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  Esteban Gómez - Ing. Electrónica - PSM Santiago Mariño.

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  Esteban Gómez - Ing. Electrónica - PSM Santiago Mariño.

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La fórmula de la ecuación general de una hipérbola es la siguiente:

Ax²+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0

Sin embargo, para que la ecuación anterior sea de una hipérbola, los coeficientes  y  deben ser diferente de cero y, a la vez, tener signo contrario.

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          Ecuación Ordinaria de la Hipérbola

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          Ecuación Ordinaria de la Hipérbola

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La fórmula de la ecuación ordinaria de la hipérbola queda definida de la siguiente manera:
(x-x0)²/a² - (y-y0)²/b2 = 1
Donde

x0 y y0 son las coordenadas del centro de la hipérbola:

a es la longitud del semieje mayor de la hipérbola.

b es la longitud del semieje menor de la hipérbola.

Con está ecuación se pueden describir hipérbolas cuyo eje focal es horizontal (ramas abiertas hacia la izquierda y hacia la derecha), que es como son las hipérbolas normalmente. Pero si estamos trabajando con un eje focal vertical (ramas abiertas hacia arriba y hacia abajo), el signo negativo cambia de la variable y a la variable x.

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                                     Propiedades de la Hipérbola

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                                     Propiedades de la Hipérbola

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La hipérbola es una curva plana, abierta, con dos ramas; se define como el lugar geométrico de los puntos cuya diferencia de distancias a otros dos fijos, llamados focos, es constante e igual a 2a = AB, la longitud del eje real.

Tiene dos ejes perpendiculares que se cortan en el punto medio O, centro de la curva. El eje mayor AB se llama eje real y se representa por 2a; el eje menor se representa por 2b y se llama imaginario porque no tiene puntos comunes con la curva. Los focos están en el eje real. La distancia focal se representa por 2c.

Entre a, b y c existe la relación c² = a² + b².

La hipérbola es simétrica respecto de los dos ejes y, por lo tanto respecto del centro O. Las rectas que unen un punto M de la curva con dos focos, se llaman radios vectores r y r' y por definición se verifica: r - r' = 2a.

La circunferencia principal de la hipérbola es la que tiene por centro O y radio 2a. Se define como el lugar geométrico de los pies de las perpendiculares trazadas por los focos a cada una de las tangentes. Las circunferencias focales tienen por centro los focos y radio a.

La hipérbola, como la elipse, se puede definir como el lugar geométrico de los centros de circunferencias que pasan por un foco y son tangentes a las circunferencias focales del otro foco.

Las asíntotas de la hipérbola son las tangentes a la curva en los puntos del infinito. Estas asíntotas son simétricas respecto de los ejes y pasan por el centro de la curva.

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                            Gráfica de la Hipérbola

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                            Gráfica de la Hipérbola

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Se puede ver una hipérbola a través de la siguiente gráfica:

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                             Elementos y de la Hipérbola 

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                             Elementos y de la Hipérbola 

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Focos: Son los puntos fijos F y F'.

Eje focal, principal o real: Es la recta que pasa por los focos.

Eje secundario o imaginario: Es la mediatriz del segmento FF'.

Centro: Es el punto de intersección de los ejes.

Vértices: Los puntos A y A' son los puntos de intersección de la hipérbola con el eje focal.

Radios vectores: Son los segmentos que van desde un punto de la hipérbola a los focos: PF y PF'.

Distancia focal: Es el segmento FF' de longitud 2c.

Eje mayor: Es el segmento AA' de longitud 2a.

Eje menor: Es el segmento BB' de longitud 2b.
Los puntos B y B' se obtienen como intersección del eje imaginario con la circunferencia que tiene por centro uno de los vértices y de radio c.

Ejes de simetría: Son las rectas que contienen al eje real o al eje imaginario.

Asíntotas: Son las rectas de ecuaciones: y= -bx/a,  y=bx/a

Relación entre los semiejes: c²=a²+b²

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Una hipérbola es una curva abierta de dos ramas, obtenida cortando un cono recto mediante un plano no necesariamente paralelo al eje de simetría, y con ángulo menor que el de la generatriz respecto del eje de revolución.
En geometría analítica, es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a los puntos fijos llamados focos es constante en valor absoluto.

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                             Gráfica de la Elipse

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                             Gráfica de la Elipse

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Se puede ver una elipse a través de la siguiente gráfica:

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                                   Propiedades de la Elipse

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                                   Propiedades de la Elipse

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La elipse es una curva cerrada y plana, cuyos puntos constituyen un lugar geométrico que tienen la propiedad de que la suma de distancias de cada uno de sus puntos a otros dos, fijos, F1 y F2, llamados focos, es constante e igual a 2a, siendo 2a la longitud del eje mayor AB de la elipse.

Tiene dos ejes perpendiculares que se cortan en el punto medio O, centro de la curva. El eje mayor AB se llama eje real y se representa por 2a. El eje menor CD se representa por 2b. Los focos están en el eje real. La distancia focal F1-F2 se representa por 2c.

Entre a, b y c existe la relación: a²=b²+c²

La elipse es simétrica respecto de los dos ejes y, por tanto, respecto del centro O. Las rectas que unen un punto M de la curva con los focos, se llaman radio vectores r1 y r2 y por la definición se verifica: r1+r2=2a.

La elipse se puede definir también como el lugar geométrico de los centros de las circunferencias que pasan por un foco y son tangentes a la circunferencia focal del otro foco.

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Partiendo de la ecuación ordinaria, se tiene que una elipse está definida por                   (x-h)²/a²+(y-k)²/b²=1  donde a y b son los semiejes mayor y menor respectivamente.

Al quitar denominadores y desarrollar se obtiene, en general, una ecuación de la forma:

Ax2 + Bx² + Cx + Dy + E = 0    donde A y B tienen el mismo signo. A esta formula, se le conoce como ecuación general.

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Para la forma ordinaria de la Elipse se presentan dos casos.

- El primero, cuando el centro está en C (0, 0) y la ecuación es la siguiente:

x²/a²+y²/b²=1   donde a > b > 0. Si en la ecuación canónica anterior permutamos x por y, queda x²/b²+y²/a². Si la a, está debajo de la x, la elipse abre con el eje mayor paralelo al eje x, mientras que si está debajo de la y, tiene su eje mayor paralelo al eje y.

- El segundo caso, cuando el centro no está en el origen, y queda definido por la siguiente formula.

(x-h)²/a²+(y-k)²/b²=1 para este caso, se conservan las reglas del caso anterior.

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                                  Elementos de la Elipse

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                                  Elementos de la Elipse

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Focos: Son los puntos fijos F y F'.

Eje focal: Es la recta que pasa por los focos.

Eje secundario: Es la mediatriz del segmento FF'.

Centro: Es el punto de intersección de los ejes.

Radios vectores: Son los segmentos que van desde un punto de la elipse a los focos: PF y PF'.

Distancia focal: Es el segmento  de longitud 2c, c es el valor de la semidistancia focal.

Vértices: Son los puntos de intersección de la elipse con los ejes: A, A', B y B'.

Eje mayor: Es el segmento  de longitud 2a, a es el valor del semieje mayor.

Eje menor: Es el segmento  de longitud 2b, b es el valor del semieje menor.

Ejes de simetría: Son las rectas que contienen al eje mayor o al eje menor.

Centro de simetría: Coincide con el centro de la elipse, que es el punto de intersección de los ejes de simetría.

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Una elipse es una curva plana, simple​ y cerrada con dos ejes de simetría que resulta al cortar la superficie de un cono por un plano oblicuo al eje de simetría con ángulo mayor que el de la generatriz respecto del eje de revolución.
También se puede definir la elipse simplemente como el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante.

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En todos los casos, la estructura de la ecuación de la parábola tiene la siguiente característica:

- Existe solamente una variable al cuadrado (x2 o bien y² ) y otra lineal.

Entonces, la ecuación general de la parábola es:

Ax2 + Bx + Cy + D = 0  -> para una parábola horizontal.

Ay 2 + Bx + Cy + D = 0  -> para una parábola vertical.

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La ecuación ordinaria de la parábola también dependerá del tipo de parábola, y las ecuaciones son las siguientes:

(x-h)2 = 4p (y-k)  -> Cuando abre hacia arriba

(x-h)2 = -4p (y-k)   -> Cuando abre hacia abajo

(y-k)2 = 4p (x-h)  -> Cuando abre hacia la derecha

(y-k)2 = -4p (x-h)  -> Cuando abre hacia la izquierda

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Existen 4 tipos de parábolas diferentes.
El tipo dependerá de la variable que esté elevada al cuadrado y del signo en la ecuación. Viendo estos dos factores, podemos deducir si la parábola abre hacia arriba, hacia abajo, hacia la derecha o hacia la izquierda como se muestra en la siguiente imagen.

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                                   Elementos de la Parábola

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                                   Elementos de la Parábola

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1. Foco: Es el punto fijo F.

2. Directriz: Es la recta fija d.

3. Parámetro: Es la distancia del foco a la directriz, se designa por la letra p.

4. Eje: Es la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco.

5. Vértice: Es el punto de intersección de la parábola con su eje.

6. Radio vector: Es un segmento que une un punto cualquiera de la parábola con el foco.

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Es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo, llamado foco, denotado con la letra F y de una recta fija del mismo plano llamada directriz, denotado con la letra D.

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La parábola es una curva plana, abierta y de una rama. Tiene un vértice V y un eje de simetría que pasa por v y por el foco y es perpendicular a la directriz.

La tangente en el vértice de la curva es paralela a la directriz.

El vértice, como otro punto cualquiera, equidista de la directriz y del foco, por lo tanto estará colocado en el punto medio del segmento AF.

La directriz d de la curva hace de circunferencia focal de la parábola, en este caso de radio infinito. Según esto, la directriz es el lugar geométrico de los puntos simétricos del foco respecto de cada tangente.

La tangente en el vértice, que es una recta, hace de circunferencia principal y se define como en las curvas anteriores.