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Produit par Rayan Belguellaoui, Anouk Cagnazzo-Jouve, Emma Bellan

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Produit par Rayan Belguellaoui, Anouk Cagnazzo-Jouve, Emma Bellan

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REPONSE A LA QUESTION DE DIMENSION                            Calcul de la dimension d'un objet fractal finit

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REPONSE A LA QUESTION DE DIMENSION                            Calcul de la dimension d'un objet fractal finit

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Dimension de Bouligand. Imaginons que l’on veuille calculer la dimension d’un objet fractal qui n’a pas de similitude interne comme par exemple la côte de la Grande Bretagne. L’idée est de recouvrir cet objet par une maille carrée de plus en plus fine et de ne compter que les carrés qui recouvrent l’objet. Commençons à appliquer ce procédé au tapis de Sierpinski pour voir que l’on retrouve bien la http://prof.pantaloni.free.fr 4 mail me ! 3.2 Dimension de Bouligand. 3 DIMENSION FRACTALE valeur précédemment calculée d = ln(8) ln(3) . On recouvre avec un carré initial, disons de côté 1, puis par 8 carrés de côté 1/3, puis avec des côtés de 1/3 2 il en faut 8 × 8 = 82 , et ainsi de suite. Il faudra 8 n carrés de côtés 1/3 n. Tapis de Sierpinski recouvert par des carrés de côtés 1, puis 1/3, puis 1/9. Pour passer d’un petit carré de côté 1/3 n au carré unitaire initial, il faut le multiplier par son inverse : 3 n. Lorsqu’on effectue cet agrandissement on obtient la figure initiale qui comporte donc 8 n copies de ce petit carré. D’après notre formeule précédente on obtient donc une dimension fractale pour le tapis de Sierpinski qui vaut : ln(8n) ln(3n) = n ln(8) n ln(3) = ln(8) ln(3) Et on retrouve exactement la valeur précédemment calculée. Dans ce cas, cela ne dépend pas de la taille des côtés des carrés choisis, à cause de la propriété de similitude interne du tapis de Sierpinski. On généralise alors cette méthode pour calculer par exemple la dimension fractale de la côte de la Grande Bretagne : On recouvre l’île par une maille carrée dont les côtés sont de plus en plus petits. Alors par analogie avec le calcul précédent, on considère que l’objet est localement à similitude interne : si les carrés sont de côtés ε alors c’est en appliquant un agrandissement de 1/ε qu’on obtient le carré de longueur 1 et on peut estimer que chacun de ces petits carrés est une miniature d’un carré de côté 1. Si on note Nε le nombre de carrés nécessaires au recouvrement de la côte, sa dimension fractale sera pour ε assez petit : d ≈ ln(Nε) ln(1/ε) On compte le nombre Nε de carrés de côtés ε pour recouvrir la côte de la Grande Bretagne. Pour ε assez petit, la dimension fractale est environ ln(Nε) ln(1/ε) http://prof.pantaloni.free.fr 5 mail me ! 3.2 Dimension de Bouligand. 3 DIMENSION FRACTALE Plus formellement on obtiendra la dimension fractale en faisant tendre ε vers zéro. On obtient ce qui s’appelle la dimension de Bouligand 1 (aussi de Minkowski-Bouligand, ou box-counting en anglais) d’un objet fractal F. En notant dim(F) cette dimension on a donc : dim(F) = limε→0 ln(Nε) ln(1/ε) Son avantage est de pouvoir se prêter à des calculs effectifs (par ordinateur) du comptage de carrés, donnant une valeur approchée de la dimension de n’importe quelle fractale dont on a une image. Approche graphique. Pour être plus précis, et ne pas retenir un seul comptage de carrés de côté donné mais plusieurs, on utilise un graphique. On supspecte que le nombre Nε de carrés recouvrant la fractale suit une loi de puissance de la forme : Nε = C × � 1 ε �d où C est une constante Ainsi en prenant le logarithme (Rappels : ln(ab) = ln(a) + ln(b) et ln(a n) = n ln(a)) on a : ln(Nε) = d ln � 1 ε � + ln(C) Autrement dit en posant Y = ln(Nε) et X = ln 1 ε � cette relation est de la forme Y = dX + C c’est à dire que le graphique de Y = ln(Nε) en fonction de X = ln 1 ε � doit donner une droite dont la pente (slope in english) est la dimension cherchée : d. En pratique on utilise un logiciel qui trace un maillage carré sur la figure fractale, compte les carrés la recouvrant et place un point sur le graphique pour chaque taille de carrés choisie. On calcule alors la pente de la droite qui nous donne d. Vous pouvez voir en ligne (de préférence avec Firefox) cet Applet Java qui permet de faire automatiquement cette opération, il suffit de choisir l’image voulue parmi celles proposées (fractales ou arbres) et selectionner différentes tailles de carrés. cf capture d’écran ci-dessous. dimension côté des carrés choix de l'image 1. BOULIGAND Georges Louis, mathématicien français, 1889-1979 Normalien (ancien élève de l’École normale supérieure), agrégé de mathématiques (1912), Bouligand enseigna tout d’abord au lycée de Rennes en classe de mathématiques spéciales. Il sera professeur à la Faculté des Sciences de Poitiers (1928) avant d’être nommé à la Sorbonne (1938). La diversité des travaux de Bouligand tant en mathématiques qu’en physique est impressionnante : auteur de très nombreux articles et manuels portant sur l’analyse, la géométrie analytique et différentielle, la mécanique rationnelle, la théorie de la relativité, les objets fractals, la topologie, la physique mathématique : théorie du potentiel, mécanique des solides et des fluides, . .

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