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Haciendo click tenéis, además de una breve explicación de la teoría que ya hemos visto del resto, ejercicios resueltos paso a paso. Os recomiendo que los hagáis y que la solución sea una ayuda y no una forma rápida de hacerlo

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Aquí encontrarás la explicación de qué es el teorema del resto (o teorema del residuo) y cómo se aplica en polinomios. También podrás ver ejemplos y, además, practicar con ejercicios resueltos paso a paso sobre el teorema del resto.

¿Qué es el teorema del resto?

En matemáticas, el teorema del resto dice que el resto de la división de un polinomio cualquiera P(x) entre otro polinomio de la forma (x-a) es igual al valor numérico del polinomio P(x) para el valor x=a, es decir, el resto de la división P(x):(x-a) es equivalente a P(a).

Ejemplo del teorema del resto

Una vez hemos visto en qué consiste el teorema del resto, veamos un ejemplo práctico de su aplicación:

Calcula el resto de la división entre los siguientes dos polinomios:

Para hallar el resto (o residuo) de la división polinómica podemos aprovechar el teorema del resto, porque en este caso el polinomio divisor es de la forma (x-a), es decir, es de primer grado, el coeficiente de la variable x es 1 y tiene término independiente.

Así que aplicamos el teorema del resto, el cual dice que el resto de una división como esta es igual al valor numérico del polinomio dividendo evaluado en el término independiente del polinomio divisor cambiado de signo, esto es, P(1).

Por lo tanto, para encontrar el resto de la división tenemos que evaluar el polinomio en x=1:

De modo que el resto de la división entre los polinomios es 2.

Por otro lado, también podemos comprobar con la regla de Ruffini para dividir polinomios que el resto coincide con el resultado que hemos encontrado:

Como puedes ver, es mucho más rápido y fácil determinar el resto de una división de un polinomio entre un binomio con el teorema del resto que con la regla de Ruffini, ya que se hacen muchos menos cálculos.

Teorema del resto y del factor

A partir del teorema del resto y de la definición de raíz (o cero) de un polinomio podemos deducir el teorema del factor. Así pues, el teorema del factor implica lo siguiente:

El teorema del factor dice que un polinomio P(x) es divisible por otro polinomio de la forma (x-a) si, y solo si, P(a)=0. Y, en tal caso, significa que a es una raíz o cero del polinomio P(x).

Además, según el teorema del residuo, esto quiere decir que si un polinomio es divisible por otro polinomio, el resto de dicha división es nulo, ya que P(a)=0.

Por ejemplo, si tenemos un determinado polinomio:

Este polinomio es divisible por el binomio (x-2) porque P(2)=0:

Como x=2 anula el polinomio P(x), significa que x=2 es una raíz de dicho polinomio.

Y, además, como P(2)=0, podemos saber gracias al teorema del resto que el residuo de la división es igual a 0.

Ejercicios resueltos del teorema del resto

Para acabar de entender el teorema del resto, hemos preparado unos ejercicios resueltos paso a paso para que puedas practicar. Te aconsejamos que primero intentes hacer el ejercicio por tu cuenta y luego verifiques si lo has hecho correctamente.

Ejercicio 1

Encuentra, por el teorema del resto, el resto de la división polinomial , siendo los polinomios que intervienen en la operación:

El polinomio divisor está compuesto solamente por un término de primer grado y un término independiente y, además, el coeficiente del término de primer grado es 1. Por tanto, podemos utilizar el teorema del resto.

Y para aplicar el teorema del resto simplemente hay que evaluar el polinomio dividendo en el término independiente del polinomio divisor cambiado de signo, o dicho de otra forma, debemos calcular P(2).

De modo que el resto de la división entre los dos polinomios es 21.

Ejercicio 2

Dado el polinomio halla el resto que se obtiene al dividirlo por cada uno de los siguientes polinomios:

Como todos los polinomios divisores cumplen con las condiciones del teorema del resto, podemos usar dicho teorema para determinar el resto de cada división:

Ejercicio 3

Calcula cuánto tiene que valer el parámetro para que el resto de la división de polinomios sea igual a 3, siendo ambos polinomios:

En este caso particular, el polinomio que está dividiendo está formado por un monomio de primer grado y un término independiente y, a parte, el coeficiente del monomio de primer grado es 1. Por lo que podemos usar el teorema del resto.

Y para emplear el teorema del resto sencillamente hay que sustituir el término independiente del polinomio divisor cambiado de signo donde en el polinomio que es dividido haya una x, de modo que tenemos que resolver P(-3).

Pero evidentemente obtenemos un resultado en función de la incógnita Sin embargo, el enunciado del problema nos dice que el resto debe ser igual a tres, por lo tanto, tenemos que igualar el resto hallado a 3:

Y, finalmente, resolvemos la ecuación:

Ejercicio 4

Determina con el teorema del factor y del resto si el polinomio es divisible por el polinomio

Para que el polinomio sea divisible por el polinomio la división entre esos dos polinomios debe ser exacta y, por lo tanto, el resto debe ser nulo.

Entonces, como el polinomio divisor es por el teorema del factor y el teorema del resto sabemos que el polinomio será divisible por el polinomio si se cumple Así que debemos mirar si se verifica esta igualdad:

Efectivamente, el resto de la división es igual a 0, con lo que el polinomio sí que es divisible entre el otro polinomio

¿Qué te ha parecido la explicación? ¿Te ha gustado? ¡Esperemos que sí! Recuerda que puedes dejarnos cualquier sugerencia o cualquier duda que tengas en los comentarios. ⬇⬇⬇ ¡Os leemos a todos! 😁😁

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▷ Teorema del Resto: qué es, ejemplos y ejercicios resueltos ✅

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Aquí encontrarás la explicación de qué es el teorema del resto (o teorema del residuo) y cómo se aplica en polinomios. También podrás ver ejemplos y, además, practicar con ejercicios resueltos paso a paso sobre el teorema del resto.

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Podemos comprobarlo por el método tradicional (Ruffini)

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Podemos comprobarlo por el método tradicional (Ruffini)

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Y comprobaremos que sale exactamente igual, solo que con el teorema del resto es más rápido

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Si queremos saber el resto de la división P(x): Q(x) siendo:

P(x)= 2x²+3x-2

Q(x)= x-2

(2x²+3x-2): (x-2) =

Aplicamos el teorema:

Identificamos en primer lugar “a”, (x-2)  en este caso a= 2.

Ahora calculamos el valor numérico del polinomio para a= 2

P(2)= 2.2²+3.2-2=12

De este modo observamos como el resto de la división es 12.

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Con el teorema del resto podemos calcular el resto de una división sin tener que hacerla, siempre que dividamos un polinomio por un binomio de la forma (x-a.)

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Si dividimos un polinomio P(x) entre el binomio (x-a), el resto de la división es igual al valor numérico del polinomio P(a).

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Teorema del resto SECUNDARIA (4ºESO) matematicas

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Os dejo también la resolución, pasito a pasito, para que podáis practicar y ver donde falláis. Como siempre os digo, esto es para aprender más, no para que simplemente entreguéis los ejercicios. No los voy a pedir, quiero que seáis personas autodidactas y responsables.

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Para practicar y ver en qué podemos tener dudas os recomiendo los ejercicios que tenéis en el pdf. No es necesario que los hagáis todos, si no con un par de cada ejercicio es más que suficiente. Como recomendación, potenciad más aquello en lo que veáis que podéis tener más dificultad.

AVISO: Se avecina algo parecido en el examen

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¿Y qué pasa si no puedo encontrar los valores de X con la ecuación de segundo grado? 

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¿Y qué pasa si no puedo encontrar los valores de X con la ecuación de segundo grado? 

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5 minutos es todo lo que necesitáis para aprender a utilizar la regla de Ruffini, ¡haced click!

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The safest, simplest way to make video for education. 🍎

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Os presento a este señor, Paolo Ruffini, médico, filósofo y matemático, por supuesto. ¿Por qué es importante su descubrimiento? Gracias a él, podemos encontrar las raíces y dividir polinomios de grado superior a dos sin necesidad de complicarnos. Como dato curioso os contaré que fue expulsado de la universidad por negarse a prestar juramento a Napoleón

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STOP, DE AQUÍ PODEMOS APRENDER ALGO NUEVO 

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STOP, DE AQUÍ PODEMOS APRENDER ALGO NUEVO 

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¡Que no se nos pase! Existen más maneras de realizar divisiones de polinomios, diferente a la que ya conocemos, vamos a empezar a familiarizarnos

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PASO 1: Los polinomios deben ser factorizados

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PASO 1: Los polinomios deben ser factorizados

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Empezaremos buscando el valor que hace que la ecuación sea cero ¿y para qué? Obtendremos la respuesta visualizando el video

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Factorizacion de polinomios 01 SECUNDARIA (3ºESO) matematicas

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Si este video te ayudó y quieres que unicoos siga creciendo, SUSCRÍBETE, haz click en "Me gusta" y COMPÁRTELO. Si también te sumas a nosotros en http://www.unicoos.com será la bomba!. #nosvemosenclase Factorizaremos los polinomios de segundo grado que resolvimos en el video sobre ecuaciones de segundo grado.

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Tranquilos, sé que en lo que más complicaciones tenéis es en la división de polinomios, por eso os dejo aquí un vídeo resumen para que salgáis de dudas.

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Division de polinomios SECUNDARIA (3ºESO) matematicas

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¡EMPECEMOS A GENERAR NUEVO CONOCIMIENTO! 

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¡EMPECEMOS A GENERAR NUEVO CONOCIMIENTO! 

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Ahora que ya hemos echado un vistazo rápido a lo que ya conociamos sobre los polinomios es hora de empezar con palabras mayores y de presentaros LA FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS

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Sabemos que podemos realizar operaciones con polinomios, ya hemos visto como realizar suma, resta, multiplicación y división. Haciendo click en el enlace podremos acceder a un pequeño recordatorio (si es que lo necesitáis) de la manera de realizar estas operaciones

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Para realizar la suma de dos o más polinomios, se deben sumar los coeficientes de los términos cuya parte literal sean iguales, es decir, las variables y exponentes (o grados) deben ser los mismos en los términos a sumar.

Método 1 para sumar polinomios

Pasos:

1 Ordenar los polinomios del término de mayor grado al de menor.

2 Agrupar los monomios del mismo grado.

3 Sumar los monomios semejantes.
Ejemplo del primer método para sumar polinomios
Sumar los polinomios

1Ordenamos los polinomios, si no lo están.

2 Agrupamos los monomios del mismo grado.

3 Sumamos los monomios semejantes.

Método 2 para sumar polinomios

También podemos sumar polinomios escribiendo uno debajo del otro, de forma que los monomios semejantes queden en columnas y se puedan sumar.
Ejemplo del segundo método para sumar polinomios
Sumar los polinomios

1Acomodar en columnas a los términos de mayor a menor grado, y sumar.

Así,

2

Restar los polinomios

1 Obtenemos el opuesto al sustraendo de .

2 Agrupamos.

3 Resultado de la resta.

Multiplicación de polinomios

1. Multiplicación de un número por un polinomio

La multiplicación de un número por un polinomio es otro polinomio. El polinomio que se obtiene tiene el mismo grado del polinomio inicial. Los coeficientes del polinomio que resulta, son el producto de los coeficientes del polinomio inicial, por el número y dejando las mismas partes literales.

1

2

2. Multiplicación de un monomio por un polinomio

En la multiplicación de un monomio por un polinomio se multiplica el monomio por todos y cada uno de los monomios que forman el polinomio.

Recordar que primero debemos multiplicar signos, posteriormente multiplicar los monomios correspondientes, para lo cual, se debe multiplicar los coeficientes, y luego, realizar la multiplicación de la parte literal, en donde, al multiplicar variables iguales los exponentes se sumarán.

Ejemplo:

3. Multiplicación de polinomios

Este tipo de operaciones se puede llevar a cabo de dos formas distintas.

Método 1 para multiplicar polinomios

Pasos:

1 Se multiplica cada monomio del primer polinomio por todos los elementos del segundo polinomio.

2 Se suman los monomios del mismo grado, obteniendo otro polinomio cuyo grado es la suma de los grados de los polinomios que se multiplican.
Ejemplo:
Multiplicar los siguientes polinomios

1Se multiplica cada monomio del primer polinomio por todos los elementos del segundo polinomio.

2Se suman los monomios del mismo grado.

3 Se obtiene otro polinomio cuyo grado es la suma de los grados de los polinomios que se multiplican.

y

Método 2 para multiplicar polinomios

También podemos multiplicar polinomios escribiendo un polinomio debajo del otro. En cada fila se multiplica cada uno de los monomios del segundo polinomio por todos los monomios del primer polinomio. Se colocan los monomios semejantes en la misma columna y posteriormente se suman los monomios semejantes.
Ejemplo:
Multiplicar los siguientes polinomios

Como la multiplicación de polinomios cumple la propiedad conmutativa, hemos tomado como polinomio multiplicador el polinomio más sencillo.

División de polinomios

Abordaremos la explicación con un ejemplo.
Ejemplo:
Resolver la división de los polinomios

P(x) : Q(x)
1 A la izquierda situamos el dividendo. Si el polinomio no es completo dejamos huecos en los lugares que correspondan.

2 A la derecha situamos el divisor dentro de una caja.

3 Dividimos el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor.

4 Multiplicamos cada término del polinomio divisor por el resultado anterior y lo restamos del polinomio dividendo:

5 Volvemos a dividir el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor. Y el resultado lo multiplicamos por el divisor y lo restamos al dividendo.

obteniendo

6 Procedemos igual que antes. Y esta vez

entonces

7 Como en los pasos anteriores, dividimos por , y obtenemos . Multiplicamos por cada término del divisor y obtenemos:

Procedemos con la resta:

Concluimos que 10x − 16 es el resto, porque su grado es menor que el del divisor y por tanto no se puede continuar dividiendo. Y el cociente es

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Aprenderás cómo realizar operaciones entre polinomios: sumar, restar, multiplicar y dividir usando métodos distintos.