# data[].attributes.body
Cirkelsektorns area & omkrets

# data[].attributes.attachment_link.title
Matematik - Cirkelsektorns area & omkrets

# data[].attributes.attachment_link.description
Positions- & talsystem Grundläggande matematik Negativa tal Bråkräkning Multiplikation & division med decimaltal Primtal & faktorisering Enhetsomvandling Potenser Rimlighetsbedömningar

# data[].attributes.body
Cirkelns area

# data[].attributes.attachment_link.description
Positions- & talsystem Grundläggande matematik Negativa tal Bråkräkning Multiplikation & division med decimaltal Primtal & faktorisering Enhetsomvandling Potenser Rimlighetsbedömningar

# data[].attributes.body
Cirkelns omkrets

# data[].attributes.attachment_link.description
Positions- & talsystem Grundläggande matematik Negativa tal Bråkräkning Multiplikation & division med decimaltal Primtal & faktorisering Enhetsomvandling Potenser Rimlighetsbedömningar

# data[].attributes.body
Andra fyrhörninga

# data[].attributes.attachment_link.description
Positions- & talsystem Grundläggande matematik Negativa tal Bråkräkning Multiplikation & division med decimaltal Primtal & faktorisering Enhetsomvandling Potenser Rimlighetsbedömningar

# data[].attributes.body
Kvadrater & rektanglar

# data[].attributes.attachment_link.description
Positions- & talsystem Grundläggande matematik Negativa tal Bråkräkning Multiplikation & division med decimaltal Primtal & faktorisering Enhetsomvandling Potenser Rimlighetsbedömningar

# data[].attributes.body
Olika sorters fyrhörningar

# data[].attributes.attachment_link.description
Positions- & talsystem Grundläggande matematik Negativa tal Bråkräkning Multiplikation & division med decimaltal Primtal & faktorisering Enhetsomvandling Potenser Rimlighetsbedömningar

# data[].attributes.body
Pythagoras sats

# data[].attributes.attachment_link.description
Positions- & talsystem Grundläggande matematik Negativa tal Bråkräkning Multiplikation & division med decimaltal Primtal & faktorisering Enhetsomvandling Potenser Rimlighetsbedömningar

# data[].attributes.body
Triangelns area

# data[].attributes.attachment_link.description
Positions- & talsystem Grundläggande matematik Negativa tal Bråkräkning Multiplikation & division med decimaltal Primtal & faktorisering Enhetsomvandling Potenser Rimlighetsbedömningar

# data[].attributes.body
Triangelns omkrets

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
Triangeln, trekanten, eller trehörningen är tre namn på samma sak: en geometrisk form med tre raka sidor och tre hörn. Trianglar kan se ut på många olika sätt, men alla trianglar har några saker gemensamt:

du räknar ut deras omkrets på samma sätt.

du räknar ut deras area - eller yta - på samma sätt.

de har alltid samma vinkelsumma.

Nu skall vi titta på omkretsen. Arean och vinklarna får du lära dig en annan gång.

Omkrets - avstånd runtom

Omkretsen är ju avståndet runtom, längs med, ytterkanten.

För att den här geten inte skall rymma, behöver du sätta upp ett stängsel. Hur mycket staket skall du köpa? Jo, staketet skall ju följa omkretsen av den här triangelformade beteshagen. Och omkretsen av en triangel får du genom att addera de tre sidornas längd. Säg att den enda sidan är 3 meter, den andra är 4 meter och den tredje är 5 meter.

Omkretsen blir då 12 meter.

Om du kallar triangelns sidor för a, b och c, så kan man skriva om uttrycket.

Det här funkar alltid, på alla trianglar. Men det finns trianglar där det till och med kan bli lite enklare.

Liksidig triangel

Titta på triangeln till höger. På den är alla tre sidor exakt lika långa. En triangel som har tre exakt lika långa sidor kallas för en liksidig triangel. Detta markerar vi genom att dra ett litet streck på tvären genom alla sidor som är lika.

Med tre sidor som alla är lika långa kan vi använda multiplikation istället för addition om vi vill. Säg att sidorna är 4 meter.

Då har triangeln en omkrets på 12 meter.

Eller mer generellt, om en liksidig triangel har sidan a, så är omkretsen lika med 3a.

3a utan räknesätt betyder gånger.

Exempel 3 - val av diagram

Titta på den här triangeln. Den har två sidor som är lika långa och en som inte är det. Vi sätter tvärstreck på två av benen för att markera att de är lika långa. En triangel som har två ben som är lika långa är en likbent triangel. Och med två ben som är 5 meter och en bas som är 3, blir omkretsen

2 · 5 + 3 = 13 meter.

Eller mer generellt, om de lika benen är a lång a och det tredje benet är b långt, så kan vi skriva om det till

Sammanfattning

Omkrets är sträckan runt figurens ytterkant och den får du enklast genom att addera de tre kanternas längder.

En liksidig triangel har alla tre lika långa sidor, eller ben.

En likbent triangel har två lika långa ben.

# data[].attributes.attachment_link.description
Triangeln, trekanten, eller trehörningen är tre namn på samma sak: en geometrisk form med tre raka sidor och tre hörn. Trianglar kan se ut på många olika sätt, men alla trianglar har några saker gemensamt: du räknar ut deras omkrets på samma sätt. du räknar ut deras area - eller yta - på samma sätt.

# data[].attributes.body
Triangeln och dess vinklar

# data[].attributes.attachment_link.description
Positions- & talsystem Grundläggande matematik Negativa tal Bråkräkning Multiplikation & division med decimaltal Primtal & faktorisering Enhetsomvandling Potenser Rimlighetsbedömningar

# data[].attributes.body
Vinklar

# data[].attributes.attachment_link.description
Positions- & talsystem Grundläggande matematik Negativa tal Bråkräkning Multiplikation & division med decimaltal Primtal & faktorisering Enhetsomvandling Potenser Rimlighetsbedömningar

# data[].attributes.body
Mönster

# data[].attributes.attachment_link.description
Positions- & talsystem Grundläggande matematik Negativa tal Bråkräkning Multiplikation & division med decimaltal Primtal & faktorisering Enhetsomvandling Potenser Rimlighetsbedömningar

# data[].attributes.body
Introduktion

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
På stenåldern, behövdes inte så mycket matematik. Men, när de första civilisationerna tog form, för runt 5000 år sedan, då blev livet allt mer komplicerat, och det uppstod fler tillfällen när man behövde räkna ut saker....

En bondes tre barn skall ärva hans åkrar, och han behöver veta hur stora de är. Hur räknar han ut det?

Två fiskare skall ha en ny mast till sin båt, och behöver räkna ut om trädet är tillräckligt högt.

Och hur mycket vatten ryms i en brunn?

För att kunna svara på såna här frågor behövde människorna hitta metoder att mäta och räkna ut längder, ytor, vinklar och volymer. Och det gjorde de. Det mesta av den geometri som du lär dig i grundskolan utvecklades faktiskt under den här perioden, för mellan 5000 och 2000 år sedan.

Många gånger gjorde människor på olika platser i världen samma matematiska upptäckter, utan att känna till att någon annan redan klurat ut en lösning på just det problemet. Några platser där vi vet att människor var tidiga med att lösa geometriska problem var Indusdalen i dagens Pakistan, Babylonien, där Irak ligger idag, och Egypten.

Euklides levde för 2300 år sedan i Alexandria. Han var en skicklig matematiker, men inte bara det. Han skrev också sammanlagt 13 böcker, där han sammanfattar all kunskap om geometri som var känd i Egypten vid den här tiden. Och det var ganska mycket.

Dimensioner

Tänk dig en kvadrat. Den känner du säkert igen. Den har en längd och en bredd, men ingen tjocklek. Den är alldeles platt.

Längd och bredd: Två dimensioner. Kvadraten är en 2-dimensionell figur.

När vi tar bort tre av sidorna på kvadraten. Vad får vi kvar då?

Ett rakt streck?

Vi kan kalla det så, men inom geometrin heter det egentligen ett linjesegment och nu finns det bara en dimension: Längden. Ingen bredd, ingen yta, ingen tjocklek. Bara längd. En dimension.

Så tar vi bort längden också, och behåller bara en punkt. Pricken du ser här är kanske några millimeter i diameter. Men nu pratar vi om geometri. Och då är det inte en prick, utan en punkt och i geometrin har punkter ingen storlek alls.

En punkt har noll dimensioner, ingen längd, ingen bredd och ingen höjd. Den är bara en position, en exakt plats. Men den kan finnas i en tredimesionell rymd, i ett rum.

Punkten befinner sig på en plats som kan beskrivas i breddled, i höjdled och i djupled. Ibland kallar vi dem x, y och z.

(Just det här sättet att beskriva positioner finns inte med i Euklides Elementa-böcker. Det var först på 1600-talet som fransmannen René Descartes hittade på det här systemet. Men Euklides skulle nog ha gillat det om han kunde se det.)

Här är en punkt till. Har vi två punkter kan vi dra en linje genom dem.

En linje är oändligt lång, har ingen bredd eller tjocklek, och är helt rak.

Om linjen går från en punkt, genom en annan och vidare mot oändligheten, då är det en stråle.

Om vi klipper av strålen vid den andra punkten, då har vi vårt linjesegment igen.

Där har du dem, de tre endimensionella geometriska formerna:

Linje, stråle och linjesegment.

Två dimensioner

Skall vi släppa in den andra dimensionen?

Där har vi vår kvadrat igen och en triangel, och en cirkel. En rektangel, och en romb. Det finns många tvådimensionella geometriska figurer.

De är platta, saknar helt tjocklek. Du kan mäta deras area, ytan alltså, i till exempel kvadratmeter. Men de har ingen volym.

Tre dimensioner

Om vi väcker den tredje dimensionen till liv också, då kan vi göra former som har volym.

En kub, ett rätblock, en cylinder, en tetraeder och ett klot till exempel.

De har längd, höjd och bredd. De har en yta som går att mäta, men också en volym - en kropp, ett innehåll. Som tar plats. Som kan fyllas med luft, eller vatten, och mätas i liter eller kubikmeter.

De här figurerna har tre dimensioner, och i de här tre dimensionerna uppför sig figurerna som du är van vid: En triangel kan inte ha fler än en rät vinkel och två parallella linjer möts aldrig.

Det finns andra geometrier, där andra regler gäller. Men de får du lära dig om en annan gång. Ännu så länge nöjer vi oss med vanlig skolgeometri, eller Euklidisk geometri som vi brukar kalla den, som en hyllning till gamle Euklides.

Sammanfattning

Den första geometrin utvecklades för 5000 till 2000 år sedan, på flera olika platser

En punkt har noll dimensioner

De endimensionella geometriska formerna har bara längd: Linje, stråle, linjesegment

De tvådimensionella geometriska formerna har längd och höjd: Triangel, kvadrat, cirkel, romb, mm.

De tredimensionella geometriska formerna har längd, höjd och bredd: Kub, rätblock, cylinder, klot, mm.

# data[].attributes.attachment_link.description
På stenåldern, behövdes inte så mycket matematik. Men, när de första civilisationerna tog form, för runt 5000 år sedan, då blev livet allt mer komplicerat, och det uppstod fler tillfällen när man behövde räkna ut saker.... En bondes tre barn skall ärva hans åkrar, och han behöver veta hur stora de är.