# data[].attributes.location_name
Финнёй, Ставангер, Норвегия

# data[].attributes.headline
  Нильс Хенрик Абель 

# data[].attributes.subject
  Нильс Хенрик Абель 

# data[].attributes.body
Финнёй, Норвегия.(1802-1829) XIX век

В алгебре Абель нашёл необходимое условие для того, чтобы корень уравнения выражался «в радикалах» через коэффициенты этого уравнения. Абель привел конкретные примеры уравнения 5-й степени, чьи корни нельзя выразить в радикалах.

Биноминальная теорема Абеля.

Источник: https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%91%D0%B8%D0%BD%D0%BE%D0%BC%D0%B8%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%90%D0%B1%D0%B5%D0%BB%D1%8F

# data[].attributes.location_name
Париж, Франция

# data[].attributes.headline
    Огюстен Коши 

# data[].attributes.subject
    Огюстен Коши 

# data[].attributes.body
Париж, Франция.(1789-1857)

В 1821 году он установил дополнительно интервал сходимости биномиального ряда.

Источник: http://vestnik.yspu.org/releases/2010_e3g/09.pdf

# data[].attributes.location_name
Базель, Швейцария

# data[].attributes.headline
    Леонард Эйлер 

# data[].attributes.subject
    Леонард Эйлер 

# data[].attributes.body
Базель, Швейцария.(1707-1783)

Седьмая часть научных работ Эйлера посвящена теории чисел. Самым значительным изданным трудом Эйлера по теории чисел являются его «Арифметические сочинения» (1849 г.). Ученый называл биномиальные коэффициенты характеристиками».

Источник: http://mathscinet.ru/files/2Euler.pdf

# data[].attributes.location_name
Базель, Швейцария

# data[].attributes.headline
    Якоб Бернулли 

# data[].attributes.subject
    Якоб Бернулли 

# data[].attributes.body
Базель, Швейцария.(1655-1705)

Распределение Бернулли описывает ситуацию, когда случайная переменная может принимать только два возможных значения. Биномиальное распределение возникает при выборке данных из распределения Бернулли. Соответствующее количество попыток будет определяться сочетаниями без повторений из n по k:

Cnk=n!(n−k)!k! – или биномиальными коэффициентами.

Формула Бернулли:  Распределение числа успехов (появлений события) называют биномиальным распределением.

Источник: https://reshator.com/sprav/algebra/9-klass/ispytaniya-bernulli/

# data[].attributes.location_name
Линкольншир, Англия, Великобритания

# data[].attributes.headline
     Исаак Ньютон 

# data[].attributes.subject
     Исаак Ньютон 

# data[].attributes.body
Линкольншир, Англия.(1643-1727)

Ньютон вывел формулу бинома для более общего случая, когда показатель степени – произвольное действительное число (позднее она была распространена и на комплексные числа). Бином Ньютона – формула разложения произвольной натуральной степени двучлена (a+b)n в многочлен. В общем случае бином представляет собой бесконечный ряд.

Источник: https://school-science.ru/7/7/40031

# data[].attributes.location_name
Кент, Англия, Великобритания

# data[].attributes.headline
     Джон Уоллис 

# data[].attributes.subject
     Джон Уоллис 

# data[].attributes.body
Кент, Англия.(1616-1703)

В своем «Трактате по алгебре» он вплотную подошел к открытию биномиального ряда. Неполная математическая индукция привела его к обобщению результата на все дробные, а затем и отрицательные показатели степени. Своими работами ученый подготовил почву для расширения понятия степени бинома.

Источник: https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%92%D0%B0%D0%BB%D0%BB%D0%B8%D1%81,_%D0%94%D0%B6%D0%BE%D0%BD

# data[].attributes.location_name
Клермон-Ферран, Франция

# data[].attributes.headline
     Блез Паскаль 

# data[].attributes.subject
     Блез Паскаль 

# data[].attributes.body
Клермон-Ферран, Франция.(1623-1662)

«Трактат об арифметическом треугольнике» - основной заслугой автора является то, что он исследует свойства биномиальных коэффициентов при возвышении бинома в любую целую положительную степень (частный случай бинома Ньютона). Паскаль находит их, впервые в истории математики сознательно применяя метод полной математической индукции, — способ рассуждения от n к n+1. Треугольник Паскаля – бесконечная таблица биномиальных коэффициентов, имеющая треугольную форму.

Источник: https://www.initeh.ru/txt/mpaskal24.shtml

# data[].attributes.location_name
Бомон-де-Ломань, Франция

# data[].attributes.headline
      Пьер Ферма 

# data[].attributes.subject
      Пьер Ферма 

# data[].attributes.body
Бомон-де-Ломань, Франция.(1601-1665)

Большой интерес вызывали у Ферма фигурные числа. В 1637 году он сформулировал так называемую «золотую теорему»: «Всякое натуральное число – либо треугольное, либо сумма двух или трех треугольных чисел».

Независимо от Паскаля Ферма разработал основы теории вероятностей. Именно с переписки Ферма и Паскаля (1654), в которой они, в частности, пришли к понятию математического ожидания и теоремам сложения и умножения вероятностей, отсчитывает свою историю эта замечательная наука. Результаты Ферма и Паскаля были приведены в книге Гюйгенса «О расчетах в азартной игре» (1657), первом руководстве по теории вероятностей.

Источник: https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D0%B5%D1%80%D0%BC%D0%B0,_%D0%9F%D1%8C%D0%B5%D1%80

# data[].attributes.location_name
Брешиа, Италия

# data[].attributes.headline
   Никколо Тарталья 

# data[].attributes.subject
   Никколо Тарталья 

# data[].attributes.body
Брешиа, Италия.(1499-1557)

«Общий трактат о числе и мере». Таблица Тартальи имела следующий вид.

Источник: https://nauka.club/matematika/binom-nyutona.html

# data[].attributes.location_name
Болонья, Италия

# data[].attributes.headline
    Рафаэль Бомбелли (Маццоли)       

# data[].attributes.subject
    Рафаэль Бомбелли (Маццоли)       

# data[].attributes.body
Болонья, Италия.(≈ 1526-1572)

Главный труд Бомбелли — «Алгебра» написана около 1560 года и издана в 1572 году. В своей «Алгебре» он привел разложение бинома до n = 7, используя коэффициенты при вычислении соответствующих корней.

Источник: https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%91%D0%BE%D0%BC%D0%B1%D0%B5%D0%BB%D0%BB%D0%B8,_%D0%A0%D0%B0%D1%84%D0%B0%D1%8D%D0%BB%D1%8C

# data[].attributes.location_name
Павия, Италия

# data[].attributes.headline
  Джероламо Кардано 

# data[].attributes.subject
  Джероламо Кардано 

# data[].attributes.body
Павия, Италия.(1501-1576)

Ряд биномиальных соображений находится в «Новом труде о пропорциональностях» (1570), где автор ввел со ссылкой на Штифеля биномиальные коэффициенты. Вслед за этим арифметический треугольник получил повсеместное распространение.

Источник: http://vestnik.yspu.org/releases/2010_e3g/09.pdf

# data[].attributes.location_name
Эсслинген-на-Неккаре, Германия

# data[].attributes.headline
   Михаэль Штифель 

# data[].attributes.subject
   Михаэль Штифель 

# data[].attributes.body
Эсслинген-на-Неккаре, Германия.(1487-1567)

В его главном труде «Полная арифметика» (Arithmetica integra, Нюрнберг, 1544) он опубликовал правило образования биномиальных коэффициентов и составил их таблицы до 18-й степени.

Источник: https://matemonline.com/2012/02/mihael-shtil/

# data[].attributes.location_name
Лайсниг, Германия

# data[].attributes.headline
     Петер Апиан 

# data[].attributes.subject
     Петер Апиан 

# data[].attributes.body
Лайсниг, Германия.(1495-1552)

Треугольник Паскаля воспроизведен на титульном листе учебника арифметики, написанном Петром Апианом.

Источник: https://ru.qaz.wiki/wiki/Petrus_Apianus

# data[].attributes.location_name
Кашан, Эсфахан, Иран

# data[].attributes.headline
Гиясаддин Джамшид аль-Каши 

# data[].attributes.subject
Гиясаддин Джамшид аль-Каши 

# data[].attributes.body
Кашан, Персия.(1380-1429)

В трактате «Ключ арифметики» приведены приемы извлечения корней любой степени, более систематично разработана система десятичных дробей, описаны правила действий над ними. Аль-Каши дал правила приближенного решения уравнений высших степеней. Его имя носит правило суммирования четвертых степеней чисел натурального ряда: 1⁴ + 2⁴ + 34 +...+ m⁴ = 1/30(6m⁵ + l5m⁴ + 10m³ - m).

Источник: https://news.myseldon.com/ru/news/index/233032963

# data[].attributes.location_name
Пиза, Италия

# data[].attributes.headline
      Фибоначчи    (Леонардо Пизанский)  

# data[].attributes.subject
      Фибоначчи    (Леонардо Пизанский)  

# data[].attributes.body
Пиза, Италия.(1170-1250)

«Книга абака» - в XII главе приводятся задачи на суммирование рядов – арифметической и геометрической прогрессий, ряда квадратов и, впервые в истории математики, возвратного ряда, приводящего к последовательности так называемых чисел Фибоначчи.

Источник: https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D0%B8%D0%B1%D0%BE%D0%BD%D0%B0%D1%87%D1%87%D0%B8

# data[].attributes.location_name
Тус, Хорасан-Резави, Иран

# data[].attributes.headline
 Насир ад-Дин ат-Туси 

# data[].attributes.subject
 Насир ад-Дин ат-Туси 

# data[].attributes.body
Тус, Персия.(1201-1274)

В «Сборнике по арифметике с помощью доски и пыли» (1265) ат-Туси подробно описал прием извлечения корней любой степени на примере. Ат-Туси приводит здесь таблицу биномиальных коэффициентов в форме треугольника, известного ныне как треугольник Паскаля. Он привёл общее правило для получения коэффициентов, которое в современных обозначениях может быть выражено так: Ck n = Cn-1 k + Cn-1 k-1

Источник: https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9D%D0%B0%D1%81%D0%B8%D1%80_%D0%B0%D0%B4-%D0%94%D0%B8%D0%BD_%D0%A2%D1%83%D1%81%D0%B8

# data[].attributes.body
Китай.(1249—1314)

Книга «Яшмовое зеркало четырех неизвестных».  На титульном листе приведены коэффициенты до седьмой степени включительно. Разработал систему записи уравнений высших степеней с четырьмя неизвестными и решил ряд приводящихся к ним задач. Для этого он использует то, что в настоящее время известно, как треугольник Паскаля.

Источник: https://ru.qaz.wiki/wiki/Zhu_Shijie

# data[].attributes.location_name
Ханчжоу, Чжэцзян, Китай

# data[].attributes.body
Китай.(1238-1298)

Китайский математик-алгебраист. В одном из его сочинений «Сянцзе Цзючжан Суанфа» (1261) речь идет о треугольнике биномиальных коэффициентов (треугольник Паскаля).

Источник: http://easymath.com.ua/greatmathone.php?ppl=1736

# data[].attributes.location_name
Багдад, Ирак

# data[].attributes.headline
     Аль-Самаваль 

# data[].attributes.subject
     Аль-Самаваль 

# data[].attributes.body
Багдад, Ирак.(1130-1180)

В гл. I математического трактата «Аль-Бахир фил-джабр», что означает «Блестящая [книга] о науке арифметике» доказывается биномиальная теорема для n = 3, 4, 7, а в п.8 даны формула бинома и таблица нахождения биномиальных коэффициентов для n = 1, 12.

Источник: https://ru.qaz.wiki/wiki/Al-Samawal_al-Maghribi

# data[].attributes.location_name
Биджапур, Карнатака, Индия

# data[].attributes.body
Биджапур, Индия.(1114-1185)

Индийский математик Бхаскара написал книгу «Лилавати», в которой среди других вопросов математики изучает и проблемы комбинаторики. Он пишет о применениях перестановок к подсчету вариаций в стихосложении, различных расположений в архитектуре и т.д. Он дает также правила для отыскания числа перестановок и сочетаний нескольких предметов, причем рассматривает также случай, когда в этих перестановках есть повторяющиеся элементы.

Источник: http://matemat.me/wp-content/uploads/2014/02/%D0%93%D0%9B%D0%90%D0%92%D0%90-2%D0%B1%D0%B8%D0%BD%D0%BE%D0%BC.pdf

# data[].attributes.location_name
Нишапур, Хорасан-Резави, Иран

# data[].attributes.headline
      Омар Хайям 

# data[].attributes.subject
      Омар Хайям 

# data[].attributes.body
Нишапур, Персия.(1048-1131)

В трактате «Трудности арифметики» описал формулу бинома для натуральных показателей. Этот трактат пока не обнаружен. Из других работ известно, что он содержит сведения о разработанном им общем приеме извлечения корня любой степени с натуральным показателем «методом индийцев». Основываясь на известных фактах, ученые предполагают, что Хайям открыл формулу возведения двучлена  a+b в степень n.

Источник: https://esa-conference.ru/wp-content/uploads/files/pdf/Gulmatov-Mahmadali-Davlatalievich2.pdf

# data[].attributes.location_name
Персия Кходро Сентрал Сервис, Тегеран, Иран

# data[].attributes.headline
Мухаммад ибн аль-Хасан Аль-Караджи 

# data[].attributes.subject
Мухаммад ибн аль-Хасан Аль-Караджи 

# data[].attributes.body
Тегеран, Персия.(953-1029)

«Книга об алгебре и алмукабале».

Аль-Караджи создал таблицу биномиальных коэффициентов, дал первое описание треугольника Паскаля. Ему также приписывают открытие биномиальной теоремы.

Ал-Караджи приводит в своем сочинении формулу бинома.

Источник: https://islamosfera.ru/en/al-karadzhi-persidskij-matematik-i-pervyj-inzhener-gidrolog/

# data[].attributes.body
Китай. XI век

Трактат «Хуан-ди цзючжан суань фасе цао» («Методы счета Хуан-ди в девяти главах с подробными решениями»). Цзя Сянь знал расписание (a+b)n и составил треугольную таблицу биномиальных коэффициентов до n = 6. Он написал сочинение «Объяснение таблиц цепного метода извлечения корней», в котором, извлекал корни четвертой степени и был знаком с треугольной записью коэффициентов.

Источник: https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A6%D0%B7%D1%8F_%D0%A1%D1%8F%D0%BD%D1%8C

# data[].attributes.body
Индия. X век

Произведение «Мритасандживани», комментарий к «Чандамшастр» Пингалы.

Источник: https://ru.qaz.wiki/wiki/Halayudha

# data[].attributes.headline
Абуль-Вафа аль-Бузджани                          

# data[].attributes.subject
Абуль-Вафа аль-Бузджани                          

# data[].attributes.body
Бузган, Персия.(940-998) X век

В средневековой исламской математике в биномиальной теореме из трактата которого следует, что Абу-л-Вафы ал-Бузджани знал правило извлечения корней 3, 4, …, 7 степеней.

Источник: https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D0%B1%D1%83-%D0%BB%D1%8C-%D0%92%D0%B0%D1%84%D0%B0_%D0%B0%D0%BB%D1%8C-%D0%91%D1%83%D0%B7%D0%B4%D0%B6%D0%B0%D0%BD%D0%B8

# data[].attributes.location_name
Bhinmal, Раджастан, Индия

# data[].attributes.body
Бхинмал, Индия.(598-668)

Разложение третьей степени бинома представлено в работе «Брахма-спхута-сиддханта Брахмагупта». Он определил сумму квадратов и кубов первых n чисел через сумму первых n чисел, утверждая, что «Сумма квадратов есть сумма чисел, умноженная на удвоенное число шагов, увеличенное на единицу, и деленная на три. Сумма кубов есть квадрат суммы чисел до одного и того же числа».

Иточник:  https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%91%D1%80%D0%B0%D1%85%D0%BC%D0%B0%D0%B3%D1%83%D0%BF%D1%82%D0%B0

# data[].attributes.body
Индия. III век до н.э.

Биномиальные коэффициенты, как комбинаторные величины, выражающие количество способов выбора k объектов из n без замены, интересовали древнеиндийских математиков. Самая ранняя известная ссылка на эту комбинаторную проблему - это «Чандамшастра». «Чандамшастра» - произведение Пингала, в котором описывается бинарная система счисления с перечислением метров с моделями длинных и коротких слогов. Комбинаторика метра соответствует биномиальной теореме.

Источник: https://ru.qaz.wiki/wiki/Pingala

# data[].attributes.body
Греция. IV век до н.э.

«Начала» (кн. II, пред. 4). Евклид упомянул частный случай биномиальной теоремы для показателя степени 2.

Источник: https://ru.qaz.wiki/wiki/Binomial_theorem