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RAFAEL 3W, GABRIELA 3X, MARIA CLARA 3X

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Posições relativas entre reta e circunferência

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Posições relativas entre reta e circunferência

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Considere uma circunferência no plano de cento O(xo, yo) e raio r. Dada uma reta s de equação ax + by +c = 0, também do mesmo plano. A reta s pode ser tangente, secante ou externa à circunferência. Se s for tangente, ela toca a circunferência em um só ponto. Se s for secante, intercepta a circunferência em dois pontos distintos. E se for externa à circunferência, a reta s não possui nem um ponto em comum com a circunferência.

Do ponto de vista de geometria analítica, temos:

1º caso: A reta s é externa à circunferência.

Nesse caso, a distância entre o centro O e a reta s é maior que a medida do raio. Ou seja:
dO,s > r

2º caso: A reta s é tangente à circunferência.

Nesse caso, a distância entre o centro O e a reta s é exatamente igual ao raio. Ou seja:
dO,s = r

3º caso: A reta s é secante à circunferência.

Nesse caso, a distância entre o centro O e a reta s é menor que a medida do raio. Ou seja:
dO,s < r

Exemplo 1. Verifique a posição relativa entre a reta s: 3x + y – 13 = 0 e a circunferência de equação (x – 3)² + (y – 3)² = 25.
Solução: Devemos calcular a distância entre o centro da circunferência e a reta s e comparar com a medida do raio. Da equação da circunferência, obtemos:

x₀ = 3 e y₀ = 3 → O(3, 3)
r² = 25 → r = 5

Vamos utilizar a fórmula da distância entre ponto e reta para calcular a distância entre O e s.

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Da equação geral da reta, obtemos:
a = 3, b = 1 e c = – 13

Assim,

Como a distância entre o centro O e a reta s é menor que o raio, a reta s é secante à circunferência.

Exemplo 2. Verifique se a reta s: 2x + y + 2 = 0 é tangente à circunferência de equação (x – 1)² + (y – 1)² = 5.
Solução: Devemos verificar se a distância do centro da circunferência até a reta s é igual à medida do raio. Da equação da circunferência, temos que:

x₀ = 1  e y₀ = 1 → O(1, 1)
r² = 5 → r = √5

E da equação da reta, obtemos:
a = 2, b = 1 e c = 2

Vamos aplicar a fórmula da distância entre ponto e reta.

Como a distância entre o centro O e a reta s é exatamente igual à medida do raio, podemos afirmar que a reta s é tangente à circunferência.

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Equação reduzida e geral da circunferência

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Equação reduzida e geral da circunferência

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A circunferência é uma figura geométrica plana com forma circular, formada por um conjunto de pontos a uma certa distância de um centro qualquer.

A distância do centro é determinada pelo tamanho do raio (r).

Definição

Seja um ponto C, chamado de centro, e uma medida não nula r, chamada de raio, definimos uma circunferência ao lugar geométrico dos pontos do plano a uma distância r do ponto C.

Corda, Raio e Diâmetro

A corda de uma circunferência é um segmento de reta ligando dois pontos da extremidade. A corda quando passa pelo centro recebe o nome de diâmetro.

O raio é um segmento de reta que conecta o centro a um ponto qualquer da sua extremidade.

O diâmetro é igual a duas vezes a medida do raio, ou seja, é um segmento de reta que conecta um ponto a outro ponto da extremidade, passando pelo centro.

O diâmetro divide a circunferência em duas metades iguais. Então, a medida do diâmetro é 2 . r.

Equação Reduzida

Considere uma circunferência com centro C(a; b) e raio r. Seja um ponto P(x; y) que pertence à circunferência, então temos:

P ∈ a circunferência ⇔ d PC = r ⇔

Assim, a equação r² = (x – a)² + (y – b)² é a equação reduzida da circunferência. Se a circunferência estiver com centro na origem C(0; 0), a equação reduzida ficará assim: r² = x² + y².

Equação Geral

Se desenvolvermos a equação reduzida r² = (x – a)² + (y – b)², teremos:

x² – 2ax + a² + y² – 2by + b² = r² ⇔ x² + y² –2ax– 2by + a² + b² – r² = 0

Se igualarmos -2a = m; -2b = n e a² + b² = p, temos como resultado a expressão:

x² + y² + m . x + n . y + p = 0

Que é chamada de equação geral da circunferência.

Área

A área é calculada fazendo o produto da medida do raio pela constante π. Para isso, temos a seguinte fórmula:

A = πr²

Onde:

A: é a área;

r: é o raio;

π: é o número pi (3,14)..

Perímetro

O perímetro é a medida da borda da figura. Que é calculado pelo produto entre o raio e duas vezes a constante π. Então, para calcular o perímetro temos a seguinte fórmula:

P = 2 . π . r

Onde:

P: é o perímetro;

r: é o raio;

π: é o número pi (3,14).

Leia mais sobre perímetros de figuras planas.

Comprimento

O comprimento é determinado pelo tamanho do raio, que é igual a calcular a medida do perímetro.

Assim, para calcular o comprimento usamos a seguinte fórmula:

C = 2 . π . r

Onde:

C: é o comprimento;

r: é o raio;

π: é o número pi (3,14).

Circunferência e Círculo

Circunferência e círculo possuem uma diferença sutil, porém não são a mesma coisa. A circunferência é denominada a borda curva da figura e o círculo é a parte interna limitada pela linha curva.

Ambas as figuras planas são bem parecidas, inclusive as fórmulas para calcular a área e o perímetro são iguais.

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A área de uma região triangular é dada pela seguinte fórmula:

h = medida da altura
b = medida da base
Podemos escrever: a área de uma região triangular é dada pela metade do produto da medida base pela medida da altura correspondente.

Exemplo 1

Nem sempre podemos usar a fórmula citada anteriormente, pois em algumas situações a base ou a altura não são dadas, tendo então que recorrer à Fórmula de Heron.

Dado um triângulo de lados a, b e c temos:

Onde p é o valor do semiperímetro.

Exemplo 2

Há outra forma de calcular a área de um triângulo, quando conhecemos as medidas de dois de seus lados e a medida do ângulo formado por eles, a área da região será calculada da seguinte forma:

Exemplo 3

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A Geometria Analítica objetiva seus estudos através da conciliação entre a Álgebra e a Geometria. Dessa forma, algumas situações podem ser analisadas metodicamente, através da interpretação geométrica e das relações algébricas.
Uma dessas importantes relações da Geometria Analítica é a distância entre um ponto e uma reta no plano cartesiano.

A distância entre um ponto e uma reta é calculada unindo o próprio ponto à reta através de um segmento, que deverá formar com a reta um ângulo reto (90º). Para estabelecer a distância entre os dois necessitamos da equação geral da reta e da coordenada do ponto. A figura a seguir estabelece a condição gráfica da distância entre o ponto P e a reta r, sendo o segmento PQ a distância entre eles.

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Estabelecendo a equação geral da reta s: ax + by + c = 0 e a coordenada do ponto P(x₀,y₀), conseguimos chegar à expressão capaz de calcular a distância entre o ponto P e a reta s:

d = |ax₀ + by₀ + c|
√(a² + b²)

Essa expressão surge de uma generalização feita, podendo ser utilizada nas situações em que envolve o cálculo da distância entre um ponto qualquer e uma reta.

Exemplo

Dado o ponto A(3, -6) e r: 4x + 6y + 2 = 0. Estabeleça a distância entre A e r utilizando a expressão dada anteriormente.

Temos que:
x: 3
y: -6
a: 4
b: 6
c: 2

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Posições relativas de duas retas no plano

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Posições relativas de duas retas no plano

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Duas retas podem ser representadas em um plano cartesiano de forma paralela ou concorrente. Mas cada uma dessas formas possui características e elementos que ajudam na identificação da forma que estão dispostas no plano, sem ser preciso construir o gráfico.

Retas paralelas

Duas retas são paralelas se não tiverem nenhum ponto em comum ou todos em comum e seus coeficientes angulares forem iguais ou não existirem.

As retas u e t são paralelas e distintas. E por serem perpendiculares ao eixo Ox os seus coeficientes angulares não irão existir.

As retas u e t são paralelas e coincidentes, pois possuem todos os pontos em comum. E por serem perpendiculares ao eixo Ox os seus coeficientes angulares não irão existir.

As retas u e t são paralelas e distintas. E os seus coeficientes angulares serão iguais.

As retas u e t são paralelas e coincidentes, pois possuem todos os pontos em comum. E os seus coeficientes angulares serão iguais.

Retas concorrentes

Duas retas são concorrentes se possuírem apenas um ponto em comum. E seus coeficientes angulares poderão ser diferentes ou um existir e o outro não.

As retas u e t são coincidentes e as inclinações das retas são diferentes de 90°. Assim, seus coeficientes angulares serão diferentes.

As retas u e t são concorrentes e a inclinação da reta t é de 90°, sendo assim seu coeficiente angular não irá existir, mas o coeficiente da reta u existe, pois não é perpendicular ao eixo Ox.

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A equação da reta pode ser determinada representando-a no plano cartesiano (x,y). Conhecendo as coordenadas de dois pontos distintos pertencentes a reta podemos determinar sua equação.

Também é possível definir uma equação da reta a partir de sua inclinação e das coordenadas de um ponto que lhe pertença.

Equação geral da reta

Dois pontos definem uma reta. Desta forma, podemos encontrar a equação geral da reta fazendo o alinhamento de dois pontos com um ponto (x,y) genérico da reta.

Sejam os pontos A(xa,ya) e B(xb,yb), não coincidentes e pertencentes ao plano cartesiano.

Três pontos estão alinhados quando o determinante da matriz associada a esses pontos é igual a zero. Assim devemos calcular o determinante da seguinte matriz:

Desenvolvendo o determinante encontramos a seguinte equação:

(ya - yb) x + (xa - xb) y + xayb - xb - ya = 0

Vamos chamar:

a = (ya - yb)
b = (xa - xb)
c = xayb - xb - ya

A equação geral da reta é definida como:

ax + by + c = 0

Onde a, b e c são constantes e a e b não podem ser simultaneamente nulos.

Exemplo

Encontre uma equação geral da reta que passa pelos pontos A(-1, 8) e B(-5, -1).

Primeiro devemos escrever a condição de alinhamento de três pontos, definindo o matriz associada aos pontos dados e a um ponto genérico P(x,y) pertencente a reta.

Desenvolvendo o determinante, encontramos:

(8+1)x + (1-5)y + 40 + 1 = 0

A equação geral da reta que passa pelos pontos A(-1,8) e B(-5,-1) é:

9x - 4y + 41 = 0

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A equação fundamental da reta possui coeficiente angular que é representado por m. Para que possamos encontra-lo, é necessário utilizar as coordenadas referentes aos pontos da reta. Podemos definir essa equação da seguinte forma:

Seja r uma reta não vertical que passa pelos pontos P(x ₀, y ₀) e Q(x, y), com coeficiente angular m; a equação fundamental da reta é dada por:

y−y0=m.(x−x0)

Essa equação representa todos os pontos do plano cartesiano que pertencem à reta.

Para compreender melhor como obtemos essa fórmula, observe o gráfico a seguir:

Veja que a distância no eixo vertical (ordenada) é representada por:

Dy=y−y0

Já a distancia no eixo horizontal (abscissa) é dado por:

Dx=x−x0

Para calcularmos o coeficiente angular (m), utilizamos a seguinte fórmula:

m=y−y0x−x0

Exemplo 1: Obtenha a equação da reta r que passa pelo ponto P(x₀, y₀) = P(- 3, 1) e possui coeficiente angular m = 2.

Dados da questão:

x₀ = - 3

y₀ = 1

m = 2

Substitua os valores x₀, y₀, m; na equação fundamental da reta.

y – y₀ = m . (x – x₀)

y – 1 = 2 . [x – (- 3)]

y – 1 = 2 . [x + 3]

y – 1 = 2x + 6

- 2x + y – 7 = 0

Exemplo 2: Encontre a equação da reta que passa pelos pontos A(- 2, - 3) e B( -1, + 5).

Dados da questão:

A(- 2, - 3) → x₀ = - 2 e y₀ = - 3

B( -1, + 5) → x = - 1 e y = + 5

m = ?

Aplique a formula para calcular coeficiente angular e substitua as coordenadas dos pontos A e B.

m=y−y0x−x0

m=5−(−3)−1−(−2)

m=5+3−1+2

m=81=8

Para encontrar a equação da reta, substitua o valor do coeficiente angular (m = 8) e das coordenadas do ponto A na equação geral da reta.

y – y₀ = m . (x – x₀)

y – (- 3) = 8 . [x – (– 2)]

y + 3 = 8 . [x + 2]

y + 3 = 8x + 16

– 8x + y – 13 = 0

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A fórmula que será apresentada para facilitar o cálculo do coeficiente angular de uma reta só poderá ser utilizada por retas não-verticais, ou seja, retas onde sua inclinação é maior ou igual a 0° e menor que 180°, sendo diferente de 90°.

Veja os passos que foram levados em consideração para obter o cálculo do coeficiente angular de uma reta.

Considere os pontos A(xA, yA) e B(yB, yB), esses formam uma reta t no plano cartesiano de inclinação α:

Prolongando o segmento de reta que passa pelo ponto A paralelo ao eixo Ox formamos um triângulo retângulo BMA. E um ângulo equivalente ao da inclinação da reta.

Levando em consideração o triângulo retângulo BMA e o seu ângulo α, teremos como cateto oposto a yB – yA e cateto adjacente xB – xA.

Sabendo que:

• O coeficiente angular de uma reta é o mesmo que a tangente do ângulo de inclinação.
• A função tangente é calculada pela razão do cateto oposto pelo cateto adjacente.

Assim, podemos concluir que o coeficiente angular (m) de uma reta será calculado através da seguinte fórmula:

m = tg α = yB – yA
xB – xA

ou

m = ∆y
∆x

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O alinhamento de três pontos pode ser determinado aplicando o cálculo do determinante de uma matriz de ordem 3x3. Ao calcular o determinante da matriz construída utilizando as coordenadas dos pontos em questão e encontrando valor igual a zero, podemos afirmar que existe colinearidade dos três pontos. Observe os pontos no plano cartesiano a seguir:

As coordenadas dos pontos A, B e C são:

Ponto A (x1,y1)
Ponto B (x2,y2)
Ponto C (x3,y3)

Através dessas coordenadas iremos montar a matriz 3x3, as abscissas dos pontos constituirão a 1ª coluna; as ordenadas, a 2ª coluna e a terceira coluna será complementada com o número um.

Aplicando Sarrus temos:

x1*y2*1 + y1*1*x3 + 1*x2*x3 – (y1*x2*1 + x1*1*y3 + 1*y2*x3) = 0
x1y2 + y1x3 + x2*x3 – y1x2 – x1y3 – y2x3 = 0

Exemplo 1

Vamos verificar se os pontos P(2,1), Q(0,-3) e R(-2,-7) estão alinhados.
Resolução:
Vamos construir a matriz através das coordenadas dos pontos P, Q e R e aplicar Sarrus.

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2*(–3)*1 + 1*1*(–2) + 1*(–7)*0 – [1*(–3)*( –2) + 1*0*1 + 2*(–7)*1] = 0
– 6 – 2 – 0 – [6 + 0 – 14] = 0
– 8 – 6 +14 = 0
–14 + 14 = 0
0 = 0

Podemos verificar que os pontos estão alinhados, pois o determinante da matriz das coordenadas dos pontos é nulo.

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O ponto médio de um segmento de reta é o ponto que separa o segmento em duas partes com medidas iguais.

O segmento de reta possui inúmeros pontos alinhados, mas somente um deles divide o segmento em duas partes iguais. A identificação e a determinação do ponto médio de um segmento de reta serão demonstrados com base na ilustração a seguir:

O segmento de reta AB possui um ponto médio (M) com as seguintes coordenadas (xM, yM). Observe que os triângulos AMN e ABP são semelhantes e possuem três ângulos iguais. Dessa forma, podemos aplicar a seguinte relação entre os segmentos que formam os triângulos. Veja:

AM = AN
AB    AP

Podemos concluir que AB = 2 * (AM), considerando que M é o ponto médio do segmento AB.

AM = AN
2AM   AP

AN = 1
AP    2

AP = 2AN

xP – xA = 2*(xM – xA)
xB – xA = 2*(xM – xA)
xB – xA = 2xM – 2xA
2xM = xB – xA + 2xA
2xM = xA + xB
xM = (xA + xB)/2

Por meio de um método análogo, conseguimos demonstrar que yM = (yA + yB )/2.

Portanto, considerando M o ponto médio do segmento AB, temos a seguinte expressão matemática para determinar as coordenadas do ponto médio de qualquer segmento no plano cartesiano:

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Percebemos que o cálculo da abscissa xM é a média aritmética entre as abscissas dos pontos A e B. Assim, o cálculo da ordenada yM é a média aritmética entre as ordenadas dos pontos A e B.

Exemplos

→ Dadas as coordenadas dos pontos A(4,6) e B(8,10) pertencentes ao segmento AB, determine as coordenadas do ponto médio desse segmento.

XA = 4
yA = 6
xB = 8
yB = 10

xM = (xA + xB) / 2
xM = (4 + 8) / 2
xM = 12/2
xM = 6

yM = (yA + yB) / 2
yM = (6 + 10) / 2
yM = 16 / 2
yM = 8

As coordenadas do ponto médio do segmento AB são xM (6, 8).

→ Dados os pontos P(5,1) e Q(–2,–9), determine as coordenadas do ponto médio do segmento PQ.

XM = [5 + (–2)] / 2
xM = (5 – 2) / 2
xM = 3/2

yM = [1 + (–9)] / 2
yM = (1 – 9) / 2
yM = –8/2
yM = –4

Portanto, M(3/2, –4) é o ponto médio do segmento PQ.

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distancia entre dois pontos

A distância entre dois pontos é a medida do segmento de reta que os une.

Podemos fazer o cálculo dessa medida usando a Geometria Analítica.

Distância entre dois pontos no plano

No plano, um ponto fica totalmente determinado conhecendo um par ordenado (x, y) associado a ele.

Para conhecer a distância entre dois pontos, iremos inicialmente representá-los no plano cartesiano, para então calcular essa distância.

Exemplos:

1) Qual a distância entre o ponto A (1,1) e o ponto B (3,1)?

d(A,B) = 3 - 1 = 2

2) Qual a distância entre o ponto A (4,1) e o ponto B (1,3)?

Note que a distância entre o ponto A e o ponto B é igual a hipotenusa do triângulo retângulo de catetos 2 e 3.

Assim, usaremos o teorema de Pitágoras para calcular a distância entre os pontos dados.

[d(A,B)]² = 3² + 2² = √13

Fórmula da distância entre dois pontos no plano

Para encontra a fórmula da distância, podemos generalizar o cálculo feito no exemplo 2.

Para dois pontos quaisquer, tais como A (x₁,y₁) e B (x₂, y₂), temos: