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CAMILO VERGARA
1105
I.E.D TECNICO INDUSTRIAL DE TOCANCIPA

SONIA PINILLA
MATEMATICAS 2018

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se trata de facilitar la comprensión del proceso de optimización de funciones a través de una serie de ejemplos prácticos.

Se requiere un conocimiento básico de funciones, pero no es imprescindible manejar el cálculo de derivadas para comprender las escenas, aunque aquellos alumnos con conocimientos de derivabilidad podrán profundizar más en el estudio de las mismas.

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Optimización | Problema 1: costo mínimo #julioprofe

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PASOS PARA RESOLVER UN PROBLEMA DE OPTIMIZACIÓN

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PASOS PARA RESOLVER UN PROBLEMA DE OPTIMIZACIÓN

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Para resolver un problema de optimización de forma correcta vamos a establecer una serie de pasos que nos harán más sencillo el planteamiento y la resolución:
1º. En primer lugar, establecemos cuál o cuáles son las incógnitas que nos plantea el problema.
2º. A continuación tenemos que buscar y plantear qué es lo que tenemos que maximizar o minimizar: f(x,y)
3º. Después buscamos la condición que se nos plantea. En la mayoría de los problemas que nos encontremos, la función a maximizar o minimizar dependerá de dos variables, por tanto la condición nos permitirá relacionar estas dos variables para poner una en función de la otra.

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4º. Una vez, que hemos despejado una variable en función de la otra, supongamos y en función de x. Sustituimos en nuestra función a optimizar, quedándose ahora en función de una sola variable: f(x)
5º. Derivamos la función y la igualamos a cero: f´(x)=0.
6º. Una vez obtenidas las soluciones nos falta el último paso, comprobar si realmente se trata de un máximo o un mínimo, para ello, realizamos la segunda derivada de tal forma que:
– si f´´(x)0, entonces se trata de un mínimo.
7º. El último paso, una vez que ya tenemos x, sería irnos al paso 3, donde habíamos despejado y, y hallar el valor de y, y damos la solución.

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Resolver gráficamente problemas de cálculo de máximos y mínimos.

Interpretar el significado de los extremos relativos de una función.

Entender como varía el valor de los extremos relativos en función de los parámetros de que dependen.

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Los problemas de optimización son aquellos que se ocupan de elegir la decisión óptima de un problema, es decir, encontrar cual es el máximo o mínimo de un determinado criterio (una función) sujeto a unas condiciones que nos da el problema.

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https://matematica.laguia2000.com/general/problemas-de-optimizacion
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https://www.youtube.com/watch?time_continue=3&v=27D-xn7X3-I
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https://www.youtube.com/watch?v=_exKGOyFZ50
-------------------------------------------------------http://www.objetos.unam.mx/matematicas/matema/Daplica/da_aplicacion09_d.html
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http://www.ieszaframagon.com/matematicas/matematicas2/derivada/7_problemas_de_optimizacin.html

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Ejercicio 1 Un banco lanza al mercado un plan de inversión cuya rentabilidad R(x), en euros, viene dada en función de la cantidad invertida, x en euros, por medio de la expresión: R(x) - 0,001x 0,4x 3,5 2 = + + Deducir qué cantidad de dinero convendrá invertir en dicho plan. ¿Qué rentabilidad se obtuvo en el caso anterior? Solución: Obviamente, convendrá invertir la cantidad que mayor rentabilidad produzca: R'(x) = - 0,002x + 0,4 200 0,002 0,4 R'(x) = 0 ⇒ - 0,002x + 0,4 = 0 ⇒ x = = R''(x) = - 0,002 < 0, por tanto x = 200€ es un máximo de la función R(x) La rentabilidad que se obtiene es R(200) - 0,001(200) 0,4 200 3,5 435 2 = + ⋅ + = , €

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Determinar las dimensiones del rectángulo de área máxima inscrito en un círculo de radio ½ Solución: Sean x e y las dimensiones del rectángulo. El área es A = x ⋅ y Además, x e y son los catetos de un triángulo rectángulo de hipotenusa 1: 2 2 2 x + y = 1 ⇒ y = 1 − x sustituyendo en A: 2 2 4 f(x) = x ⋅ 1 − x = x − x Por tanto, debemos maximizar esta función: ( ) 2 2 2 2 2 4 3 1 x 1 2x 2x 1 x 2x 1 2x 2 x x 2x 4x f x − − = ⋅ − ⋅ − = ⋅ − − '( ) = 2 2 2 1 0 1 2x 0 x 1 x 1 2x f x 0 2 2 2 = ⇒ − = ⇒ = ± = ± − − '( ) = ⇒ De los dos valores obtenidos, descartamos el negativo por no tener sentido en este problema. Comprobemos si 2 2 x = es máximo: