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Noción intuitiva de límite.
Se dice que el límite de la función f(x) cuando x tiende al número real "a" es igual al número real L si al aproximarse x a "a" por la izquierda y por la derecha, siendo x ¹ a, resulta que f(x) se aproxima o incluso es igual a L. Se escribe: Lim  f(x)= L
x→a
Limite

En el ámbito de la matemática , un límite es una magnitud fija a la que se acercan de manera progresiva los términos que conforman una secuencia infinita de magnitudes. De esta forma puede hablarse del límite de una función, el límite de una sucesión, etc.
Limite gráfico
Pasos:

1.- Cuando se nos da un límite tenemos que analizarlo en la función tanto por izquierda como por la derecha, entonces nos colocamos en el número indicado sobre el eje de x en la gráfica y nos movemos un poco a la izquierda y buscamos la gráfica de la función subiendo hasta encontrarla.

2.- Vamos al eje de y desde el punto de la gráfica que encontramos antes y buscamos el límite más cercano en el eje y.

3.- Repetimos el proceso por la derecha del número indicado.

4.-Si los valores de los límites encontrados son diferentes, entonces el límite no existe porque es requisito que tanto por izquierda como por derecha nos dé el mismo número. En caso de que sea el mismo valor, se escribe el límite.

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INVESTIGACION
En matemáticas, una función f es una relación entre un conjunto dado X (el dominio) y otro conjunto de elementos Y (el codominio) de forma que a cada elemento x del dominio le corresponde un único elemento del codominio f(x). Se denota por:   f= X --> Y

La representación gráfica
mediante diagramas cartesianos permite la visualización de las funciones. De este modo, el concepto de función se generaliza a cualquier relación numérica que responda a una gráfica sobre unos ejes coordenados. La expresión f(x) indica el valor de la función f asociado al número x.

Las funciones describen fenómenos cotidianos, económicos, psicológicos, científicos... Tales funciones se obtienen experimentalmente, mediante observación.
Familias de funciones:

Lineales: f(x) = a*x + b;

Cuadráticas: f(x) = a*x^2 + b*x + c;

Funciones raiz: f(x) = sqrt(k*x)

Funciones de proporcionalidad inversa: f(x) = k/x;

Funciones exponenciales: f(x) = a^x;

Funciones logarítmicas: f(x) = log(x);

Funciones trigonométricas: f(x) = sin(x); f(x) = cos(x); f(x) = tan(x);

Funciones arco: f(x) = asin(x); f(x) = acos(x); f(x) = atan(x);

El dominio
de una función f ( x ) es el conjunto de todos los valores para los cuales la función está definida
El rango
de la función es el conjunto de todos los valores que f toma.

Simetria
Simetría par: La función verifica que f(x) = f(-x), entonces su gráfica es simétrica respecto al eje Y.
Simetría impar: La función verifica que f(-x) = -f(x), entonces su gráfica es simétrica respecto al origen de coordenadas.

Corte con ejes
Puntos de corte con el eje OX: con el eje de abscisas:
Para hallar los puntos de corte con el eje de abscisas hacemos f(x) = 0 y resolvemos la ecuación resultante.
Puntos de corte con el eje OY: con el eje de ordenadas:
Para hallar el punto de corte con el eje de ordenadas hacemos x = 0 y calculamos el valor de f(0).
Teorema de Bolzano: Si f(x) es continua en [a, b] y "signo de f(a) != signo de f(b)", entonces existe c perteneciente a (a, b) tal que f(c) = 0.

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Una sucesión

Es un conjunto de números ordenados. Cada número ocupa una posición y recibe el nombre de termino

Ejemplo: Un ejemplo de sucesión es el conjunto de los números pares 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14,...

Sucesión  finita
Se presenta cuando el dominio de la función es un subconjunto finito de. Esto significa que se limita el número de términos que se deben hallar a una cantidad finita.
Para encontrar los términos de una sucesión finita, hallamos los términos de la sucesión hasta el número n que se indique.

Sucesión infinita
Se presenta cuando el dominio de la función es el conjunto de los números enteros positivos, es decir cuando el dominio es infinito. En este caso los términos a hallar no se limitan a unos cuantos, sino a todo el conjunto de números enteros positivos hasta el infinito.
Como es dispendioso encontrar todos los términos de una sucesión infinita, hallamos en orden algunos de los primeros términos e indicamos con puntos suspensivos que la sucesión continua.

Sucesión aritmética
Son aritmética cuando cada término es la suma del término anterior más un número constante, al que llamamos diferencia y denotamos por d.

Termino enésimo
Es el término en la posición n (recordemos que en las sucesiones hay un primero, un segundo, etc.) Para encontrar el enésimo término de una progresión aritmética debemos conocer el Primer Término     ““; el Número de Términos “n” y la Razón “r”, en una progresión aritmética dada ().La fórmula del Enésimo término es

Procedimiento:

1) Identificar  ““, “n”, y “r” de la progresión dada.
2) Sustituir los valores identificados en la fórmula del enésimo término.
3) Efectuar operaciones y despejar la variable  , para encontrar la solución.

Suma de una progresión aritmética
En general, la suma de  términos de una progresión aritmética es el semiproducto del número de términos por la suma de los extremos:

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Ecuación

Una ecuación constituye una igualdad donde aparece como mínimo una incógnita que exige ser develada por quien resuelve el ejercicio. Se conoce como miembros a cada una de las expresiones algebraicas que permiten conocer los datos (es decir, los valores ya conocidos) y las incógnitas (los valores que no se han descubierto) vinculados a través de diversas operaciones matemáticas.

Ecuaciones lineales o de primer grado Las ecuaciones de primer grado o ecuaciones lineales, se definen como las expresiones con una o más incógnitas elevadas a la primera potencia. Se denominan lineales porque representan una línea en el eje cartesiano. Aprende a encontrar la solución de estas ecuaciones con los ejercicios de ecuaciones de primer grado.
* Ecuaciones cuadráticas o de segundo grado:
La ecuaciones de segundo grado, también llamadas ecuaciones cuadráticas, son aquellas cuyo mayor grado es 2. Puedes aprender a resolver ecuaciones de este tipo con los ejercicios de ecuaciones de segundo grado.
* Ecuaciones de tercer grado:
Se denominan ecuaciones de tercer grado todas las ecuaciones cuyo mayor grado es 3. Sucesivamente, según el grado que posean las ecuaciones se consideran 'ecuaciones de grado n' donde n es el mayor exponente de la ecuación. De forma que si en una ecuación n=7, se denomina ecuación de grado 7.
* Ecuaciones bicuadradas:
Las ecuaciones bicuadradas son un tipo de ecuación de cuarto grado que no posee términos impares. La fórmula de las ecuaciones bicuadradas es: ax4+bx2+c=0
* Ecuaciones irracionales:
Las ecuaciones irracionales también poseen el nombre de ecuaciones radicales. Estas ecuaciones se caracterizan por tener la incógnita dentro de un radical y existe un procedimiento para resolverlas de forma correcta.
* Ecuaciones no algebraicas:

Este tipo de ecuaciones vienen determinadas por otros tipos de operaciones que no se corresponden con el álgebra lineal.

* Ecuaciones diferenciales:

Las ecuaciones diferenciales, son aquellas que vienen determinadas por las derivadas de una o más funciones. Según el número de variables independientes, pueden ser ecuaciones diferenciales ordinarias, o ecuaciones derivadas parciales.
* Ecuaciones integrales:

En las ecuaciones integrales, vemos que la función incógnita se encuentra dentro de una operación integral. Este tipo de ecuaciones se leen como 'integral de f(x)' o 'diferencial de x'. Las ecuaciones integrales y diferenciales están estrechamente relacionadas, y se pueden utilizar las dos para plantear algunos problemas matemáticos.
* Ecuaciones trigonométricas:
Las ecuaciones trigonométricas son las ecuaciones cuya incógnita se encuentran afectada por una función trigonométrica. Podemos encontrar resultados infinitos, debido a que estas funciones son periódicas
* Ecuaciones logarítmicas:
Llamamos ecuaciones logarítmicas a aquellas ecuaciones, donde la incógnita se ve afectada por algún logaritmo. Para resolverlas debemos aplicar las diferentes propiedades que de los logaritmos.
* Ecuaciones exponenciales:
La incógnita de las ecuaciones potenciales se sitúa en el exponente de cada una de las potencias. Es posible que encontremos la incógnita en uno de los componentes de la ecuación, o en cada uno de los elementos que aparecen. Es muy importante conocer las propiedades de las potencias para poder resolverlas.
* Propiedades:
Resolver una ecuación es calcular el o los valores de la o las incógnitas para que la igualdad sea verdadera. Para esto se deben tener presente las siguientes propiedades de la igualdad.
Propiedad 1: Cuando se suma o resta un número a ambos lados de la igualdad, la igualdad se mantiene.
Propiedad 2: Cuando se multiplica o divide por un mismo número, distinto de cero, en ambos lados de la igualdad, la igualdad se mantiene.
Propiedad 3: Cuando se eleva a una potencia distinta de cero ambos miembros de la igualdad, la igualdad se mantiene.
Propiedad 4: Cuando se extrae la misma raíz, en ambos lados de la igualdad, la igualdad se mantiene. Estas Propiedades de Igualdad son las que se aplican en la resolución de las ecuaciones, independientemente del tipo de coeficientes numéricos que tenga, en otras palabras, siempre se resuelven las ecuaciones usando los mismos métodos, lo único diferente es la forma en que se realizan las operaciones matemáticas con los números que pertenecen a distintos conjuntos.

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FACTORIZACIÓN

En matemáticas, la factorización es una técnica que consiste en la descomposición de una expresión matemática (que puede ser un número o una suma). Antes que todo, hay que decir que todo polinomio se puede factorizar utilizando números reales, si se consideran los números complejos. Existen métodos de factorización para algunos casos especiales, que son:

1. Diferencia de cuadrados.

2. Suma o diferencia de cubos.

3. Suma o diferencia de potencias impares iguales.

4. Trinomio cuadrado perfecto.

5. Trinomio de la forma x²+bx+c.

6. Trinomio de la forma ax²+bx+c.

7. Factor común.

8. Triángulo de Pascal como guía para factorizar.

METODOS DE FACTORIZACION

Factorización por factor común

En este método se identifican aquellos factores que son comunes; es decir, aquellos que están repetidos en los términos de la expresión. Luego se aplica la propiedad distributiva, se saca el máximo común divisor y se completa la factorización.

En otras palabras, se identifica el factor común de la expresión y se divide cada término entre este; los términos resultantes serán multiplicados por el máximo común divisor para expresar la factorización.

Ejemplo 1

Factorizar (b2x) + (b2y).

Solución

Primero se encuentra el factor común de cada término, que en este caso es b2, y luego se dividen los términos entre el factor común de la siguiente manera:

(b2x) / b2 = x

(b2y) / b2 = y.

Se expresa la factorización, multiplicando el factor común por los términos resultantes:

(b2x) + (b2y) = b2 (x + y).

Factorización por agrupamiento

Como no en todos los casos el máximo común divisor de un polinomio se encuentra claramente expresado, es necesario hacer otros pasos para poder reescribir el polinomio y así factorizar.

Uno de esos pasos consiste en agrupar los términos del polinomio en varios grupos, para luego usar el método del factor común.

Ejemplo 1

Factorizar ac + bc + ad + bd.

Solución

Se tienen 4 factores donde dos son comunes: en el primer término es “c” y en el segundo es “d”. De esa manera se agrupan y separan los dos términos:

(ac + bc) + (ad + bd).

Ahora es posible aplicar el método del factor común, dividiendo cada término por su factor común y luego multiplicando ese factor común por los términos resultantes, así:

(ac + bc) / c = a + b

(ad + bd) / d = a + b

c(a + b) + d(a + b).

Ahora se obtiene un binomio que es común para ambos términos. Para factorizarlo se multiplica por los factores restantes; de esa manera se tiene que:

ac + bc + ad + bd = (c + d) * (a + b).

Factorización con productos notables

Existen casos en los que, para factorizar completamente los polinomios con los métodos anteriores, se convierte en un proceso muy largo.

Es por eso que una expresión puede ser desarrollada con las fórmulas de los productos notables y así el proceso se hace más simple. Entre los productos notables más usados están:

– Diferencia de dos cuadrados: (a2 – b2) = (a – b) * (a + b)

– Cuadrado perfecto de una suma: a2 + 2ab +b2 = (a + b)2

– Cuadrado perfecto de una diferencia: a2 – 2ab + b2 = (a – b)2

– Diferencia de dos cubos: a3 – b3 = (a-b)*(a2 + ab + b2)

– Suma de dos cubos: a3 – b3 = (a + b) * (a2 – ab + b2)

Ejemplo 1

Factorizar (52 – x2)

Solución

En este caso se tiene una diferencia de dos cuadrados; por lo tanto, se aplica la fórmula del producto notable:

(a2 – b2) = (a – b) * (a + b)

(52 – x2) = (5 – x) * (5 + x)

Factorización por inspección

Este método se usa para factorizar polinomios cuadráticos, también llamados trinomios; es decir, aquellos que se estructuran como ax2 ± bx + c, donde el valor de “a” es diferente de 1. Este método también se usa cuando el trinomio tiene la forma x2 ± bx + c y el valor del “a” = 1.

Ejemplo 1

Factorizar x2 + 5x + 6.

Solución

Se tiene un trinomio cuadrático de la forma x2 ± bx + c. Para factorizarlo primero se deben encontrar dos números que, al multiplicarse, den como resultado el valor de “c” (es decir, 6) y que su suma sea igual al coeficiente “b”, que es 5. Esos números son 2 y 3:

2 * 3 = 6

2 + 3 = 5.

De esa forma, la expresión se simplifica así:

(x2 + 2x) + (3x + 6)

Se factoriza cada término:

– Para (x2 + 2x) se saca el término común: x (x + 2)

– Para (3x + 6) = 3(x + 2)

Así, la expresión queda:

x(x +2) + 3(x +2).

Como se tiene un binomio en común, para reducir la expresión se multiplica este por los términos sobrantes y se tiene que:

x2 + 5x + 6 = (x + 2) * (x + 3).