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Una homotecia es una transformación afín que, a partir de un punto fijo, multiplica todas las distancias por un mismo factor. En general una homotecia de razón diferente de 1 deja un único punto fijo, llamado centro.

Los puntos homotéticos están alineados con un tercero fijo llamado centro de la Homotecia (O).

La relación entre los segmentos definidos por este centro y los puntos transformado y original es una constante denominada razón de la homotecia (k).

Se puede considerar a la homotecia una homología particular de eje impropio, con centro en el de homología.

La homotecia es una transformación que no tiene una imagen congruente, porque a partir de una figura se van a obtener una o más figuras de mayor o menor tamaño que la figura original; es decir, que la homotecia transforma un polígono en otro semejante.

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Dos figuras homotéticas guardan relación de semejanza.

El centro de la Homotecia es invariante, y las rectas que pasan por el centro de la Homotecia también lo son, aunque no lo son por puntos (los puntos no son dobles).

En una Homotecia pueden darse los siguientes casos:

Si la constante k es mayor que 0, la Homotecia se denomina directa, y en ella los puntos homotéticos es-tán ambos al mismo lado del centro de la Homotecia.

Si la constante k es menor que 0, la Homotecia se denomina inversa, y en ella los puntos homotéticos están en lados diferentes con respecto al centro de la Homotecia.

Si la constante k es 1, la figura homotética coincide con la original, y la transformación se denomina Función Identidad.

Si la constante k es -1, la Homotecia se convierte en una Simetría Central (ver capítulo 2.4 de este libro).

Si el valor absoluto de la constante k es mayor que 1, la Homotecia produce un aumento de tamaño (la figura final es mayor que la original).

Si el valor absoluto de la constante k es menor que 1, la Homotecia produce una disminución de tamaño (la figura final es menor que la original).

Dos rectas homotéticas siempre son paralelas, y la razón de longitud de dos segmentos homotéticos es igual a la razón de la homotecia (k).

La Homotecia es una transformación plana reversible, esto es, si aplicamos una homotecia a una figura y después aplicamos una segunda homotecia de igual centro y con igual razón pero de diferente signo, obtenemos la figura original.

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Ejemplo:

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La homotecia también pude ser clasificada en dos tipos, en función del valor de su razón (k):

Homotecia directa
Ocurre si la constante k > 0; es decir, los puntos homotéticos se encuentran al mismo lado con respecto al centro:
El factor de proporcionalidad o razón de semejanza entre las figuras homotéticas directas siempre será positivo.
Homotecia inversa
Ocurre si la constante k < 0; es decir, los puntos iniciales y sus homotéticos se ubican en los extremos opuestos con respecto al centro de la homotecia pero alineados a esta. El centro se encontrará entre las dos figuras:
El factor de proporcionalidad o razón de semejanza entre las figuras homotéticas inversas siempre será negativo.

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Cuando se realizan sucesivamente varios movimientos hasta obtener una figura igual a la original, ocurre una composición de movimientos. La composición de varios movimientos es también un movimiento.

La composición entre dos homotecias tiene como resultado una nueva homotecia; es decir, se tiene un producto de homotecias en el que el centro estará alineado con el centro de las dos transformaciones originales, y la razón (k) es el producto de las dos razones.

Así, en la composición de dos homotecias H₁(O₁, k₁) y H₂(O₂, k₂), la multiplicación de sus razones: k₁ x k₂ = 1 tendrá como resultado una homotecia de razón k₃ =  k₁ x k₂. El centro de esta nueva homotecia (O₃) estará ubicado sobre la recta O₁ O₂.

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¿Cuándo y dónde aplicamos la homotecia en la vida diaria?

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¿Cuándo y dónde aplicamos la homotecia en la vida diaria?

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Un claro ejemplo de hometecia es en un cine.
En las salas de cine se cuenta con un proyector de imágenes especial, que usa una potente lámpara como fuente de luz y la película en forma de cinta delgada. El proceso es sencillo, en su base, la fuente de luz pasa por la cinta y proyectan imágenes pequeñas a gran tamaño en la pantalla del cine.

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Otro ejemplo de hometecia en la vida diaria, es cuando podemos observar la sombra de un objeto, como un árbol.

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En esta imagen también se aprecia la aplicación de la homotecia, al igual que en el árbol la pirámide trabaja con su sombra para cumplir la regla de la homotecia.