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Es aquella que genericamente se expresa como la inversa de la exponenciacion

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representa la relación entre una entrada y una salida, donde usamos multiplicaciones repetidas en un valor inicial para obtener la salida para cualquier entrada dada.

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El dominio de una funcion de logaritmica se refiere a los valores de X para los cuales la funcion esta bien definida, es decir, donde se pueda calcular su valor.

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Es el conjunto de todos los numeros reales, es decir, todos los valores que la funcion puede producir como salida.

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generalmente definida como f(x) = a^x, donde 'a' es una constante positiva y diferente de 1, son todos los números reales. Esto significa que puedes insertar cualquier número real en la función y obtener un resultado definido.

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El codominio de una función exponencial es el conjunto más amplio de valores que la función podría devolver, y generalmente se considera que es el conjunto de todos los números reales. Sin embargo, el rango, que son los valores reales que la función realmente produce, son los números reales positivos.

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La gráfica de una función logarítmica es una curva que se extiende hacia arriba a la derecha y se acerca a la línea vertical y = 0 (el eje Y) pero nunca la toca. Es la inversa de una función exponencial, por lo que sus puntos están reflejados en la línea y = x.

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Caracteristicas de la funcion logaritmica

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Caracteristicas de la funcion logaritmica

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Simetría:

La gráfica de una función logarítmica es simétrica respecto a la recta y=x con la gráfica de su función exponencial inversa.

Pasa por el punto (1,0):

Una función logarítmica siempre pasa por el punto (1,0).

Asíntota vertical:

La gráfica de una función logarítmica tiene una asíntota vertical en el eje y (x=0).

Comportamiento:

Si la base de la función logarítmica es mayor que 1 (a>1), la función es creciente.

Si la base de la función logarítmica está entre 0 y 1 (0<a<1), la función es decreciente.

Relación con la función exponencial:

La función logarítmica es la función inversa de la función exponencial, lo que significa que si un punto (x,y) está en la gráfica de la función exponencial, entonces el punto (y,x) está en la gráfica de la función logarítmica.

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Función logarítmica Gráfica, Dominio y Rango | Ejemplo 1

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La gráfica de una función exponencial es una curva que representa el crecimiento o decrecimiento exponencial. Se caracteriza por su forma asintótica, es decir, se acerca a una recta horizontal (asíntota) sin tocarla, y su rápido crecimiento o decrecimiento según la base de la función.

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Caracteristicas de una funcion exponencial

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Caracteristicas de una funcion exponencial

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Asíntota horizontal:

La gráfica se acerca al eje x (y=0) sin llegar a tocarlo. Esto significa que el valor de y se aproxima a 0 a medida que x tiende a infinito negativo.

Crecimiento o decrecimiento:

Si la base (k) es mayor que 1, la función es creciente (aumenta con x). Si la base está entre 0 y 1, la función es decreciente (disminuye con x).

Intersección con el eje y:

La gráfica siempre pasa por el punto (0, 1).

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¿QUÉ es una FUNCIÓN EXPONENCIAL?  ▶ GRÁFICA, DOMINIO, RANGO y APLICACIONES

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La función logarítmica es la inversa de la función exponencial. Esto significa que una deshace lo que hace la otra.

Ambas funciones son crecientes si la base a>1a > 1a>1.

La exponencial nunca es cero ni negativa, y su dominio es todo número real.

La logarítmica solo está definida para valores positivos, y su dominio es x>0x > 0x>0.

La función logarítmica y la función exponencial están conectadas como reflejos en un espejo: una “deshace” la acción de la otra. Son herramientas inversas que nos permiten movernos entre potencias y exponentes.

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Derivada y integral ¿Como esta definida? Funcion Exponencial

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Derivada y integral ¿Como esta definida? Funcion Exponencial

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Funcion Exponencial

Derivada

La derivada de una función exponencial expresa cómo cambia el valor de esa función respecto a su variable.
Si la función es f(x)=axf(x) = a^xf(x)=ax, su derivada se define como:

La derivada de axa^xax es ax⋅ln⁡(a)a^x \cdot \ln(a)ax⋅ln(a),
donde ln⁡(a)\ln(a)ln(a) es el logaritmo natural de la base aaa.

Un caso muy importante es cuando la base es el número e (aproximadamente 2.718), conocido como la base del logaritmo natural. En ese caso, la función f(x)=exf(x) = e^xf(x)=ex tiene una propiedad única:

La derivada de exe^xex es simplemente exe^xex.
Esto significa que es su propia derivada.

🔹 Integral

La integral de una función exponencial nos dice el área bajo su curva.
Para f(x)=axf(x) = a^xf(x)=ax, la integral definida es:

La integral de axa^xax es axln⁡(a)+C\frac{a^x}{\ln(a)} + Cln(a)ax​+C,
donde CCC es la constante de integración.

De nuevo, si a=ea = ea=e, esta integral se simplifica:

La integral de exe^xex es ex+Ce^x + Cex+C.

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Derivada y integral ¿Como esta definida? Funcion Logaritmica

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Derivada y integral ¿Como esta definida? Funcion Logaritmica

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Derivada

La derivada de la función logarítmica indica la tasa de cambio de su crecimiento.
Si f(x)=log⁡a(x)f(x) = \log_a(x)f(x)=loga​(x), entonces:

La derivada de log⁡a(x)\log_a(x)loga​(x) es 1xln⁡(a)\frac{1}{x \ln(a)}xln(a)1​, para x>0x > 0x>0.

Si la base es eee, es decir, cuando hablamos del logaritmo natural ln⁡(x)\ln(x)ln(x), la fórmula se simplifica a:

La derivada de ln⁡(x)\ln(x)ln(x) es 1x\frac{1}{x}x1​.

🔹 Integral

La integral de la función logarítmica, especialmente el logaritmo natural, también es muy útil.
Para f(x)=ln⁡(x)f(x) = \ln(x)f(x)=ln(x), su integral es:

La integral de ln⁡(x)\ln(x)ln(x) es xln⁡(x)−x+Cx \ln(x) - x + Cxln(x)−x+C.

Para logaritmos en otra base aaa, la fórmula es más general:

La integral de log⁡a(x)\log_a(x)loga​(x) es xlog⁡a(x)−xln⁡(a)+C\frac{x \log_a(x) - x}{\ln(a)} + Cln(a)xloga​(x)−x​+C.

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Tanto la función exponencial como la logarítmica tienen reglas de derivación e integración muy particulares, pero están estrechamente relacionadas entre sí. La base e (logaritmo natural) hace que estas fórmulas sean más simples y frecuentes en cálculo, por eso se usa tanto en matemáticas, física y economía.