# data[].attributes.headline
Теоретические факты

# data[].attributes.subject
Теоретические факты

# data[].attributes.body
1 Часть. Элементы комбинаторики.

Комбинаторика – раздел математики, который изучает задачи выбора и расположения элементов из некоторого основного множества в соответствии с заданными правилами.

1.1.Перестановки.

Перестановкой из n называют комбинацию, имеющую n элементов, взятых из заранее заданных n элементов без повторений.

1.2. Размещения.

Размещением n по k называют комбинацию, имеющую k элементов, взятых из заранее заданных n элементов без повторений.

1.3. Сочетания.

Сочетание из n по k называют комбинацию, имеющую k элементов, взятых из заранее заданных n элементов без повторений.

1.4. Правила комбинаторики.

Теперь разберем правила комбинаторики: правило умножения и правило сложения.

·       Правило сложения (правило «или»)

Если два действия А и В не имеют общих элементов, причем действие А можно выполнить m способами, а В – n способами, то выполнить одно любое из этих действий (либо А, либо В) можно n + m способами.

Если один из способов выбора действия А совпал с каким-либо способом выбора действия В, то правило сложения имеет вид:

, где k — число совпадений.

·       Правило умножения (правило «и»)

Если действие А можно выполнить m способами, а В – n способами, то упорядоченная пара (А и В) может быть составлена m∙n способами.

1.5. Непосредственные подсчеты.

·       Логический перебор.

Пример 9. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Определите все возможные комбинации выпадения орла и решки.

Решение:

Обозначим: орел – О, решка – Р.

Сначала рассмотрим все возможные варианты выпадения орла и решки, когда орел будет на первом месте: ОО, ОР.

Теперь решка на первом месте: РР, РО. Складываем варианты и получаем 4

Ответ: 4 комбинации.

·       Таблица вариантов.

Таблица вариантов удобна при подсчете числа комбинаций из двух элементов.

Пример 10. Сколько нечетных двузначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 5, 8, 9?

Решение:

Составляем таблицу: верхняя строка – десятки, первый столбик – единицы.

Перемножим данные таблицы 3*5=15

Ответ: 15 чисел.

·       Граф – дерево.

Пример 11. Антон, Борис, Василий и Григорий купили 4 билета на хоккейный матч на 1, 2, 3 и 4-е места первого ряда. Сколькими способами они могут занять имеющиеся четыре места?

Решение:

Ответ: 24 способа

2 Часть. Элементы теории вероятностей.

Теория вероятностей — это раздел математики, который изучает закономерности случайных явлений: случайные события, случайные величины, их свойства и операции над ними.

2.1. Частота событий.

Пусть при проведении n случайных опытов событие А наступило k раз. Частотой события А называют отношение k/n.

2.2. Классическая теория вероятностей.

Вероятность — это степень возможности, что какое-то событие произойдет.

Вероятность события А определим, как отношение числа m случаев, благоприятствующих событию А, к общему числу n рассматриваемых случаев:

2.3. Геометрическая теория вероятностей.

На практике очень часто число возможных исходов испытаний бесконечно.

В таких случаях классическое определение вероятности неприменимо. В этом случае пользуются геометрической теорией вероятностей.

Вероятность события А есть отношение меры g (длины, площади, объема и т.д.) к мере G пространства элементарных событий.

Пространство элементарных событий – это множество, содержащее все возможные результаты опыта, которые взаимно исключают друг друга.

2.4. Несовместные события. Теорема о сложении вероятностей.

События называют несовместными, если они не могут произойти одновременно в опыте, или, как говорят, одно из событий исключает другое. Например, при бросании двух кубиков выпадение нечетной суммы очков и равных чисел на обоих кубиках.

Теорема. Вероятность суммы 2 несовместных событий А и В (появления хотя бы одного события) равна сумме вероятностей этих событий: P(A+B) = P(A)+P(B)

Сумма вероятностей противоположных событий A и  равна 1.

2.5. Совместные события. Теорема о сложении вероятностей.

Событие называют совместными, если в опыте наступление одного из них не исключает наступления другого. Например, при бросании 2 кубиков на одном кубике выпадет 5 очков, на втором кубике – 3 очка.

Теорема. Вероятность суммы совместных событий A и B (появления хотя бы одного события) равна сумме их вероятностей без вероятности их совместного наступления:

P(A+B)=P(A)+P(B)−P(AB).

Для трех совместных событий формула приобретает вид:

P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC).

2.6. Независимые события. Теорема о умножении вероятностей.

События называют независимыми, если в опыте наступление одного из них не изменяет вероятность наступления другого. Например, в цехе работают 2 автоматические линии, которые не взаимосвязаны между собой. Если одна из двух линий остановится, это никак не повлияет на роту другой линии.

Теорема. Вероятность произведения (совместного появления) независимых событий А и В равна произведению вероятностей этих событий: P(AB)=P(A)∙P(B)

Вероятность появления хотя бы одного события из попарно независимых событий равна:

P(С)=1- P()∙P()

2.7. Зависимые события. Теорема об умножении вероятностей.

События называют зависимыми, если в опыте наступление одного из них изменяет вероятность наступления другого. Например, в цехе работают 2 автоматические линии, которые взаимосвязаны между собой. Если одна из двух линий остановится, то и остановится вторая.

Теорема. Вероятность произведения зависимых событий А и В равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность второго: P(AB) = P(A)PА(B)=P(B)PВ(A).

Условной вероятностью (PA (B)) называют вероятность события В, вычисленную в предположении, что событие А уже наступило.

Для трех событий формула имеет вид: P(ABC)=P(A)∙PА(B)∙РАB(C)

2.8. Сложение и умножение вероятностей.

Пример 20. С первого станка на сборку поступает 40%, со второго – 30% и с третьего – 30% всех деталей. Вероятности изготовления бракованной детали равны для каждого станка соответственно 0,01, 0,03 и 0,05. Найти вероятность того, что наудачу взятая деталь, поступившая на сборку, бракованная.

Решение:

Деталь изготовлена на 1 станке – событие А₁, P(A₁)=40/100=0,4;

деталь изготовлена на 2 станке – событие А₂, P(A₂)=30/100=0,3;

деталь изготовлена на 3 станке – событие А₃, P(A₃)=30/100=0,3;

деталь, изготовленная на 1 станке, бракованная – событие В₁,

PA₁(B₁)=0,01;

деталь, изготовленная на 2 станке, бракованная – событие В₂,

PА2(B₂)=0,03;

деталь, изготовленная на 3 станке, бракованная – событие В₃, PA₃(B₃)=0,05;

наудачу взятая деталь, поступившая на сборку, бракованная – событие В,

P(B)=P(А₁В₁)+P(А₂В₂)+P(А₃В₃) (теорема сложения несовместных событий);

P(B)=P(A₁)∙PА1(B₁)+P(A₂)∙PА2(B₂)+P(A₃)∙PА3(B₃) (теорема умножения вероятностей зависимых событий)

P(B)=0,4∙0,01+0,3∙0,03+0,3∙0,05=0,028

Ответ: 0,028.

3 Часть. Элементы математической статистики.

Математическая статистика – раздел математики, разрабатывающий методы регистрации, описания и анализа данных наблюдений и экспериментов с целью построения вероятностных моделей массовых случайных явлений.

В ходе любого статистического исследования изучается какое-то свойство (или несколько свойств) большой группы однотипных объектов. Эта группа называется генеральной совокупностью (от латинского generalis – главный).

Та характеристика объектов из генеральной совокупности, которая изучается в ходе статистического исследования, вообще говоря, меняется от объекта к объекту. Поэтому как свойство неопределённого объекта из рассматриваемой совокупности эта характеристика является переменной (величиной). Поскольку эта переменная появляется в ходе статистического исследования, её называют статистической переменной.

В математической статистике содержательный смысл значений числовых переменных, как правило, не играет никакой роли; обычно это просто наборы чисел. Соответственно, набор значений числовой переменной мы назовём числовым набором.

Числовой (статистический) набор – это конечная неупорядоченная последовательность чисел.

Основными характеристиками числовой переменной (числового набора) являются:

1)     Математическое ожидание          - понятие в теории вероятностей, означающее среднее значение случайной величины.

1)     Мода в математической статистике – наиболее часто встречающееся в числовом ряду значение

2)     Медиана – число, которое находится в середине этого набора, если его упорядочить по возрастанию, то есть такое число, что половина из элементов набора не меньше него, а другая половина не больше.

3)     Дисперсия - величина, показывающая, как именно и насколько сильно разбросаны значения

4)     Стандартное отклонение – наиболее распространённый показатель рассеивания значений случайной величины относительно её математического ожидания

σ(X ) = D(X ) .

1.1.Числовые величины.

Числовая переменная называется дискретной (от латинского discretus – разделённый, прерывистый), если её значения ясно отделены друг от друга.

Числовая переменная называется непрерывной, если её значением может быть любое действительное число из некоторого промежутка (по крайней мере, теоретически).

# data[].attributes.headline
Историческая справка.

# data[].attributes.subject
Историческая справка.

# data[].attributes.body
Часть 1. Как возникла теория вероятностей

Вероятность — степень (относительная мера, количественная оценка) возможности наступления некоторого события. Теория вероятностей изучает закономерности, которые возникают в случайных экспериментах. Результат такого эксперимента невозможно предсказать заранее, именно это и отличает случайное явление от детерминированного — предопределенного. Но изучать методами теории вероятностей удается не все случайные явления, а только те, которые можно воспроизвести в одних и тех же условиях.
Подобные случайные события происходят при игре в кости. Неудивительно, что возникновение теории вероятности связано с историей азартных игр.

В XVI в. математики Джероламо Кардано и Никколо Тарталья подсчитали различные варианты того, как выпадают очки при игре. Однако настоящей наукой теория вероятностей стала благодаря Пьеру Ферма (1601—1665) и Блезу Паскалю (1623—1662). И, конечно, здесь тоже не обошлось без азартных игр.

Как сказал позднее французский математик Пуассон, «задача, относившаяся к азартным играм и поставленная перед суровым янсенистом светским человеком, была источником теории вероятностей». Суровый янсенист — это как раз Паскаль, принадлежавший к этому движению. У Паскаля был знакомый — шевалье де Мере, азартный игрок и серьезно увлеченный наукой человек.

Собственно говоря, он предложил Паскалю две задачи. В первой предлагалось узнать, сколько раз требуется метать кости, чтобы выпало двенадцать очков (то есть максимальное количество). Здесь только одно сочетание является благоприятным, остальные — нет, и вероятность вычисляется просто. Вторая задача намного хитрее: как распределить выигрыш между игроками, если партия не окончена? Ферма в Тулузе и Паскаль в Париже решили обе эти задачи одновременно. Ферма использовал созданную им теорию сочетаний, а Паскаль — простые арифметические соображения.

Вот каким было его решение. Пусть два человека должны сыграть четыре партии, причем победителем считается тот, кто выиграл три. Допустим, что ставка для каждого составляет 32 червонца. Первый уже выиграл две партии, второй — одну. Осталась еще одна партия. Если победа достанется первому, он получит 64 червонца, если выиграет второй, то у каждого будет по две победы и деньги надо поделить поровну.
Если игроки согласились не играть последней партии, то первый скажет: «Я все равно получу 32 червонца, неважно, выиграю или проиграю предстоящую партию. Вы же получите остальные 32 червонца только в том случае, если выиграете. А можете и проиграть. Поэтому эту сомнительную сумму лучше разделить пополам». Таким образом, если игроки не будут играть последнюю партию, то первый получит 48 червонцев, а второй — 16. Отсюда видно, что шансы первого выиграть деньги в три раза выше, чем у второго.

И Паскаль, и Ферма, разбирая эти задачи, сумели создать расчеты, положившие начало новой науке.

Чуть позже к теории вероятностей обратился Христиан Гюйгенс (1629—1695). Он написал работу «О расчетах в азартной игре», которая до начала XVIII в. оставалась единственным руководством по теории вероятностей и оказала большое влияние на многих математиков.

# data[].attributes.headline
Историческая справка.

# data[].attributes.subject
Историческая справка.

# data[].attributes.body
Часть 2. Как возникла комбинаторика.
Термин "комбинаторика" был введён в математический обиход знаменитым Лейбницем. Готфрид Вильгельм Лейбниц(1.07.1646 - 14.11.1716) - всемирно известный немецкий учёный, занимался философией, математикой, физикой, организовал Берлинскую академию наук и стал её первым президентом. В математике он вместе с И. Ньютоном разделяет честь создателя дифференциального и интегрального исчислений.В 1666 году Лейбниц опубликовал "Рассуждения о комбинаторном искусстве". В своём сочинении Лейбниц, вводя специальные символы, термины для подмножеств и операций над ними находит все k -сочетания из n элементов выводит свойства сочетаний:,,- строит таблицы сочетаний до n = k = 12, после чего рассуждает о приложениях комбинаторики к логике, арифметике, к проблемам стихосложения и др.В течение всей своей жизни Лейбниц многократно возвращался к идеям комбинаторного искусства. Комбинаторику он понимал весьма широко, именно, как составляющую любого исследования, любого творческого акта, предполагающего сначала анализ (расчленение целого на части), а затем синтез (соединение частей в целое). Мечтой Лейбница, оставшейся, увы, неосуществлённой, оставалось построение общей комбинаторной теории. Комбинаторике Лейбниц предрекал блестящее будущее, широкое применение.В XVIII веке к решению комбинаторных задач обращались выдающиеся математики. Так, Леонард Эйлер рассматривал задачи о разбиении чисел, о паросочетаниях, о циклических расстановках, о построении магических и латинских квадратов.В 1713 году было опубликовано сочинение Я. Бернулли "Искусство предположений", в котором с достаточной полнотой были изложены известные к тому времени комбинаторные факты. "Искусство предположений" появилось после смерти автора и не было автором завершено. Сочинение состояло из 4 частей, комбинаторике была посвящена вторая часть, в которой содержатся формулы:-для числа перестановок из n элементов-для числа сочетаний (называемого Я. Бернулли классовым числом) без повторений и с повторениямими,-для числа размещений с повторениями и без повторений.Для вывода формул автор использовал наиболее простые и наглядные методы, сопровождая их многочисленными таблицами и примерами. Сочинение Я. Бернулли превзошло работы его предшественников и современников систематичностью, простотой методов, строгостью изложения и в течение XVIII века пользовалось известностью не только как серьёзного научного трактата, но и как учебно-справочного издания. В работах Я. Бернулли и Лейбница тщательно изучены свойства сочетаний, размещений, перестановок. Перечисленные комбинаторные объекты относятся к основным комбинаторным конфигурациям . В математике в XIX веке появился сначала термин "геометрическая конфигурация" в лекциях по проективной геометрии профессора университета в Страсбурге К.Т. Рейе (1882).В 1896 году американский математик Элиаким Гастингс Мур (1862-1932) ввёл термин тактическая конфигурация в статье "Tactical memoranda", понимая под этим термином систему n множеств, содержащих, соответственно, a1, a2, … , an элементов. Тактическую конфигурацию Мур задаёт квадратной матрицей порядка n, в которой элемент akk, стоящий на главной диагонали, равен числу ak (числу элементов в k-ом множестве); элемент aij (i j) равен числу элементов i-ого множества, инцидентных j -ому множеству. К тактическим конфигурациям Мур относит сочетания, размещения, системы решений задачи Киркмана о 15 школьницах, подгруппы некоторых групп. Он демонстрирует широкий спектр задач из геометрии, теории групп, которые приводят к тактическим разложениям или используют тактические разложения. Мур обогатил список известных комбинаторных конфигураций построением новых, обобщающих системы троек Штейнера, и системы троек Киркмана. Мур построил системы S[k, l, m], m k l ( m, k, l - натуральные числа), содержащие такие k -сочетания (блоки) из m элементов, что каждое l -сочетание входит точно в одно k -сочетание. Число k -сочетаний в системе S[k, l, m] равно . Мур в своей статье ссылается на Артура Кэли, который подчёркивал высокую значимость тактических задач в алгебре.Термин "тактика" ввёл в математику английский математик Джеймс Джозеф Сильвестр(1814-1897) в 1861 году. Сильвестр определял тактику как раздел математики, изучающий расположение элементов друг относительно друга. В сфере этого раздела находится, по мнению Сильвестра, теория групп, комбинаторный анализ и теория чисел. Мысли Сильвестра о тактике разделял его друг Артур Кэли.Комбинаторика, пройдя многовековой путь развития, обретя собственные методы исследования, с одной стороны, широко используется при решении задач алгебры, геометрии, анализа, с другой стороны, сама использует геометрические, аналитические и алгебраические методы исследования. В конце XVIII века учёные, принадлежащие комбинаторной школе Гинденбурга, попытались построить общую комбинаторную теорию, используя бесконечные ряды. Исследователи этой школы изучили большое количество преобразований рядов: умножение, деление, возведение в степень, извлечение корней, обращение рядов, разложение трансцендентных функций. Использование производящих функций в комбинаторике можно отнести к (уже) классическим традициям.В XX веке комбинаторика подверглась мощному процессу алгебраизации благодаря работам Дж.-К. Рота (1964), а затем Р. Стенли. Изучение ими частично упорядоченных множеств, свойств функции Мёбиуса, абстрактных свойств линейной зависимости, выявление их роли при решении комбинаторных задач способствовали обогащению комбинаторных методов исследования и дальнейшей интеграции комбинаторики в современную математику.

# data[].attributes.headline
Историческая справка

# data[].attributes.subject
Историческая справка

# data[].attributes.body
Часть 3. Как возникла математическая статистика.
1.История  развития математической статистики.

Математическая статистика как наука начинается с работ  знаменитого немецкого математика Карла Фридриха Гаусса (1777-1855), который  на основе теории вероятностей исследовал и обосновал метод наименьших квадратов, созданный им в 1795 г. и  примененный для обработки астрономических  данных (с целью уточнения орбиты малой планеты Церера). Его именем часто называют одно из наиболее популярных распределений вероятностей – нормальное, а в теории случайных процессов  основной объект изучения – гауссовские процессы. В конце XIX в. – начале ХХ в. крупный вклад в математическую статистику внесли английские исследователи, прежде всего К.Пирсон (1857-1936) и Р.А.Фишер (1890-1962). В частности, Пирсон разработал критерий «хи-квадрат» проверки статистических гипотез, а Фишер – дисперсионный анализ, теорию планирования эксперимента, метод максимального правдоподобия оценки параметров. В 30-е годы ХХ в. поляк Ежи Нейман (1894-1977) и англичанин Э.Пирсон развили общую теорию проверки статистических гипотез, а советские математики академик А.Н. Колмогоров (1903-1987) и член-корреспондент АН СССР Н.В.Смирнов (1900-1966) заложили основы непараметрической статистики. В сороковые годы ХХ в. румын А. Вальд (1902-1950) построил теорию последовательного статистического анализа.

Математическая статистика бурно развивается и в настоящее  время. Так, за последние 40 лет можно  выделить четыре принципиально новых  направления исследований:

разработка и внедрение  математических методов планирования экспериментов;

развитие статистики объектов нечисловой природы как самостоятельного направления в прикладной математической статистике;

развитие статистических методов, устойчивых по отношению к  малым отклонениям от используемой вероятностной модели;

широкое развертывание работ  по созданию компьютерных пакетов программ, предназначенных для проведения статистического анализа данных.Вероятностно-статистические методы и оптимизация. Идея оптимизации  пронизывает современную прикладную математическую статистику и иные статистические методы. А именно, методы планирования экспериментов, статистического приемочного  контроля, статистического регулирования  технологических процессов и  др. С другой стороны, оптимизационные  постановки в теории принятия решений, например, прикладная теория оптимизации  качества продукции и требований стандартов, предусматривают широкое  использование вероятностно-статистических методов, прежде всего прикладной математической статистики. В производственном менеджменте, в частности, при оптимизации  качества продукции и требований стандартов особенно важно применять  статистические методы на начальном  этапе жизненного цикла продукции, т.е. на этапе научно-исследовательской  подготовки опытно-конструкторских разработок (разработка перспективных требований к продукции, аванпроекта, технического задания на опытно-конструкторскую разработку). Это объясняется ограниченностью информации, доступной на начальном этапе жизненного цикла продукции, и необходимостью прогнозирования технических возможностей и экономической ситуации на будущее. Статистические методы должны применяться на всех этапах решения задачи оптимизации – при шкалировании переменных, разработке математических моделей функционирования изделий и систем, проведении технических и экономических экспериментов и т.д. Решение задач оптимизации, в том числе оптимизации качества продукции и требований стандартов, использует все области статистики. А именно, статистику случайных величин, многомерный статистический анализ, статистику случайных процессов и временных рядов, статистику объектов нечисловой природы.

2.Историческая  справка

Первые начала М. с. можно  найти уже в сочинениях создателей теории вероятностей — Я. Бернулли (конец 17 — начало 18 веков), П. Лапласа (2-я половина 18 — начало 19 веков) и С. Пуассона (1-я половина 19 века). В России методы М. с. в применении к демографии и страховому делу развивал на основе теории вероятностей В. Я. Буняковский (1846). Решающее значение для всего дальнейшего развития М. с. имели работы русской классической школы теории вероятностей 2-й половины 19 — начала 20 веков (П. Л. Чебышев, А. А. Марков, А. М. Ляпунов, С. Н. Бернштейн). Многие вопросы теории статистических оценок были по существу разработаны на основе теории ошибок и метода наименьших квадратов [К. Гаусс (1-я половина 19 века) и А. А. Марков (конец 19 — начало 20 веков)]. Работы А. Кетле (19 век, Бельгия), Ф. Гальтона (19 век, Великобритания) и К. Пирсона (конец 19 — начало 20 веков, Великобритания) имели большое значение, но по уровню использования достижений теории вероятностей отставали от работ русской школы. К. Пирсоном была широко развёрнута работа по составлению таблиц функций, необходимых для применения методов М. с. В создании теории малых выборок, общей теории статистических оценок и проверки гипотез (освобожденной от предположений о наличии априорных распределений), последовательного анализа весьма значительна роль представителей англо-американской школы [Стьюдент (псевдоним У. Госсета), Р. Фишер, Э. Пирсон — Великобритания, Ю. Нейман, А. Вальд — США], деятельность которых началась в 20-х годах 20 века. В СССР значительные результаты в области М. с. получены В. И. Романовским, Е. Е. Слуцким, которому принадлежат важные работы по статистике связанных стационарных рядов, Н. В. Смирновым, заложившим основы теории непараметрических методов М. с., Ю. В. Линником, обогатившим аналитический аппарат М. с. новыми методами. На основе М. с. особенно интенсивно разрабатываются статистические методы исследования и контроля массового производства, статистические методы в области физики, гидрологии, климатологии, звёздной астрономии, биологии, медицины и другие.

# data[].attributes.headline
Интеллект - карта

# data[].attributes.subject
Интеллект - карта

# data[].attributes.headline
Лекция. Основы теории вероятностей.

# data[].attributes.subject
Лекция. Основы теории вероятностей.

# data[].attributes.body
https://dzen.ru/video/watch/6231de1ad5a7345c08fb85a8?f=d2d

# data[].attributes.headline
Лекция. Азы комбинаторики.

# data[].attributes.subject
Лекция. Азы комбинаторики.

# data[].attributes.body
https://www.youtube.com/watch?v=XMeimVelbqU&t=74s

# data[].attributes.attachment_link.title
7 1 Азы комбинаторики

# data[].attributes.headline
Решение задач.

# data[].attributes.subject
Решение задач.

# data[].attributes.body
Часть 1. Комбинаторика.

1. Сколькими способами можно расположить на шахматной доске 8 ладей так, чтобы они не могли бить друг друга?

Ответ: 4032

1. Сколькими способами 5 мальчиков и 2 девочки могут выстроиться в линейку так, чтобы 2 девочки не стояли друг за другом?

Ответ: 3600

1. Из вазы с фруктами, в которой лежит 9 яблок и 6 груш, надо выбрать 3 яблока и 2 груши. Сколькими способами можно сделать такой выбор?

Ответ: 1260

1. Издательство приступило к изданию словарей иностранных языков. Сколько словарей надо издать, чтобы можно было непосредственно выполнять переводы с любого из 5 языков: русского, английского, французского, немецкого и итальянского на любой другой из этих пяти языков?

Ответ: 20

1. В розыгрыше первенства по футболу принимают участие 18 команд. Сколькими способами могут быть распределены золотая, серебряная и бронзовая медали, если любая команда может получить только одну медаль?

Ответ: 4896

1. В цветочный магазин привезли 15 роз и 9 гвоздик. Сколькими способами можно выбрать букет из 5 цветов, чтобы среди этих цветов было 3 розы?

Ответ: 16380

1. Из города А в город В ведут две дороги, из города В в город С — три дороги, из города С до пристани — две дороги. Туристы хотят проехать из города А через города В и С к пристани. Сколькими способами они могут выбрать маршрут?

Ответ: 12

# data[].attributes.headline
Часть 2. Тео

# data[].attributes.body
Часть 2. Теория вероятностей.

1. Французский естествоиспытатель Бюффон (XVIII) бросил монету 4040 раз, и при этом герб выпал в 2048 случаях. Найдите частоту выпадения герба в данной серии испытаний. Результат округлите до
десятитысячных.

Ответ: 0, 5069

1. На семинар приехали 4 ученых из Норвегии, 6 из России и 6 из Великобритании. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что вторым окажется доклад ученого из
Норвегии.

Ответ: 0, 25

1. На рок-фестивале выступают группы по одной от каждой из заявленных стран: Дания, Швеция, Норвегия. Порядок выступления определяется жребием. Какова вероятность того, что группа из
Дании будет выступать после группы из Швеции и Норвегии? Результат округлите до сотых.

Ответ: 0, 33

1. В классе 16 учащийся, среди них два друга — Вадим и Олег. Класс случайным образом разбивают на 4 равные группы. Найдите вероятность того, что Вадим и Олег окажутся в одной группе.

Ответ: 0, 2

1. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что наступит исход ОР (в первый раз выпадает орёл, во второй — решка).

Ответ: 0, 25

1. Родительский комитет закупил 40 пазлов для подарков детям на окончание учебного года, из них 14 с видами природы и 26 с историческими
достопримечательностями. распределяются случайным образом. Найдите вероятность того, что
Пете достанется пазл с видом природы.

Ответ: 0, 35

1. Даша дважды бросает игральный кубик. В сумме у нее выпало 8 очков. Найдите вероятность того, что при одном из бросков выпало 2 очка.

Ответ: 0, 4

1. На экзамене по геометрии школьнику достаётся один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему «Тригонометрия», равна 0,1. Вероятность того, что
это вопрос на тему «Вписанная окружность», равна 0,3. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по
одной из этих двух тем.

Ответ: 0, 4

1. В торговом центре два одинаковых автомата продают жвачку. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится жвачка, равна 0,25. Вероятность того, что жвачка закончится в обоих автоматах, равна 0,2. Найдите вероятность того, что к концу дня жвачка останется в обоих автоматах.

Ответ: 0, 3

1. Вероятность того, что Артем получит пятерку по математике за ответ у доски равна 0,97. Вероятность того, что Артем получит пятерку по русскому языку за ответ у доски равна 0,9. Вероятность получить пятерку по обоим предметам оказалась равной 0,89.
Какова вероятность того, что Артем за ответы у доски по математике и русскому языку не получит ни одной пятерки?

Ответ: 0, 02

# data[].attributes.headline
Часть 3. Мат

# data[].attributes.body
Часть 3. Математическая статистика.

1. Измерив рост всех студентов в группе, получили следующие данные: 1,64 м, 1,86 м, 1,72 м, 1,95 м, 1,76 м, 1,65 м, 1,79 м, 1,82 м, 1,92 м. Найти средний рост студентов в группе.

Ответ: 1, 79

1. На экзамене по предмету «математика» студентами были получены следующие баллы: 46, 49, 55, 63, 74, 76, 84, 87, 92, 94 Найти средний балл за экзамен по математике группы студентов.

Ответ: 72

1. Проведено обследование части школьных буфетов в городе. Укажите вид наблюдения по степени охвата единиц и способу проведения.

Ответ: экспедиционный способ, т.е. в каждый проверяемый буфет посылался специальный человек, который и фиксировал необходимую информацию.

# data[].attributes.attachment_link.description
Элементы теории вероятностей, комбинаторики и математической статистики