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Liebe Anwärterinnen und Anwärter, folgender Ablauf ist vorgesehen:

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Liebe Anwärterinnen und Anwärter, folgender Ablauf ist vorgesehen:

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1. Gemeinsamer Einstieg in Schülerrolle mit dem interaktiven Lernbuch ALICE (zum Aufwärmen)(Link in 2. Spalte im padlet)

2. Input: Digitale Medien im Bildungsplan Mathematik (im Handout)(3. Spalte im padlet)

3. Input: Reflexionsfragen zur fachdidaktisch begründeten Auswahl von digitalen Medien (im Handout)
4. Vorstellung Ihrer Praxiserfahrung

5. Abschluss im Plenum

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AA:        Brüche - ein Lieblingsthema?!?

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AA:        Brüche - ein Lieblingsthema?!?

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Arbeiten Sie in der Rolle eines Lernenden aus
Klasse 6, 7 oder 8 mit dem interaktiven Lehr- und Lernbuch "Alice".

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Stefan Hoch

Frank Reinhold

Bernhard Werner

Kristina Reiss

Jürgen Richter-Gebert

Gefördert von der Heinz-Nixdorf-Stiftung

Einleitung

Bruchrechnen. Bruchzahlen & Bruchteile greifen & begreifen
4. überarbeitete Auflage

Stefan Hoch,
Frank Reinhold,
Bernhard Werner,
Kristina Reiss,
Jürgen Richter-Gebert

Technische Universität München, 2018.

Gefördert von der Heinz-Nixdorf-Stiftung

Lizenzierung:
Dieses Werk ist lizenziert unter einer Creative Commons Namensnennung - Nicht kommerziell - Keine Bearbeitungen 4.0 International Lizenz.

Vorgeschlagene Zitation:
Hoch, S., Reinhold, F., Werner, B., Reiss, K., Richter-Gebert, J. (2018). Bruchrechnen. Bruchzahlen & Bruchteile greifen & begreifen [Web Version] (4. Aufl.). München, Technische Universität München.

Technische Universität München
TUM School of Education
Heinz Nixdorf-Stiftungslehrstuhl für Didaktik der Mathematik

Arcisstraße 21
80333 München
www.ma.edu.tum.de

Vorwort

Alice was beginning to get very tired of sitting by her sister on the bank, and of having nothing to do: once or twice she had peeped into the book her sister was reading, but it had no pictures or conversations in it, "and what is the use of a book," thought Alice "without pictures or conversation?"

So beginnt Lewis Carroll sein berühmtes Buch Alice in Wonderland.

Unser Buch zu Bruchzahlen hat zwar kaum Dialoge, aber dafür um so mehr Bilder - mehr noch - interaktive Bilder. Wir haben bei der Konzeption dieses iBooks konsequent darauf geachtet, wo immer es möglich war, das manchmal etwas sperrige Thema der Bruchzahlen - das zugegebenermaßen auch unintuitiv sein kann ... „Ist $\frac{13}{15}$ jetzt größer oder kleiner als $\frac78$?" - mit Bildern, Animationen und Interaktionen zu verknüpfen. Unser Buch zu Bruchzahlen ist ein interaktives Arbeitsbuch geworden, in dem es viel zu tun gibt. Aufgaben - und natürlich auch Spiele - können direkt auf dem iPad bearbeitet und gespielt werden. Lösungsfelder können direkt mit dem Finger in eigener Handschrift ausgefüllt werden - immer vorausgesetzt, sie ist einigermaßen lesbar.

Auf diese Weise ist dieser kleine Band in zweifacher Weise zum Experiment geworden. Ein fachdidaktisches Experiment, das ist klar, aber auch ein technologisches Experiment. Ich glaube, wir können guten Gewissens sagen, dass wir versucht haben ein iBook der ganz besonderen Art zu schreiben. Eben ein interaktives, mit eingebauten Lernhilfen, Spielen, Aufgaben, Visualisierungen, Memories, in dem Pizza und Schokolade verteilt werden müssen.

Wir wünschen den Leserinnen und Lesern mindestens ebenso viel Spaß, wie wir beim Austüfteln der Aufgaben hatten.

München im März 2018
Jürgen Richter-Gebert

Anleitung

Hier siehst du ein Beispiel einer Aufgabe. Alle sehen so oder so ähnlich aus.

Tippe auf die blauen Pfeile!

Aufgaben zurücksetzen

In diesem Buch wird dein Fortschritt gespeichert. Wenn du mit dem Üben ganz von vorne beginnen willst, kannst du alle Aufgaben auch zurück setzen. Tippe dazu mit dem Finger auf den Pfeil rechts. Folge dann den Anweisungen.

Bruchzahlen & Bruchteile greifen & begreifen

Eine Pizza wird geteilt

Anna möchte eine Pizza mit ihren fünf Freundinnen teilen. Sie schneidet sie in gleich große Stücke.

Hier siehst du die Pizza noch einmal.

Brüche schreiben

Eine Pizza wird in acht gleich große Stücke geteilt. Mia nimmt davon drei Stücke.

Man sagt: „3 Achtel", und schreibt kurz:

In der neuen Schreibweise $\frac38$ kommen zwei Zahlen mit unterschiedlicher Bedeutung vor:

„Die Acht sagt, in wie viele gleich große Teile man die Pizza teilt. Die Drei gibt an, wie viele dieser Teile man davon nimmt."

Und noch ein Hinweis

Der Zähler kann kleiner, gleich oder auch größer als der Nenner sein, z. B.:

Solche Brüche bezeichnen mehr als ein Ganzes.

Den Anteil von etwas berechnen

Eine Wasserkaraffe füllen

In diese Karaffe passt ein Liter Wasser. Du musst sie nicht ganz füllen. Experimentiere mit der Wassermenge. Du kannst ablesen, welcher Bruchteil sich dann in der Karaffe befindet.

Strecken zerteilen

Eine Strecke von $\frac{\color{#9516E0}{3}}{\color{#FF8C00}{4}}\,\textrm{m}$ Länge erhält man, indem man ...

1. eine $1\,\text{m}$ lange Strecke in vier gleich lange Teile zerlegt und dann ...

2. drei Teile davon nimmt:

$\frac34\,\text{m}$ sind 3 Viertel von einem (ganzen) Meter.

Und ohne Skizze ...?

Löse die nächste Aufgabe ohne Hilfszeichnung.

Weißt du nicht weiter?

In manchen Aufgaben kannst du Tipps bekommen. Berühre dazu einfach die „Ampel" oben rechts im Aufgabenfenster.

Und umgekehrt ...?

Wenn $\frac13$ einer Schulstunde $15\,\text{min}$ dauert, wie lange ist dann eine ganze Schulstunde?

$$15\,\text{min}\cdot \color{#0C5AA6}{3} = 45\,\text{min}$$

Wie du gerade gesehen hast, lässt sich das ursprüngliche Ganze sehr einfach berechnen, wenn der Anteil ein Stammbruch ist.

Wir überlegen uns wieder mit einer Strecke, wie man vorgehen muss, wenn der Anteil kein Stammbruch ist.

Zurück zur ganzen Strecke

Geht man von einer Strecke von $\frac34\,\text{m}$Länge aus, so erhält man eine Länge von einem Meter, indem man ...

1. die Strecke zuerst in in drei gleich lange Teile zerlegt und dann ...

2. vier solcher Teile aneinander legt:

$\frac34\,\text{m}$ sind 3 Viertel von einem (ganzen) Meter.

Pizza und Schokolade verteilen

Pizzabäcker Donatello hat Probleme in der Küche

Zu allem Überfluss wollen seine vier Gäste ihre Pizzen auch noch teilen.

Zusammenfassung

Da die die Pizzen gerecht verteilt werden sollen, bekommt jeder Gast immer gleich viel.

Am Ende hat jeder der Gäste jeweils $\frac14$ von drei Pizzen. Das ist genauso viel wie $\frac34$ von einer Pizza.

Strecken anders zerteilen

Den Bruchteil $\frac{\color{#9516E0}{3}}{\color{#FF8C00}{4}}\,\text{m}$ kann man auch so erhalten:

1. Teile eine $3\,\text{m}$ lange Strecke in 4 gleich lange Teile und ...

2. nimm 1 Teil davon.

$\frac34\,\text{m}$ ist auch $\frac14$ von drei (ganzen) Metern.

Und ohne Skizze ...?

Löse die nächste Aufgabe ohne Hilfszeichnung.

oder

Pauls Mathehausaufgabe

Paul ist in der vierten Klasse, sein Bruder Max schon in der sechsten. Paul löst seine Hausaufgaben und gibt sie Max zur Kontrolle:

Beliebige Zahlen teilen

Divisionsaufgaben, bei denen der Divisor größer ist als der Dividend, hast du bisher nicht lösen können. Du hast dafür die Schreibweise mit Rest genutzt:

$$\begin{aligned}3:11 &= 0\ \text{R}\ 3\\ 5:6& = 0\ \text{R}\ 5\end{aligned}$$

Mit den Brüchen kommen wir jetzt ohne die Rest-Schreibweise aus. Die Rechnung ${\color{#0C5AA6}3}:\color{#FF8C00}{11}$ bedeutet:

„Teile 3 Ganze in 11 gleich große Stücke."

Das Ergebnis ist der Bruch $\frac{\color{#0C5AA6}{3}}{\color{#FF8C00}{11}}$. Also: $$\begin{aligned}3:11 &= \frac{3}{11}\\[1em] 5:6& = \frac56\end{aligned}$$

Du kannst jede natürliche Zahl durch eine andere teilen, egal ob die Division aufgeht. Das Ergebnis schreibst du als Bruch.

Verschiedene Brüche mit gleichem Wert

Ein Papier wird gefaltet

Schneide aus einem Blatt Papier ein Quadrat aus. Markiere dann die Hälfte des Quadrates farbig.

Und jetzt ohne Bild ...

Marie behauptet: „Ich habe gemerkt, dass ich einfach oben und unten immer dasselbe machen muss."

Was meint Marie damit?

Immer weiter kürzen

Du kannst Brüche mit gemeinsamen Teilern von Zähler und Nenner kürzen.

Im Bruch $\frac{32}{48}$ haben der Zähler „32" und der Nenner „48" die gemeinsamen Teiler 8, 2 und 18. Wir können $\frac{32}{48}$ also auf verschiedene Arte kürzen:

Und jetzt ohne Bild ...

Das können wir auch als Rechnung notieren:

$$ \frac{32}{48} \begin{matrix} \phantom{8}\\ =\\ \color{#9516E0}8 \end{matrix} \frac{32{\,\color{#9516E0}:\,}{\color{#9516E0}8}}{48{\,\color{#9516E0}:\,}{\color{#9516E0}8}}= \frac{4}{6} \begin{matrix} \phantom{2}\\ =\\ \color{#9516E0}2 \end{matrix} \frac{4{\,\color{#9516E0}:\,}{\color{#9516E0}2}}{6{\,\color{#9516E0}:\,}{\color{#9516E0}2}}= \frac23 $$

oder

$$ \frac{32}{48} \begin{matrix} \phantom{2}\\ =\\ \color{#008077}2 \end{matrix} \frac{32{\,\color{#008077}:\,}{\color{#008077}2}}{48{\,\color{#008077}:\,}{\color{#008077}2}}= \frac{16}{24} \begin{matrix} \phantom{8}\\ =\\ \color{#008077}8 \end{matrix} \frac{16{\,\color{#008077}:\,}{\color{#008077}8}}{24{\,\color{#008077}:\,}{\color{#008077}8}}= \frac23 $$

oder

$$ \frac{32}{48} \begin{matrix} \phantom{16}\\ =\\ \color{#753200}{16} \end{matrix} \frac{32{\,\color{#753200}:\,}{\color{#753200}{16}}}{48{\,\color{#753200}:\,}{\color{#753200}{16}}}= \frac23 $$

Im Bruch $\frac23$ haben Zähler und Nenner keine gemeinsamen Teiler mehr. Einen solchen Bruch nennen wir vollständig gekürzt.

Brüche auf dem Zahlenstrahl

Einen Kreis abwickeln

Was bedeuten Brüche auf dem Zahlenstrahl?

In der Aufgabe hast du gesehen, dass die Brüche $\frac13$ und $\frac26$ an derselben Stelle auf dem Zahlenstrahl stehen. Bei den Brüchen $\frac{10}{6}$ und $\frac53$ war das auch der Fall.

Wenn du an das letzte Kapitel denkst, fällt dir schnell auf, warum diese Brüche denselben Platz belegen:

$$ \frac13 \begin{matrix} 2\\ =\\ \phantom{2} \end{matrix} \frac26 \quad \text{ und } \quad \frac{10}6 \begin{matrix} \phantom{2}\\ =\\ 2 \end{matrix} \frac{5}{3} $$

Die Brüche haben den gleichen Wert, weil sie durch Erweitern und Kürzen ineinander umgewandelt werden können.

Seltsame Brüche

Der Bruch $\frac{11}{3}$ ist ein unechter Bruch. Er liegt auf dem Zahlenstrahl rechts von der 1.

Oft ist es hilfreich zu wissen, wie viele Ganze in einem unechten Bruch stecken. Hierfür gibt es eine besondere Schreibweise, die gemischten Zahlen.

Gemischte Zahlen

Eine gemischte Zahl besteht aus zwei Teilen:

1. Einer natürlichen Zahl, die angibt, wie viele Ganze im unechten Bruch stecken und ...

2. einem echten Bruch, der den Rest angibt.

Bei $\frac{11}{3}$ sieht das so aus:

Und ohne Zahlenstrahl ...?

Hier siehst du eine andere Möglichkeit, den unechten Bruch $\frac{11}{3}$ in die gemischte Zahl $3\,\frac23$ umzuwandeln:

Mit ein wenig Übung schaffst du den Umformungsschritt im Kopf! Du musst die Rechenschritte nicht aufschreiben.

Und anders herum ... ?

Wir können auch anders herum aus einer gemischten Zahl wieder einen unechten Bruch machen:

Welcher Bruch ist größer?

Weniger oder mehr als ein Ganzes?

Ob ein Bruch weniger oder mehr als ein Ganzes ist, kann man leicht entscheiden: Liegt er auf dem Zahlenstrahl links oder rechts von der 1?

Zur Erinnerung

Unechte Brüche sind Brüche, die mehr sind als ein Ganzes (z. B. $\frac54$ oder $\frac97$).

Echte Brüche sind Brüche, die weniger sind als ein Ganzes, (z. B. $\frac34$ oder $\frac78$).

Nutze die Strategie, um die Aufgabe zu lösen:

Mehr oder weniger als die Hälfte?

Ob ein Bruch mehr oder weniger als die Hälfte vom Ganzen bezeichnet, lässt sich leicht herausfinden.

Nutze die Strategie, um die Aufgabe zu lösen:

Brüche mit Zähler 1

Für die nächsten Aufgaben brauchst du eine neue Strategie:

„Je kleiner der Nenner, desto größer die Stücke!"

Übrigens

Brüche mit Zähler 1 nennt man Stammbrüche.

Brüche mit gleichem Zähler

Brüche mit gleichem Nenner

Wenn der Nenner gleich ist, musst du nur herausfinden, welcher Bruch mehr Stücke beschreibt:

„Je kleiner der Zähler, desto weniger Stücke!"

Achte in der nächsten Aufgabe darauf, ob die Brüche den gleichen Zähler oder den gleichen Nenner haben.

Auf gleicher Zähler oder gleichen Nenner bringen?

Um zwei Brüche zu vergleichen, kannst du sie auf den gleichen Zähler oder den gleichen Nenner bringen. Meistens ist eine Variante einfacher:

Beispiel 1

Welcher Bruch ist größer, $\displaystyle\frac{2}{15}$ oder $\displaystyle\frac{3}{17}$?

Beispiel 2

Welcher Bruch ist größer, $\displaystyle\frac{13}{16}$ oder $\displaystyle\frac{3}{4}$?

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Bruchteile & Bruchzahlen greifen & begreifen

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Bruchrechnen ist ein neuartiges Lehr- und Lernbuch zum Selbstlernen und zur Benutzung im Schulunterricht. Mit zahlreichen interaktiven Aufgaben lädt das Buch zum selbst Erkunden und Erfahren ein. Ideal zum Unterrichts begleitenden Lernen in der 6. Klasse vermittelt das Buch wichtige Begriffe und Konzepte zum Thema Bruchrechnen.

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Das interaktive Buch umfasst etwa 15 Unterrichtsstunden und deckt die Bruchrechnung Klasse 5 und 6 ab.
Es wurde von der Technischen Universität München (TUM) und dem Heinz Nixdorf Stiftungslehrstuhl für Didaktik der Mathematik entwickelt und unter einer Creative Commons Lizenz CC-BY-NC-ND 4.0 veröffentlicht. Es darf also frei im Unterricht verwendet werden.

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Handout Modul 21 Digitale Medien im Mathematikunterricht

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Handout Modul 21 Digitale Medien im Mathematikunterricht

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Professorin Daniela Götze, Hauptvortragende an der Tagung Macht´Mathe der PH Weingarten am Samstag, 19.11.2022, hat diese App entwickelt. Sie ist derzeit frei zugänglich für ipads.

Link:
https://apps.apple.com/gb/app/partibo/id1588419717
Wichtige Hinweise zur App von der Mitautorin Frau Julia Stark unter:
https://padlet.com/Partibo/kennenlernen

Die App Partibo soll Kindern bei der Einführung in die Bruchrechnung helfen, eine Vorstellung zum Bruchzahlbegriff zu entwickeln. Dazu legen die Kinder Brüche mithilfe von Material oder stellen diese mit Ziffernkarten dar.
Die App erfasst über einen Spiegel, der oberhalb der Kamera des Tablets angebracht ist, die Handlungen der Lernenden vor dem Tablet. So bekommt das Kind z. B. die Anweisung, den Bruch ½ zu legen. Die Kamera erkennt das Gelegte und kontrolliert, ob der Bruch korrekt gelegt wurde. Daraufhin wird sowohl bei einer richtigen als auch bei einer falschen Lösung ein individuell an die Aufgabe angepasstes Feedback gegeben, welches den Lernprozess der Kinder unterstützen kann.

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iPad Screenshots

Die App Partibo soll Kindern bei der Einführung in die Bruchrechnung helfen, eine Vorstellung zum Bruchzahlbegriff zu entwickeln. Dazu legen die Kinder Brüche mithilfe von Material oder stellen diese mit Ziffernkarten dar. Die App erfasst über einen Spiegel, der oberhalb der Kamera des Tablets angebracht ist, die Handlungen der Lernenden vor dem Tablet. So bekommt das Kind z. B. die Anweisung, den Bruch ½ zu legen. Die Kamera erkennt das Gelegte und kontrolliert, ob der Bruch korrekt gelegt wurde. Daraufhin wird sowohl bei einer richtigen als auch bei einer falschen Lösung ein individuell an die Aufgabe angepasstes Feedback gegeben, welches den Lernprozess der Kinder unterstützen kann.

Achtung! Die App kann nur mit dem zugehörigen Material in Form eines Spiegelhalters, Tablethalters und dem Legematerial genutzt werden. Weitere Informationen dazu auf partibo.de.

The developer, Daniela Goetze, indicated that the app's privacy practices may include handling of data as described below. For more information, see the developer's privacy policy.

Data Not Linked to You

The following data may be collected but it is not linked to your identity:

Privacy practices may vary based on, for example, the features you use or your age. Learn More

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‎Die App Partibo soll Kindern bei der Einführung in die Bruchrechnung helfen, eine Vorstellung zum Bruchzahlbegriff zu entwickeln. Dazu legen die Kinder Brüche mithilfe von Material oder stellen diese mit Ziffernkarten dar. Die App erfasst über einen Spiegel, der oberhalb der Kamera des Tablets angeb...

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Erste Moodle-Kurse zu mathematischen Themen stehen unter dem Stichwort Moove-BW  zur freien Verfügung und können in einen eigenen Moodle-Kurs eingebunden werden.

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virtuelles arbeiten und elearning - herzlich willkommen!: alle kurse

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Moodle, virtuelles Arbeiten und eLearning - Herzlich willkommen!: Alle Kurse

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Deutsch ‎(de)‎ English ‎(en)‎ Français ‎(fr)‎ Русский ‎(ru)‎ Українська ‎(uk)‎

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Herr Stoll stellt seine Erklärvideos inzwischen frei zugänglich zur Verfügung.
Seine Begleitmaterialien (zu den Erklärvideos + thematisch passende Übungsaufgaben) veröffentlicht er nicht. In Einzelfällen generiert er eigene Aufgaben. Vielfach greift er auf Aufgabenmaterial zurück, das für Unterrichtszwecke vervielfältigt und genutzt werden darf. Den Klassen wird kein Schulbuch für den Mathematikunterricht zur Verfügung gestellt.
Jeder Lernende erhält pro Themengebiet ein Arbeitsheft im Umfang von ca. 20-25 Seiten.

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Unterstützt durch Erklärvideos (Lernvideos) versuche ich im Flipped Classroom meinen Schülern ein selbstorganisiertes Lernen zu ermöglichen.

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Arbeitsblätter für die Schülerhand zur Arbeit mit dem Geogebra-Book FÜLLKURVEN.
Hier stehen ausgearbeitete Arbeitsblätter für das Erkunden von Füllkurven mit Geogebra kostenlos zur Verfügung.

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Dieses Projekt wurden im Rahmen von www.Matheforscher.de erstellt.

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Dieses Projekt wurden im Rahmen von www.Matheforscher.de erstellt.

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AA zur Präsentation der eigenen Praxiserfahrung:

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AA zur Präsentation der eigenen Praxiserfahrung:

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a) Wählen Sie 1 – 2 Reflexionsfragen, mit denen Sie Ihre Praxiserfahrung vorstellen.

b) Beantworten Sie diese gewählten Fragen stichwortartig schriftlich.

c) Ergänzen Sie Ihre Vorstellung durch diese Kurzreflexion.