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La función lineal es en sí misma una función polinómica, una relación que le asigna un valor único a cada instancia de la variable y que se compone de un polinomio, una suma o resta de una cantidad finita de términos. Un ejemplo de función polinómica es f(x) = ax + b, donde ax y b son los términos del polinomio.

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En esta etapa en donde ya has adquirido y empleado algunas funciones se pretende que las utilices para llegar a las de función lineal y que las vincules a su representación gráfica.

Las actividades te encaminan a la asociación de puntos con sus coordenadas y de rectas con su expresión analítica, es decir, a que distingas las rectas por sus respectivas pendientes y con su posición relativa respecto de los ejes coordenados cartesianos..

En el desarrollo de esta propuesta, también podrás construir conocimientos sobre los Sistemas de Ecuaciones con dos Incógnitas, y observar los distintos tipos que existen según sean sus soluciones. Comprobarás empleando un programa de edición especial cómo influyen los dos parámetros que empleamos para la representación gráfica.

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Fundamentación:

Las funciones pueden utilizarse para modelizar problemas del mundo real. En muchas ocasiones es de gran interés no sólo representar la situación sino el conocimiento de lo que ocurrirá en las mismas, cuando las variables involucradas evolucionen. Por ejemplo, un fabricante desea conocer la relación entre la ganancia de su compañía y su nivel de producción, el aumento de la producción de naranjas, en relación a la cantidad de plantas cultivadas por m2, el crecimiento del número de bacterias de un cultivo con el paso del tiempo, etc.

A partir de conjeturas y ciertas suposiciones iniciales  es posible arribar a un modelo, que nos permita aplicar reglas y procedimientos matemáticos, en donde las funciones adquieran un rol importante. En general muchos fenómenos y situaciones de la vida diaria se comportan de forma que las funciones que los representan verifican que los cambios en la variable dependiente (y) son proporcionales a los que se aplican a la variable independiente (x), es el caso de las funciones lineales.

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Esquema de Secuencia y Fundamentos Didácticos

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Esquema de Secuencia y Fundamentos Didácticos

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Esquema de Secuencia y Fundamentos Didácticos

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Esquema de Secuencia y Fundamentos Didácticos

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Con sus respectivas soluciones.

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Las funciones lineales son aquellas funciones que tienen la forma y = mx + b ; que también se pueden escribir de la forma f(x) = mx + b. Veamos algunas características importantes de la función lineal, junto a los ejercicios y aplicaciones que hemos preparado.

Elementos de la función lineal

En la función lineal, que siempre tiene la forma y = mx + b ; tenemos los siguientes elementos:

x: variable independiente.

y: variable dependiente (su valor depende del valor de x).

m: pendiente.

b: corte con el eje y, u ordenada de origen.

Veamos algunos ejemplos de funciones lineales y no lineales:

Cuando el valor de la pendiente (m) es igual a 0, nos encontramos ante un caso particular de la función lineal, que tiene el nombre de función constante.

Recuerda que, si se grafica una función lineal, siempre se obtiene una recta. Veamos la gráfica de la función y = 2x - 1.

Pendiente en la función lineal

Veamos ahora la relación que existe entre la pendiente y el comportamiento de la función lineal.

Podemos apreciar que, de acuerdo al valor de la pendiente m, la función lineal puede ser creciente(m>0), decreciente(m<0), constante (m=0).

También es importante recordar que la pendiente se puede calcular a partir de dos puntos de la recta:

Dominio y rango de la función lineal

En una función lineal el dominio y rango siempre son los mismos, el conjunto de los números reales:

El único caso en que el rango no es el conjunto de los números reales, es el caso particular de la función constante, en el que "y" asume un único valor.

Calcular la pendiente de la recta 2y = 4x + 12
Solución:
Para obtener la pendiente "m", vamos a buscar la forma y = mx + b. Para ello, el coeficiente de y, pasará a dividir al segundo miembro:

A partir de esta igualdad, se obtiene el valor de la pendiente: m = 2.

Encontrar la ecuación de la recta que pasa por los puntos A = (2;3) y B = (6;5).
Solución:
Al ser una recta, sabemos que es la representación de una función lineal. Dado que tenemos dos puntos, diremos que A será el punto 1, y B el punto 2:

Primero, vamos a calcular la pendiente:

Ahora que ya tenemos el valor de la pendiente, reemplazamos en la ecuación de la función lineal para encontrar el valor del punto de corte con el eje y (b):

Tomamos cualquiera de los dos puntos, y reemplazamos en la expresión anterior. Tomemos el punto A = (2;3), y reemplacemos los valores de "x" e "y":

Ahora que conocemos el valor de la pendiente (m) y del punto de corte con el eje y (b), podemos dar la respuesta:

Guía de ejercicios

Hemos preparado una guía con muchos ejercicios diferentes de función lineal, resolveremos varios en los videos.
Función lineal ejercicios propuestos PDF
En el primer nivel, veremos un repaso de la teoría y también 2 formas diferentes de graficar una función lineal.

En el segundo nivel revisaremos ejercicios resueltos relacionados con ecuaciones lineales.

En el tercer nivel revisaremos problemas de aplicación de la función lineal.

Problema de BECA 18

A continuación, viene un ejercicio del examen BECA 18, está muy interesante:

A continuación, viene un pequeño reto para practicar un poco antes del examen, ¿te animas a resolverlo?

Solución: y = -x + 6

Hasta aquí llegamos por hoy, si deseas revisar otros capítulos de funciones, puedes regresar al curso de cálculo.

¿Quieres aprender un poco más de este tema?

Si quieres estudiar más o darle un vistazo a los libros que usé para elaborar este artículo, date una vuelta por la lista de los mejores libros de precálculo.

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Función lineal, ejercicios resueltos | Matemóvil

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Las funciones lineales son aquellas funciones que tienen la forma y = mx + b ; que también se pueden escribir de la forma f(x) = mx + b. Veamos algunas características importantes de la función lineal, junto a los ejercicios y aplicaciones que hemos preparado.

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Instrucciones generales del uso de Geogebra

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Instrucciones generales del uso de Geogebra

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Como graficar funciones lineales rápidamente.

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Como graficar funciones lineales rápidamente.

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Cómo graficar funciones lineales sin tabular

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Sistemas de Ecuaciones Lineales por Método Gráfico.

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Sistemas de Ecuaciones Lineales por Método Gráfico.

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Sistemas de Ecuaciones Lineales por Método Gráfico

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Este applet esta destinado para que los estudiantes ejerciten el método gráfico para la solución de sistemas de ecuaciones lineales. [b]Importante...

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Al finalizar las actividades en un sistema conformado por dos ecuaciones (rectas) lineales se pueden encontrar distintas condiciones que permitirán clasificarlos. Interactue con el siguiente link y complete luego el formulario.

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Si deseas registrarte para obtener una camiseta, ingresa tu nombre y tu talla.

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En un supermercado las cajeras disponen de balanzas en las cuelas se puede teclear el precio por kilogramo de la verdura que se pesa y emitir el ticket donde indica el precio a pagar dependiendo de la cantidad de verdura pesada.
La siguiente tabla presenta distintas cantidades pesadas y el precio total por cada una de ellas (puedes confeccionarla usando Geogebra):

A partir de los datos de la tabla realizamos un gráfico de esta función:

En general, muchos fenómenos y situaciones de la vida cotidiana se comportan de forma que las funciones que los representan verifican que los cambios en la variable dependiente (y) son proporcionales a los de la variable independiente (x).
A esta clase de funciones se las denomina FUNCIÓN LINEAL .
Actividad 1 : Con el programa GEOGEBRA grafica cada una de las siguientes funciones. (Tené cuidado de poner a cada una un color diferente para que resulte más fácil de identificar). a) ¿Cómo es la gráfica en todos los casos? c) ¿Como es el ángulo que forma cada recta con el eje x a medida que aumenta el valor por el cual se multiplica a x? c) ¿Por cuales cuadrantes pasan la rectas? d) Realiza una conclusión y compárala con la conclusión que han realizado los otros integrantes de tu curso.

Actividad 2 :

Con el programa GEOGEBRA grafica cada una de las siguientes funciones (No te olvides de poner a cada una un color diferente para que resulte más fácil de identificar).

Con el programa GEOGEBRA grafica cualquier recta tal que el ángulo que forma la misma y el eje x sea mayor de 90 y no pase por los cuadrantes I y III.

Con el programa GEOGEBRA grafica 4 rectas cualesquiera y distintas tales que dos de las mismas tengan pendiente negativas, pero cuyo valor absoluto sea muy grande; y las otras dos tengan, también pendiente negativa, pero en valor absoluto sea muy pequeña.

En GEOGEBRA grafica cada una de las siguientes funciones y determina el ángulo que forma con el eje x positivo y la pendiente "m"

Realiza la siguiente actividad via web. Para la misma deberas ingresar

Dibujar en el GEOGEBRA las siguientes rectas:

Responder: Para responder a las actividades abre un documento word y plasma allí todas las respuestas.

b) ¿En que puntos corta al eje Y cada una de las tres rectas?

Dibujar en el GEOGEBRA una recta paralela a cada una de las siguientes rectas y que corte al eje Y en el punto que se indica en cada una de ellas.

Responder: Para responder a las actividades abre un documento word y plasma allí todas las respuestas.

a) Escribe una conclusión respecto a la ordenada al origen.

Geométricamente, la ordenada al origen se denomina n indica la intersección de la recta con el eje Y o eje de las ordenadas, es decir, en toda ecuación de la forma: y = mx + n, su gráfica intercepta al eje Y en el punto de coordenadas (0,n).

.Un profesor planteó la siguiente pregunta a sus estudiantes:

Aurora dijo: f(x) = 3x+b debe ser esta ya que no representa una sola gráfica sino varias dependiendo del valor de b.

Irene dijo: f(x) = 3x + b debe se esta ya que tiene dos tipos de incógnitas, la x y la b.

¿Quién considera que tiene la razón?___________________________________

En GEOGEBRA grafica cada una de las siguientes funciones y determina la ordenada al origen "b".

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Actividades de Función Lineal - secuencia didactica sobre funciones

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En un supermercado las cajeras disponen de balanzas en las cuelas se puede teclear el precio por kilogramo de la verdura que se pesa y emitir el ticket donde indica el precio a pagar dependiendo de la cantidad de verdura pesada.

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Evalúa tus conocimientos.

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Resuelve las actividades y presiona enviar.

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