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Es decir, una fórmula general es una expresión que puede aplicarse para calcular el valor de una variable a partir de determinados datos.Usualmente, con fórmula general se hace referencia a aquella que permite resolver ecuaciones cuadráticas, es decir, ecuaciones de segundo grado. Estas son aquellas donde el máximo exponente al que está elevada la incógnita es 2 y que tiene la siguiente forma:ax2+bx+c=0. Tomando como referencia esta estructura, la fórmula general para resolver la ecuación es la siguiente

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Es decir, una fórmula general es una expresión que puede aplicarse para calcular el valor de una variable a partir de determinados datos.Usualmente, con fórmula general se hace referencia a aquella que permite resolver ecuaciones cuadráticas, es decir, ecuaciones de segundo grado. Estas son aquellas donde el máximo exponente al que está elevada la incógnita es 2 y que tiene la siguiente forma:ax2+bx+c=0. Tomando como referencia esta estructura, la fórmula general para resolver la ecuación es la siguiente

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Como podemos observar, este tipo de ecuaciones tiene dos raíces o dos posibles soluciones, cada una de las cuales se puede calcular a partir de la misma fórmula, solo que cambiando un signo de suma por el de resta o viceversa en el numerador, entre -b y la raíz cuadrada de b2-4ac.

Ejemplo de fórmula general:

Veamos mejor, con un ejemplo, la aplicación de la fórmula general de ecuaciones cuadráticas.

Si tenemos:

6x2-19x+7=0

Tomando como referencia la fórmula mostrada previamente, a=6, b=-19 y c=7.

Entonces, resolveremos de la siguiente manera:

https://economipedia.com/wp-content/uploads/image-702.png

Fórmula general en geometría

El concepto de fórmula general también puede ser aplicado en geometría, por ejemplo, para aquellas ecuaciones que permiten hallar valores específicos, como el perímetro o el área de una figura geométrica.

Por ejemplo, el perímetro (P) de un cuadrado se halla multiplicando el lado (L) por 4, es decir, P=4L. Asimismo, el área(A) de un cuadrado es igual al lado elevado al cuadrado, es decir, la fórmula general del área de esta figura geométrica es A=L2. Esto se cumple para todos los cuadrados, que son paralelogramos con cuatro lados de igual longitud y paralelos entre sí.

De igual modo, la fórmula general del área de un triángulo es A=1/2*b*h. Es decir, el área es igual a 1/2 por la base y por la altura de la figura.

Este tipo de fórmulas nos permiten hallar ciertas medidas o datos de la figura, y también las encontramos en el caso de las figuras tridimensionales. Por ejemplo, el volumen (V) de un cubo es igual a la arista (a) al cubo. Es decir, V=a3.

Debemos recordar en este punto que la arista es aquel segmento que une dos caras de la figura y que el cubo es un poliedro regular con seis caras todas iguales, cada una de las cuales es un cuadrado.

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1. Zara Giménez
2. Andaluz Natali
3. Cristina Moya
4. Pamela Freire
5. Jadira Freire
6. Sheyla Sánchez

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Primero que nada definamos una intersección una intersección es un punto, línea recta, curva, superficie o volumen, que es común a dos o más elementos (como líneas rectas, curvas, planos, superficies o volúmenes). El caso más simple en geometría euclidiana es la intersección de dos rectas distintas, que o bien es un punto o no existe si las líneas son paralelas. La determinación de la intersección de planos o rectas definidos en un espacio dimensional superior, es una tarea simple de álgebra lineal, es decir, la solución de un sistema de ecuaciones lineales. Pero en general, la determinación de una intersección conduce a sistemas no lineales, que pueden ser solucionados por análisis numérico, por ejemplo, utilizando el método de Newton. Los problemas de intersección entre una línea y una sección cónica (círculo, elipse, parábola, etc.) o una cuádrica (esfera, cilindro, hiperboloide, etc.) conducen a ecuaciones de segundo grado que se pueden resolver fácilmente. Las intersecciones entre cuádricas (superficies de cuarto grado) llevan a ecuaciones cuarticas, que se pueden resolver algebraicamente. Una parábola es una curva formada por un conjunto de puntos que son equidistantes desde una línea y un punto dado. La parábola puede ser escrita como y = ax^2 + bx + c, donde "a" no es igual a 0. Dos parábolas se pueden intersesar en dos puntos, un punto, o en ningún punto. La intersección de dos rectas es el punto donde éstas se cortan. Se calcula igualando sus ecuaciones. Al resolver la ecuación resultante, se obtienen las coordenadas del punto de corte.
Ejemplo:
Escribe una ecuación con la fórmula para cada parábola en un lado, y con signos iguales entre ellas. Por ejemplo, aquí hay dos parábolas: y = 3x^2 + .5x + 10 y y = x^2 + 1.5x – 5
Entonces se escribe
3x^2 + .5x + 10 = x^2 + 1.5x - 5
Sustrae la ecuación del lado derecho de la que está en el lado izquierdo. En el ejemplo:
3x^2 + .5x + 10 - x^2 + 1.5x - 5 = 2x^2 - x + 5.
porque 3x^2 - x^2 = 2x^2, .5x 0 1.5x = -x and 10 - 5 = 5.
Establece el resultado igual a 0.
En el ejemplo, 2x^2 - x + 5 = 0.
Resuelve la ecuación utilizando una ecuación cuadrática:
x = (-b +/- (b^2-4ac)^.5)/2a.
aquí a = 2, b = -1 y c = 5, lo que nos da
-2 +/- (1-4_2_5)^.5/4 = (-2 +/- -19^.5)/4 y aquí no hay puntos de intersección, dado que -19^.5 no existe en un plano real.

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Primero que nada definamos una intersección una intersección es un punto, línea recta, curva, superficie o volumen, que es común a dos o más elementos (como líneas rectas, curvas, planos, superficies o volúmenes). El caso más simple en geometría euclidiana es la intersección de dos rectas distintas, que o bien es un punto o no existe si las líneas son paralelas. La determinación de la intersección de planos o rectas definidos en un espacio dimensional superior, es una tarea simple de álgebra lineal, es decir, la solución de un sistema de ecuaciones lineales. Pero en general, la determinación de una intersección conduce a sistemas no lineales, que pueden ser solucionados por análisis numérico, por ejemplo, utilizando el método de Newton. Los problemas de intersección entre una línea y una sección cónica (círculo, elipse, parábola, etc.) o una cuádrica (esfera, cilindro, hiperboloide, etc.) conducen a ecuaciones de segundo grado que se pueden resolver fácilmente. Las intersecciones entre cuádricas (superficies de cuarto grado) llevan a ecuaciones cuarticas, que se pueden resolver algebraicamente. Una parábola es una curva formada por un conjunto de puntos que son equidistantes desde una línea y un punto dado. La parábola puede ser escrita como y = ax^2 + bx + c, donde "a" no es igual a 0. Dos parábolas se pueden intersesar en dos puntos, un punto, o en ningún punto. La intersección de dos rectas es el punto donde éstas se cortan. Se calcula igualando sus ecuaciones. Al resolver la ecuación resultante, se obtienen las coordenadas del punto de corte.
Ejemplo:
Escribe una ecuación con la fórmula para cada parábola en un lado, y con signos iguales entre ellas. Por ejemplo, aquí hay dos parábolas: y = 3x^2 + .5x + 10 y y = x^2 + 1.5x – 5
Entonces se escribe
3x^2 + .5x + 10 = x^2 + 1.5x - 5
Sustrae la ecuación del lado derecho de la que está en el lado izquierdo. En el ejemplo:
3x^2 + .5x + 10 - x^2 + 1.5x - 5 = 2x^2 - x + 5.
porque 3x^2 - x^2 = 2x^2, .5x 0 1.5x = -x and 10 - 5 = 5.
Establece el resultado igual a 0.
En el ejemplo, 2x^2 - x + 5 = 0.
Resuelve la ecuación utilizando una ecuación cuadrática:
x = (-b +/- (b^2-4ac)^.5)/2a.
aquí a = 2, b = -1 y c = 5, lo que nos da
-2 +/- (1-4_2_5)^.5/4 = (-2 +/- -19^.5)/4 y aquí no hay puntos de intersección, dado que -19^.5 no existe en un plano real.

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FUNCIONES Lineales Las funciones lineales responden a la ecuación y = mx + n, y se representan mediante rectas.    En la ecuación y = mx + n, el parámetro m se llama pendiente de la recta, y tiene que ver con su inclinación respecto al eje X.el parámetro n se llama ordenada en el origen, es decir, la recta siempre pasa por el punto de coordenadas (0,n).Para conocer la ecuación (y = mx + n) de una recta, basta con conocer los parámetros m y n.La pendiente de una recta es la variación de la y (aumento o disminución) cuando la x aumenta una unidad.Para hallar la pendiente de una recta mediante su representación gráfica, se señalan dos de sus puntos y se mide la variación de la x y la variación de la y al pasar de un punto al otro. Las posibles posiciones relativas de una parábola y una recta son:1.- La recta es tangente a la parábola. En este caso su intersección es un punto.2.- La recta es secante. En este caso su intersección son dos puntos.3.- La recta sólo corta en un solo punto si la recta es paralela al eje de simetría de la parábola.4.- La recta no corta a la parábola, es decir, es exterior a la parábola. En este caso no hay ningún punto común a ambas.Para determinar las coordenadas de los puntos de intersección de la parábola y la recta resolvemos el sistema no lineal formado por las ecuaciones de ambas.

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FUNCIONES Lineales Las funciones lineales responden a la ecuación y = mx + n, y se representan mediante rectas.    En la ecuación y = mx + n, el parámetro m se llama pendiente de la recta, y tiene que ver con su inclinación respecto al eje X.el parámetro n se llama ordenada en el origen, es decir, la recta siempre pasa por el punto de coordenadas (0,n).Para conocer la ecuación (y = mx + n) de una recta, basta con conocer los parámetros m y n.La pendiente de una recta es la variación de la y (aumento o disminución) cuando la x aumenta una unidad.Para hallar la pendiente de una recta mediante su representación gráfica, se señalan dos de sus puntos y se mide la variación de la x y la variación de la y al pasar de un punto al otro. Las posibles posiciones relativas de una parábola y una recta son:1.- La recta es tangente a la parábola. En este caso su intersección es un punto.2.- La recta es secante. En este caso su intersección son dos puntos.3.- La recta sólo corta en un solo punto si la recta es paralela al eje de simetría de la parábola.4.- La recta no corta a la parábola, es decir, es exterior a la parábola. En este caso no hay ningún punto común a ambas.Para determinar las coordenadas de los puntos de intersección de la parábola y la recta resolvemos el sistema no lineal formado por las ecuaciones de ambas.

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En análisis real y complejo, el concepto de límite es la clave de toque que formaliza la noción intuitiva de aproximación hacia un punto concreto de una sucesión o una función, a medida que los parámetros de esa sucesión o función se acercan a un determinado valor. En el análisis los conceptos de series convergentes, derivada e integral definida se fundamentan mediante el concepto de límite.
En cálculo (especialmente en análisis real y matemático) este concepto se utiliza para definir los conceptos fundamentales de convergencia, continuidad, derivación, integración, entre otros. Si bien, el concepto de límite parece intuitivamente relacionado con el concepto de distancia, en un espacio euclídeo, es la clase de conjuntos abiertos inducidos por dicha métrica, lo que permite definir rigurosamente la noción de límite.
El concepto se puede generalizar a otros espacios topológicos, como pueden ser las redes topológicas; de la misma manera, es definido y utilizado en otras ramas de la matemática, como puede ser la teoría de categorías.
Para fórmulas, el límite se utiliza usualmente de forma abreviada mediante lim como en lim(an) = a o se representa mediante la flecha (→) como en an → a. La definición de límite matemático para el caso de una sucesión nos indica intuitivamente que los términos de la sucesión se aproximan arbitrariamente a un único número o punto  , si existe, para valores grandes de  . Esta definición es muy parecida a la definición del cuando tiende a
Formalmente, se dice que la sucesión   tiende hasta su límite  , o que converge o es convergente (a  ), y se denota como:

si y solo si para todo valor real ε>0 se puede encontrar un número natural   tal que todos los términos de la sucesión, a partir de un cierto valor natural   mayor que  , se acerquen a   cuando   crezca ilimitadamente. Escrito en un lenguaje formal, y de manera compacta:

Este límite, si existe, se puede demostrar que es único. Si los términos de la sucesión no convergen a ningún punto específico, entonces se dice que la sucesión es divergente.

Sin embargo, el infinito del denominador tiene un orden superior. Por lo tanto, podemos concluir que  .

No obstante, demostrar que el límite es 0 sin utilizar L'Hopital o criterio del "orden" es complicado. Para hacerlo, denotemos:

Para encontrar el límite, debemos buscar dos funciones   y   tales que   y

Si encontramos estas funciones, entonces podemos concluir que  .

En primer lugar, observemos que cuando  , entonces   (y esto se cumple cuando   es grande). Asimismo, tenemos que   para  . Por lo tanto, tenemos que:

cuando   "es suficientemente grande". Así, tenemos que   donde es claro que  .

Para encontrar la segunda función, primero notemos que   es una función creciente, por lo tanto, debido a que  , entonces  . Así, tenemos que

ahora, si tomamos  , entonces podemos escribir

Una propiedad muy importante sobre la función exponencial es

para cualquier   y  . Si tomamos  , entonces tenemos

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Para encontrar la solución de una ecuación cuadrática ax2 + bx + c = 0 utilizamos la fórmula cuadrática, la cual tiene la siguiente forma:x = [ -b ± √ (b2 – 4ac) ] / 2aSustituyendo los valores de los coeficientes a, b y c en ella, podemos obtener fácilmente los valores de x, recordando que «±» expresa que la ecuación tiene ¡DOS SOLUCIONES! La parte “b2 – 4ac” se le denomina discriminante y:si es positivo, hay DOS soluciones.si es cero sólo hay UNA solución.si es negativo hay dos soluciones que incluyen números imaginarios.Tabla de contenidos	Ejemplos:1. x² – 2x – 3 = 02. x2 – 12x + 36 = 0.3. x2 – 6x + 25 = 0.Ejemplos:1. x² – 2x – 3 = 0Los coeficientes son: a = 1; b = – 2 y c = – 3. Comprobamos el valor del discriminante:b2 – 4ac = (- 2)2 – 4(1)(- 3) = 4 + 12 = 16Como 16 > 0, existirán dos raíces distintas: Ahora, sustituyendo en la fórmula cuadrática tenemos:x= [ – b ± √( b2 – 4ac) ] / 2a     →         = {2 ± √16} / 2 = {2 ± 4} / 2Por lo tanto la dos raíces son:x1 = {2 + 4 } / 2     ;    x2 = {2 – 4} / 2x1 = 3     ;    x2  = – 12. x2 – 12x + 36 = 0.Los coeficientes son: a = 1; b = – 12 y c = 36. Comprobamos el valor del discriminante:b2 – 4ac = (-12)2– 4(1)(36) =  144 – 144 = 0Como el discriminante es igual a cero, existirán dos raíces del mismo valor: Ahora, sustituyendo en la fórmula cuadrática tenemos:x = (12 ± √0) / 2 = 12 / 2 = 6x1 = x2 = 63. x2 – 6x + 25 = 0.Los coeficientes son: a = 1; b = – 6 y c = 25. Comprobamos el valor del discriminante:b2 – 4ac = (-6)2 – 4(1)(25) =  36 – 100 = – 64Como 64 < 0, existirán dos raíces imaginarias:Ahora, sustituyendo en la fórmula cuadrática tenemos:x = [ 6 ± √ – 64 ] / 2Recordando que i = √ -1, tenemos:x = [ 6 ± ( √ 64 · √ -1)  ] / 2 = ( 6 ± 8i) / 2x1 = ( 6 + 8i) / 2 =  3 + 4i x2 = ( 6 – 8i) / 2 = 3 – 4iEjemplos Consideremos la siguiente ecuación de segundo grado   cuyas soluciones o raíces son x_1 y x_2. Entonces se cumplen las siguientes propiedades:1_Suma de las solucionesLa suma S de las soluciones de la ecuación de segundo grado es    2_Producto de las solucionesEl producto P de las soluciones de una ecuación de segundo grado es    3_Ecuación de 2do grado a partir de sus solucionesSi conocemos las raíces de una ecuación, podemos escribir ésta como:    donde    Ejemplo:Escribir una ecuación de segundo grado cuyas soluciones son:   Tenemos que :    Entonces   

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Para encontrar la solución de una ecuación cuadrática ax2 + bx + c = 0 utilizamos la fórmula cuadrática, la cual tiene la siguiente forma:x = [ -b ± √ (b2 – 4ac) ] / 2aSustituyendo los valores de los coeficientes a, b y c en ella, podemos obtener fácilmente los valores de x, recordando que «±» expresa que la ecuación tiene ¡DOS SOLUCIONES! La parte “b2 – 4ac” se le denomina discriminante y:si es positivo, hay DOS soluciones.si es cero sólo hay UNA solución.si es negativo hay dos soluciones que incluyen números imaginarios.Tabla de contenidos	Ejemplos:1. x² – 2x – 3 = 02. x2 – 12x + 36 = 0.3. x2 – 6x + 25 = 0.Ejemplos:1. x² – 2x – 3 = 0Los coeficientes son: a = 1; b = – 2 y c = – 3. Comprobamos el valor del discriminante:b2 – 4ac = (- 2)2 – 4(1)(- 3) = 4 + 12 = 16Como 16 > 0, existirán dos raíces distintas: Ahora, sustituyendo en la fórmula cuadrática tenemos:x= [ – b ± √( b2 – 4ac) ] / 2a     →         = {2 ± √16} / 2 = {2 ± 4} / 2Por lo tanto la dos raíces son:x1 = {2 + 4 } / 2     ;    x2 = {2 – 4} / 2x1 = 3     ;    x2  = – 12. x2 – 12x + 36 = 0.Los coeficientes son: a = 1; b = – 12 y c = 36. Comprobamos el valor del discriminante:b2 – 4ac = (-12)2– 4(1)(36) =  144 – 144 = 0Como el discriminante es igual a cero, existirán dos raíces del mismo valor: Ahora, sustituyendo en la fórmula cuadrática tenemos:x = (12 ± √0) / 2 = 12 / 2 = 6x1 = x2 = 63. x2 – 6x + 25 = 0.Los coeficientes son: a = 1; b = – 6 y c = 25. Comprobamos el valor del discriminante:b2 – 4ac = (-6)2 – 4(1)(25) =  36 – 100 = – 64Como 64 < 0, existirán dos raíces imaginarias:Ahora, sustituyendo en la fórmula cuadrática tenemos:x = [ 6 ± √ – 64 ] / 2Recordando que i = √ -1, tenemos:x = [ 6 ± ( √ 64 · √ -1)  ] / 2 = ( 6 ± 8i) / 2x1 = ( 6 + 8i) / 2 =  3 + 4i x2 = ( 6 – 8i) / 2 = 3 – 4iEjemplos Consideremos la siguiente ecuación de segundo grado   cuyas soluciones o raíces son x_1 y x_2. Entonces se cumplen las siguientes propiedades:1_Suma de las solucionesLa suma S de las soluciones de la ecuación de segundo grado es    2_Producto de las solucionesEl producto P de las soluciones de una ecuación de segundo grado es    3_Ecuación de 2do grado a partir de sus solucionesSi conocemos las raíces de una ecuación, podemos escribir ésta como:    donde    Ejemplo:Escribir una ecuación de segundo grado cuyas soluciones son:   Tenemos que :    Entonces   

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Un polinomio cuadrático con dos raíces reales (cruces del eje x), y por lo tanto, sin raíces complejas. Algunos otros polinomios cuadráticos tienen su mínimo por encima del eje x, en cuyo caso no posee raíces reales pero sí tiene dos raíces complejas
En álgebra, una función cuadrática, un polinomio cuadrático, o un polinomio de grado 2, es una función polinómica con una o más variables en la que el término de grado más alto es de segundo grado.
En este caso la variable única es x. La gráfica de una función cuadrática univariada es una parábola cuyo eje de simetría es paralelo al eje y, como se muestra a la derecha.
Si la función cuadrática se establece igual a cero, entonces el resultado es una ecuación cuadrática. Las soluciones a la ecuación univariable se denominan raíces de la función univariable.
El caso bivariable en términos de las variables x e y tiene la forma

con al menos uno de los coeficientes a, b o c no iguales a cero. Una ecuación que establece esta función igual a cero da lugar a una sección cónica (una circunferencia u otra elipse, una parábola o una hipérbola).
Una función cuadrática en tres variables x, y, y z contiene exclusivamente los términos x2, y2, z2, xy, xz, yz, x, y, z, y una constante:

con al menos uno de los coeficientes a, b, c, d, e o f de los términos de segundo grado que no son cero.
En general, puede haber un número arbitrariamente grande de variables, en cuyo caso la superficie resultante se llama cuadrática, pero el término de grado más alto debe ser de grado 2, como x2, xy, yz, etc.
los componentes de una función cuadrática[editar]
Coeficientes[editar]
Los coeficientes de un polinomio son a menudo se consideran números reales o complejos, pero de hecho, un polinomio se puede definir sobre cualquier anillo.
Grado[editar]
Cuando se usa el término "polinomio cuadrático", a veces se hace referencia a "tener un grado de exactamente 2", y otras veces, a "tener un grado como máximo de 2". Si el grado es inferior a 2, se puede hablar de un "caso degenerado". Por lo general, el contexto permite establecer cuál de los dos significados se utiliza.
A veces, la palabra "orden" se usa con el significado de "grado", por ejemplo, un polinomio de segundo orden.
Variables[editar]
Un polinomio cuadrático puede involucrar una sola variable x (el caso univariable), o múltiples variables como x, y y z (el caso multivariable).
El caso de una variable[editar]
Cualquier polinomio cuadrático de variable única puede escribirse como

donde x es la variable, y a, b y c representan los coeficientes. En álgebra elemental, tales polinomios a menudo surgen en forma de una ecuación cuadrática  . Las soluciones a esta ecuación se llaman las raíces del polinomio cuadrático, y se pueden encontrar a través de la factorización, completando el cuadrado, graficando, utilizando el método de Newton, o mediante el uso de la fórmula cuadrática. Cada polinomio cuadrático tiene una función cuadrática asociada, cuyo gráfico es una parábola.
Caso de dos variables[editar]
Cualquier polinomio cuadrático con dos variables puede escribirse como

donde x e y son las variables y a, b, c, d, e y f son los coeficientes. Tales polinomios son fundamentales para el estudio de las secciones cónicas, que se caracterizan por igualar la expresión para f ( x, y ) a cero. Del mismo modo, polinomios cuadráticos con tres o más variables corresponden a superficies cuádricas y a hipersuperficies. En álgebra lineal, los polinomios cuadráticos se pueden generalizar a la noción de una forma cuadrática en un espacio vectorial.
Formas de una función cuadrática de una variable[editar]
Una función cuadrática de una variable se puede expresar en tres formas:2
•   se llama la forma estándar.
•   se llama la forma factorizada, donde r1 y r2 son las raíces de la función cuadrática y las soluciones de la ecuación cuadrática correspondiente.
•   se llama la forma del vértice, donde h y k son las coordenadas x e y del vértice, respectivamente.
El coeficiente a es el mismo valor en las tres formas. Para convertir la forma estándar en la forma factorizada, solo se necesita la fórmula cuadrática para determinar las dos raíces r1 y r2. Para convertir la forma estándar en la forma de vértice, se necesita un proceso denominado completar el cuadrado. Para convertir la forma factorizada (o la forma de vértice) en la forma estándar, basta con operar los factores de cada una de ellas.
Raíz cuadrada de una función cuadrática de una variable[editar]
La raíz cuadrada de una función cuadrática de una variable da lugar a una de las cuatro secciones cónicas, casi siempre a una elipse o a una hipérbola.
Si   entonces la ecuación   describe una hipérbola, como se puede ver al elevar al cuadrado ambos lados. Las direcciones de los ejes de la hipérbola están determinadas por la ordenada del punto mínimo de la parábola correspondiente . Si la ordenada es negativa, entonces el eje mayor de la hipérbola (a través de sus vértices) es horizontal, mientras que si la ordenada es positiva, entonces el eje mayor de la hipérbola es vertical.
Si   entonces la ecuación   describe un círculo u otra elipse o nada en absoluto. Si la ordenada del punto máximo de la parábola correspondiente   es positivo, entonces su raíz cuadrada describe una elipse, pero si la ordenada es negativa, entonces describe un lugar geométrico de puntos vacío.