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Las matrices son un conjunto bidimensional de números o símbolos distribuidos de forma rectangular, en líneas verticales y horizontales, de manera que sus elementos se organizan en filas y columnas. Sirven para describir sistemas de ecuaciones lineales o diferenciales, así como para representar una aplicación lineal.

Toda matriz se representa por medio de una letra mayúscula, y sus elementos se reúnen entre dos paréntesis o corchetes, en letra minúscula. A su vez, tienen doble superíndice: el primero hace referencia a la fila y el segundo a la columna a la que pertenece.

Esta expresión matemática puede sumarse, multiplicarse y descomponerse, por lo que su uso es común en el álgebra lineal.

Tipos de matrices

1. Matriz fila
Es una matriz constituida por una sola fila.
2. Matriz columna
3. Matriz rectangular
Aquella matriz que tiene distinto número de filas que de columnas, siendo su dimensión .
4. Matriz cuadrada
La que tiene el mismo número de filas que de columnas.
Los elementos de la forma  constituyen la diagonal principal.
5.Matriz nula
Todos los elementos son nulos (cero).
6. Matriz triangular superior
Los elementos situados por debajo de la diagonal principal son 0
7. Matriz triangular inferior
Los elementos situados por arriba de la diagonal principal son 0.
8. Matriz diagonal
Todos los elementos situados por encima y por debajo de la diagonal principal son nulos.
9. Matriz escalar
Es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales.
10. Matriz identidad o unidad
Es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales a 1.
11. Matriz traspuesta
Dada una matriz A, se llama traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas.
12. Matriz regular
Es aquella matriz cuadrada que tiene inversa.
13. Matriz singular
Es aquella que no tiene matriz inversa. Por ejemplo, ninguna matriz rectangular (no cuadrada) tiene inversa (se necesita ser cuadrada para tener inversa).
14. Matriz idempotente
Una matriz idempotente es aquella que cumple que A2=A
15.Matriz involutiva
Una matriz involutiva es aquella que cumple que A2= I

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Se llama matriz inversa de una matriz cuadrada A, y se expresa A⁻¹, a la única matriz que cumple que:

A·A⁻¹ = I = A⁻¹·A

Es decir, la matriz inversa de A es la única matriz que al multiplicarla por ella obtenemos la matriz identidad del orden correspondiente.

La matriz inversa no siempre existe, para que exista, es condición necesaria y suficiente que el determinante de la matriz sea distinto de cero:

Aunque existe otro procedimiento para calcular la inversa a través de transformaciones elementales ( método de Gauss)

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Un sistema de ecuaciones es un conjunto de dos o más ecuaciones algebraicas que contienen una o más incógnitas comunes y se utilizan para encontrar los valores de esas incógnitas que satisfacen simultáneamente todas las ecuaciones del sistema.

Tipos de sistemas de ecuaciones:

Sistema de ecuaciones lineales: Todas las ecuaciones en el sistema son lineales, es decir, las incógnitas aparecen elevadas a la potencia 1 y no se multiplican entre sí. Por ejemplo, Ax + By = C.
Sistema de ecuaciones no lineales: Al menos una de las ecuaciones en el sistema es no lineal, lo que significa que las incógnitas pueden estar elevadas a potencias distintas de 1 y pueden multiplicarse entre sí. Por ejemplo, x^2 + y^2 = 25.

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El método de igualación y el método de sustitución son dos técnicas comunes utilizadas para resolver sistemas de ecuaciones lineales en álgebra. Aquí tienes una descripción y más detalles para incluir en un mapa conceptual

Método de Igualación:
El método de igualación es una técnica para resolver sistemas de ecuaciones lineales en la que se igualan dos expresiones que representan la misma cantidad y luego se resuelve la ecuación resultante.

Método de Sustitución:
El método de sustitución es una técnica para resolver sistemas de ecuaciones lineales en la que se despeja una variable en una ecuación y se sustituye en la otra ecuación.

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MÉTODO DE GAUSS-JORDÁN SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES HOMOGÉNEOS

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MÉTODO DE GAUSS-JORDÁN SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES HOMOGÉNEOS

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El método de Gauss-Jordán es una técnica utilizada para resolver sistemas de ecuaciones lineales homogéneos. Un sistema de ecuaciones lineales homogéneo es un conjunto de ecuaciones en el que todos los términos constantes son iguales a cero. Este método se utiliza para encontrar las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales homogéneas a través de una serie de pasos que implican operaciones en las filas de una matriz aumentada.

Pasos del método.
a. Representar el sistema en forma de matriz aumentada.
b. Aplicar operaciones elementales de fila para llevar la matriz a su forma escalonada reducida.
c. Sustituir las variables principales por parámetros y expresar las variables libres en función de estos parámetros.
d. Formar las soluciones generales a partir de los parámetros.

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MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA SISTEMAS DE ECUACIONES MATEMÁTICAS

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MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA SISTEMAS DE ECUACIONES MATEMÁTICAS

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Un sistema de ecuaciones consiste en dos o más ecuaciones algebraicas que involucran una o más variables desconocidas. El objetivo es encontrar los valores de las variables que satisfacen todas las ecuaciones simultáneamente.

Tipos de sistemas de ecuaciones:

1. Sistemas lineales: Todas las ecuaciones son lineales, lo que significa que las variables se elevan solo a la primera potencia y no se multiplican entre sí.

2. Sistemas no lineales: Al menos una de las ecuaciones es no lineal, lo que puede incluir variables elevadas a potencias diferentes, productos, divisiones, etc.

Estos métodos se aplican en una variedad de campos, incluyendo la física, la ingeniería, la economía, la estadística y la informática.Son fundamentales en problemas de modelado, control y simulación.

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es una entidad matemática que se utiliza para representar magnitudes físicas o conceptos abstractos que tienen tanto magnitud como dirección. Los vectores se representan mediante segmentos de línea con una dirección específica y una longitud proporcional a la magnitud del vector.

Cada vector tiene dos componentes principales: magnitud y dirección. La magnitud del vector representa la longitud o tamaño del vector, mientras que la dirección indica la orientación en la que apunta el vector.

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Los vectores son entidades matemáticas que se utilizan ampliamente en diversas disciplinas, desde la física y la ingeniería hasta la informática y la estadística. Tienen una amplia gama de aplicaciones en distintos contextos.

1. Física: En física, los vectores se utilizan para representar magnitudes con dirección y magnitud, como la velocidad, la fuerza y el momento. Los vectores son fundamentales en la mecánica, la cinemática y la dinámica.

2. Geometría: Los vectores son útiles para describir las posiciones relativas de puntos en el espacio tridimensional y para realizar transformaciones geométricas, como traslaciones y rotaciones.

3. Ingeniería: En ingeniería, los vectores se emplean en el diseño y análisis de estructuras, sistemas eléctricos y mecánicos, así como en la resolución de problemas de estática y dinámica.

4. Informática gráfica: En el campo de la informática gráfica, los vectores se utilizan para representar figuras y objetos en 2D y 3D, lo que permite crear imágenes y animaciones de alta calidad.

5. Programación y matemáticas computacionales: Los vectores se emplean en programación para representar datos en forma de matrices y en operaciones de álgebra lineal, lo que es fundamental en la resolución de sistemas de ecuaciones y la optimización.