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Sucesiones y Series: Explicación con Ejemplos | StudySmarter. (s. f.). StudySmarter ES. https://www.studysmarter.es/resumenes/matematicas/analisis-matematico/sucesiones-y-series/

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Encontremos el decimoquinto término de la sucesión aritmética infinita: 5, 12, 19, 26, 33, 40....

Solución

Puesto que aqui u,, es el decimoquinto término,n es igual a 15.

El primer término (5, en este caso) siempre se corresponde con a

La diferencia común entre todos los términos es de 7

U_1-a=12-5=7, U₂-U_1=19-12=7y asi sucesivamente)

U_15=5+(15-1) 7

U_15=103

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an = a1 + (n – 1) · d

Donde a1 es el primer término, y d, la diferencia.

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ex ≈ 1 + x + (x2 / 2!) + (x3 / 3!) + (x4 / 4!) + (x5 / 5!) + …

Donde n! = n. (n-1). (n-2). (n-3)… y se toma 0! = 1.

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García, M. Á. R. (2022, 18 marzo). Cálculo Diferencial e Integral II: Series de potencia. El Blog de Leo. https://blog.nekomath.com/calculo-diferencial-e-integral-ii-series-de-potencia/

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Las sucesiones son listas de números ordenados (llamados "términos"), como 2,5,8. Algunas sucesiones siguen un patrón específico que puede usarse para extenderlas indefinidamente. Por ejemplo, 2,5,8 sigue el patrón de "sumar 3", y entonces podemos continuar la sucesión.

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Una serie de potencias es una serie de la forma: alrededor de x=c, en el cual el centro es c, y los coeficientes son los términos de una sucesión. Las series de potencias son útiles en el análisis matemático, donde surgen como series de Taylor de funciones infinitamente diferenciables.

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Es una secuencia de números ordenados, llamados términos, entre los cuales hay una relación que hay que descubrir, para completar la serie.

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Una serie finita es una sucesión que tiene final. Esta característica diferencia a las series finitas de las series infinitas, que no cuentan con un fin y, por lo tanto, puede extenderse o prolongarse indefinidamente.

Estas series tienen un primer y un último término que ya están definidos.

La definición de finito es algo que tiene un limite que no se puede exceder. Un ejemplo de finito es el número de personas que caben en un ascensor al mismo tiempo.

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Las series infinitas son aquellas donde i toma el valor de absolutamente todos los números naturales. Una serie numérica es un conjunto especial de números que se forma ordenadamente siguiendo determinada ley o condición.

Una serie infinita es una expresión de la forma

∞∑n=1an=a1+a2+a3+⋯.

Para cada número entero positivo k, la suma

Sk=k∑n=1an=a1+a2+a3+⋯+ak

se llama kenésimo suma parcial de la serie infinita. Si podemos describir la convergencia de una serie a S, llamamos S la suma de la serie, y escribimos

∞∑n=1an=S.Si la secuencia de sumas parciales diverge, tenemos la divergencia de una serie.

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a n = dn + c

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Una sucesión es "convergente" si sus términos se aproximan a un valor específico conforme progresamos a través de ellos hacia el infinito.

Es decir, una serie o más bien una suma de los términos de una secuencia de números, resulta convergente si la sucesión de sumas parciales tiene un límite en el espacio considerado. De otro modo, constituiría lo que se denomina serie divergente.

En pocas palabras, una serie se dice convergente si tiene un límite finito (su suma es finita).

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Para encontrar la suma de una serie geométrica finita, use la fórmula, Sn=a1(1-rn)1-r, r≠1, donde n es el número de términos, at es el primer termino y r es la razón común.

a(1-rⁿ)/(1-r).

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El radio de convergencia de una serie de potencias es el radio del círculo de convergencia al cual la serie converge. Dicho círculo se extiende desde el valor que anula la base de las potencias hasta la singularidad más cercana de la función asociada a la serie.

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La serie de Taylor es una serie de potencias que se prolonga hasta el infinito, donde cada uno de los sumandos está elevado a una potencia mayor al antecedente.

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Serie infinita que no es convergente,por lo tanto las sumas parciales de la serie no tienen un limite es decir, es una serie infinita que no tiene una suma finita

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Cuando N es finita, hace referencia a una serie finita.

Sucesión de números tales que la proporción entre cualquier término (que no sea el primero)

y el término que le precede es una cantidad fija llamada razón. Por ejemplo, la secuencia de números 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 es una progresión geométrica con razón.

Sea f la función definida por f(x)= 2m; m" {1, 2, 3,4}

F (1)= 2x1=2

F (2)= 2x2=4

F (3)= 2x3=6

F (4)= 2x4=8

(2, 4, 6, 8)

F(x)= 2m; m" {1, 2, 3,4} es una serie finita donde m pertenece a cualquier número del intervalo [1, 4]

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Los términos incrementan o disminuyen respecto de los anteriores mediante sumas o restas de una cantidad fija. Esta cantidad se llama diferencia y se denota, habitualmente, por la letra d.

# data[].attributes.body
Los términos incrementan o disminuyen respecto de los anteriores mediante multiplicaciones o divisiones por una cantidad fija. Esta cantidad se llama razón y se denota, habitualmente, por la letra

r.

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(S/f). Ugr.es. Recuperado el 22 de mayo de 2024, de https://www.ugr.es/~fjperez/textos/series_numericas.pdf

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donde "p" es cualquier número real positivo. Son convergentes cuando p>1

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Sea (f,) una sucesión de funciones f,: D>R. Decimos que la sucesión (f,) converge uniformemente a una función f. DR y que f es el límite uniforme de la sucesión (f,) si para toda ¿>0 existe Ne N tal que If, 0) f(x) | <e para toda x e D y = todo natural n=N. Sin embargo, en la definición de convergencia uniforme, el natural N si bien puede depender de e, debe ser independiente de x. Para hacer más clara la diferencia entre ambas definiciones, las presentamos haciendo explícita la dependencia del natural N de e o de e y x en su caso.

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Las sucesiones convergentes son las sucesiones que tienen límite finito.

1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, ..., 1/n

Límite = 0

1/2, 2/3, 3/4, 4/5, 5/6, ..., n/n+1

Límite = 1

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Fórmula de Cauchy-Hadamard

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Ejemplo: la serie de Taylor de ex

e x = 1 + x + x² 2! + x³ 3! + x⁴ 4! + x⁵ 5! + ...

nos dice que la función:ex

es igual a la suma infinita de términos:1 + x + x²/2! + x³/3! + ... etc

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La sucesión 3, 5, 7, 9 ... es aritmética porque la diferencia entre términos consecutivos es siempre dos.

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r=1 implica que la sucesión está formada por el mismo número, una y otra vez, puesto que se está multiplicando por uno (sería un caso equivalente a una serie aritmética en la que la diferencia es

0).

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Encontra  la suma de los primeros cincuenta términos de la siguiente serie (4, 12, 36, 108....)

Solución:

S_n es la suma de los cincuenta primeros términos, por lo tanto n=50
El primer término se corresponde con a, que en este caso es 4, y la razón es r=3. Por tanto, la suma de los primeros cincuenta términos es:

S_50= 4(30⁵⁰-1)/3-1= 1,436(10²4)

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Cálculo Integral Serie Finita. (s/f). Blogspot.com. Recuperado el 22 de mayo de 2024, de https://seriefinita.blogspot.com/?m=1

García, M. Á. R. (2022, 3 noviembre). Cálculo Diferencial e Integral II: Definición de series y series infinitas. El Blog de Leo. https://blog.nekomath.com/calculo-diferencial-e-integral-ii-definicion-de-series-y-series-infinitas/

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If, 0) f(x) | <e

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Beltran, J. (2023, 3 noviembre). Series infinitas. CÁLCULO 21. https://calculo21.com/series-infinitas/

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3.4.2      Criterios de series convergentes y divergentes. (2020). http://cidecame.uaeh.edu.mx/lcc/mapa/PROYECTO/libro5/342_criterios_de_series_convergentes_y_divergentes.html

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Zapata, F. (2020, junio 4). Radio de convergencia: definición, ejemplos y ejercicios resueltos. Lifeder. https://www.lifeder.com/radio-de-convergencia/

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Westreicher, G. (2022, 24 noviembre). Serie de Taylor. Economipedia. https://economipedia.com/definiciones/serie-de-taylor.html

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Strang, G., & Herman, E. “. (2022, 24 marzo). 5.2 Serie infinita - Cálculo volumen 2 | OpenStax. https://openstax.org/books/c%C3%A1lculo-volumen-2/pages/5-2-serie-infinita

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 Representación  de funciones  mediante  la Serie de Taylor                

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 Representación  de funciones  mediante  la Serie de Taylor                

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Representación de funciones mediante la serie de taylor

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Representación de funciones mediante la serie de taylor

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La serie de Taylor de una función f de números reales o complejos que es infinitamente diferenciable en un entorno de números reales o complejos a, es la serie de potencias

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Donde n es el factorial de n y f (n)(a) denota la n-ésima derivada de f en el punto a; la derivada cero de f es definida como la propia f y (x − a)0 y 0! son ambos definidos como uno.

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Representación de funciones mediante la serie de Taylor

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Representación de funciones mediante la serie de Taylor

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Sucesiones y Series: Explicación con Ejemplos | StudySmarter. (s. f.). StudySmarter ES. https://www.studysmarter.es/resumenes/matematicas/analisis-matematico/sucesiones-y-series/#:~:text=in%20with%20Google-,Series%20en%20matem%C3%A1ticas,%2B%2027%20%2B%2033%20%3D%20108%20.

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Aguayo, J. (2012). Cálculo integral y series: ( ed.). Editorial ebooks Patagonia - J.C. Sáez Editor. https://elibro.net/es/lc/biblioitesa/titulos/68429

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Rivera Figueroa, A. (2015). Calculo integral: sucesiones y series de funciones: ( ed.). Grupo Editorial Patria. https://elibro.net/es/lc/biblioitesa/titulos/39431

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Representación de funciones mediante la serie de Taylor

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Representación de funciones mediante la serie de Taylor

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e x = 1 + x + x² 2! + x³ 3! + x⁴ 4! + x⁵ 5! + ...

nos dice que la función:ex

es igual a la suma infinita de términos:1 + x + x²/2! + x³/3! + ... etc

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 Cálculo de  integrales  de funciones expresadas como serie de Taylor

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 Cálculo de  integrales  de funciones expresadas como serie de Taylor

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Representación de funciones mediante la serie de Taylor

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Representación de funciones mediante la serie de Taylor

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Callejas, K. P. M. (s/f). CALCULO INTEGRAL. Blogspot.com. Recuperado el 22 de mayo de 2024, de https://paolamartinezcallejas.blogspot.com/2011/05/46-representacion-de-funciones-mediante.html

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 Cálculo de  integrales  de funciones expresadas como serie de Taylor. 

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 Cálculo de  integrales  de funciones expresadas como serie de Taylor. 

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Calcular la integral de la función f(x) = ln(1+x) entre los límites de 0 y 1.

-Primero, se debe desarrollar la serie de Taylor de la función f(x) alrededor del punto x=0:

ln(1+x) = x – (x^2/2) + (x^3/3) – (x^4/4) + …

-Luego, se procede a integrar la serie de Taylor entre los límites de 0 y 1:

∫₀ ¹ ln(1+x) dx = ∫₀ ¹ (x – (x^2/2) + (x^3/3) – (x^4/4) + …) dx

-Después de integrar término a término, se obtiene:

∫₀ ¹ ln(1+x) dx = [x^2/2 – (x^3/6) + (x^4/12) – (x^5/20) + …]₀ ¹

-Sustituyendo los límites de integración, se obtiene:

∫₀ ¹ ln(1+x) dx = [1/2 – (1/6) + (1/12) – (1/20) + …]

Esta suma infinita se puede expresar como la serie de Taylor de la función ln(1+x):

∫₀ ¹ ln(1+x) dx = ln(2) – 1/2 = 0.38629…

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Cálculo de  integrales  de funciones expresadas como serie de Taylor

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Cálculo de  integrales  de funciones expresadas como serie de Taylor

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La serie de Taylor es especialmente útil para la aproximación de funciones en el cálculo de integrales. Al descomponer una función en una suma de términos cada vez más pequeños, podemos integrar cada uno de ellos de forma más sencilla y obtener una aproximación precisa del resultado final.

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Cálculo de las integrales de funciones expresadas como series de Taylor

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Cálculo de las integrales de funciones expresadas como series de Taylor

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Castro, J. (2023, 11 marzo). Domina el cálculo de integrales con funciones expresadas como serie de Taylor. ECONORADAR. https://econoradar.com/educacion/domina-el-calculo-de-integrales-con-funciones-expresadas-como-serie-de-taylor/

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Cálculo de integrales de funciones expresadas como serie de Taylor

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Cálculo de integrales de funciones expresadas como serie de Taylor