# data[].attributes.attachment_link.provider_name
Фонд Вікімедіа

# data[].attributes.attachment_link.authors[].name
Учасники проектів Вікімедіа

# data[].attributes.attachment_link.title
Математичний аналіз — Вікіпедія

# data[].attributes.attachment_link.description
Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
Інтегра́л (від лат. integer - цілий) - узагальнення поняття суми нескінченного числа нескінченно малих доданків. Одне з найважливіших понять математичного аналізу, центральне поняття інтегрального числення, застосовується для розв'язання задач:

обчислення площі під кривою;

пройденого шляху за нерівномірного руху;

маси неоднорідного тіла, і таке інше;

відновлення функції за її похідною (невизначений інтеграл).

Визначений інтеграл дорівнює площі криволінійної фігури, обмеженої кривою

Ви́значений інтегра́л - у математичному аналізі це інтеграл функції з вказаною областю інтегрування. Визначений інтеграл є неперервним функціоналом, лінійним по підінтегральних функціях і адитивним по області інтегрування. У найпростішому випадку область інтегрування - це відрізок числової осі. Геометричний зміст визначеного інтеграла - це площа криволінійної фігури ( криволінійної трапеції), обмеженої віссю абсцис, двома вертикалями на краях відрізка і кривою графіка функції.

Подальші узагальнення поняття дозволяють розширити його на кратні, поверхневі, об'ємні інтеграли, а також на інтеграли на об'єктах ширшої природи з мірою. Існує кілька різновидів визначених інтегралів: інтеграл Рімана, інтеграл Лебега, інтеграл Стілтьєса, інтеграл Даніелла тощо.

Нехай дано функцію - функцію дійсної змінної. Неви́значеним інтегра́лом функції , або первісною, називають таку функцію , похідна якої дорівнює , тобто, . Позначається це так: . Слід зазначити, що первісна існує не для будь-якої функції. Легко бачити, що первісна існує для будь-якої неперервної функції. Оскільки похідні двох функцій, які відрізняються лише на сталу, збігаються, під час обчислення невизначеного інтеграла додають невизначену сталу , наприклад

Основна теорема диференціального та інтегрального числення, надає відомості про те, як визначені інтеграли можна обчислити за допомогою невизначених інтегралів.

З цього погляду, інтеграція та диференціація, є зворотними одна одній. На відміну від диференціювання, не існує простого алгоритму (чіткої послідовності дій) інтегрування, навіть елементарних функцій і алгоритму, який охоплює всі можливі випадки. Інтегрування вимагає навченого вгадування, використання особливих перетворень (інтегрування підстановкою, інтегрування частинами), пошуку інтегральної таблиці або використання певного комп'ютерного програмного забезпечення. Інтегрування часто виконується лише приблизно, за допомогою чисельного інтегрування.

Що таке інтеграл (анімація)

Процес обчислення інтеграла називається інтегрува́нням. Ця дія, зазвичай використовується під час обчислення таких величин як площа, об'єм, маса, зсув тощо, коли задана швидкість або розподіл змін цієї величини до деякої іншої величини (розташування, час тощо).

Існує декілька різних визначень операції інтегрування, що відрізняються в технічних деталях. Проте всі вони сумісні, тобто будь-які два способи інтегрування, якщо їх можна застосувати до даної функції, дадуть той самий підсумок.

Інтегрування - операція, обернена до диференціювання, див. основна теорема аналізу. У результаті невизначеного інтегрування виходить функція, яка називається . Першим інтегралом є число (або, принаймні, незалежна від змінної інтегрування частина).

Інтеграція простежується ще в давньому Єгипті, приблизно в 1800 до н. е.. Першим відомим способом для розрахунку інтегралів, є метод вичерпування Евдокса ( приблизно 370 до н. е.), який намагався обчислити площі та об'єми, розриваючи їх на нескінченну безліч частин, для яких площа або об'єм уже відомий. Цей метод був підхоплений і розвинутий Архімедом, і використовувався для розрахунку площ парабол і наближеного розрахунку площі круга. Подібні способи були розроблені незалежно, в Китаї в 3-му столітті н. е Лю Хуейєм, який використовував їх для обчислення площі круга. Цей метод був згодом використаний Цзу Чунчжи для розрахунку об'єму сфери.

Основне досягнення в галузі інтегрування відбулося в 17-му столітті з відкриттям фундаментальної теореми числення (відомої як формула Ньютона - Ляйбніца) Ньютоном і Ляйбніцом, незалежно один від одного. Теорема встановлює зв'язок між інтегруванням і диференціюванням. Зокрема, основоположна теорема числення, дозволила розв'язувати ширший клас задач. Ньютон і Ляйбніц створили комплексну математичну теорію, що є не менш важливим. Ця теорія має назву - числення нескінченно малих величин, і дозволила здійснювати точний аналіз безперервних функцій. Ці засадничі роботи, зрештою стали сучасним численням, у якому була використана нотація для інтегралів, що безпосередньо спирається на роботи Лейбніца.

Знак інтеграла (∫) був уперше використаний Ляйбніцом наприкінці XVII століття. Це позначення, утворилося з букви ſ ( "довга s") - скорочення слова лат. ſumma (summa, сума).

Існує багато способів формального визначення інтеграла, і не всі з них є еквівалентними один одному. Існують відмінності, що переважно пов'язані з різними особливими випадками, які можуть бути не інтегровані в межах якихось визначень. Найбільш поширеними й загальними визначеннями інтеграла є ітеграл Рімана та інтеграл Лебега.

Інтеграл Рімана - найпростіший з визначених інтегралів, є границею інтегральної суми. Для функції однієї змінної , визначеній на відрізку та певного розбиття цього відрізка на відрізки інтегральна сума визнається як

де - будь-яка точка з відрізка.

Якщо існує границя таких сум за прямування найбільшої довжини відрізка до нуля, то функція називається інтегрованою, а границя інтегральної суми називається інтегралом Рімана функції на відрізку і позначається

Інтеграл Рімана можна також визначити як границю сум Дарбу.

Інші визначення інтеграла розширюють клас інтегрованих функцій, залучаючи в них функції, для яких границі інтегральних сум не існує.

На певній області визначення інтеграл є лінійним функціоналом на просторі функцій:

тут і - функції, - число.

Якщо області та не перетинаються (або "перетинаються в точці"), інтеграл по об'єднаній області є сумою інтегралів по та :

Якщо незростаюча послідовність (тобто ) функцій, які збігаються до нуля для всіх на області інтегрування, тоді .

Інтеграл сталої функції-константи розраховується "як площа прямокутника"

де - це "міра" області інтегрування, у простішому випадку просто довжина інтервалу, або ж "площа" області інтегрування.

Якщо у функції на відрізку існує первісна , то

Ця формула називається формулою Ньютона - Ляйбніца, або основною формулою інтегрального числення. Вона дає прикладний і зручний спосіб обчислення визначеного інтеграла за значеннями первісної на кінцях відрізка інтегрування. Багатовимірні інтеграли обчислюються за допомогою теореми про зведення кратних інтегралів до повторного.

Інтеграл "першого роду" на необмеженій області визначення

Інтеграл "другого роду" від необмеженої функції

Невласний інтеграл є розширенням поняття визначеного інтеграла; він дозволяє в деяких випадках обраховувати "інтеграл на нескінченості" або "інтеграл від необмеженої функції". У математичному аналізі невласним інтегралом називають границю послідовності визначених інтегралів, коли інтервал інтегрування збільшується до нескінченості, або коли інтервал наближається до особливої точки інтегрованої функції, де та йде в нескінченість.

Невласним інтегралом "першого роду" називається границя , якщо вона існує.

Невласний інтеграл "другого роду" дозволяє в деяких випадках визначити "інтеграл від функції, необмеженої на інтервалі". А саме, нехай функція визначена на , і для кожного малого існують інтеграли . Тоді якщо існує дійсна границя , то вона зветься невласним інтегралом "другого роду".

Подвійний інтеграл як об'єм під поверхнею . Прямокутна ділянка в основі тіла є областю інтегрування, а поверхня графіка функції двох змінних, буде інтегруватися

Кратний інтеграл або ж багатократний інтеграл степеня n, це визначений інтеграл по n змінних з функції n змінних:

Кратний інтеграл - це саме визначений інтеграл, під час його обчислення завжди виходить число.

Окремі випадки багатократного інтеграла це:

Для геометричної інтерпретації розглянемо випадок . Нехай функція приймає в області тільки додатні значення. Тоді подвійний інтеграл чисельно дорівнює об'єму вертикального циліндрового тіла, побудованого на основі і обмеженого зверху відповідним шматком поверхні .

Головним методом для розрахунку кратного інтеграла є зведення кратного інтеграла до повторних.

Хай - вимірна множина, - також вимірна множина, визначена й інтегрована на . Тоді

Будь-який d-вимірний інтеграл можна звести до d одномірних.

Інтеграл Лебега - це узагальнення інтеграла Рімана на ширший клас функцій. Всі функції, визначені на скінченному відрізку числової прямої та інтегровні за Ріманом, є також інтегровні за Лебегом, водночас в такому разі, обидва інтеграли однакові. Однак, існує великий клас функцій, визначених на відрізку й інтегровних за Лебегом, але не інтегровних за Ріманом. Також, інтеграл Лебега може застосовуватися до функцій, заданих на довільних множинах.

Задум побудови інтеграла Лебега полягає в тому, що замість розбиття області визначення підінтегральної функції на частини і написання потім інтегральної суми зі значень функції на цих частинах, на інтервали розбивають її область значень, а потім сумують з відповідними мірами, міри прообразів цих інтервалів. Важливо зазначити, що побудова інтеграла Лебега спирається на теорію міри Лебега.

Як узвичаєний приклад, розглянемо функцію Діріхле , задану на , де - борелівська σ-алгебра на , а - міра Лебега. Ця функція прибирає значення в раціональних точках і в ірраціональних. Легко побачити, що не інтегровна в сенсі Рімана. Однак, вона є простою функцією на просторі зі скінченною мірою, бо приймає тільки два значення, а тому її інтеграл Лебега визначений і дорівнює:

Дійсно, міра відрізка дорівнює 1, і оскільки множина раціональних чисел зліченна, то його міра дорівнює 0, отже міра ірраціональних чисел дорівнює .

Одне з основних ускладнень у використанні відомого інтеграла Лебега полягає в тому, що його застосування вимагає попередньої розробки відповідної теорії міри.

Існує інший підхід, викладений Даніеллем у 1918 році в його статті "Загальний вигляд інтеграла" ("Annals of Mathematics", 19, 279), що не має цього недоліку і що має значні переваги під час узагальнення на простори вищих розмірностей і подальших узагальненнях (наприклад, у формі інтеграла Стілтьєса).

Основний задум полягає в аксіоматизуванні поняття інтеграла. Розглянемо сімейство обмежених дійснозначних функцій (названих елементарними функціями), визначених на множині , що задовольняє таким аксіомам:

1. - лінійний простір зі звичайними операціями додавання і скалярного множення.

2. : якщо функція належить , то її модуль також належить

Крім того, на просторі елементарних функцій визначається додатно визначений неперервний лінійний функціонал , названий елементарним інтегралом.

1. Лінійність: якщо h і k обидва належать H, і , - довільні дійсні числа, тоді .

2. Невід'ємність: якщо , тоді .

3. Неперервність: якщо незростаюча послідовність (тобто ) функцій з , які збігаються до нуля для всіх в , тоді .

Така побудова узагальненого інтеграла має деякі переваги перед методом Лебега, особливо у функціональному аналізі. Конструкції Лебега і Даніелла еквівалентні, якщо розглядати як елементарні східчасті функції, проте під час узагальнення поняття інтеграла на складніші об'єкти (наприклад, лінійні функціонали) виникають істотні складнощі в побудові інтеграла за Лебегом. За Даніеллем, інтеграл будується простіше.

# data[].attributes.attachment_link.title
Інтеграл - Вікіпедія

# data[].attributes.attachment_link.description
Інтегра́л (від лат. integer - цілий) - узагальнення поняття суми нескінченного числа нескінченно малих доданків. Одне з найважливіших понять математичного аналізу, центральне поняття інтегрального числення, застосовується для розв'язання задач: обчислення площі під кривою; пройденого шляху за нерівномірного руху; маси неоднорідного тіла, і таке інше; відновлення функції за її похідною (невизначений інтеграл).

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
Графік функції, що позначено чорним кольором, та дотична до нього (червоний колір). Значення тангенса кута нахилу дотичної є значенням похідної у вказаній точці.

Похідна́ (заст. витвірна́) - основне поняття диференціального числення, що характеризує швидкість змінювання функції. Визначається як границя відношення приросту функції до приросту її аргументу, коли приріст аргументу прямує до нуля (якщо така границя існує). Функцію, що має скінченну похідну, називають диференційовною.

Процес знаходження похідної функції називається диференціюва́нням. Зворотним до диференціювання є інтегрування - процес знаходження первісної.

Нехай в деякому ΔΔ околі точки x ₀ визначена ƒ. Якщо ми візьмемо довільне число x в цьому околі, то приріст аргументу (позначається x) в цьому випадку визначається, як x − y) - як ƒ( , то вона називається x) − ƒ( x ₀). Тоді, якщо існує границя x ₀, а приріст функції ( функція похідною функції ƒ в точці x ₀ .

Похідною функцією даної функції називається функція, що в будь-якій точці області визначення дорівнює похідній даної функції в цій точці.

(Натисніть для більшого зображення). В кожній точці, похідна функції дорівнює нахилу лінії, яка дотична до кривої. Коли похідна додатня - дотична зелена, коли від'ємна - дотична червона, а коли дорівнює нулю - чорна.

Диференціювання - це метод обчислення співвідношення приросту залежної змінної y по відношенню до приросту незалежної змінної x. Це співвідношення приростів називається похідною функції y по змінній x. Якщо говорити більш точно, залежність y від x означає, що y функція від x. Ця функціональна залежність часто позначається , де ƒ позначає функцію. Якщо x та y дійсні числа, і якщо графік функції y зображено відносно x, похідна дорівнює нахилу дотичної до цього графіка в кожній точці.

де символ Δ (грецька літера у верхньому регістрі дельта) - це є скорочення для "зміни в". Ця формула справедлива тому, що

З цього випливає, що .

Отримали точне значення нахилу прямої лінії. Якщо функція ƒ не лінійна (тобто графік функції не пряма лінія), тоді приріст y поділений на приріст x змінюється: диференціювання це спосіб обчислення точного значення відношення приростів для будь-якого значення x.

Ідея полягає в тому (див. малюнки 1-3), щоб обчислити відношення приростів як Δ граничну величину коли x стає нескінченно малим.

Якщо використати позначення Лейбніца, тоді нескінченно малий приріст x позначається як dx, а похідна функції y по змінній x записується:

виглядає як відношення двох нескінченно малих величин. (Цей вираз читається так: "похідна функції y по змінній x " або "де ігрек по де ікс".)

Нехай ƒ - функція дійсних чисел. В класичній геометрії, дотична до графіка функції ƒ для дійсного числа a була єдина лінія через точку , що не перетинається з графіком функції ƒ трансверсально, це означає що ця лінія не проходить крізь графік. Похідна функції y по змінній x в точці a, з геометричної точки зору, це нахил дотичної лінії до графіка функції ƒ в точці a. Нахил дотичної дуже близький до нахилу лінії, що проходить крізь точку та іншу близьку точку на графіку, наприклад . Такі лінії називаються січними. Значення h близьке до нуля дає добре наближення для нахилу дотичної, а чим менше значення h, в загальному випадку, тим краще буде наближення. Нахил m січної лінії дорівнює різниці значень y для цих точок поділити на різницю значень x, тобто

Цей вираз - це відношення приростів Ісаака Ньютона. Похідна - це значення відношення приростів у випадку коли січні лінії наближаються до дотичної. Щиро кажучи, похідна функції ƒ в точці a це границя:

відношення приростів коли h наближається до нуля, якщо така границя існує. Якщо границя існує тоді ƒ - диференційовна в точці a. Тут одне з кількох можливих позначень похідної ( див. нижче)

Запишемо еквівалентний вираз, для похідної справедлива рівність

що також піддається інтуїтивному розумінню (див. рис. 1), де дотична лінія ƒ в точці a дає найкраще лінійне наближення

для ƒ біля точки a (наприклад, для малих h). Якщо підставити 0 замість h у відношення приростів то отримаємо ділення на нуль, отже нахил дотичної лінії не можна обчислити таким способом. Натомість запишемо , відношення приростів як функцію від h:

( Q( a + ƒ - h, Q також неперервна функція починаючи з точки h = 0. Якщо існує границя , тобто якщо існує спосіб обчислити значення для Q(0), це означає що графік функції Q неперервний, тоді функція ƒ диференційовна в точці a, і її похідна в точці a дорівнює Q(0). ƒ( a + h)). Якщо h) - це нахил січної лінії між точками та неперервна функція, тобто якщо графік функції не має розривів, тоді

На практиці, існування неперервного продовження відношення приростів в точці h = 0 показують по-іншому: міняють чисельник таким чином щоб скоротити h у знаменнику. Цей процес може бути довгим та нудним для складних функцій, тож в таких випадках використовують багато спрощень.

Квадратна функція - диференційовна в точці x = 3 і її похідна в цій точці дорівнює 6. Цього результату можна досягнути, якщо обчислити границю відношення приростів ƒ(3) при h прямує до нуля:

Тепер можемо обчислити границю, якщо підставимо замість h нуль:

Отже, нахил графіку квадратної функції в точці (3, 9) дорівнює 6, а її похідна в точці x = 3 дорівнює . Узагальнюючи, якщо провести схожі обчислення то отримаємо, що квадратна функція в точці дорівнює .

Ця функція не має похідної у вказаній точці, оскільки функція не є неперервна в цій точці.

Якщо - диференційовна в точці a, тоді ƒ також має бути неперервна в точці a. Для прикладу, виберемо точку a і нехай ƒ буде кроковою функцією, що дорівнює 1, для всіх x менших ніж a і дорівнює іншому значенню, скажімо 10, для всіх x, які більші або дорівнюють a. ƒ не має похідної в точці a. Якщо h - від'ємне, тоді знаходиться на нижній сходинці функції, тоді січна лінія від a до дуже круто піднімається вгору і якщо h прямує до нуля тоді нахил лінії прямує до нескінченності. Якщо h додатне, тоді на верхній сходинці і січна лінія від a до має нахил, що дорівнює нулю. Відповідно січні лінії не утворюють єдиний нахил, отже границя від відношення приростів не існує.

Функція абсолютної величини є неперервна, але від неї не можна отримати похідну в точці x = 0, оскільки нахил дотичної наближується до різних значень з різних боків від даної точки.

Проте якщо функція неперервна в точці, тоді вона не обов'язково диференційовна в цій точці. Наприклад, функція абсолютної величини є неперервною в точці x = 0, але не є диференційовною в цій точці. Якщо h додатне, тоді нахил січної лінії від 0 до h дорівнює одиниці, якщо h від'ємне, тоді нахил січної лінії від 0 до −1. На графіку цю точку видно як "зубець" в точці h дорівнює x = 0. Навіть функції з графіком без "зубців" не є диференційовані в точці де дотична лінія є вертикальна: наприклад функція не є диференційовною в точці x = 0.

Підведемо підсумки: щоб отримати похідну від функції ƒ необхідна умова щоб функція ƒ була неперервною, але тільки цього не достатньо.

Більшість функцій, що зустрічаються на практиці мають похідні у всіх точках, або майже у всіх точках. Раніше на початку вивчення математичного аналізу, багато математиків припускали, що неперервна функція диференційовна в більшості точок. Для м'яких умов, наприклад якщо маємо монотонну функцію або Ліпшицеву функцію це формулювання справедливе. Проте в 1872 Веєрштрас знайшов перший приклад функції, яка неперервна усюди, але не є диференційованою в жодній точці. Ця функція відома як функція Веєрштраса. В 1931 році Стефан Банах довів, що множина функцій, які мають похідну хоча б в якійсь точці, є множиною першої категорії в просторі всіх неперервних функцій.

Похідна позначається як , що вимовляється "еф-штрих від ікс".

Функція, що має скінченну похідну в точці x, зветься диференційованою в точці x.

Похідна також позначається, як відношення диференціалів . В фізиці для позначення похідних по часу використовують крапку над змінною, наприклад .

Позначення похідної запропоноване Лейбніцом було одним з найперших. Воно широко використовується дотепер. Якщо вираз розглядається як функціональна залежність між залежною і незалежною змінними. Тоді перша похідна позначається як:

похідні вищого порядку позначаються таким чином

для похідної n-го порядку (по змінній x). Це є скорочення для багаторазового застосування оператора похідної. Наприклад,

Через позначення Лейбніца ми можемо записати похідну функції y в точці двома різними способами:

Позначення Лейбніца дає змогу вказувати змінну диференціювання (в знаменнику). Це особливо важливо для часткового диференціювання. В такому позначенні також легше запам'ятати ланцюгове правило:

Позначення Лагранжа одне з найпоширеніших сучасних позначень для диференціювання, що вперше використав Жозеф-Луї Лагранж. Для позначення похідної використовують знак штрих, таким чином похідна функції позначається чи просто подібним чином друга та третя похідна позначаються

Починаючи звідси деякі автори застосовують римські цифри:

для четвертої похідної, тоді як інші автори ставлять цифру порядку похідної в дужки:

Останній запис узагальнює позначення для похідної функції ƒ n-го порядку - таке позначення особливо зручне коли ми говоримо про похідну як про функцію, в цьому випадку застосування позначення Лейбніца може бути надто громіздким.

Позначення Ньютона для диференціювання, також називається точкове позначення, ставлять крапку над назвою функції для позначення похідної. Якщо , тоді

означає відповідно першу та другу похідну функції y по змінній t. Таке позначення застосовується майже виключно для похідних за часом, тобто незалежна змінна функції є часом. Воно дуже поширене у фізиці і математичних дисциплінах пов'язаних з фізикою, наприклад диференціальні рівняння. Хоча таке позначення стає проблематичним у користуванні для похідних високого порядку, на практиці потрібні тільки кілька перших похідних.

Похідну функції можна, теоретично, обчислювати використовуючи границю відношення приростів. На практиці, достатньо знати похідні обмеженої кількості простих функцій, тоді можна обчислити складніші випадки за допомогою правил диференціювання.

В більшості випадків для того щоб обчислити похідну потрібно знати похідні певних поширених функцій. Нижче наведено неповний перелік з похідних деяких найуживаніших функцій однієї дійсної змінної.

де r - будь-яке дійсне число, то

для будь-яких випадків коли визначена функція. Наприклад, якщо r = 1/2, то

Тут функція визначена тільки для додатних x. Якщо r = 0, це правило повторює правило константи.

Нехай є функція , де Δ c - деяка константа. Тоді при будь-якому та при будь-якому x зміна (приріст) функції дорівнюватиме нулю, отже і похідна такої функції дорівнюватиме нулю.

Поняття похідної довільного порядку задається рекурентно:

похідна нульового порядку - сама функція

похідна (n-го порядку для натурального n, що більше 0, - похідна похідної n − 1)-го порядку

Іноді замість "похідна n-го порядку" говорять " n-а похідна".

якщо n мале (1, 2, 3) - то використовується відповідна кількість рисок, ƒ′(ƒ′′(ƒ′′′(x), вимовляється як "еф-штрих від ікс"; про другу - "еф-два-штрихи від ікс".x), x),

Можна зустріти історичне позначення похідної за допомогою римської системи числення (перша похідна: ƒ′(ƒ ƒ XVI(x)).II(x), шістнадцята: x), друга:

В фізиці також зустрічається позначення похідної другого порядку по часу у вигляді двох крапок над змінною: .

Значення похідної функції у точці дорівнює значенню кутового коефіцієнта дотичної до кривої у точці з абсцисою .

Рівняння дотичної до кривої у точці має вигляд:

Похідна від шляху за часом дорівнює миттєвій швидкості руху матеріальної точки. Похідна від миттєвої швидкості руху матеріальної точки дорівнює миттєвому прискоренню.

Banach, S. (1931). Uber die Baire'sche Kategorie gewisser Funktionenmengen. Studia. Math. (3): 174-179.. Cited by Hewitt, E and Stromberg, K (1963). Real and abstract analysis. Springer-Verlag. Theorem 17.8.

# data[].attributes.attachment_link.title
Похідна - Вікіпедія

# data[].attributes.attachment_link.description
Похідна́ (заст. витвірна́) - основне поняття диференціального числення, що характеризує швидкість змінювання функції. Визначається як границя відношення приросту функції до приросту її аргументу, коли приріст аргументу прямує до нуля (якщо така границя існує). Функцію, що має скінченну похідну, називають диференційовною. Процес знаходження похідної функції називається диференціюва́нням.

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
Графік функції y = b x для різних значень основи b: для 10 (зеленим), для основи e (червоним), для 2 (синім), і 1 2 (блакитним). Кожна крива проходить через точку (0, 1), оскільки будь-яке число, піднесене до степеня 0, дасть значення 1. При y дорівнює основі, оскільки будь-яке число, піднесене до степеня 1, є самим числом.x = 1 значення

Підне́сення до сте́пеня - бінарна операція, записується як для основи степеня та показника степеня в результаті застосування отримується степінь[1].

Якщо n - натуральне число, піднесення до степеня відповідає n-кратному множенню:

Подібно до того, як множення на ціле число відповідає багатократному додаванню:

Другий степінь називають інакше , третій степінь - четвертий - біквадратом. Першим степенем числа називають саме число, наприклад 7 ¹ = 7*.

Поняття степеня використовувалося давньогрецьким математиком Евклідом для дослідження квадрату прямої. Архімед відкрив і довів закон для степенів - 10a 10b = 10, необхідний, щоб оперувати степенями числа 10. У IX столітті перський математик Аль-Хорезмі використовував терміни мал для квадрата і кахб для куба, які згодом ісламські математики представляли у вигляді математичної нотації як m і k, відповідно, як видно із роботи Аль Каласаді до XV століття.

У кінці XVI століття Йост Бургі для степенів використовував римські літери.

На початку XVII століття першу форму сучасного позначення степеня запропонував Рене Декарт у своїй праці під назвою La Géométrie; у книзі I і було введено відповідні позначення.

Деякі математики (наприклад, Ісаак Ньютон) використовували експоненти лише для степенів, що більші за двійку, для позначення квадрату вони віддавали перевагу використовувати множення із повторенням. Таким чином вони б записали поліноми, наприклад, як ax + bxx + cx ³ + d.

Ніколас Шуке використовував форму показникового запису в XV столітті, яку згодом використали Геріх Грамматеус і Міхаель Штифель у XVI столітті. Слово "експонента" виникло в 1544 році завдяки Міхаелю Штифелю. У XVI столітті Роберт Рекорд використовував терміни квадрат, куб, дзензизензик (четвертий степінь), сурсолід (п'ятий), дзензікуб (шостий), другий сурсолід (сьомий), і дзензизензензик (восьмий). Також для назви 4-го степеня використовували слово біквадрат.

Інший синонім, що існував в історії, інволюція, зараз вживають рідко і його не варто плутати із більш загальним значенням цього слова.

У 1748 році Леонард Ейлер написав:

...розглянемо експоненти або степені, в яких сама експонента (показник) є змінною. Очевидно, що величини такого типу не є алгебраїчними функціями, оскільки в них показних мав би бути константою.

Із цим введенням у трансцендентні функції, Ейлер заклав початок сучасному введенню в натуральний логарифм, що є оберненою функцією для y = e x.

При піднесені до степеня 0 будь-якого ненульового числа результатом буде 1:

одне з пояснень -

Однією з інтерпретацій для пояснення такого випадку є уявлення про пустий добуток.

Більш спірним випадком є випадок 0 ⁰ - нуль у нульовому степені.

Наведене нижче рівняння є справедливим для будь-якого довільного цілого числа n і не нульового x:

Піднесення числа 0 до від'ємного показника степеня вважають або не визначеним, або визначеним як нескінченність ∞.

Приведена вище рівність може бути доведена з визначення, якщо продовжити значення показника у від'ємну область цілих чисел.

Для не нульових значень x і додатних n рекурентна рівність записана зверху може бути представлена як

Із визначення, що це рівняння є правдивим для всіх цілих чисел n і ненульових x, випливає, що

і в більш загальній формі для будь-якого ненульового x і будь-яких невід'ємних цілих n,

Видно, що це є вірним для всіх цілих чисел n.

Для невід'ємних цілих n і m степінь n m є числом функцій із множини з m елементів у множину з n елементів (див. кардинальне експонування). Така функція може бути представлена як m- кортежів із множини n-елементів (або слово із m-літер, що належить алфавіту, в якому є n-літер).

Наступні тотожності виконуються для всіх цілих показників, за умови що основа не є нулем:

Операція піднесення до степеня не є комутативною. Як протилежність - операції додавання і множення комутативні.

Наприклад,

Операція піднесення до степеня також не є асоціативною.

Приводячи приклад із додаванням і множенням, які є асоціативними, маємо:

(2 ⋅ 3) ⋅ 4 = 2 ⋅ (3 ⋅ 4) = 24,

Без дужок, які задають порядок дій, загальноприйнятим є порядок зверху вниз (тобто з асоціативністю справа наліво), а не знизу вгору (з асоціативністю зліва направо):

Google і WolframAlpha у своїх додатках слідують вищезгаданому правилу, але варто зазначити, що деякі комп'ютерні програми, як-от Microsoft Excel і MATLAB, виконують операції зліва (зверху вниз), тобто a^b^c розраховується як (a^b)^c.

Степені десятки

У десятковій системі числення цілі степені числа 10 записуються у вигляді цифри 1, за якою слідує ряд нулів, що визначаються знаком і величиною показника. Наприклад, і .

Степені із основою 10 використовуються в науці як експоненційний запис для позначення дуже великих або дуже малих чисел. Наприклад, ( швидкість світла у вакуумі в метрах на секунду) можна записати так: , а потім апроксимовано до .

Префікси одиниць вимірювання теж основані на степенях числа 10 і використовуються для описання малих чи великих чисел. Наприклад, префікс кіло- означає , тому кілометр становить 1000 метрів.

Степені двійки

Перші від'ємні степені двійки вживаються дуже часто і мають особливі назви, такі як: половина і чверть.

Степені числа 2 з'являються в теорії множин, оскільки множина з n елементів має булеан, множина з усіх її підмножин, який має 2n елементів.

Цілі степені двійки важливі у комп'ютерній науці. Додатні цілі степені 2n задають максимальну можливу кількість значень для n- бітного цілого двійкового числа; наприклад, байт може приймати 2 ⁸ = 256 різних значень. Двійкова система числення дає змогу представляти будь-яке число як суму степенів 2: його можна записати як послідовність цифр 0 і 1, розділених двійковою крапкою, де 1 означає ті степені двійки, які мають з'являтися в сумі; показник степеня визначається номером позиції цієї 1: невід'ємні показники впорядковані одиницями зліва від точки (починаючи з 0), а від'ємні показники визначаються порядком в правій частині після коми.

Степені одиниці

Усі степені одиниці також дорівнюють одиниці: .

Степені нуля

Якщо показник степеня є додатним числом, степінь нуля буде дорівнювати нулю: , де n > 0.

Якщо показник степеня є від'ємним, степінь нуля (0n, де n < 0) є невизначеною, оскільки було виконано ділення на нуль.

Якщо показник дорівнює нулю, в деяких випадках визначають це як , в той час як в інших варіантах залишають значення невизначеним.

Степені мінус одиниці

Завдяки цій особливості, степені числа −1 зручно використовувати для вираження змінних послідовностей.

Границя числової послідовності степенів числа більшого за одиницю розходяться; іншими словами, послідовність зростає без обмеження:

Це читається як " b у степені n прямує до +∞ при n, що прямує до нескінченності коли b є більшою за одиницю".

Степені чисел із абсолютним значенням, що менше одиниці прямують до нуля:

Будь-який степінь одиниці, як уже зазначалося завжди дорівнює одиниці:

Степені числа -1 чергують значення 1 і -1 при тому n змінюється будучи то парним то непарним числом, і таким чином не прямує ні до якої границі при збільшенні n.

Якщо b < -1, , чергується між все більшими додатними і від'ємними числами при тому як n чергується між парними і непарними значеннями, і таким чином не прямує до жодної границі при зростанні n.

Якщо значення числа, що підноситься до степеня, змінюється при тому як прямує до 1 при показникові степеня що прямує до нескінченності, тоді існування границі і її значення не обов'язково підпадає у один випадків, що описано вище. Одним із важливих часткових випадків є

(1 + 1/n)n → ∞ n → e при

Степеневі функції для

Степеневі функції для

Функції дійсних значень вигляду ( із називають степеневими функціями. Коли є цілим числом і , існує дві основні різновидності: для парних і непарних . В загальному випадку для , якщо є парним числом із збільшенням буде прямувати до нескінченності із знаком плюс, а також у напрямку нескінченності із знаком плюс при зменшенні . Всі графіки із родини парних степеневих функцій мають загальну форму для , маючи більш плоску форму в середині із збільшенням [13]. Функції із таким видом симетрії ) називаються парними функціями.

Коли ( є парним, має асимптотичну поведінку яка змінюється від додатних до від'ємних . Для , також прямуватиме до нескінченності зі знаком плюс при збільшенні , але при зменшенні прямуватиме до нескінченності із знаком мінус. Усі графіки для сімейства парних степеневих функцій мають загальний вигляд для , маючи більш плоску гладку форму в середині зі збільшенням і втрачають усю гладкість, перетворюючись у пряму лінію для . Функції з таким видом симетрії ) називаються непарними функціями.

Для , асимптотична поведінка із протилежними знаками зберігається в усіх випадках[13].

Зверху до низу вказані графіки функцій: x 1/8, x 1/4, x 1/2, x ¹, x ², x ⁴, x ⁸.

Якщо b є додатним дійсним числом і n є додатним цілим, тоді існує лише одне додатне дійсне значення, що є розв'язком рівняння . Цей розв'язок називається головним коренем n-го степеня для b. Він позначається виразом , де √ символ корінь; аналогічним чином, головний корінь можна записати як b 1/n. Наприклад: , .

Факт, що є розв'язком для , випливає із наступного запису:

Якщо n є парним, тоді при умові, що b додатне число, має два дійсні розв'язки, якими є додатний і від'ємний корені n-го степеня, тобто, і Якщо b від'ємне, то рівняння не має розв'язку у вигляді дійсного числа при парних n.

Якщо n непарне, тоді має лише один дійсний розв'язок. Розв'язок буде додатним, якщо b є додатним, і від'ємним, якщо b від'ємне.

Піднесення додатного дійсного числа b до раціонального степеня u/ v, де u є цілим і v є додатним цілим, і при розгляданні лише головних коренів, є наступним

Піднесення від'ємного дійсного числа b до раціонального степеня u/ v, де u/ v є правильним дробом, дає результат, що є додатним дійсним числом, якщо u є парним, і таким чином v є непарним, оскільки тоді b u є додатним; і дає від'ємний дійсний результат, якщо u і v обидва є непарними, оскільки тоді b u є від'ємним. Випадок, коли u є непарним, а v є парним, не можна визначити в рамках дійсних чисел, оскільки не існує такого дійсного числа x, щоб ; при задаванні значення b у такому випадку необхідно використовувати уявну одиницю i.

Тотожності й властивості, вказані вище для цілих степенів, є вірними і для додатних дійсних чисел з нецілими показниками. Однак рівність

не може послідовно поширюватися на випадки, коли b є від'ємним дійсним числом. Невірність цієї рівності є основою проблеми, що озвучується щодо степенів комплексних чисел.

Дійсне число є границею послідовності раціональних наближень. Якщо

де - раціональні числа, то

Одна з важливих математичних констант , що також називається числом Ейлера, приблизно дорівнює 2,718 і є основою натурального логарифму. Хоча піднесення у степінь числа e, по суті, можна трактувати як піднесення у степінь будь-якого іншого дійсного числа, такі степені, як виявилося, мають свої корисні і витончені властивості. Серед іншого, ці властивості дають змогу узагальнити степені e природним способом до інших типів степенів, як-от степені комплексних чисел або навіть матриць.

Як правило, нотація e x зазвичай позначає узагальнене поняття експонування і називається показниковою функцією, exp( x), яку можна визначити багатьма способами, наприклад таким:

Крім інших властивостей, exp задовольняє степеневе рівняння

Показникова функція є визначеною для всіх цілих, дрібних, дійсних і комплексних значень змінної x. Експонента матриці добре визначена для квадратних матриць (у випадку яких експоненційне рівняння виконується, лише коли матриці x і y є комутативними) і є корисною для вирішення систем лінійних диференційних рівнянь.

При спрощенні виразів зі степенями можна використовувати декілька базових правил або законів, що називаються правилами дій зі степенями:

1. При перемножуванні двох або більше різних степенів з однаковими основами показники степеня додаються

2. При діленні одного степеня на інший з тією ж основою показник степеня знаменника віднімається від показника степеня чисельника.

3. При піднесені числа в якомусь степені до іншого степеню показники перемножуються.

4. При піднесенні будь-якого числа (окрім нуля) в степінь із показником 0 одержуємо 1, так

5. При піднесенні числа до степеню з від'ємним цілим показником одержуємо величину, зворотну цьому числу з додатним степенем. Таким чином,

Аналогічно,

6. При піднесенні числа до дробового степеню, знаменник цього дробу є степінь кореня з числа, а чисельник є показником степеня числа. Так,

У комбінаториці кількість можливих розміщень із повтореннями із n елементів по m дорівнює n m:

Наприклад, із цифр 1, 2, 3, 4 можна скласти тризначних числа.

1. К. І. Швецов, Г. П. Бевз (1967). Довідник з елементарної математики. К. "Наукова думка"..

2. Бёрд Дж. Инженерная математика: Карманный справочник/ Пер. с. англ. - М.: Издательский дом "Додэка- XXI", 2008. - 544 с.

3. Судоплатов С. В., Овчинникова Е. В. (2002). Элементы дискретной математики. НГТУ. ISBN 5-7782-0332-2.

1. К. І. Швецов, Г. П. Бевз (1967). Довідник з елементарної математики. К. "Наукова думка".

2. Джон Дж. О'Коннор та Едмунд Ф. Робертсон. Etymology of some common mathematical terms в архіві MacTutor (англ.)

3. Cajori, Florian (2007). A History of Mathematical Notations; Vol I. Cosimo Classics. Pg 344 ISBN 1602066841

4. René Descartes, Discourse de la Méthode ... (Leiden, (Netherlands): Jan Maire, 1637), appended book: La Géométrie, book one, page 299. [Архівовано 8 жовтня 2017 у Wayback Machine.] From page 299: " ... Et aa, ou a², pour multiplier a par soy mesme; Et a³, pour le multiplier encore une fois par a, & ainsi a l'infini ; ... " (... and aa, or a ², in order to multiply a by itself; and a ³, in order to multiply it once more by a, and thus to infinity ; ...)

5. See:

Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics [Архівовано 23 грудня 2017 у Wayback Machine.]

Michael Stifel, Arithmetica integra (Nuremberg ("Norimberga"), (Німеччина): Johannes Petreius, 1544), Liber III (Книга 3), Caput III (Глава 3): De Algorithmo numerorum Cossicorum. (Про алгоритми алгебри.), page 236. [Архівовано 13 березня 2019 у Wayback Machine.] Штифель намагався отримати зручне представлення елементів геометричної прогресії. Заради цього він використав громіздку систему позначень. На 236-й сторінці він увів систему позначень для перших восьми елементів геометричної прогресії (з основою 1) і зробив запис: "Quemadmodum autem hic vides, quemlibet terminum progressionis cossicæ, suum habere exponentem in suo ordine (ut 1ze habet 1. 1ʓ habet 2 &c.) sic quilibet numerus cossicus, servat exponentem suæ denominationis implicite, qui ei serviat & utilis sit, potissimus in multiplicatione & divisione, ut paulo inferius dicam." (Однак, Ви бачите, що кожен елемент послідовності має свій показник степеня (перший - 1, 1ʓ - 2, і т. д.), отже, кожне число неявно підпорядковане степеню залежному від його розташування, який [в свою чергу] підпорядковується йому і є корисним, здебільшого, при множенні та діленні, як я згадаю це трохи нижче.) [Зауваження: Більшість громіздких позначень Штифеля запозичені у Крістофа Рудольффа, який, у свою чергу, запозичив їх у книзі Леонардо Фібоначчі Liber Abaci (1202), де вони використовувались, як скорочення латинських слів res/radix (x), census/zensus (x ²), and cubus (x ³).]

6. Quinion, Michael. Zenzizenzizenzic - the eighth power of a number. World Wide Words. Архів оригіналу за 16 січня 2018.

7. Це визначення "інволюції" з'явилось у другому виданні OED, 1989, і в онлайн словнику Merriam-Webster [1] [Архівовано 1 листопада 2007 у Wayback Machine.]. Останнє використання в цьому сенсі, наведене OED, починається з 1806 року.

8. Raphael M. Robinson (1958). A report on primes of the form k · 2n + 1 and on factors of Fermat numbers (pdf). Proc. Amer. Math. Soc. 9: 677. Архів оригіналу за 28 червня 2020.

9. Бёрд Дж. Инженерная математика: Карманный справочник - С. 27

# data[].attributes.attachment_link.title
Піднесення до степеня - Вікіпедія

# data[].attributes.attachment_link.description
Підне́сення до сте́пеня - бінарна операція, записується як для основи степеня та показника степеня в результаті застосування отримується степінь [1] . Якщо n - натуральне число, піднесення до степеня відповідає n-кратному множенню: Подібно до того, як множення на ціле число відповідає багатократному додаванню: Другий степінь називають інакше , третій степінь - четвертий - біквадратом.

# data[].attributes.attachment_link.provider_name
Фонд Вікімедіа

# data[].attributes.attachment_link.authors[].name
Учасники проектів Вікімедіа

# data[].attributes.attachment_link.title
Границя — Вікіпедія

# data[].attributes.attachment_link.description
У Вікіпедії є статті про інші значення цього терміна: Кордон.

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
Тригономе́трія (від грец. τρίγονο - трикутник та μετρειν - вимірюю, тобто буквально вимірювання трикутників) - розділ елементарної математики, що лежить на перетині алгебри та геометрії і вивчає співвідношення між сторонами й кутами трикутників, дозволяючи проводити кутові обчислення через спеціально визначені функції кутів.

Визначені для прямокутного трикутника тригонометричні функції є основним інструментом тригонометрії, що значно полегшує обчислення, оскільки ці функції дозволяють замінити геометричні побудови алгебраїчними операціями.

Деякі відомості з науки, що пізніше одержала назву "тригонометрія", були ще у стародавніх єгиптян. У папірусі Ахмеса є п'ять задач, що стосуються вимірювання пірамід, у яких згадується якась функція кута - "сект". Є думка, що "сект" відповідає котангенсу кута. Застосування цієї функції мало суто практичну причину: єгипетські архітектори будували піраміди, строго дотримуючись одного й того самого значення кута нахилу бічної грані до основи (52°) і кута між ребром та діагоналлю основи (42°). А для цього треба було знати відповідні відношення між лінійними елементами чотирикутної піраміди.

Вавилоняни так само мали деякі знання з цієї галузі математики: вони запровадили поділ кола на 360° та поділ градуса на 60 частин, що відповідало прийнятій у стародавній Месопотамії шістдесятковій системі числення. Для вимірювання кутів вавилоняни користувалися примітивною астролябією.

Стародавні греки вміли розв'язувати багато тригонометричних задач, але вони застосовували геометричні, а не алгебраїчні методи.

Тригонометричну функцію синус вперше запровадили стародавні індійці в "Сур'я Сіддханті". Властивості цієї функції дослідив індійський математик 5 століття Аріабхата I. Подальший внесок у розвиток тригонометрії зробили арабські математики. До 10 століття вони оперували всіма тригонометричними функціями і протабулювали їх. В Європу поняття тригонометричних функцій прийшло з перекладами праць аль-Баттані та Ат-Тусі. Однією з перших праць європейської математики, присвячених тригонометрії була книга "De Triangulis" німецького математика 15 століття Регіомонтана. Проте, ще в 16 столітті тригонометрія була мало відома. Миколай Коперник змушений був посвятити її опису 2 окремих розділи в своїй праці "Про обертання небесних сфер" ( лат. "De revolutionibus orbium coelestium").

Швидкий подальший розвиток тригонометрії був зумовлений вимогами навігації та картографії. Сам термін тригонометрія запровадив, опублікувавши в 1595 книгу під такою ж назвою, німецький математик Варфоломей Пітіск ( нім. Bartholomäus Pitiscus, 1561-1613). Гемма Фрізій описав метод триангуляції.

Із становленням математичного аналізу тригонометрія отримала нові методи. Завдяки працям Брука Тейлора та Коліна Маклорена тригонометричні функції отримали представлення у вигляді рядів. Формула Муавра встановила зв'язок між тригонометричними функціями та експонентою. Леонард Ейлер розширив означення тригонометричних функцій на комплексну площину.

Тригонометрія ґрунтується на співвідношенні подібності. Трикутники з двома рівними кутами подібні, тому подібні прямокутні трикутники, в яких рівний один гострий кут. Відношення довжин сторін у подібних трикутників однакове, тому відношення сторін прямокутних трикутників залежить тільки від одного параметра - величини гострого кута. Ця обставина дозволяє означити тригонометричні функції: синус, косинус, тангенс, котангенс, секанс і косеканс, через відношення різних сторін прямокутного трикутника.

Нехай ABC - прямокутний трикутник. C - вершина прямого кута, AB - гіпотенуза, AC і BC - катети, α - кут BAC.

Наведені у таблиці визначення дозволяють обчислити значення функцій для гострих кутів, тобто від 0° до 90° (від 0 до радіан). У XVIII столітті Леонард Ейлер дав сучасні, загальніші визначення, розширивши область визначення цих функцій на всю числову вісь. Якщо розглянути у прямокутній системі координат коло одиничного радіуса (див. малюнок) і відкласти від горизонтальної осі кут (додатня величина кута відкладається проти годинникової стрілки, у протилежному випадку - за годинниковою стрілкою). Точку перетину побудованої сторони кута з колом позначено A. Тоді:

Для гострих кутів нові визначення збігаються з попередніми.

Можливим є також чисто аналітичне визначення цих функцій, що не пов'язане з геометрією і представляє кожну функцію її розкладанням у нескінчений ряд.

1. Область визначення функції - множина усіх дійсних чисел: .

2. Множина значень - проміжок [−1; 1]: = [−1;1].

3. Графік функції перетинає вісь Ох при .

4. Функція є нерозривною і має похідну при будь-якому значенні аргументу:

5. Функція зростає при , і спадає при .

1. Область визначення функції - множина усіх дійсних чисел: .

2. Множина значень - проміжок [−1; 1]: = [−1;1].

3. Графік функції перетинає вісь Ох при .

4. Функція є нерозривною і має похідну при будь-якому значенні аргументу:

5. Функція зростає при і спадає при

1. Множина значень - множина всіх дійсних чисел:

2. Графік функції перетинає вісь Ох при .

3. Функція є нерозривною і має похідну при будь-якому значенні аргумента з області визначення:

1. Множина значень - множина всіх дійсних чисел:

2. Графік функції перетинає вісь Ох при

3. Функція є нерозривною і має похідну при будь-якому значенні аргументу з області визначення:

Для кожної прямої тригонометричної функції існує обернена. Назви оберенних функцій утворюються додаванням префікса арк- до назви відповідної прямої фунцкії. Наприклад,

- арксинус, кут, синус якого дорівнює х;

- арккосинус, кут, косинус якого дорівнює х.

- арктангенс, кут, тангенс якого дорівнює х.

Це співвідношення є наслідком теореми Піфагора й називається тригонометричною одиницею.

Визначені для прямокутного трикутника тригонометричні функції дозволяють розв'язувати довільні трикутники з використанням основних теорем: теореми синусів, теореми косинусів й теореми тангенсів.

Теорема синусів стверджує, що відношення синуса кута до довжини протилежної сторони трикутника однакова для всіх кутів трикутника. Для плоского трикутника зі сторонами і відповідними протилежними до них кутами можна записати:

де - радіус описаного кола навколо трикутника.

За теоремою косинусів, квадрат сторони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших сторін мінус подвоєний добуток цих сторін на косинус кута між ними. Для плоского трикутника зі сторонами і кутом , між сторонами :

або:

Теорема косинусів дозволяє визначити довжину третьої сторони трикутника, якщо відомі довжини двох сторін та значення кута між ними.

Теорема тангенсів - теорема про співвідношення між двома сторонами довільного трикутника і тангенсами півсуми й піврізниці протилежних до них кутів записується рівнянням (формула Регіомонтана):

Площа трикутника теж може бути визначена через тригонометричні функції: вона дорівнює половині добутку прилеглих сторін на синус кута між ними:

Рівняння, в яких фігурують тригонометричні функції, називають тригонометричними. Найпростіші з них мають аналітичні розв'язки, завдяки існуванню обернених тригонометричних функцій. Оскільки тригонометричні функції періодичні, такі розв'язки не єдині, а визначаються з точністю до періоду.

Синус та косинус суми/різниці

Сума/різниця синусів та косинусів

Формула Ейлера - співвідношення, що пов'язує комплексну експоненту з тригонометричними функціями. Названа на честь Леонарда Ейлера, який її запропонував.

Формула Ейлера стверджує, що для будь-якого дійсного числа виконується рівність:

де - основа натурального логарифма,

- уявна одиниця.

Формула Ейлера надає зв'язок між математичним аналізом й тригонометрією, а також дозволяє інтерпретувати функції синуса і косинуса як зважені суми експоненціальної функції:

Приведені рівняння можуть бути отримані шляхом додавання або віднімання формул Ейлера:

з наступним вирішенням відносно синуса або косинуса.

Також ці формули можуть слугувати визначенням тригонометричних функцій комплексною змінною. Наприклад, виконуючи підстановку , отримуємо:

Комплексні експоненти дозволяють спростити тригонометричні розрахунки, оскільки ними простіше маніпулювати, ніж синусоїдальними компонентами. Один з підходів передбачає перетворення синусоїд у відповідні експоненціальні вирази. Після спрощення результат виразу залишається дійсним. Суть другого підходу у представленні синусоїд як дійсних частин комплексного виразу і проведення маніпуляцій безпосередньо з комплексним виразом.

Сферична тригонометрія - розділ сферичної геометрії головними об'єктами якого є многокутники (особливо трикутники) на сфері та співвідношення між сторонами і кутами. Виникнення сферичної геометрії пов'язане з задачами сферичної астрономії.

Основними елементами сферичної геометрії є точки та великі кола сфери. Великі кола є геодезичними лініями сфери, тому вони в сферичній геометрії відіграють роль, аналогічну ролі прямих у планіметрії. Віддаль між двома точками в сферичній геометрії вимірюється кутом між радіусами сфери, проведеними в ці точки. Кут між двома "прямими" дорівнює двогранному кутові між площинами великих кіл, які визначають ці "прямі". Дві будь-які "прямі" в сферичній геометрії перетинаються у двох точках і розбивають поверхню сфери на 4 двокутники. Три "прямі", перетинаючись попарно, утворюють 8 сферичних трикутників. Ці трикутники мають багато незвичайних властивостей, які відрізняють їх від плоских трикутників. Наприклад, сума кутів сферичного трикутника завжди більша за 180° і менша за 540°.

Сторони і кути сферичного трикутника пов'язані залежностями:

де - сторони сферичного трикутника; - кути, протилежні до цих сторін; - радіус сфери.

Сферична тригонометрія дуже важлива в астрономічних обчисленнях, а також в орбітальній, космічній навігації та навігації на поверхні Землі.

Тригонометричні обчислення застосовуються практично у всіх областях геометрії, фізики й інженерної справи. Велике значення має техніка тріангуляції, що дозволяє вимірювати відстані до недалеких зірок в астрономії, між орієнтирами в географії, контролювати системи навігації супутників. Також слід відзначити застосування тригонометрії в таких областях, як теорія музики, акустика, оптика, аналіз фінансових ринків, електроніка, теорія ймовірностей, статистика, біологія, медицина (включаючи ультразвукове дослідження (УЗД) і комп'ютерну томографію), фармацевтика, хімія, теорія чисел (і, як наслідок, криптографія), сейсмологія, метеорологія, океанологія, картографія, фізика, топографія та геодезія, архітектура, фонетика, економіка, електронна техніка, машинобудування, комп'ютерна графіка, кристалографія.

Барановська Г. Г., Ясінський В. В. Тригонометрія. Індивідуальна атестаційна робота № 2.-К.: НТУУ "КПІ", 2001.- 108 с. - (Серія "На допомогу абітурієнту")

Шкіль М. І., Колесник Т. В., Хмара Т. М. Алгебра і початки аналізу: Підруч. Для 10 кл. з поглибленим вивченням математики в середніх закладах освіти. - К.:Освіта, 2000. - 318 с.

Шкіль М. І., Слєпкань З. І., Дубинчук О. С. Алгебра і початки аналізу: Підруч. Для 10-11 кл. загальноосвіт. навч. закладів. - 2-ге вид. - Зодіак-ЕКО, 2001. - 656 с.

Швецов К. І., Бевз Г. П. Довідник з елементарної математики. - 1967, К.: Наукова думка. - 656 с.

Андронов И. К., Окунев А. К. Курс тригонометрии, развиваемый на основе реальных задач. - М.: Просвещение, 1967. - 648 с.

Волынский Б. А. Сферическая тригонометрия. - М.: Наука, 1977. - 136 с.

Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1984. - 830 c.

# data[].attributes.attachment_link.title
Тригонометрія - Вікіпедія

# data[].attributes.attachment_link.description
Тригономе́трія (від грец. τρίγονο - трикутник та μετρειν - вимірюю, тобто буквально вимірювання трикутників) - розділ елементарної математики, що лежить на перетині алгебри та геометрії і вивчає співвідношення між сторонами й кутами трикутників, дозволяючи проводити кутові обчислення через спеціально визначені функції кутів.

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
Графік кубічного полінома

Графік функції - діаграма в математиці, яка дає уявлення про геометричний образ функції.

Графіком функції називається підмножина декартового добутку на ( ), що містить всі пари , для яких .

Якщо простіше, то це є малюнок, на якому можна побачити як змінюється значення Y залежно від значення Х. Як правило, значення X позначають на горизонтальній прямій, яку називають віссю абсцис (x), а значення Y на перпендикулярній до неї прямій, яку називають віссю ординат (y). Ці осі разом утворюють систему координат. Кожна вісь має напрямок, у якому значення відповідної координати зростає. У точці найбільшого значення малюють стрілку, яка вказує цей напрям. На кожній осі роблять позначки окремих (ключових) значень і підписують їх цими значеннями. Це допомагає приблизно визначити інші проміжні значення. Точка з координатами називається початком координат.

1. Пряма пропорційність

2. Лінійна функція

3. Обернена пропорційність

4. Квадратична функція ,

Побудова графіка функції, що базується на аналітичному дослідженні функції.

Алгоритм дослідження функції:

1. з'ясування області визначення функції;

2. вирішується питання про парності або непарності функції;

3. досліджується періодичність функції;

4. знаходять точки перетину кривої з осями координат;

5. знаходять точки розриву функції і визначають їх характер (такими точками є краї інтервалів визначення функції);

6. проводять дослідження на екстремум, знаходять екстремальні значення функції;

7. шукаються точки перегину та інтервали опуклості та угнутості кривій;

8. відшукання асимптоти кривої;

9. отримані результати наносять на креслення і отримують графік досліджуваної функції.

Графік функції будують за характерними точками й лініями, отриманими у результаті дослідження. Якщо їх недостатньо, знаходять допоміжні точки для деяких конкретних значень аргументу.

Провести дослідження функції та побудувати її графік.

1) Функція визначена всюди, крім точок та .

2) Функція непарна, тому що виконується умова , а саме, , і, отже, її графік симетричний відносно початку координат. Тому обмежимося дослідженням тільки для .

3) Функція не періодична.

4) Так як y = 0 лише при x = 0, то перетин з осями координат відбувається тільки на початку координат.

5) Функція має розрив другого роду в точці , причому , . Пряма - вертикальна асимптота.

6) Знаходимо і прирівнюємо її до нуля: , звідки , , . На екстремум треба досліджувати тільки точку (точку не досліджуємо, тому що вона є граничною точкою проміжку .

В околі точки має: при та при , отже, в точці функція має максимум, .

Для перевірки правильності знаходження мінімального та максимального значення.

7) Знаходимо . Бачимо, що лише при , при цьому при та при , отже, в точці (0,0) крива має перегин. Іноді напрямок угнутості може змінитися при переході через розрив кривої, тому слід з'ясувати знак і близько точок розриву функції. У даному випадку на проміжку i на , отже, на крива ввігнута і опукла на .

8) Знаходимо асимптоти.

Наявність вертикальної асимптоти встановлено вище. Шукаємо горизонтальні: , отже, горизонтальних асимптот немає.

Знайдемо похилі асимптоти:

, , виходячи з цього, - нахилена двобічна асимптота.

9) Тепер, використовуючи отримані дані, будуємо креслення.

# data[].attributes.attachment_link.title
Графік функції - Вікіпедія

# data[].attributes.attachment_link.description
Графік функції - діаграма в математиці, яка дає уявлення про геометричний образ функції. Графіком функції називається підмножина декартового добутку на (), що містить всі пари , для яких . Якщо простіше, то це є малюнок, на якому можна побачити як змінюється значення Y залежно від значення Х.

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
Пло́ща - фізична величина, що визначає розмір поверхні, одна з основних властивостей геометричних фігур, у математиці розглядається як міра множини точок, які займають поверхню або якусь її частину. Історично, обчислення площі називалося квадратурою. Фігура, що має площу, називається квадрованою. Площу нескладних геометричних фігур визначають, підраховуючи кількість одиничних квадратів, якими фігури можна покрити. Фігури, що мають однакову площу називають рівновеликими.

Загальний метод обчислення площі геометричних фігур надало інтегральне числення. Узагальненням поняття площі стала теорія міри множини, яка є придатною для ширшого класу геометричних об'єктів.

Площа у системі SI вимірюється у м² ( метрах квадратних). Площу заведено позначати великою латинською літерою S, у англомовній літературі - великою латинською літерою A (від англ. area).

Множина вимірна за Жорданом, якщо внутрішня міра Жордана дорівнює зовнішній мірі Жордана

Площею в планіметрії може назватися будь-яка величина, яка задовольняє умовам:

вона додатно-визначена (тобто не менша від нуля);

вона адитивна (площа об'єднання двох фігур, що не перетинаються, дорівнює сумі площ цих двох фігур);

у конгруентних фігур площа однакова;

для квадрата зі стороною 1 вона приймається рівною 1.

З даного визначення площі випливає її монотонність, тобто площа частини фігури є меншою від площі всієї фігури.

Спочатку визначення площі було сформульоване для многокутників, згодом воно було розширене на квадровані фігури. Квадрованою називається така фігура, яку можна вписати у многокутник і у яку можна вписати многокутник, причому площі обох многокутників різняться на довільно малу величину. Такі фігури називають також вимірними за Жорданом. Для фігур на площині, які не складаються з цілої кількості одиничних квадратів, а також для тривимірних поверхонь, площа визначається за допомогою граничного переходу.

Протягом багатьох років площа вважалася первинним поняттям, яке не вимагає визначення. Основним завданням математиків було обчислення площі, при цьому їм були відомі основні її властивості. У Стародавньому Єгипті використовувались точні правила обчислення площі прямокутників, прямокутних трикутників і трапецій, площа довільного чотирикутника визначалась приблизно як добуток півсум пар протилежних сторін. Застосування такої наближеної формули пов'язане з тим, що ділянки, площу яких треба було визначити, були в основному близькими до прямокутних і похибка у такому випадку залишалась невеликою. Історик математики А. П. Юшкевич припускає, що єгиптяни могли і не знати, що користуються наближеною формулою. У задачі 50 папірусу Рінда використовується формула обчислення площі круга, яка вважалась рівною площі квадрата зі стороною, рівною 8/9 діаметра круга. Такими ж формулами користувались і у Вавилоні, однак для площі круга наближення було менш точним. Крім того, вавилоняни могли наближено обчислити площі правильних п'яти-, шести- і семикутника зі стороною рівною одиниці. У шістдесятковій системі їм відповідали 1,40, 2,37,20 і 3,41, відповідно.

Основним прийомом обчислення площі при цьому була побудова квадрата, площа якого дорівнює площі заданої багатокутної фігурі, зокрема у книзі I "Начал" Евкліда, що присвячена планіметрії прямолінійних фігур, доводиться, що трикутник є рівновеликим половині прямокутника, що має з ним одинакові основи і висоту. Метод розкладання, що ґрунтувався на тому, що дві рівноскладені фігури є рівновеликими, дозволяв також обчислити площі паралелограмів й довільних многокутників.

Наступним кроком було обчислення площ круга, кругового сектора, лунок та інших фігур. Основу обчислень при цьому становив метод вичерпування многокутниками, з якого бере початок теорія границь. Метод полягає у побудові послідовності площ, які при поступовому нарощуванні "вичерпують" площу, що розглядається. Метод вичерпування, який отримав свою назву лише у XVII столітті, ґрунтується на аксіомі неперервності Евдокса - Архімеда, авторство якої приписується Евдоксу Кнідському, котрий за її допомогою показав, що площі кругів відносяться одна до одної як квадрати їх діаметрів. Метод описаний у "Началах" Евкліда: аксіома Евдокса сформульована у книзі V, а сам метод вичерпування і відношення, що ґрунтуються на ньому - у книзі XII. Більшої досконалості у застосуванні методу досягнув Архімед, котрий за його допомогою вирахував площу сегмента параболи та площу поверхні сфери. Праця Архімеда "Про спіралі" містить багато тверджень, що стосуються площ різних витків спіралі та їх співвідношень. Архімеду належить ідея використання площ або об'ємів як вписаних, так і описаних фігур для визначення величини заданої площі чи об'єму.

У Стародавній Індії на початках користувались тією ж формулою для обчислення площ чотирикутників, що й єгиптяни та греки. Брамагупта використовував формулу для обчислення площі чотирикутників, виражену через їх півпериметр, що давала вірне значення для вписаного у коло чотирикутника. Формули обчислення площі зазвичай не доводились, але демонструвались з наочними рисунками. Формула Брамагупти є аналогом формули Герона для площі трикутника, яку той навів у своїй "Метриці".

Розвиток та узагальнення методу вичерпування відбулися лише у XVII столітті. У 1604 році у праці "Три книги про центр тяжіння тіл" Лука Валеріо ( італ. Luca Valerio 1552-1618) широко використовує теорему, за якою різниця між площами вписаної і описаної фігур, складених з паралелограмів можна зробити меншою від будь-якої заданої площі. Справжній прорив було зроблено Й. Кеплером, якому для астрономічних розрахунків потрібно було вміти обчислювати площу еліпса. Кеплер розглядав площу як "суму ліній" і, розліновуючи еліпс з кроком у один градус, показав, що . Б. Кавальєрі, обґрунтовуючи схожий метод, названий "методом неподільних", порівнював площі плоских фігур, використовуючи перетин фігур паралельними прямими. Застосування первісної для знаходження площі плоскої фігури є найуніверсальнішим методом. За допомогою первісної доводиться принцип Кавальєрі, за яким дві плоскі фігури мають однакову площу, якщо при перетині кожної з них прямою, паралельною до фіксованої, отримуються відрізки однакової довжини. Принцип був відомий задовго до формування інтегрального числення[5][9].

Обчисленням площ кривих поверхонь займався Архімед, визначивши, зокрема, площу поверхні кулі . У загальному випадку для визначення площі поверхні неможливо скористатися а ні розгорткою (не підходить для сфери), а ні наближенням багатогранними поверхнями (аналогом методу вичерпування). Останнє продемонстрував Г. Шварц, побудувавши для бічної поверхні циліндра послідовності, які приводять до різних результатів (так званий "чобіт Шварца").

Загальний прийом обчислення площі поверхні на рубежі XIX-XX століть запропонував Г. Мінковський, який для кожної поверхні будував "огортальний шар" малої сталої товщини, тоді площа поверхні буде приблизно рівною об'єму цього шару, поділеному на його товщину. Граничне значення цього відношення при товщині шару, що прямує до нуля дає точне значення площі. Однак, для площі за Мінковським не завжди виконується властивість адитивності. Узагальнення даного визначення приводить до поняття лінії за Мінковським.

Аналітична геометрія дозволяє розв'язувати геометричні задачі алгебраїчними методами, оперуючи такими поняттями як система координат, вектор тощо. Площина в тривимірному просторі має дві поверхні. Площі цих двох поверхонь позначаються із протилежними знаками. Оскільки орієнтація поверхні задається вектором нормалі до неї, то площу теж визначають як вектор, колінеарний нормалі до поверхні.

Наприклад, для паралелограма, побудованого на векторах та площа визначається як векторний добуток:

При зміні порядку множників у цій формулі, міняє знак, що відповідає нормалям до двох різних боків поверхні. Як добуток двох векторів є псевдовектором - при зміні напрямку кожного із векторів та на протилежний, напрямку не міняє.

Площу між двома графіками можна знайти як різницю інтегралів відповідних функцій

Математичний аналіз надає широкі можливості для обчислення площ криволінійних фігур. Поняття інтеграла, яке має широке застосування і в інших галузях, має просту інтерпретацію, як площа криволінійної фігури обмеженої підінтегральною функцією, віссю абсцис і двома прямими, паралельними осі ординат:

Оскільки функція може мати як додатні, так і від'ємні значення на інтервалі [ a, b], то інтеграл теж може бути додатнім або від'ємним. Для того, щоб отримати площу фігури в її геометричному сенсі потрібно інтегрувати абсолютну величину функції:

Виходячи з цього означення, площу між двома графіками функцій можна знайти як інтегралів однієї функції, f( x), мінус інтеграл іншої функції, g( x).

Площу криволінійної фігури, обмеженої функцією , вираженою в полярних координатах, знаходять за формулою

Площу обмежену параметричною кривою з кінцевими точками знаходять за теоремою Гріна криволінійним інтегралом

Водночас, ця формула є z-координатою векторного добутку:

В цій формулі крапка над означає похідну.

Для поверхні у тривимірному просторі, заданої функцією над деякою областю (або є проєкцією поверхні на площину [21]):

Фігура

Рівняння

Змінні

Правильний багатокутник

Правильний багатокутник (кути в градусах)

, - будь-які дві сторони, - кут між ними.

( формула Герона)

, , - сторони трикутника, - півпериметр .

у випадку обходу вершин трикутника за годинниковою стрілкою отримаємо додатний результат, інакше від'ємний.

і - сусідні сторони паралелограма, - кут між ними.

Ромб

Трапеція

та - паралельні сторони а - відстань між ними (висота трапеції)

Довільний чотирикутник

( формула Брамагупти)

, , , - сторони чотирикутника, - його півпериметр, - півсума протилежних кутів кутів чотирикутника

Довільний многокутник (опуклий і неопуклий)

( метод трапецій)

Наведені вище формули призначені для обчислення площі багатьох фігур.

Фігура

Рівняння

Змінні

Круг

Сектор круга

Сегмент круга

Трикутник, вписаний у коло

, , - сторони трикутника, - радіус описаного кола.

Довільний багатокутник, описаний навколо кола

Планіметр Амслера-Кораді у робочому положенні

Прилад, що слугує для простого механічного визначення площ (інтегрування) плоских замкнутих контурів носить назву планіметр.

Найбільше використовувалась одна з можливих реалізацій даного приладу - планіметр Амслера-Кораді, фактично є частковим випадком аналогового обчислювального пристрою. Основними частинами найпоширенішого планіметра є обвідний важіль з штифтом, який обводить контур фігури і лічильний механізм, що, фіксуючи переміщення штифта, вказує шукану величину площі.

В одному квадратному сантиметрі міститься 100 квадратних міліметрів

В одному квадратному кілометрі міститься 100 гектарів

Морг (Середньовічна Європа), найчастіше 1 морг = 0,57 га = 5700 м² (прусський морг - 0,2553 га)

Дуньом (Османська імперія), 1 дунам = 919,3 м²

Арура (Стародавній Єгипет), 1 арура = 2735,29 м²

Плефр (Візантія), 1 плефр = 1261,9 м²

Унція (Римська імперія), 1 унція = 209,91 м²

Югер (Римська імперія)), 1 югер = 12 унцій = 2519 м²

Центурія (Римська імперія), 1 центурія = 200 югерів = 503800 м².

# data[].attributes.attachment_link.title
Площа - Вікіпедія

# data[].attributes.attachment_link.description
Пло́ща - фізична величина, що визначає розмір поверхні, одна з основних властивостей геометричних фігур, у математиці розглядається як міра множини точок, які займають поверхню або якусь її частину. Історично, обчислення площі називалося квадратурою. Фігура, що має площу, називається квадрованою. Площу нескладних геометричних фігур визначають, підраховуючи кількість одиничних квадратів, якими фігури можна покрити.