трудов античного учёного своими словами, сокращать либо заменять своими приводимые доказательства.

В 1676 году Джон Валлис опубликовал подлинный греческий текст "Псаммита" и "Измерения круга" с комментариями Евдокия, новым латинским переводом и своими примечаниями. Этот английский математик так охарактеризовал важность и значение трудов Архимеда: " Муж поразительной проницательности, он заложил первоосновы почти всех открытий, развитием которых гордится наш век". Одновременно он предугадал, что у Архимеда был метод решений, который тот скрыл от потомков. С его точки зрения, значительно большую пользу для развития науки принесло бы описание метода решений, а не описание самих решений. В то время, когда Валлис "выговаривал" Архимеду, не был найден "Эфод", в котором сиракузский учёный писал: " Я счёл уместным в этой книге изложить мой метод... полезный и для доказательства теорем... Легче найти строгое доказательство после того, как при помощи этого метода приобретена ориентировка в вопросах... Теоремы, которые я сейчас публикую, я нашёл прежде при помощи этого метода, и я решил письменно изложить его... потому что, как я убеждён, я оказываю этим немаловажную услугу математике: многие из моих современников или последователей, ознакомившись с этим методом, будут в состоянии находить новые теоремы, до которых я ещё не додумался ". К сожалению, "Эфод" был обнаружен лишь в начале XX века, когда изложенные в нём сведения для развития математической науки стали неактуальными, а представляли лишь исторический интерес.

На русский язык сочинения Архимеда впервые перевели в 1823 году.

Профиль Архимеда на медали Филдсовской премии

В математике и физике

С именем Архимеда связаны многие математические понятия, некоторые из них устарели, другие используются по сегодняшний день.

Например, существуют архимедовы граф, число, копула, аксиома, спираль, тело, закон и другие.

Лейбниц писал: "Внимательно читая сочинения Архимеда, перестаёшь удивляться всем новым открытиям геометров".

В 1959 г. X Комсомольская конференция физфака МГУ провозгласила: "Учредить праздник День физика. Считать Днём физика день рождения Архимеда. Постановить, что Архимед родился 7 мая 287 г. до н. э."[источник не указан 52 дня ]

Открытый в 2004 году музей математики во Флоренции получил название " Сад Архимеда" ( итал. Il Giardino Di Archimede).

В технике

Почтовая марка России с первым русским винтовым фрегатом "Архимед"

Именем Архимеда назвали один из первых винтовых пароходов " Архимед", заложенный в 1838 году и спущенный в 1839 году в Великобритании. Также в 1848 году на воду спустили первый русский винтовой пароход " Архимед". Его судьба оказалась печальной. Осенью 1850 года он разбился у датского острова Борнхольм. Кроме ряда объектов, а также компьютерных программ, названных в честь Архимеда, в профессиональной среде инженеров обсуждается идея "Клятвы Архимеда". Предполагается, что её следует приносить молодым инженерам по окончании учебного заведения и перед получением диплома.

В художественной литературе

Один из рассказов сборника " Книга апокрифов" классика чешской литературы Карела Чапека носит название "Смерть Архимеда". Автор утверждает, что дело обстояло совершенно не так, как утверждалось ранее. Согласно повествованию Чапека, в дом к Архимеду приходит центурион Люций. Между ним и Архимедом происходит диалог, в ходе которого римлянин пытается убедить учёного перейти на сторону Рима. Во время разговора с Люцием Архимед произносит "Осторожно, не сотри моих кругов". Рассказ заканчивается: " Несколько позже было официально объявлено, что известный учёный Архимед погиб в результате несчастного случая". В апокрифе речь идёт не о свободе учёного от политики, а о несовместимости культуры и агрессивного милитаризма. Сюжет рассказа был навеян предвоенной обстановкой в Чехословакии в 1938 году, а также нападками коллаборационистов на самого писателя за его нежелание идти на сотрудничество с нацистами.

В честь Архимеда названы:

На русском языке

Архимедовы теоремы, Андреем Таккветом, езуитом, выбранные и Георгием Петром Домкиио сокрашенные... / Пер. с лат. И. Сатарова. СПб., 1745. С. 287-457.

Архимеда Две книги о шаре и цилиндре, измерение круга и леммы. / Пер. Ф. Петрушевского. СПб., 1823. 240 стр.

Архимеда Псаммит, или Изчисление песку в пространстве равном шару неподвижных звёзд. / Пер. Ф. Петрушевского. СПб., 1824. 95 стр.

Новое сочинение Архимеда. Послание Архимеда к Эратосфену о некоторых теоремах механики. / Пер. с нем. Одесса, 1909. XVI, 28 стр.

О квадратуре круга (Архимед, Гюйгенс, Ламберт, Лежандр). / Пер. с нем. под ред. С. Н. Бернштейна. (Серия "Библиотека классиков точного знания", 3). Одесса, 1911. 156 стр.
3-е изд. (Серия "Классики естествознания"). М.-Л.: ОНТИ. 1936. 235 стр. 5000 экз.

Архимед. Исчисление песчинок (Псаммит). / Пер. и прим. Г. Н. Попова. (Серия "Классики естествознания"). М.-Л., Гос. техн.-теор. изд. 1932. 102 стр.

Архимед. Сочинения / Перевод, вступительная статья и комментарии И. Н. Веселовского. Перевод арабских текстов Б. А. Розенфельда. - М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1962. - 640 с. - 4000 экз.

На французском языке

Издание в серии "Collection Budé": Archiméde. Oeuvres.

T. I: De la sphère et du cylindre. - La Mesure du cercle. - Sur les conoïdes et les sphéroïdes. Texte établi et traduit par Ch. Mugler. 2e tirage 2003. XXX, 488 p.

T. II: Des spirales. - De l'équilibre des figures planes. - L'Arénaire. - La Quadrature de la parabole. Texte établi et traduit par Ch. Mugler. 2e tirage 2002. 371 p.

T. III: Des corps flottants. - Stomachion. - La Méthode. - Le livre des lemmes. - Le Problème des boeufs. Texte établi et traduit par Ch. Mugler. 2e tirage 2002. 324 p.

T. IV: Commentaires d'Eutocius. - Fragments. Texte établi et traduit par Ch. Mugler. 2e tirage 2002. 417 p.

Комментарии

Пир мудрецов. Книги I-VIII / Пер. Н. Т. Голинкевича. Комм. М. Г. Витковской, А. А. Григорьевой, Е. С. Иванюк, О. Л. Левинской, Б. М. Никольского, И. В. Рыбаковой. Отв. ред. М. Л. Гаспаров. - М.: Наука, 2003. - 656 с. - (Литературные памятники). - ISBN 5-02-011816-8.

Десять книг об архитектуре / Пер. с лат. Ф. А. Петровского. - М.: Изд-во Академии архитектуры, 1936.

Диодор Сицилийский. Историческая библиотека / Перевод, статья, комментарии и указатель О. П. Цыбенко. - М.: Лабиринт, 2000. - (Античное наследие).

Фасты. Книга VI // Элегии и малые поэмы / сост. и предисл. М. Гаспарова. Коммент. М. Гаспарова и С. Ошерова. - М.: Художественная литература, 1973. - 526 с. - (Библиотека античной литературы. Рим).

Плиний Старший. Естественная история // Вопросы истории естествознания и техники / Перевод с лат., комментарии и предисловие Б. А. Старостина. - М., 2007. - № 3. - С. 110-142.

Сравнительные жизнеописания в двух томах / Перевод С. П. Маркиша, обработка перевода для настоящего переиздания - С. С. Аверинцева, переработка комментария - М. Л. Гаспарова. - второе. - М.: Наука, 1994.

Полибий. Всеобщая история. - ОЛМА-ПРЕСС Инвест, 2004. - 576 с. - ISBN 5-94848-201-4.

Тит Ливий. История Рима от основания города / Пер. В. М. Смирина. Комм. Н. Е. Боданской. Ред. переводов М. Л. Гаспаров и Г. С. Кнабе. Ред. комментариев В. М. Смирин. Отв. ред. Е. С. Голубцова. - М.: Наука, 1989.

Марк Туллий Цицерон. Диалоги / Перевод с латинского и комментарии В. О. Горенштейна. Издание подготовили И. Н. Веселовский, В. О. Горенштейн и С. Л. Утченко. - М.: Научно-издательский центр "Ладомир" - "Наука", 1994.

Марк Туллий Цицерон. Тускуланские беседы // Избранные сочинения / Перевод с латинского и комментарии М. Л. Гаспарова. - М.: Художественная литература, 1975.

Литература

Башмакова И. Г., Розенфельд Б. А. [рец. на:] Archimēdous Apanta. Archaion keimenon; metaphrasis, scholia hypo Euangelou S. Stamatē, ekdosis Technikou epimelētēriou tēs Hellados, Athēnai, t. 1, m. 1-2, 1970, t. 2, 1973, t. 3, 1974. Архимед. Полное собрание сочинений. Древний текст; перевод и комментарии Эвангелоса С. Стаматиса, Афины, Изд-во "Технику эпимелитириу тис Элладос", т. 1, ч. 1, 2, 1970; т. 2, 1973; т. 3, 1974 // Вопросы истории естествознания и техники. - М., 1976. - Вып. 53 (4). - С. 77-78.

Берве Гельмут. Тираны Греции. - Ростов-на-Дону: Феникс, 1997. - 640 с. - (Исторические силуэты). - ISBN 5-222-00368-X.

Бондаренко С. Б. Философские взгляды Архимеда (к 2300-летию со дня рождения) // Философия науки. - Институт философии и права СО РАН, 2013. - № 2. - С. 176-185.

Волков А. Р. Поэтика современного литературного апокрифа // Litteraria humanitas IV / Roman Jakobson. Mikulášek, Miroslav (editor). - Брно: 1. vyd. V Brně: Masarykova univerzita, 1996. - С. 399-407. - ISBN 8021014377.

Житомирский С. В. Архимед: Пособие для учащихся. - М.: Просвещение, 1981. - 112 с. - 100 000 экз.

Архимед, краткий очерк о жизни и творчестве. - М.-Л.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1949. - 52 с. - 20 000 экз.

Кораблёв И. Ш. Глава четвёртая. На пути к закату (от Канн до падения Капуи) // Ганнибал. - М.: Наука, 1976. - 399 с.

Лансель, Серж. Осада Сиракуз: Архимед против Марцелла (214-212 годы) // Ганнибал. - М.: Молодая Гвардия, 2002. - (Жизнь замечательных людей). - ISBN 5-235-02483-4.

Лопатухина И. Е. и др. Очерки по истории механики и физики: Учебное пособие для студентов и аспирантов, обучающихся по направлениям: астрономия, математика, механика, прикладная математика, физика. - СПб.: ВВМ, 2016. - 204 с. - ISBN 978-5-9651-1046-9.

Родионов Е. А. Пунические войны. - СПб.: Издательство С.-Петербургского университета, 2005. - (Res militaris). - ISBN 5-288-03650-0.

Серов В. Энциклопедический словарь крылатых слов и выражений. - М.: ООО Издательство "Локид-Пресс", 2005. - ISBN 5-320-00323-4.

Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. - М.: Книга по Требованию, 2013. - Т. 1. - 608 с. - ISBN 978-5-458-52898-6.

Щетников А. И. Задача Архимеда о быках, алгоритм Евклида и уравнение Пелля // Математика в высшем образовании. - 2004. - № 2. - С. 27-40.

История математики. С древнейших времён до начала Нового времени // История математики / Под редакцией А. П. Юшкевича, в трёх томах. - М.: Наука, 1970. - Т. I. - С. 129.

Barrow-Green June, Grsy Jeremy, Wilson Robin. The History of Mathematics: A Source-based Approach (англ.). - Providence, Rhode Island: MAA Press, 2019. - Vol. 1. - ISBN 9781470443528.

Netz R., Noel W. The Archimedes Code. - Weidenfeld & Nicolson, 2007. - 313 p. - ISBN 0-306-81580-X.

Дополнительная литература

Бондаренко С. Б. Жизнь и смерть Архимеда Сиракузского // Вопросы культурологии. - М.: ИД ПАНОРАМА, 2014. - № 10. - С. 38-42.

Ван дер Варден. Пробуждающаяся наука. Математика древнего Египта, Вавилона и Греции. - М.: Наука, 1959. - 456 с.

Веселовский И. Н. Архимед. - М.: Учпедгиз, 1957. - 112 с. - 30 000 экз.

Житомирский С. В. Астрономические работы Архимеда // Историко-астрономические исследования / Отв. ред. Л. Е. Майстров. - 1977. - Вып. XIII. - С. 319-397.

Житомирский С. В. Античная астрономия и орфизм. - М.: Янус-К, 2001. - 164 с. - ISBN 5-8037-0072-X.

Кудрявцев П. С. // Курс истории физики. - 2 изд., испр. и доп.. - М.: Просвещение, 1982. - 448 с.

Щетников А. И. Архимед, корабль Гиерона и "золотое правило механики // Сибирский физический журнал. - 1995. - № 4. - С. 74-76.

Aaboe A., Berggern J. L. Didactical and Other Remarks on Some Theorems of Archimedes and Infinitesimals // Centaurus. - 1996. - Vol. 38. - P. 295-316. - ISSN 0008-8994. - doi:10.1111/j.1600-0498.1996.tb00018.x.

J. L. Berggren. A lacuna in book I of archimedes' sphere and cylinder // Historia Mathematica. - Elsevier, 1977. - Vol. 4. - P. 1-6. - doi:10.1016/0315-0860(77)90028-3.

J. L. Berggren. Spurious Theorems in Archimedes' Equilibrium of Planes: Book I // Archive for History of Exact Sciences. - Springer, 1976. - Vol. 16, № 2. - P. 87-103.

Christianidis Jean, Dialetis Dimitris, Gavroglu Kostas. Having a Knack for the Non-Intuitive: Aristarchus's Heliocentrism through Archimedes's Geocentrism // History of Science. - 2002. - 1 июня (vol. 40, № 128). - P. 147-168. - doi:10.1177/007327530204000202.

Dijksterhuis E. J. Archimedes (англ.). - Copenhagen: E. Munksgaard, 1956.

Drachmann A. G. Fragments from Archimedes in Heron's Mechanics (англ.) // Centaurus. - 1963. - March (vol. 8). - P. 91-146. - doi:10.1111/j.1600-0498.1963.tb00551.x.

Netz Reviel, Saito Ken, Tchernetska Natalie. A New Reading of Method Proposition 14: Preliminary Evidence from the Archimedes Palimpsest (Part 1) // Sciamus. - 2001. - Vol. 2. - P. 9-29.

Netz Reviel, Saito Ken, Tchernetska Natalie. A New Reading of Method Proposition 14: Preliminary Evidence from the Archimedes Palimpsest (Part 2) // Sciamus. - 2001. - Vol. 3. - P. 109-125.

# data[].attributes.attachment_link.title
Архимед - Википедия

# data[].attributes.attachment_link.description
Архиме́д ( др.-греч. ; 287-212 годы до н. э.) - древнегреческий учёный и инженер. Родился и бо́льшую часть жизни прожил в городе Сиракузы на Сицилии. Сделал множество открытий в области геометрии, предвосхитил многие идеи математического анализа. Заложил основы механики, гидростатики, был автором ряда важных изобретений. С именем Архимеда связаны многие математические понятия.

# data[].attributes.body
1484 год
В «Науке о числах» Никола Шюке сопоставляет арифметическую прогрессию с геометрической и даёт общее правило для суммирования любой бесконечно малой убывающей геометрической прогрессии.