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Saiba como a sequência de Fibonacci se apresenta em fenômenos da natureza, nas artes e até na arquitetura. Veja também quem é Fibonacci nesta revisão de Progressão Aritmética do Curso Enem Gratuito! No final, tem 10 questões para testar seu nível em PA.

Nos tempos de vida dinâmica em que vivemos muitas vezes temos que apelar para aquela listinha básica, geralmente com um sequência lógica de afazeres a cumprir. Nesta aula vamos entender o que são sequências dentro da progressão aritmética, o que é a sequência de Fibonacci, quem foi Gauss, e quais as aplicações da PA . Vem com a gente revisar Matemática para o Enem!

O que é uma sequência

Uma sequência é uma lista com elementos e que devem ter uma determinada ordem. Como nossa lista de afazeres ou checklist.

Estamos sempre utilizando sequências desde que acordamos e iniciamos nosso dia. Numericamente, quando contamos, já utilizamos uma sequência natural: 0, 1, 2, 3, 4, 5..., não é mesmo?

Vamos citar mais alguns exemplos de sequências e que você conhece:

a) Números naturais ímpares: 1, 3, 5, 7, ..., 17, 19
b) Múltiplos naturais de 5: 0, 5, 10, 15, 20, 25, ...
c) Números primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ...

Podemos concluir através dos exemplos que uma sequência numérica ou sucessão numérica é um conjunto ordenado de números reais e seus termos.

Os elementos de uma sequência

Em alguns casos, obedece a uma lei ou ordem. E pode ser finita ou infinita. Os elementos de uma sequência são ordenados e os representamos por uma letra mais um número subscrito que indica a ordem:

Sendo:

Então, podemos escrever os termos de uma sequência pela seguinte expressão:
an = (-1)n
Onde n é um número real.
Veja o seguinte exemplo:

Basta você substituir n por números naturais.

Veja mais um exemplo:

Determine os cinco primeiros termos da sequência (a n) tal que a ₁ = 10 e a n+1 = a n + n, sendo que n é um número real.
Solução:
Se a n+1 = a n + n e a ₁ = 10, então temos que substituir n por um número real. Vamos iniciar por :
a) n = 1
Substituindo em a n+1 = a n + n temos:
b) n = 2 temos: c) n = 3 temos: d) n = 4 temos:
Portanto, concluímos que a sequência (a n) = (10, 11, 13, 16, 20).

Sequência de Fibonacci

Agora que você sabe o que é uma sequência, vamos conhecer Fibonacci e a sua famosa Sequência de Fibonacci:

Leonardo de Pisa ou Fibonacci, como ficou conhecido, descobriu através da observação do crescimento populacional dos coelhos uma sequência que rege muitos fenômenos da natureza: a Sequência de Fibonacci.

Essa sequência é uma sucessão infinita de números que obedecem a um padrão. Esse padrão mostra que cada elemento subsequente é a soma dos dois anteriores. Como:
0 + 1 = 1 1+ 1 = 2 2 + 1 = 3 3 + 2 = 5 5 + 3 = 8
Assim temos a Sequência de Fibonacci : 0, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89 ...

Essa sequência é expressa geometricamente pela espiral de Fibonacci. Veja a figura abaixo: Espiral de Fibonacci e o padrão apresentado na natureza - A Espiral de Fibonacci está no meio da imagem e mostra o padrão em alguns elementos naturais. Perceba como essa espiral está presente nas outras imagens.

Agora que você já sabe o que é a sequência Fibonacci, vamos entender o que é uma Progressão Aritmética (P.A.).

Progressão Aritmética é uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é obtido pela adição do termo anterior a uma constante r, chamada de razão da progressão.

Logo, r é o número real denominado razão da P.A., e a partir do segundo termo ela é obtida pela diferença entre qualquer termo e o seu antecessor.

Então:
r = a₂ - a₁ r = a₃ - a₂ = a₄ - a₃ ... r = an - an-1
Veja como calculamos a razão das seguintes sequências:

(4,6,8,10...) é uma PA com a ₁ = 4 e r = 6-4 = 2

(12,9,6,3,0...) é uma PA com a ₁ = 12 e r = 9-12 = -3
Uma Progressão Aritmética pode ser, conforme Bonjorno (2016), classificada através do valor de sua razão:
a) r >0: se a razão for um número positivo a PA é crescente.
b) r =0: se sua razão for igual a zero, a PA é constante.
c) r < 0: se sua razão for um número negativo, a PA é decrescente.

Resumo de Progressão Aritmética

Confira agora com o professor Lucas Borghesan, do canal do Curso Enem Gratuito, as dicas básicas para você mandar bem nas questões de Progressão Aritmética no Enem e nos vestibulares.

Termo geral da Progressão Aritmética

O termo geral de uma Progressão Aritmética é aquele que ocupa a enésima posição nessa sequência e é dado por:
an = a₁ + (n-1)r
Nessa fórmula, n representa o número de termos da PA, desde o a ₁ até o a n, sendo que n um número real.

Exercício resolvido sobre PA

a) Qual é o 24º termo da P.A. (32, 38, 44,...)?

Para descobrirmos esse termo, precisamos calcular, primeiro, a razão dessa sequência:

Sendo:

a ₁ = 32. Esse é o primeiro termo da sequência dada.

n = 24. O enunciado diz que quer o 24º termo, então o número de termos é 24.

r = a ₂ - a ₁ para calcularmos a razão da PA.

r = 38 - 32 (segundo termo menos o primeiro)

r = 6.

Para calcularmos o 24º termo da Progressão Aritmética precisamos substituir os valores na expressão que define um termo da PA:

Soma dos termos de uma Progressão Aritmética

Carl Friedrich Gauss (1777-1855) foi uma criança incomum, já gostava de se divertir com cálculos matemáticos avançados.

Segundo Boyer (1996), um dia, para ocupar a classe o professor mandou que os alunos somassem todos os números de 1 a 100, e ordenou que quando terminassem colocassem a ardósia sobre a mesa conforme terminassem. Quase no mesmo instante Gauss colocou a sua sobre a mesa e, o professor ficou admirado, foi logo corrigir e não acreditou como um menino conseguiu tal façanha. Ele chegou ao resultado exato: 5050.

O raciocínio de Gauss deu origem a fórmula da Soma finita de uma Progressão Geométrica.

Você sabe como ele resolveu tal desafio?

Ele notou que o primeiro número mais o último era igual a 101 e que o segundo mais o penúltimo também era igual a 101. Também notou que existiam 50 pares que a soma era igual a 101. Então fez o cálculo:
101 X 50 = 5050.

A partir desse raciocínio de Gauss surgiu a fórmula Soma finita de uma Progressão Geométrica. Se tivermos uma Progressão Aritmética de n termos: (a ₁,a ₂,a ₃,...,a an-2,a n-1,a n), a soma Sn de seus n primeiros termos da seguinte forma:
Sn = (a₁ + an)/2
sendo a ₁ o primeiro termo e a n o enésimo termo.

Agora que você já entendeu o que é uma sequência, o que é uma sequência de Fibonacci, uma progressão aritmética e conheceu a história de Gauss tem que praticar também, não é mesmo?

Então teste seus conhecimentos fazendo os exercícios propostos.

Referências Bibliográficas:

BOYER, Carl Benjamin. História da Matemática. Trad. Elza F. Gomide. 3. ed. São Paulo: Edgar Blücher, 2012.

Exercícios sobre Progressão Aritmética:

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Progressão Aritmética (PA): o que é, termo geral e exercícios

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Aprenda a resolver exercícios de Progressão Aritmética e a fazer a soma dos termos de uma PA neste resumo com exemplos!

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A progressão aritmética (PA) é uma sequência de números reais em que cada termo, a partir do segundo, é igual ao anterior adicionado a um número fixo, chamado razão.

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Fácil e Rápido | Progressão Aritmética | pa

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é uma sequência de números onde a diferença entre dois termos consecutivos é sempre a mesma. Essa diferença constante é chamada de razão da P.A… Sendo assim, a partir do segundo elemento da sequência, os números que surgem são resultantes da soma da constante com o valor do elemento anterior

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A Progressão Aritmética (P.A.) é uma sequência de números onde a diferença entre dois termos consecutivos é sempre a mesma. Essa diferença constante é chamada de razão da P.A.. Sendo assim, a partir do segundo elemento da sequência, os números que surgem são resultantes da soma da…

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Deixando a explicação mais clara, ela ainda orientar bem e o macete ideal pra resolver o problema do PG.

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Deixando a explicação mais clara, ela ainda orientar bem e o macete ideal pra resolver o problema do PG.

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PROGRESSÃO GEOMÉTRICA PG AULA 1 | TERMOS E RAZÃO DE UMA PG \Prof. Gis/

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O link que tem questão sobre PA e PG nas provas públicas e oque pode cair mais, questões de PG é PA são assuntos muito cobradas especialmente em carreiras policiais, militares e administrativas.

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O link que tem questão sobre PA e PG nas provas públicas e oque pode cair mais, questões de PG é PA são assuntos muito cobradas especialmente em carreiras policiais, militares e administrativas.

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Blog Gran Cursos Online | Concursos Públicos Abertos 2023

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Questões de PA e questões de PG são assuntos muito cobradas especialmente em carreiras policiais, militares e administrativas. Além disso, se você vai prestar concurso para qualquer área de matemática, também vai encontrá-las no cronograma. A matemática é, afinal de contas, uma das principais matérias de conhecimentos básicos a cair em concurso públicos. Mas o que são a PA E PG? E como estudar questões de PA e questões de PG para concursos públicos? Nós te contamos!

Questões de PA e questões de PG para concursos públicos: conceitos

O conceito básico tanto da PA quanto da PG, é que são progressões de números. Isto é, uma coleção numérica que segue uma determinada ordem. Quando apresentadas em questões, essas progressões numéricas podem ser classificadas como finitas ou infinitas e sempre estão entre parênteses. Observe:

(60,50,40,30,20,10) - É uma progressão numérica (aritmética) finita, pois nós conhecemos o último termo.

(45, 15, 5, ...) - É uma progressão numérica (geométrica) infinita, pois não conhecemos o último termo. Ao invés disso, temos a presença dos três pontos [...].

Mas como identificar se estamos falando de um questão de PA (Progressão Aritmética) ou uma questão de PG(Progressão Geométrica) em concursos públicos? Isso vai depender da análise da razão (r).

Razão (r) de PA Ou PG

De modo resumido, podemos identificar a razão de progressões numéricas como a regra principal para a mudança e progressão dos termos. A maneira como calculamos a razão da PA e da PG são diferentes. Confira as principais fórmulas para cada caso:

Fórmula de razão da PA:

Fórmula de razão da PG:

Muitas questões de concurso público podem estar baseadas justamente em calcular ou avaliar essa razão. Confira um exemplo abaixo:
(2011. CESPE CEBRASPE - BRB - Escriturário)
Considerando que, em uma progressão aritmética de termos a1, a2, ..., an, ..., a razão seja positiva, a1 = 2 e os termos a1, a3 e a11 estejam, nessa ordem, em progressão geométrica, julgue os itens a seguir.
A razão dessa progressão aritmética será um número racional, não inteiro.
Resposta comentada Item Errado.
Como vimos, a razão da progressão aritmética é igual a 3. Portanto, é um número inteiro.

Para a progressão aritmética, podemos escrever:

Agora, queremos que a1, a3 e a11 estejam em progressão geométrica. Para isso, devemos ter uma razão q, de modo que:

Chegamos a uma igualdade envolvendo a razão da PG. Agora, podemos resolver o problema:

Usando as propriedades de razão e proporção, podemos subtrair o denominador do numerador.

Como a razão é positiva, temos que ela não pode ser zero. Por isso, podemos cortar o r de ambos os lados.

Para n ímpar, o número n-1 será par, portanto 3(n-1) também será par. O termo ímpar será a soma de 2 com outro número par, logo todos os termos a1, a3, a5 etc. são pares.

*Resposta pelo professor Thiago Fernando Cardoso da Silva da equipe Gran Cursos Questões

Questões de PA e questões de PG para concursos públicos: como são cobradas?

As questões de PA e questões de PG para concursos públicos geralmente transitam com mais frequência em torno da identificação de termos gerais ou somas de termos específicos da progressão. Veja abaixo alguns exemplos de questões comentadas!

Questões de PG para concursos públicos - Soma de termos de uma PG infinita
(2019. EEAR - Sargento)
Dada a equação 20x + 10x + 5x + ... = 5, em que o primeiro membro representa a soma dos termos de uma progressão geométrica infinita, o valor de 1/x é

Resposta comentada
Item C.
- Considerando que, na PG, A1= 20x, a razão q= 1/2 e Sn= 5;

- Assim, como Sn= A1/ (1-q), que 5= 20.x/ (1-1/2), então x= 1/8;

- Dessa forma, se x= 1/8, então 1/x= 8 .

*-Resposta pelo professor João Carlos de Freitas da equipe Gran Cursos Questões.

Questões de PA para concursos públicos - Identificação de termos
(2020. ESA - Técnico em Enfermagem - 1º Simulado Pós-edital )
Preparando-se para uma maratona aquática importante, com percurso de 10 km, certo sargento treina diariamente e, a cada dia, nada 100 m a mais do que no dia anterior. Mantendo este ritmo, no décimo dia, ele nadou um total de 2.500 m.

Desta forma, pode-se estimar que, para estar em condições de cumprir essa prova, esse marinheiro deverá treinar, no mínimo, durante:

Resposta comentada
Item B.
Considere que ele já treinou 10 dias.

Ainda precisa alcançar 10.000 - 2.500 metros = 7.500.

Como a cada dia aumenta 100 m, 7.500/100 = 75. Ou seja, em mais 75 dias estará em condições.

Como ele já treinou 10 dias, 75 + 10 = 85 dias.

*Resposta pelo professor Diego Ribeiro da equipe Gran Cursos Questões.

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Questões de PA e questões de PG para concursos públicos!

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Vai prestar um concurso com matemática no edital? Estude com Questões de PA e Questões de PG para concursos públicos comentadas!

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Os erros mais cometido nas prova público do PA e PG.

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Os erros mais cometido nas prova público do PA e PG.

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No Exame Nacional do Ensino Médio ( Enem), são muito comuns questões envolvendo progressões conhecidas como PA e PG. Neste artigo, veja quais são os erros mais comuns cometidos por alunos que não conseguem acertar essas questões e aprenda uma forma de não cometer tais erros, obtendo mais chances de sucesso nesse exame.

Apenas para lembrar o que é uma progressão e o que são PA e PG, suas definições serão expostas a seguir.
Veja também: Soma de Gauss
Uma progressão é uma sequência numérica onde a ordem dos números apresenta algum tipo de padrão.

Uma progressão é chamada progressão aritmética (PA) quando cada um dos seus elementos é igual à soma de seu antecessor com uma constante, que é a mesma para qualquer elemento da PA. Em outras palavras, uma sequência numérica é PA quando a diferença entre dois de seus termos consecutivos é sempre igual a uma constante, que é chamada de razão e representada pela letra r.

Uma progressão é chamada progressão geométrica (PG)quando cada um dos seus termos é igual ao produto do anterior por uma constante, também chamada de razão e representada pela letra q.

É muito comum achar entre os estudantes aqueles que erram qualquer cálculo matemático por falta de atenção. Frequentemente, encontramos soluções com uso de fórmulas e de conhecimentos matemáticos corretos, mas com um erro simples ao final. Por exemplo: um erro ao colocar o sinal da última parte do exercício invertido ou ao fazer a penúltima multiplicação como se fosse uma soma. Por exemplo: após toda a parte mais difícil do exercício, que envolve o conceito matemático da PA ou da PG, o aluno faz: 4·4 = 8.

É importante que o aluno faça uma boa leitura do exercício, assinalando o que foi solicitado nele. Isso porque também é frequente deixar passar uma informação indispensável para a solução do exercício. É comum que o exercício solicite algo diferente do "valor de x". Por exemplo: qual é a metade da soma dos termos da PA...

Em questões de múltipla escolha, o resultado da soma dos termos dessa PA também estará entre as alternativas, mas será incorreta.
Veja também: Trabalhando ao mesmo tempo com PA e PG
Também é comum que os estudantes não se lembrem das fórmulas usadas nas progressões e não conheçam uma maneira de chegar a elas. Essas fórmulas são: fórmula do termo geral da PA, fórmula do termo geral da PG, fórmula da soma dos termos da PA, fórmula da soma dos termos de uma PG finita, fórmula da soma dos termos de uma PG infinita e fórmula do produto dos termos de uma PG finita.

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Por isso, aconselhamos os alunos a estudar os meios usados para encontrar tais fórmulas. Esses meios também servem para resolver alguns tipos de exercícios envolvendo progressões - então esse estudo é útil de diversas formas.

Alunos que conhecem esses métodos não precisam se apegar a fórmulas e acabam desenvolvendo muito mais o raciocínio lógico. Além disso, esse tipo de conhecimento demora mais para ser esquecido. A fórmula decorada, por sua vez, é esquecida facilmente.

O terceiro erro mais comum é não pensar que algumas progressões podem não estar expressas de maneira óbvia. É como se o exercício se referisse a uma progressão geométrica ou aritmética disfarçada.

Exemplo: Qual é o centésimo termo da sequência A = (1, 3, 6, 10, 15, ...)?

Solução: note que cada termo dessa sequência pode ser obtido pela soma de termos de progressões aritméticas de números naturais, com primeiro termo igual a 1, razão igual a 1 e número de termos igual à posição do número da sequência. Em outras palavras, os termos da sequência A são:
a₁ = 1 = 1 a₂ = 3 = 1 + 2 a₃ = 6 = 1 + 2 + 3 a₄ = 10 = 1 + 2 + 3 + 4 a₅ = 15 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 ...
A quantidade de termos somados é igual ao índice n, ou seja, à posição ocupada pelo termo da sequência A. Para descobrir o centésimo termo, basta fazer a soma de todos os números naturais de 1 até 100. Esse conjunto forma uma PA finita, de 100 termos, com razão 1 e primeiro termo também 1.

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três erros mais cometidos em progressões no enem

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Três erros mais cometidos em progressões no Enem - Mundo Educação

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Clique e veja os três erros mais cometidos em progressões no Enem. Saiba formas de evitar esses erros e aumente suas chances de tirar boas notas no exame. Veja as fórmulas mais usadas no cálculo de progressões geométricas e aritméticas e obtenha um exemplo de exercício onde as PAs estão escondidas em sequências comuns.

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Lista de exercício do Enem em que anos caiu as questão de PA e PG de 2011 pra 2020.

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Lista de exercício do Enem em que anos caiu as questão de PA e PG de 2011 pra 2020.

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Lista de 15 exercícios de Matemática com gabarito sobre o tema PA/PG com questões do Enem.

Você pode conferir as videoaulas, conteúdo de teoria, e mais questões sobre o tema PA/PG.

1. (Enem 2020) No Brasil, o tempo necessário para um estudante realizar sua formação até a diplomação em um curso superior, considerando os 9 anos de ensino fundamental, os 3 anos do ensino médio e os 4 anos de graduação (tempo médio), é de 16 anos. No entanto, a realidade dos brasileiros mostra que o tempo médio de estudo de pessoas acima de 14 anos é ainda muito pequeno, conforme apresentado na tabela

Considere que o incremento no tempo de estudo, a cada período, para essas pessoas, se mantenha constante até o ano 2050, e que se pretenda chegar ao patamar de 70% do tempo necessário à obtenção do curso superior dado anteriormente.

2. (Enem 2020) O artista gráfico holandês Maurits Cornelius Escher criou belíssimas obras nas quais as imagens se repetiam, com diferentes tamanhos, induzindo ao raciocínio de repetição infinita das imagens. Inspirado por ele, um artista fez um rascunho de uma obra na qual propunha a ideia de construção de uma sequência de infinitos quadrados, cada vez menores, uns sob os outros, conforme indicado na figura.

O quadrado PRST, com lado de medida 1, é o ponto de partida. O segundo quadrado é construído sob ele tomando-se o ponto médio da base do quadrado anterior e criando-se um novo quadrado, cujo lado corresponde à metade dessa base. Essa sequência de construção se repete recursivamente.

Qual é a medida do lado do centésimo quadrado construído de acordo com esse padrão?

03. (Enem 2018) A raiva é uma doença viral e infecciosa, transmitida por mamíferos. A campanha nacional de vacinação antirrábica tem o objetivo de controlar a circulação do vírus da raiva canina e felina, prevenindo a raiva humana. O gráfico mostra a cobertura (porcentagem de vacinados) da campanha, em cães, nos anos de 2013, 2015 e 2017, no município de Belo Horizonte, em Minas Gerais. Os valores das coberturas dos anos de 2014 e 2016 não estão informados no gráfico e deseja-se estimá-los.

Para tal, levou-se em consideração que a variação na cobertura de vacinação da campanha antirrábica, nos períodos de 2013 a 2015 e de 2015 a 2017, deu-se de forma linear

Qual teria sido a cobertura dessa campanha no ano de 2014?

05. (Enem PPL 2016) Com o objetivo de trabalhar a concentração e a sincronia de movimentos dos alunos de uma de suas turmas, um professor de educação física dividiu essa turma em três grupos (A, B e C) e estipulou a seguinte atividade: os alunos do grupo A deveriam bater palmas a cada 2 s, os alunos do grupo B deveriam bater palmas a cada 3 s e os alunos do grupo C deveriam bater palmas a cada 4 s.

O professor zerou o cronômetro e os três grupos começaram a bater palmas quando ele registrou 1 s. Os movimentos prosseguiram até o cronômetro registrar 60 s.

Um estagiário anotou no papel a sequência formada pelos instantes em que os três grupos bateram palmas simultaneamente.

Qual é o termo geral da sequência anotada?

06. (Enem PPL 2017) Os consumidores X, Y e Z desejam trocar seus planos de internet móvel na tentativa de obterem um serviço de melhor qualidade. Após pesquisarem, escolheram uma operadora que oferece cinco planos para diferentes perfis, conforme apresentado no quadro.

Em cada plano, o consumidor paga um valor fixo(preço mensal da assinatura) pela franquia contratada e um valor variável, que depende da quantidade de MB utilizado além da franquia. Considere que a velocidade máxima de acesso seja a mesma, independentemente do plano, que os consumos mensais de X, Y e Z são de 190 MB, 450 MB e 890 MB, respectivamente, e que cada um deles escolherá apenas um plano.

Com base nos dados do quadro, as escolhas dos planos com menores custos para os consumidores X, Y e Z, respectivamente, são

07. (Enem 2016) Para comemorar o aniversário de uma cidade, a prefeitura organiza quatro dias consecutivos de atrações culturais. A experiência de anos anteriores mostra que, de um dia para o outro, o número de visitantes no evento é triplicado. É esperada a presença de 345 visitantes para o primeiro dia do evento.

Uma representação possível do número esperado de participantes para o último dia é

10. (Enem 2013) O ciclo de atividade magnética do Sol tem um período de 11 anos. O início do primeiro ciclo registrado se deu no começo de 1755 e se estendeu até o final de 1765. Desde então, todos os ciclos de atividade magnética do Sol têm sido registrados.

Disponível em: http://g1.globo.com. Acesso em: 27 fev. 2013.

No ano de 2101, o Sol estará no ciclo de atividade magnética de número

11. (Enem 2012) Num projeto da parte elétrica de um edifício residencial a ser construído, consta que as tomadas deverão ser colocadas a 0,20 m acima do piso, enquanto os interruptores de luz deverão ser colocados a 1,47 m acima do piso. Um cadeirante, potencial comprador de um apartamento desse edifício, ao ver tais medidas, alerta para o fato de que elas não contemplarão suas necessidades. Os referenciais de alturas (em metros) para atividades que não exigem o uso de força são mostrados na figura seguinte.

Uma proposta substitutiva, relativa às alturas de tomadas e interruptores, respectivamente, que atenderá àquele potencial comprador é

14. (Enem 2011) O número mensal de passagens de uma determinada empresa aérea aumentou no ano passado nas seguintes condições: em janeiro foram vendidas 33 000 passagens; em fevereiro, 34 500; em março, 36 000. Esse padrão de crescimento se mantém para os meses subsequentes. Quantas passagens foram vendidas por essa empresa em julho do ano passado?

15. (Enem 2009) No gráfico seguinte está representado o aumento progressivo do número de horas de treino diário de um atleta ao longo dos 20 primeiros dias do mês de setembro, quando iniciou o treinamento.

Se for mantida essa tendência de crescimento, no último dia de setembro, o atleta deverá treinar, diariamente,