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problemas de propiedades y razones de conjuntos

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problemas de propiedades y razones de conjuntos

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Razones y proporciones solución de problemas | Ejemplo 1

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Demostración Propiedades de Conjuntos 6/7 - Igualdad: Diferencia Simetrica Ejercicios

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Aprende los aspectos básicos de los diagramas de Venn, junto con su larga historia, versátiles usos y propósitos, ejemplos, símbolos e instrucciones paso a paso para dibujarlos.

8 minuto de lectura

Un diagrama de Venn usa círculos que se superponen u otras figuras para ilustrar las relaciones lógicas entre dos o más conjuntos de elementos. A menudo, se utilizan para organizar cosas de forma gráfica, destacando en qué se parecen y difieren los elementos. Los diagramas de Venn, también denominados "diagramas de conjunto" o "diagramas lógicos", se usan ampliamente en las áreas de matemática, estadística, lógica, enseñanza, lingüística, informática y negocios. Muchas personas los vieron por primera vez en la escuela cuando estudiaron Matemática o Lógica, ya que los diagramas de Venn se convirtieron en una parte del plan de estudio de la "nueva Matemática" en la década de 1960. Estos pueden ser diagramas sencillos que involucran dos o tres conjuntos con algunos elementos o pueden volverse muy sofisticados, por ejemplo, en presentaciones en 3D, ya que utilizan seis o siete conjuntos o más. Se usan para hacer un análisis detallado y para representar cómo se relacionan los elementos entre sí dentro de un "universo" o segmento determinado. Los diagramas de Venn permiten a los usuarios visualizar los datos de forma clara y con gran alcance y, por este motivo, se utilizan comúnmente en presentaciones e informes. Se relacionan estrechamente con los diagramas de Euler, pero se diferencian en que estos últimos omiten los conjuntos si estos no contienen elementos. Los diagramas de Venn muestran las relaciones incluso si un conjunto está vacío.

Los diagramas de Venn llevan el nombre del lógico británico, John Venn. Él escribió sobre ellos en un artículo redactado en 1880 titulado "De la representación mecánica y diagramática de proposiciones y razonamientos" en la revista "Philosophical Magazine and Journal of Science".

Pero las raíces de este tipo de diagrama se remontan a un período muy anterior, al menos 600 años atrás. Alrededor del año 1200, el filósofo y lógico Ramon Llull (Raimundo Lulio en español) de Mallorca, usó un tipo de diagrama similar, escribió la autora M.E. Baron en un artículo redactado en 1969 que realizaba un seguimiento de su historia. Ella también atribuye el crédito al matemático y filósofo alemán, Gottfried Wilhelm von Leibnitz de haber dibujado diagramas similares a finales de 1600.

En la década de 1700, el matemático suizo Leonard Euler (que se pronuncia Oy-ler) inventó lo que luego se conocería como "diagrama de Euler", el predecesor más directo del diagrama de Venn. De hecho, John Venn se refería a sus propios diagramas como "círculos de Euler" y no "diagramas de Venn". El filósofo estadounidense Clarence Irving (C.I.) Lewis publicó por primera vez el término "diagramas de Venn" en su libro escrito en 1918 llamado, "A Survey of Symbolic Logic".

Los diagramas de Venn continuaron evolucionando en los siguientes 60 años con avances de la mano de expertos, como David W. Henderson, Peter Hamburger, Jerrold Griggs, Charles E. "Chip" Killian y Carla D. Savage. Su trabajo se centraba en los diagramas de Venn simétricos y su relación con los números primos o aquellos indivisibles por otros números que no sean 1 y el número mismo. Uno de estos diagramas simétricos, basado en el número primo 7, se conoce ampliamente en las esferas matemáticas como "Victoria".

Otros nombres destacados en el desarrollo de los diagramas de Venn son A. W. F. Edwards, Branko Grunbaum y Henry John Stephen Smith. Entre otras cosas, modificaron las figuras en los diagramas para permitir una representación más sencilla de los diagramas de Venn en un número cada vez mayor de conjuntos.

Supón que nuestro universo es de mascotas y queremos comparar qué tipo de mascota tenemos en común los miembros de nuestra familia.

El conjunto A contiene mis preferencias: perro, pájaro y hámster.

El conjunto B contiene las preferencias del miembro B de la familia: perro, gato, pez.

El conjunto C contiene las preferencias del miembro C de la familia: perro, gato, tortuga, serpiente.

La superposición, o intersección, de los tres conjuntos incluye solamente al perro. Al parecer, tendremos un perro.

Por supuesto que los diagramas de Venn pueden ser mucho más complicados que esto, ya que se usan ampliamente en diversos campos.

Organizar información visualmente para ver la relación entre los conjuntos de elementos, como semejanzas y diferencias. Los estudiantes y profesionales pueden usarlos para pensar la lógica detrás de un concepto y para representar las relaciones para lograr una comunicación visual. Este propósito puede ser básico o muy avanzado.

Comparar dos o más opciones y ver claramente lo que tienen en común y lo que puede distinguirlos. Esto se puede realizar para seleccionar un servicio o producto importante que se va a adquirir.

Para resolver problemas matemáticos complejos. En el caso de que seas un matemático, por supuesto.

Comparar conjuntos de datos, encontrar correlaciones y predecir probabilidades de determinados acontecimientos.

Razonar la lógica detrás de declaraciones o ecuaciones, como la lógica booleana detrás de una búsqueda de palabras que involucre las instrucciones "or" y "and" y cómo se agrupan.

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Crea un diagrama de Venn

Matemática: los diagramas de Venn se usan comúnmente en las escuelas para enseñar conceptos matemáticos básicos, como conjuntos, uniones e intersecciones. También se usan en matemática avanzada para resolver problemas complejos y se ha escrito mucho sobre ellos en revistas académicas. La teoría de conjuntos es una rama completa de la matemática.

Estadística y probabilidad: los expertos en estadística usan los diagramas de Venn para predecir la probabilidad de determinados acontecimientos. Esto se relaciona con el campo del análisis predictivo. Se pueden comparar conjuntos de datos distintos para encontrar grados de similitud y diferencia.

Lógica: los diagramas de Venn se usan para determinar la validez de conclusiones y argumentos específicos. En el razonamiento deductivo, si las premisas son verdaderas y la forma del argumento es correcta, entonces la conclusión debe ser verdadera. Por ejemplo, si todos los perros son animales, y nuestra mascota Mojo es un perro, entonces Mojo tiene que ser un animal. Si asignamos variables, podemos decir que los perros son C, los animales son A y Mojo es B. En forma de argumento, decimos: Todos los C son A. B es C. Por lo tanto, B es A. Un diagrama relacionado en lógica se llama "tabla de verdad", que ubica a las variables en columnas para determinar qué es lógicamente válido. Otro diagrama relacionado se llama diagrama de Randolph o diagrama R, llamado así por el matemático John F. Randolph. Este diagrama usa líneas para definir conjuntos.

Lingüística: los diagramas de Venn se han usado para estudiar las diferencias y similitudes entre idiomas.

Enseñar comprensión lectora: los maestros pueden usar los diagramas de Venn para mejorar la comprensión lectora de sus alumnos. Los alumnos pueden dibujar diagramas para comparar y contrastar ideas sobre las que están leyendo.

Informática: los programadores pueden usar diagramas de Venn para visualizar jerarquías y lenguajes informáticos.

Negocios: los diagramas de Venn se pueden usar para comparar y contrastar productos, servicios, procesos o lo que sea que pueda representarse en conjuntos. Y son una herramienta de comunicación efectiva para ilustrar esa comparación.

Notaciones del conjunto

Los conceptos ilustrados en los diagramas de Venn se expresan con notaciones matemáticas, como aquellas que representan conjuntos y subconjuntos (entre corchetes), uniones (con un símbolo similar a una U) e intersecciones (con un símbolo similar a una U dibujada al revés).

Teoría de conjuntos

La antigua rama de la matemática que se centra en los conjuntos.

No muchos diagramas se han convertido en parte de la cultura popular, pero el reconocido diagrama de Venn lo ha logrado.

Drama: en el programa de televisión "NUMB3RS" de CBS, producido desde 2005 hasta 2010, el genio matemático Charles Eppes usa un diagrama de Venn para determinar qué sospechoso encaja con la descripción y tiene un historial violento.

Comedia: en "Late Night with Seth Meyers" de NBC, el comediante tiene una rutina recurrente llamada "Diagramas de Venn", donde compara dos elementos que parecen no tener ninguna relación para encontrar una similitud graciosa (o eso espera lograr).

1. Determina tu objetivo. ¿Qué estás comparando y por qué? Esto te ayudará a definir tus conjuntos.

2. Haz una lluvia de ideas y enumera los elementos en tus conjuntos, ya sea en papel o en una plataforma como Lucidchart.

3. Ahora, usa tu diagrama para comparar y contrastar los conjuntos. Puedes ver todo desde otra perspectiva y realizar observaciones, elecciones, argumentos o tomar decisiones.

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Aprende los aspectos básicos de los diagramas de Venn, junto con su larga historia, versátiles usos y propósitos, ejemplos, símbolos e instrucciones paso a paso para dibujarlos. 8 minuto de lectura Un diagrama de Venn usa círculos que se superponen u otras figuras para ilustrar las relaciones lógicas entre dos o más conjuntos de elementos.

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El concepto de conjunto que presentaremos en esta primera sección de teoría de conjuntos será intuitivamente sencillo, sin formalidades abstractas ni rigurosas para un público general.

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El concepto de conjunto que presentaremos en esta primera sección de teoría de conjuntos será intuitivamente sencillo, sin formalidades abstractas ni rigurosas para un público general.

Trabajaremos con un concepto primitivo donde por lo general son aceptados sin una definición precisa lo que se entiende por conjunto porque simplemente no la tiene.

También discutiremos el concepto de conjunto, de elemento y de relaciones entre conjuntos de manera muy primitiva, pero hay que reconocer que la falta de consistencia de los argumentos para definir las bases principales de conjuntos ayuda a entender la idea de conjunto, luego viene su fomalización.

La teoría tal cual la conocemos se le conoce como la teoría informal de conjuntos y es lo que trataremos en los siguientes apartados como en las secciones posteriores del capítulo. Comencemos esta sección con el concepto de conjunto.

¿Que son los conjunto?

En matemáticas llamamos conjuntos a la colección o agrupación de elementos siempre y cuando exista una condición para que tales elementos pertenezcan a los conjuntos, los elementos del conjunto también se les denomina objetos del conjunto. Los conjuntos también son otro tipo de objeto pero de otra categoría, esto lo veremos en un capitulo mas avanzado de conjuntos.

Si bien, el concepto de conjunto se podría atribuir con objetos reales como una agrupación de animales, personas, países, capitales del mundo, tipos de palomas, en fin cualquier cosa que tenga algo en común en la vida real para agruparlos, no fue hasta el siglo XIX comenzo a aplicarse el concepto de conjunto como un objeto abstracto donde sus elementos se conformaban por ejemplo con números, otros conjuntos, agrupaciones de signos matemáticos, etc.

Por ejemplo, el conjunto de aves:

\[ \mathrm{A} = \left \{ \text{ pelicano, gallina, tucan } \right \} \]

El conjunto de marcas de smartphone:

\[ \mathrm{C} = \left \{ \text{Sony, Samsung, Apple, Lg, Huawei} \right \} \]

O el conjunto de los números primos:

\[ \mathrm{P} = \left \{ 2, 3, 5, 7, 11, \cdots \right \} \]

Los conjuntos numéricos a mediados del siglo XIX generó mucha controversia ya que trataban con conjuntos que se pensaba que era indefinibles y falto de sentido común aunque tarde o temprano fue superándose, pero eso es otra historia, sigamos.

Como pueden observar, los elementos de estos conjuntos tiene algo en común, los elementos del conjunto \( \mathrm{A} \) son aves y del conjunto \( \mathrm{C} \) son marcas de smartphone. Esto indica que cada conjunto tiene una propiedad específica que caracteriza a cada elemento y agruparlos convenientemente como el conjunto \( \mathrm{P} \) donde indica que los números agrupados deben ser primos.

Esto significa que un conjunto queda definido por una propiedad que tiene en común los elementos que las contiene, lo que quiero decir es que no existe una definición precisa de conjunto, no creo que exista, pero se puede contemplar desde una perspectiva axiomática que veremos en otra oportunidad.

Noción de conjunto

¿ Y cómo se representan los conjuntos?. Por lo general los conjuntos son representados o simbolizan por letras mayúsculas como:

\[ \mathrm{A, B, C, X, Y, z} \]

y sus elementos se representan con letras minúsculas para generalizar una variable que representen a los elementos de manera individual con la propiedad que lo caracteriza así:

\[ a, b, c, x ,y ,z \]

Se dice habitualmente que el concepto de conjunto es un concepto bien definido por parte de sus elementos, esto se debe de una propiedad específica que caracteriza de manera particular a cada elemento para que que pueden ser agrupado en base a esta propiedad, por ello se dice que son conjuntos bien definidos.

Pertenencia de un conjunto

Para representar la relación de un elemento \( a \) perteneciente a un conjunto \( \mathrm{A} \), se encuentra denotado con el símbolo de pertenencia \( \in \) de la siguiente manera:

\[ \text{elemento} \in \text{conjunto} \]

donde el elemento es el objeto \( a \) y el conjunto del objeto es \( \mathrm{A} \), quedando:

\[ a \in \mathrm{A} \]

y se lee "\( a \) pertenece \( \mathrm{A} \)" o "\( a \) esta contenido \( \mathrm{A} \)", si el elemento \( a \) no se encuentra en \( \mathrm{A} \), entonces lo escribimos así:

\[ a \notin \mathrm{A} \]

y se lee "\( a \) no pertenece \( \mathrm{A} \)".

Ejemplos

Si el conjunto \( \mathrm{A} \) representa al conjunto de algunos colores como el amarillo, azul, rojo y verde, la relación de pertenencia lo escribiremos así:

\( \text{amarillo} \in \mathrm{A} \)

\( \text{azul} \in \mathrm{A} \)

\( \text{rojo} \in \mathrm{A} \)

\( \text{verde} \in \mathrm{A} \)

Luego, al conjunto \( \mathrm{A} \) se puede escribir encerrando sus elementos entre llaves así:

\[ \mathrm{A} = \left \{ \text{ amarillo, azul, rojo, verde } \right \} \]

Si en esta colección de colores enumerados por comas no encontramos otros colores como el naranja o el violeta, lo escribiremos simplemente así:

\( \text{naranja} \notin \mathrm{A} \)

\( \text{violeta} \notin \mathrm{A} \)

O también, definimos el conjunto \( \mathrm{B} \) de aquellos números de un solo dígito, la relación de pertenencia lo escribiremos así:

Donde el conjunto \( \mathrm{B} \) se puede escribir literalmente con todos sus elementos numéricos de un solo dígito encerrado entre llaves así:

\[ \mathrm{B} = \left \{ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 \right \} \]

De la misma manera, como este conjunto no admite números de dos dígitos como el 15 o el 20, lo escribiremos simplemente así:

Diagramas de Venn-Euler

Los diagramas de Venn son el modo infinitamente intuitiva para entender lo que significa una colección de conjuntos por medios visuales, para ello usamos representaciones gráficas, los diagramas de Venn pueden tomar formas de líneas cerradas formando figuras colectivas para nuestros elementos que cumplan con una propiedad específica.

Para el caso de los ejemplos de los conjuntos definidos de los colores y de los números de un solo dígito del apartado anterior, lo representamos así:

Aunque la forma de los diagramas de Venn son irrelevante para el estudio de la teoría de conjuntos, por lo menos es util como única función intuitiva informal de entender lo que es un conjunto según sus elementos que las contiene según la propiedad en común que las satisface.

Como ven, son sencillos gráficos de líneas cerradas porque los diagramas de ven solo son eso, diagramas, simples ilustraciones como ayuda visual para entender este concepto tan sencillo como lo que es un conjunto. Pero lo que me sorprende más son las interminables búsquedas en google que se acercan en casi 10 mil veces con frases ¿ como hacer un diagrama de Venn?, ¿es tan dificil?

Determinación de conjunto

Hasta ahora me sigo preguntando ¿cuáles de las de-ambigüedades de la palabra "determinación" es usado para este apartado y en los libros académicos donde se imparte este capítulo?, supongo para especificar las dos formas de representar el concepto de conjunto. Aunque creo que es otra manera de decir "definición" o tipos de diferente de definición o tipos de representación para una misma cosa con el mismo objetivo en cuanto a su definición, pero bueno, eso no importa ahora.

El caso es que el concepto intuitivo de conjunto que hemos planteado se puede representar (representar) en dos formas diferentes, una es por extensión y la otra es por comprensión.

Conjunto por extensión

Los conjuntos por extensión son sencillamente una lista de los elementos del conjunto dado por comas como ya hemos visto en ejemplos anteriores. Algunos ejemplos de conjuntos por extensión son:

El conjunto de números primos no mayores de 10:

\( \mathrm{A} = \left \{ 2, 3, 5, 7, 9 \right \} \)

El conjunto de números múltiplos de 3 menores de 20:

\( \mathrm{A} = \left \{ 3, 6, 9, 12, 15, 18 \right \} \)

Este forma de indicar los elementos entre corchetes y separación de comas también se le llama determinación explicita.

Conjunto por comprensión

Los conjuntos por comprensión se definen literalmente con un argumento, es decir, se usa una variable que represente a los elementos especificando una propiedad que cumpla dicha variable que caracteriza a los elementos sobreentendidos del conjunto. Algunos ejemplos de conjuntos por comprensión son:

\( \mathrm{A} = \left \{ x|x \ \mathrm{es \ una \ constante \ del \ lenguaje \ español} \right \} \); se lee: "\( \mathrm{A} \) es el conjunto de los elementos representados por \( x \) tal que la variable \( x \) es una consonante de la lengua española".

\( \mathrm{A} = \left \{ x|x \ \mathrm{es \ un \ numero \ primo \ menor \ que \ 10 } \right \} \); se lee: "\( \mathrm{A} \) es el conjunto de los elementos representados por \( x \) tal que la variable \( x \) es un número primo menor que 10".

Los conjuntos por comprensión son mas específicos y explicitan la propiedad \( \mathrm{P} \) que cumple la variable \( x \), por lo general tiene la siguiente forma:

\( \mathrm{A} = \left \{ x|x \ \mathrm{ cumple } \ \mathrm{P} \right \} \)

Aquí \( \mathrm{P} \) es una proposición verdadera que satisface las leyes de la lógica proposicional, el valor \( \mathrm{P} \) será la que determinará las caracteristicas que la variable \( x \) y por ende, el conjunto dado \( \mathrm{A} \) se comporta de determinada forma según la proposición dada \( \mathrm{P} \).

A este caso se le llama determinación implícita, esto se entenderá poco a poco a medida que avancemos en el transcurso del capítulo., ahora viene las clases o clasificación de conjuntos a continuación:

Igualdad de conjuntos

Se dice que dos conjuntos son iguales si sus elementos también lo son, esto obliga a que los conjuntos tengan el mismo numero de elementos.

Para dos conjuntos \( \mathrm{A} \) y \( \mathrm{B} \), la igualdad se representa así:

\[ \mathrm{A} = \mathrm{B} \]

En teoría axiomática de conjuntos, denominamos a esta relación como axioma de extensionalidad. Pero esto lo veremos al final de la sección. En otra sección llamada relaciones de conjuntos describo con mas detalle como puede representarse por medio de sus elementos la igualdad entre dos conjuntos. Aquí viene algunos ejemplos.

Ejemplos

Los conjuntos \( \mathrm{A} \) y \( \mathrm{B} \) que veras a continuación representan a conjuntos iguales:

\( \mathrm{A} = \left \{ \begin{array}{ c c c } \text{rojo} & \text{amarillo} & \text{naranja} \\ \text{verde} & \text{cian} & \text{azul} \\ \text{violeta} & & \end{array} \right \} \) es igual a \( \mathrm{B} = \left \{ \text{colores del arcoiris} \right \} \).

\( \mathrm{A} = \left \{ 4,5,6 \right \} \) es igual a \( \mathrm{B} = \left \{ 4,5,6,4,6 \right \} \).

\( \mathrm{A} = \left \{ p,n,m \right \} \) es igual a \( \mathrm{B} = \left \{ m,n,p \right \} \).

\( \mathrm{A} = \left \{ 2, 2+2, 2+2+2 \right \} \) es igual a \( \mathrm{B} = \left \{ 2,4,6 \right \} \).

\( \mathrm{A} = \left \{ a,e,i,o,u \right \} \) es igual a \( \mathrm{B} = \left \{ \text{letras de las vocales} \right \} \).

\( \mathrm{A} = \left \{ -3,-2,-1,0,1,2,3 \right \} \) es igual a \( \mathrm{B} = \left \{ x \in \mathbb{Z} | x^{2}<10 \right \} \)

Subconjunto

Se llama subconjunto al conjunto que tiene algunos elementos de otro conjunto, la relación simbólica entre un subconjunto y el conjunto con el cual tiene vinculo con sus elementos se denota con el símbolo "\( \subset \)", de esta manera, para pare representar que los elementos de un conjunto \( \mathrm{A} \) están contenidos en \( \mathrm{B} \), se representa así:

\[ \mathrm{A} \subset \mathrm{B} \]

En otras palabras si un elemento \( x \) pertenece a \( \mathrm{A} \), también pertenecerá a \( \mathrm{B} \).

Ejemplos

Los siguientes ejemplos presentan conjuntos \( \mathrm{A} \) y \( \mathrm{B} \) tal que \( \mathrm{A} \subset \mathrm{B} \) y se lee "\( \mathrm{A} \) esta incluido en \( \mathrm{B} \)" o "\( \mathrm{A} \) es subconjunto de \( \mathrm{B} \)", veamos:

\( \mathrm{A} = \left \{ 1,2,3 \right \} \) esta incluido en \( \mathrm{B} = \left \{ 1,2,3,4,5,6 \right \} \).

\( \mathrm{A} = \left \{ x | x \in \mathbb{Z} \right \} \) esta incluido en \( \mathrm{B} = x | x \in \mathbb{R} \).

\( \mathrm{A} = \left \{ a,b,c \right \} \) esta incluido en \( \mathrm{B} = \left \{ a,b,c,d,e,f \right \} \).

\( \mathrm{A} = \left \{ x \in \mathbb{Z} | x^{2} < 5 \right \} \) esta incluido en \( \mathrm{B} = \left \{ x \in \mathbb{R} | x^{2} < 5 \right \} \)

Los símbolos y representan a los números enteros y reales respectivamente, tener en cuenta que , estos números son mencionados en apartados mas abajo.

Conjuntos disjuntos

Dos conjuntos son disjuntos si no tienen ningún elemento en común, una manera de definir es algo así:

\[ x \in \mathrm{A} \rightarrow x \notin \mathrm{B} \]

El enunciado anterior significa que si un elemento \( x \) pertenece al conjunto \( \mathrm{A} \), entonces no pertenece al conjunto \( \mathrm{B} \) y viceversa.

Ejemplos

No hay mucho que mostrar si ponemos este ejemplo:

\( \mathrm{A} = \left \{ a,b,c \right \} \) y \( \mathrm{B} = 1,2,3,4,5 \) son dos conjuntos disjuntos. No tiene ningún elemento en común.

Clasificación de conjuntos

Sería imposible clasificar los conjuntos si no fuera sus elementos que lo contiene y según la propiedad que cumple cada elemento para agruparlos en una sola categoría (conjunto). Gracias a ello, podemos conceptualizar los siguientes tipos o clases de conjuntos:

Conjuntos finitos

Un conjunto finito es aquel conjunto que tiene un número limitado de elementos y que a su vez se puede contar, es decir, es contable. Aquí algunos ejemplos de conjuntos finitos:

\( \left \{ 2, 4, 6, 8, 10 \right \} \)

\( \left \{ \mathrm{ taza, cuchara, tenedor, plato, olla } \right \} \)

Los conjuntos finitos tiene unas propiedades que describiré en la secciones de operaciones de conjuntos.

Conjuntos infinitos

Los conjuntos infinitos son aquellos conjuntos que no tiene límite de elementos y pueden extenderse sin fin. Los típicos ejemplos de conjuntos infinitos que más se conocen son los números naturales, números enteros, números racionales, números irracionales, números reales y números complejos.

Aquí algunos ejemplos de conjuntos infinitos

\( \left \{ 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, ... \right \} \)

O los números múltiplos de 3:

O los números múltiplos de 3:

Conjuntos numéricos

Prácticamente, la matemáticas se construye gracias a una serie de números que se pueden clasificar convenientemente por sus propiedades particulares que cada clase de números posea, y digo practicamente porque existe conjuntos no numericos que las matemáticas usan y son llamadas anillos que está formado por un conjunto no vacío y dos operaciones matemáticas llamada suma y producto (pero eso es otra historia).

Los conjuntos numéricos junto con las operaciones matemáticas y el concepto de pertenencia es inclusión se puede construir buena parte de las matemáticas que conocemos hoy en día. Los conjuntos numéricos clásicos que vamos a presentar son los siguientes:

Números naturales

El conjunto de los números naturales son aquellos números que se usaron para contar, naturalmente esto no indica que nacieron solo para contar una colección de elementos de un conjunto o categoría en particular, también son usados en operaciones matemáticas con las típicas operaciones matemáticas y otras mas complejas.

Tipicamente los numeros naturales se define por extension así:

\[ \mathbb{N} = \left \{ 1, 2, 3, 4, ... \right \} \]

Los números naturales se encuentran ordenados de tal manera que sus números adyacentes siempre es su antes o su después, es decir, los vecinos del número 5 es el 4(su antes o anterior) y el 6 (su despues o siguiente), es por ello que se dice que los números naturales son ordenados e infinitos.

Aunque dependiendo del contexto matemático también es habitual usar el 0 como número natural como sigue:

\[ \mathbb{N} = \left \{ 0, 1, 2, 3, 4, ... \right \} \]

Pero eso es otra historia que lo veremos en mi blog de ciencias como articulo y no como seccion del capitulo de teoria de conjuntos.

Números enteros

El conjunto de los números enteros son aquellos numeros que incluye a los numeros naturales, a los numeros enteros negativos (los inversos aditivos de los naturales) y el número cero y están representados con la letra Z así:

\[ \mathbb{Z} = \left \{ -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ... \right \} \]

La letra \( \mathbb{Z} \) proviene del vocablo aleman Zahlen que simplemente significa números. Los enteros negativos tiene la misma propiedad axiomática de los números naturales, es decir, se pueden aplicar las típicas 4 operaciones matemáticas y sus principales leyes operacionales como los naturales, solo hay que tener en cuenta el signos de los enteros negativos. Por último, el conjunto de los números enteros es infinito numerable.

Números racionales

¿Han escuchando una vez " toma tu ración" que es lo mismo que " toma tu parte "? pues, un número racional es un cociente de dos números enteros y la palabra racional alude una parte o un fragmento de algo.

Este conjunto se simboliza con la letra Q con la fuente negrita de pizarra así:

\[ \mathbb{Q} = \left \{ ..., - \frac{a}{b}, ..., -1, -\frac{1}{2}, 0, \frac{1}{2}, 1, ..., \frac{a}{b}, ... \right \} \]

Esta es una manera imprecisa de representarlo ya que puede existir fracciones entre los números 1 y \( \frac{1}{2} \), la manera más adecuada de definirlo es por comprensión, asi:

\( \mathbb{Q} = \left \{ x | ax+b=0, a \in \mathbb{Z}, b \in \mathbb{Z}, a \neq 0 \in \right \} \)

Esta forma, indica que se incluyen incluso los racionales equivalentes, esto es, aquellos numeros racionales que son iguales entre si como por ejemplo \( \frac{1}{2} = \frac{2}{4} \), naturalmente se considera como un solo elemento.

Números irracionales

El conjunto de los números racionales son aquellos que no pueden representarse como un número racional, es decir, no se puede representar como el cociente de dos números enteros. Los números irracionales tiene una larga cola decimal infinita y periódica.

Por ejemplo, los número irracionales mas conocidas son:

\( \pi = 3.14159265358979323846264338327950288419... \)

\( \sqrt{2} = 1.4142135623730950488016887242096980785... \)

Podriamos escribir de manera muy imprecisa el conjunto de los números naturales así:

\[ \mathbb{I} = \left \{ ..., - \pi, - e, - \sqrt{2}, 0, \sqrt{2}, e, \pi, ... \right \} \]

Esto es solo para tener una noción de los numeros irracionales, en este conjunto, el valor \( e \) es llamado también número de Euler (no confundir con la constante de Euler) y también es un número irracional que usaremos muy seguido en otras secciones de proximos capitulos, actualmente su valor aproximado es:

\( e = 2.718281828459045235360... \)

Naturalmente existen otros irracionales como por ejemplo entre los valores de \( e \) y \( \pi \), por lo que la manera alternativa de definir el conjunto de los números irracionales la siguiente.

\[ \mathbb{I} = \left \{ x \in \mathbb{R} | x \notin \mathbb{Q} \right \} \]

Este conjunto significa que el conjunto de los números irracionales representa a todos los números existentes de la recta real (números reales representado por el conjunto \( \mathbb{R} \), que ya veremos a continuación) sin tomar en cuenta el conjunto de los números racionales.

Números irracionales

Los números reales \( \mathbb{R} \) no es más que el conjunto de los números irracionales \( \mathbb{I} \) y los racional \( \mathbb{Q} \). De la misma manera como los irracionales y racionales, no se puede escribir por extensión de manera visual. A lo mucho, podemos decir escribirlo como la unión de dos conjuntos así:

\[ \mathbb{R} = \mathbb{I} \cup \mathbb{Q} \]

Aunque realmente no hemos definido nada ya que usamos el símbolo \( \mathbb{R} \) para definir a los números irracionales \( \mathbb{I} \). La unión \( \cup \) de conjuntos es una operación matemática del álgebra de conjuntos que ya lo iremos viendo en secciones posteriores. La idea es que por lo menos se tenga una noción de lo que es un número real porque esta notacion elemental intuitiva lo iremos usando a lo largo de capítulos y cursos posteriores.

Números complejos

Los números complejos nace por la necesidad de completar o no dejar huecos en la resolución de problemas de ecuaciones de segundo grado y superiores.

Para el caso de ecuaciones de segundo grado, se podían encontrar soluciones de ecuaciones no reales como estos:

El problema con estas ecuaciones es que el valor \( \sqrt{ -1 } \) no existe como tal, no es un número real ya que no existen dos numeros iguales que al multiplicarse nos de un número negativo, siempre es positivo. Por cuestiones practicas a estas soluciones no reales, este valor inexistente se le dio el nombre de imaginario y se denota así:

Por tanto, las expresiones anteriores se escribirían así:

Estos numeros se les ha denominado numeros complejos y tiene una forma general así:

Donde \( a \) y \( b \) pertenecen a los números reales \( \mathbb{R} \), por tanto, el conjunto de los números complejos se puede escribir unicamente por compresión así:

\[ \mathbb{C} = \left \{ a+bi | a \in \mathbb{R}, b \in \mathbb{R}, i = \sqrt{ -1 } \right \} \]

Luego, existen otros conjuntos de números llamados hipercomplejos pero esto es una extensión innecesaria del capítulo y no quiero hacer relleno. Además, estos conjuntos numericos expuestos hasta ahora son los que haremos un mayor uso en próximos capítulos.

Conjuntos especiales

También existen otros conjuntos que vale la pena nombrar aquí que se usarán como sistema referencial y de limite para indicar el comportamiento de otros conjuntos en general.

Conjunto vacío o nulo

También llamado conjunto nulo, es aquel conjunto que simplemente no tiene elementos, pero tiene una representación simbólica matemática. Su representación simbólica es \( \phi \), es una letra derivada de la danesa y noruega y se escribe extensivamente así:

\[ \phi = \left \{ \right \} \]

Este símbolo por lo general es usado indicar algunas propiedades de conjuntos deben o no deben ser vacios segun lo requiera. El conjunto tiene algunas propiedades (que son obvias por el sentido común) que presentaremos próximas secciones del capitulo de teoria de conjuntos.

Algunos ejemplos del conjunto vacio por comprensión seria las siguientes:

\( \mathrm{A} = \left \{ x \in \mathbb{N} | x^2 = 2 \right \} \), este conjunto es vacío porque no existe un numero natural que al elevarse al cuadrado nos de como resultado el numero 2.

\( \mathrm{B} = \left \{ x \in \mathbb{N} | -4<x<-1 \right \} \), este conjunto es vació ya que no existe números naturales negativos.

Un mejor concepto del conjunto vacío lo puedes encontrar en la sección de operaciones entre conjuntos.

Conjunto unitario

Es el conjunto que simple y sencillamente tiene un único elemento, no hay nada nuevo con este conjunto. Pero muchas veces es mejor aclarar algunas cuestiones importantes para no tener inconvenientes. Veamos algunos ejemplos de conjuntos unitarios:

\( \mathrm{A} = \left \{ x \right \} \)

\( \mathrm{B} = \left \{ 4 \right \} \)

Estos también son conjuntos unitarios:

\( \mathrm{A} = \left \{ x, \sqrt[ 3x-x ]{ x^{2x} } \right \} \)

\( \mathrm{B} = \left \{ 4, \frac{8}{4} \right \} \)

Para el conjunto \( \mathrm{A} \), el valor de \( \sqrt[3x-x]{ x^{ 2x } } \) es lo mismo que \( x \) y para el conjunto \( \mathrm{B} \), el valor \( \frac{8}{2} \) es lo mismo que 4, remplazando estos valores, nuestros conjuntos quedarían así:

\( \mathrm{A} = \left \{ x, x \right \} \)

\( \mathrm{B} = \left \{ 4, 4 \right \} \)

Los conjuntos que tiene números o variables repetidas en la forma extensiva resulta ser el mismo elemento, para estos casos, simplemente escribimos estos conjuntos sin repetir sus elementos. Sencillamente quedaria así:

\( \mathrm{A} = \left \{ x \right \} \)

\( \mathrm{B} = \left \{ 4 \right \} \)

Y esto no es exclusivo para los conjuntos unitarios, si encontramos un conjunto así:

\( \mathrm{E} = \left \{ x, 4, x, 4 \right \} \)

Es lo mismo que escribirlo así:

Conjunto universal

Es un conjunto referencial para "medir" otros conjuntos que se encuentran en el conjunto universal, se nota con la letra mayúscula \( \mathrm{U} \) y sirve que tipo de conjunto recibirá las restricciones de una propiedad especifica \( \mathrm{P} \). Los conjuntos universales más usados son los conjuntos numéricos que ya mencionamos anteriormente.

Aquí tenemos algunos ejemplos del conjunto universal.

\( \mathrm{E} = \left \{ x \in \mathbb{Z} | -2 < x < 5 \right \} \)

Aquí, el conjunto \( \mathrm{E} \) es un conjunto que esta contenido en otro conjunto más grande, en este caso, el conjunto de los números enteros \( \mathrm{Z} \), esto significa que \( \mathrm{E} \) también debe ser entero, donde los valores de \( \mathrm{E} \) comprenden los valores que satisface la desigualdad \( -2 < x < 5 \). Por extensión, el conjunto \( \mathrm{E} \) sería:

\( \mathrm{E} = \left \{ -1, 0, 1, 2, 3, 4 \right \} \)

Los conjuntos también se relacionan pero esto lo veremos en la sección de relaciones de conjuntos como la igualdad de conjunto, subconjunto de un conjunto, conjunto potencia, etc, pero será después de la próxima sección de cuantificadores. y finalizamos con la sección de operaciones entre conjuntos.

Espero que esta sección del curso les fue de su agrado, que tengan buen día y nos vemos en la sección de cuantificadores.

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✅ Que son los conjuntos: tipos y propiedades - Ciencias Básicas

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El concepto de conjunto que presentaremos en esta primera sección de teoría de conjuntos será intuitivamente sencillo, sin formalidades abstractas ni rigurosas para un público general. Trabajaremos con un concepto primitivo donde por lo general son aceptados sin una definición precisa lo que se entiende por conjunto porque simplemente no la tiene.