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Tipos de sistemas de ecuaciones lineales

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Tipos de sistemas de ecuaciones lineales

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Álgebra lineal. Gauss. -> Sistemas de ecuaciones lineales. -> Contenidos. -> Clasificación de un sistema según sus soluciones.

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Ecuaciones logaritmicas y exponenciales | uDocz

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Tipos de sistemas de ecuaciones lineales. Clasificación. - MotyScience

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Entra y conoces los tipos de sistemas de ecuaciones que existen: compatibles determinados, compatibles indeterminados, incompatibles…

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Relación ejercicios sistema ecuaciones no lineales

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Relación ejercicios sistema ecuaciones no lineales

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Sistemas de ecuaciones logaritmicas resueltos

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Resolución de 6 sistemas de ecuaciones logaritmicas. Aplicaremos las propiedades de los logaritmos. Bachiller. Bachillerato. Preuniversitario.

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Sistemas de Ecuaciones 3x3 SCD - Método de Gauss

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Método de GAUSS 🔝 [Trucos] sistemas de ecuaciones 3x3 explicación 🚂 Ejercicios resueltos

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Relación de sistemas de ecuaciones exponenciales

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Relación de sistemas de ecuaciones exponenciales

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La siguiente expresión es una ecuación lineal (no tiene exponentes) con dos incógnitas, $$x$$ e $$y$$: $$x+y=1$$.

Para encontrar la solución se necesita que esté asociada a otra ecuación que no sea equivalente, de modo que se obtenga un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas, como por ejemplo:

$$$\left.\begin{array}{c} x+y=1 \\ 2x-y=5 \end{array} \right\}$$$

Cuando una ecuación está asociada a otra que es su equivalente, como en el siguiente caso:

$$$\left.\begin{array}{c} x+y=1 \\ 2x+2y=2 \end{array} \right\}$$$

se tiene un sistema indeterminado, que no trataremos ahora.

Para resolver sistemas de ecuaciones lineales existen tres métodos diferentes: el de sustitución, el de igualación y el de reducción. Aquí va el primero.

El método de sustitución consiste en despejar la $$x$$ en una de las ecuaciones, básicamente en la que resulte más fácil, y sustituir la expresión resultante en la otra.

En el siguiente caso, es fácil despejar $$x$$ en la primera ecuación, puesto que no tiene ningún coeficiente:

$$$\left.\begin{array}{c} x+y=2 \\ -2x-3y=5 \end{array} \right\}$$$

De modo que:

$$$\left.\begin{array}{c} x=2-y \\ -2x-3y=5 \end{array} \right\}$$$

Ahora se puede sustituir la $$x$$ de la segunda ecuación por la expresión $$x=2-y$$. Y se obtiene:

$$$\left.\begin{array}{c} x=2-y \\ -2(2-y)-3y=5 \end{array} \right\}$$$

Con esto se consigue que la segunda ecuación se convierta en una ecuación lineal con una incógnita, que se resuelve despejando simplemente la $$y$$.

$$$-2(2-y)-3y=5 \Rightarrow -4+2y-3y=5 \Rightarrow -y=5+4 \Rightarrow -y=9 \Rightarrow \\ y=-9$$$

Una vez hallado el valor de $$y$$, lo único que queda por hacer es sustituir en la primera ecuación para saber cuál es el valor de $$x$$:

$$$x=2-y \Rightarrow x=2-(-9) \Rightarrow x=2+9=11$$$

Los dos valores obtenidos, $$x=11, y=-9$$, son el resultado del sistema.

Para ver si el resultado es correcto se pueden sustituir los valores encontrados para ambas incógnitas y comprobar si se cumplen las igualdades de ambas ecuaciones:

$$$x+y=2 \Rightarrow 11-9=2 \Rightarrow 2=2$$$

En la primera ecuación se cumple. Se comprueba en la segunda:

$$$-2x-3y=5 \Rightarrow -2\cdot11-3\cdot(-9)=5 \Rightarrow -22+27=5 \Rightarrow 5=5$$$

En la segunda ecuación también se cumple la igualdad, por lo que la solución es correcta.

$$$\left.\begin{array}{c} 2x-4y=8 \\ -3x+y=3 \end{array} \right\}$$$

Se pueden seguir los mismos pasos que en el ejemplo anterior, pero antes hay que ver si las ecuaciones se pueden simplificar.

En el caso de la primera ecuación $$2x-4y=8$$, todos los términos son divisibles por $$2$$, de modo que toda la ecuación se puede dividir por dicha cifra para simplificarla. Al dividir entre $$2$$ queda:

$$$x-2y=4$$$

Esta ecuación es totalmente equivalente a la otra, es decir, tiene la misma solución, y el despeje de $$x$$ es casi inmediato, puesto que ha dejado de tener coeficiente.

Se sustituye esta nueva ecuación equivalente en lugar de la inicial y ya se puede empezar a buscar la solución al sistema:

$$$\left.\begin{array}{c} x-2y=4 \\ -3x+y=3 \end{array} \right\}$$$

Primero se despeja $$x$$ en la primera ecuación:

$$$\left.\begin{array}{c} x=4+2y \\ -3x+y=3 \end{array} \right\}$$$

Se sustituye la expresión obtenida en la segunda ecuación y se halla $$y$$:

$$$-3(4+2y)+y=3 \Rightarrow -12-6y+y=3 \Rightarrow -5y=3+12 \Rightarrow $$$

$$$\Rightarrow -5y=15 \Rightarrow y=\dfrac{15}{-5}=-3$$$

Se sustituye el valor de $$y$$ en la primera ecuación para saber cuál es el de $$x$$:

$$$x=4+2(-3) \Rightarrow x=4-6=-2$$$

La solución al sistema es $$x=-2, y=-3$$.

Se comprueba que todo es correcto sustituyendo en ambas ecuaciones los valores obtenidos:

$$$x-2y=4 \Rightarrow -2-2(-3)=4 \Rightarrow -2+6=4 \Rightarrow 4=4$$$

$$$-3x+y=3 \Rightarrow -3(-2)+(-3)=3 \Rightarrow 6-3=3 \Rightarrow 3=3$$$

En ambas ecuaciones se cumplen las igualdades, así que el resultado es válido.

$$$\left.\begin{array}{c} x+1-y=-2 \\ y+1=x-4 \end{array} \right\}$$$

Lo primer que hay que hacer es agrupar términos similares, dejando las incógnitas en el primer miembro y los términos independientes en el segundo:

$$$\left.\begin{array}{c} x-y=-2-1 \\ -x+y=-4-1 \end{array} \right\} \Rightarrow \left.\begin{array}{c} x-y=-3 \\ -x+y=-5 \end{array} \right\}$$$

Si se despeja $$x$$ en la primera ecuación se obtiene que $$x=y-3$$. Se sustituye dicha expresión en la segunda ecuación:

$$$-(y-3)+y=-5 \Rightarrow -y+3+y=-5 \Rightarrow -y+y=-5-3 \Rightarrow 0=-8$$$

El sistema no parece tener solución. Y de hecho, no la tiene.

Cuando esto ocurre se dice que es un sistema incompatible: las incógnitas se anulan y el sistema carece de solución. En cambio, cuando un sistema sí tiene solución se llama sistema compatible.

En definitiva, los pasos que hay que seguir para resolver un sistema por el método de sustitución son:

1. Despejar una de las incógnitas de una ecuación y sustituir la expresión resultante en la otra, que se transforma en una ecuación lineal con una incógnita.

2. Despejar la incógnita de dicha ecuación lineal y sustituir su valor en la ecuación inicial para hallar el valor de la otra incógnita.

También hay que tener en cuenta que para plantear un sistema de ecuaciones, sobre todo si se pretende que los resultados sean valores enteros, lo mejor es partir de valores conocidos para las incógnitas y plantear ecuaciones en las que las igualdades sean ciertas.

Si $$x=1$$, $$y=-1$$, las siguientes ecuaciones son todas posibles, puesto que se cumple la igualdad:

$$$x+y=0$$$

$$$2x-2y=4$$$

$$$x+3(2y-1)=-8$$$

De modo que un posible sistema sería tomar las dos primeras:

$$$\left.\begin{array}{c} x+y=0 \\ 2x-2y=4 \end{array} \right\}$$$

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Los babilonios fueron los primeros en tratar de darles solución con procedimientos de eliminación de incógnitas. Pero su aporte fue más allá de las ecuaciones lineales, pues fueron los primeros en trabajar formalmente en los sistemas de ecuaciones no lineales y las ecuaciones de segundo grado.

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Vídeo explicativo sistema compatible indeterminado (con lambda)

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Feb 16, 2010 · Mat 1 Bach Sistema Ecuaciones Lambda.
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Feb 5, 2015 · Discusion y resolucion de un sistema de ecuaciones lineales con un parametro (2ª Parte ...
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Sistema ecuaciones lineales: Método de Gauss

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Sistema ecuaciones lineales: Método de Gauss

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En primer lugar, antes de comenzar a practicar este tipo de problemas de sistemas de ecuaciones debemos tener en cuenta una serie de consejos que nos serán útiles.

Para resolver un problema debemos:

Antes de comenzar, realizar una lectura detenida del mismo. Familiarizarnos con el problema es clave antes de empezar.

Una vez hemos entendido el contexto y el tipo de problema que se nos plantea, debemos realizar el planteamiento del mismo.

Si es necesario, realizaremos un dibujo, una tabla, o un representación de lo expuesto. Una vez hecho, intentamos identificar la incógnita y los datos que aporta el problema.

Para plantear las ecuaciones volveremos al problema y debemos "traducir" el mismo a una expresión algebraica.

En este tipo de problemas con más de una incógnita debemos encontrar tantas ecuaciones como incógnitas se nos presenten. Es decir, si tenemos dos incógnitas debemos encontrar dos ecuaciones, si tenemos tres, tres ecuaciones.

El siguiente paso es resolver el sistema de ecuaciones.

Por .último y muy importante, debemos interpretar la solución.

En este caso los resolveremos por el método de Gauss:

Un hotel adquirió un total de 200 unidades entre almohadas, mantas y edredones, gastando un total de 7500 euros. El precio de una almohada es de 16 euros, el de una manta es de 50 euros y el de un edredón es de 80 euros. Además, el número de almohadas compradas es igual al número de mantas más el número de edredones. ¿Cuántas almohadas, mantas y edredones ha comprado el hotel?
El número de almohadas: x
La cantidad mantas: y
Y la cantidad de libras edredones: z

"un total de 200 unidades entre almohadas, mantas y edredones"
Segunda ecuación:
"gastando un total de 7500 euros"

16x+50y+80z=7500

16x+50y+80z=7500

"el número de almohadas compradas es igual al número de mantas más el número de edredones"

Resolución por el método de Gauss:

Utilizamos los coeficientes y los términos independientes y realizamos una matriz:

Necesitamos hacer ceros en los números destacados en la matriz anterior.

Primeras transformaciones, deseamos realizar los ceros de la primera columna:

Primer paso, transformar la segunda fila,

1. Fila uno se mantiene

2. Transformo la Fila 2: multiplico la primera por 16 y le resto la fila 2.

Segundo paso, transformar la tercera fila,

1. Mantenemos la Fila uno.

2. Transformo la Fila 3: le resto a la fila 1 la fila 3

Así, la matriz resultante sería:

Segundas transformaciones, deseamos realizar el ceros de la segunda columna:

Para ello, sólo utilizamos la segunda y tercera fila:

1. Fila uno se mantiene.

2. La Fila dos se mantiene.

3. Transformo la Fila 3: multiplico la fila 3 por 17 y le sumo la fila 2.

17.(0 +2 +2 +200)= 0 +34 +34 +3400

Sumo la fila dos y tres transformadas.

De esta manera, el sistema resulta:

Siendo la solución:

Sustituimos el valor de "z" en la segunda ecuación y obtenemos el valor de "y":

-34y-64.30=-4300
-34y=-4300+1920
y=-2380/-34=70

Sustituimos el valor de "z" e "y" en la primera ecuación y obtenemos "x":

x+70+30=+200

x=+200-70-30

Número de almohadas: x=100

La cantidad de mantas: y=70

Y la cantidad de libras edredones: z=30

"gastando un total de 7500 euros"

16x+50y+80z=7500

16.(100)+50.(70)+80. (30) = 7500

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Encuentra estos otros dos problemas de sistemas de ecuaciones resueltos en el documento adjunto:
Una empresa desea disponer de dinero en efectivo en euros, dólares y libras esterlinas. El valor total entre las tres monedas da de ser igual a 264000 euros. Se quiere que el valor del dinero disponible en euros sea el doble del valor del dinero en dólares, y que el valor del dinero en libras sea la décima parte del dinero en euros. Si se supone que una libra esterlina es igual a 1,5 euros y un dólar es igual a 1,1 euros, se pide determinar la cantidad de euros, dólares y libras esterlinas que la empresa ha de tener disponible. Un hipermercado inicia una campaña de ofertas. En la primera de ellas descuenta un 4% en un cierto producto A, un 6% en el producto B y un 5 % en el producto C. A las dos semanas pone en marcha la segunda oferta descontando un 8% sobre el precio inicial de A, un 10% sobre el precio inicial de B y un 6 % sobre el precio inicial de C. Se sabe que si un cliente compra durante la primera oferta de un producto a, dos B y tres C, se ahorra 16 euros respecto al precio inicial. Si compra tres productos A, uno B y cinco en la segunda oferta el ahorro es de 29 euros. Si compra un producto A, uno B y uno C, sin ningún tipo de descuento, debe abonar 135 euros. Problemas resueltos por el método de Gauss.ystp
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Nos vemos en la siguiente clase.

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