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파스칼의삼각형(Pascal'striangle)은 수학에서 이항계누를 삼각형 모양의 기하학적 형태로 배열한 것이다. 이것은 블레즈 파스칼에 의해 이름 붙여졌으나 이미 수세기 전에 다른 사람들에게서 연구된 것이다.단순한 형태로, 파스칼의 삼각형은 다음과 같은 방법으로 만들 수 있다.

먼저 첫 번째 줄에는 숫자 1을 쓴다.

그 다음 줄을 만들려면, 바로 위의 왼쪽 숫자와 오른쪽 숫자를 더한다. 예를 들어, 네 번째 줄의 숫자 1과 3을 더하여 다섯 번째 줄의 4가 만들어진다.

그럼 블레즈 파스칼은 누구인가?

1623~1662까지 살아계셨던 보통 수학자로 알고있지만 그의 직분은 프랑스의 수학자, 물리학자, 발명가, 철학자, 신학자이다.

파스칼은 원추곡선론,확률론,수론 및 기하학,등에 공헌하였고 계산기를 발명한 위대한 인물이다.

그럼 이항정리는 무엇인가?

이항정리의 이론은 두 항의 대수합의 거듭제곱을 전개하는 법을 보이는 공식이다

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파스칼의삼각형은 수학에서 이항계수를 삼각형 모양의 기하학적 형태로 배열한 것이다. 이것은 블레즈 파스칼에 의해 이름 붙여졌으나 이미 수세기 전에 다른 사람들에게서 연구된 것이다.
파스칼의 삼각형을 만드는 방법은 양 사이드에 1을 쓰고 행마다 2개씩 더하여 밑행에 적으면 된다.
파스칼의 삼각형의 성질은 아래 사진으로 첨부하였다

조선의 수학자 홍정하는 파스칼 삼각형을 단순히 발견한 것을 넘어 시대를 뛰어넘는 통찰을 한 것으로 알려져 있다. 현대 조합론의 측면에서 보아도 홍정하의 통찰은 가히 천재적이며 이산수학이 어느 나라보다도  발달했던 조선의 수학적 성과를 엿볼 수 있다. 여담으로, 미적분학은 영국 등지에서 발달하였으나 미적분학과 대등한 위치에 있는 수학분야인 이산수학은 동양, 특히 조선에서 발달하였다. 미적분학은 증기기관, 열기관 등에 산업적으로 응용되어 산업혁명이 일어나기까지 100여 년의 시간이 걸렸지만 영국의 경우 정부 차원에서 연구 지원을 이어갈 수 있었기에 산업혁명의발생지가 될 수 있었지만, 조선은 학문의 산업적 발전이 식민지배 등으로 퇴보하였으며 그러한 학문적 성과도 현재에 이르러서도 과소평가되고 있는 실정이다. 이산수학은 인공지능의 핵심 이론적 기반으로서 4차 산업혁명 시대 그 산업적 활용이 비약적으로 진행되고 있는 수학 분야이다.
파스칼은 스피노자와 함께 서양 근대 철학의 문을 연 프랑스의 철학자이자 확률론을 창시한 수학자이다. 파스칼의 삼각형은 그가 확률 연구 도중 발견한 것이며 이후 파스칼은 이 삼각형의 여러 가지 성질을 발견한 뒤 수삼각형론에 발표했는데, 이런 업적으로 그의 이름이 붙여진 것으로, 발견한 방법론을 어디에 써먹을지 적절한 곳에 적절하게 집어넣은 것 또한 학계에서의 덕목인 것이다.

파스칼삼각형은 프랙탈의 원리에서 많은것을 얻을 수 있다. 프랙탈이란 부분과 전체가 똑같은 모양을 하고 있다는 자기 유사성 개념을 기하학적으로 푼 구조를 말한다. 프랙탈은 단순한 구조가 끊임없이 반복되면서 복잡하고 묘한 전체 구조를 만드는 것으로, 즉 ‘자기 유사성(self-similarity)’과 ‘순환성(recursiveness)’이라는 특징을 가지고 있다. 자연계의 리아스식 해안선, 동물혈관 분포형태, 나뭇가지 모양, 창문에 성에가 자라는 모습, 산맥의 모습도 모두 프랙탈이며, 우주의 모든 것이 결국은 프랙탈 구조로 되어 있다. 프랙탈을 충격흡수에 잘 이용할 수 있기때문에 연구가치가 있다.

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제출이요

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파스칼의 삼각형의 정의
파스칼의 삼각형은 다음과 같이 맨 위부터 순서대로 0행,1행,2행과 같이 하나씩 내려오면서 순서대로 하나씩 증가한다.

n=0행에는 1을 적는다.

다음 행에는 바로 위의 항과 하나 왼쪽에 있는 항의 합을 적는데 아무 것도 없는 것은 0으로 간주한다

n번째 행에는 모두(n+1) 개의 항이 있으며 처음과 마지막 항은 항상 1이다.

파스칼의 삼각형 역사
프랑스의 수학자 파스칼(Blaise Pascal; 1623 ~ 1662)이 파스칼의 삼각형의 창시자는 아니다. 파스칼 이전에 중국, 아랍 등의 수학자들에 의하여 파스칼의 삼각형에 대한 많은 사실들이 알려져 있었다. 파스칼의 삼각형에 대한 현존하는 가장 오래된 문서는 중국의 수학자 양휘에 의한 것이며 그 후 1303년 주세걸이 쓴 책에 다시 등장한다. 이때문에 중국에서는 양휘의 삼각형이라고 한다. 이탈리아에서는 1556년 이 삼각형의 6번째 행까지 계산하여 출판한 수학자 타르탈리아(Niccolò Fontana Tartaglia; 1500 ~ 1557)의 이름을 따서 타르탈리아의 삼각형이라고 한다. 이 삼각형을 파스칼의 삼각형이라고 하게 된 것은 파스칼이 그 삼각형의 많은 성질을 찾아내고 응용하였기 때문이다. 파스칼이 1665년 출판한 저서 『수삼각형론(Traité du triangle arithmetique)』에서 이 삼각형을 소개하였는데, 수학적 귀납법의 시초라고 할 수 있는 표현이 나온다
파스칼 삼각형의 성질
1. 첫 번째 열(k=0)과 대각선의 수는 모두 1이다.

2. 두 번째 열(k=1)의 수는 자연수를 1부터 순서대로 배열한 것이다.

3. 세 번째 열(k=2)의 수는 삼각수를 부터 순서대로 배열한 것이다.

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20610 박도훈파스칼의삼각형

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20610 박도훈
파스칼의삼각형(Pascal'striangle)은 수학에서 이항계누를 삼각형 모양의 기하학적 형태로 배열한 것이다. 이것은 블레즈 파스칼에 의해 이름 붙여졌으나 이미 수세기 전에 다른 사람들에게서 연구된 것이다.단순한 형태로, 파스칼의 삼각형은 다음과 같은 방법으로 만들 수 있다.
먼저 첫 번째 줄에는 숫자 1을 쓴다.
그 다음 줄을 만들려면, 바로 위의 왼쪽 숫자와 오른쪽 숫자를 더한다. 예를 들어, 네 번째 줄의 숫자 1과 3을 더하여 다섯 번째 줄의 4가 만들어진다.
그럼 블레즈 파스칼은 누구인가?
1623~1662까지 살아계셨던 보통 수학자로 알고있지만 그의 직분은 프랑스의 수학자, 물리학자, 발명가, 철학자, 신학자이다.
파스칼은 원추곡선론,확률론,수론 및 기하학,등에 공헌하였고 계산기를 발명한 위대한 인물이다.
그럼 이항정리는 무엇인가?
이항정리의 이론은 두 항의 대수합의 거듭제곱을 전개하는 법을 보이는 공식이다.
일반적으로 (a＋b)n인 이항식을 전개하면,
(a＋b)n=an＋nC1an-1b＋nC2an-2b2＋… ＋nCkan-kbk＋…＋bn
이 된다.
이것을 이항정리라 하고 nCkan-kbk을 일반항, 계수의 열1(＝nC0), nC1, nC2,…, nCk,…, nCn-1, 1(＝nCn)을 이항계수라고 한다.
이항계수는 다음공식으로 정의된다. nCk＝n！/k！(n－k)！
여기서 n！은 파스칼 삼각형이라 하는 배열의 곱이다.
(a＋b)3=(a＋b)(a＋b)(a＋b)를 예로 들어 이항계수를 생각하면, 전개식 중의 a2b의 항은 3개의 인수 (a＋b)의 각각에서 a 또는 b 중의 어느 하나를 택하되 1개에서는 b를, 나머지 (3－1)개에서는 a를 택하여 곱하면 된다.
a2b항은 3개에서 1개의 b를 택하는 경우의 수만큼 나타나므로, 이 항의 계수는 3C1이다. 마찬가지로 (a＋b)n의 전개식에서 an-kbk항의 계수는 nCk(nCn-k)이다. 이항계수를 C0,C1,C2,…,Ck,…,Cn으로 나타내기도 한다. nCn-k=nCk의 성질에서 이항계수는 처음부터 k번째와 끝에서부터 k번째는 같다.
이것을 구체적으로, 즉 n=0,1,2,3,…일 때의 이항계수를 차례로 쓰면 그림과 같다. 예컨대 n=5일 때의 계수 10은 n=4일 때의 계수 4와 6의 합이다. 이것은 조합의 성질, n+1Ck=nCk＋nCk-1에서 당연하다.
파스칼 삼각형의 역사
파스칼의 삼각형은 파스칼이 최초로 발견한 것은 아니다. 동양에선 그보다 훨씬 전부터 알려져 있었다. 중국에서는 송나라의 양휘가 2의 6제곱까지, 원나라의 주세걸이 2의 8제곱까지의 이항계수를 삼각형 모양으로 배열한 그림을 소개하였다. 또한 서양에서도 16~17세기의 많은 수학자들의 저서에 나타난다.
뿐만 아니라 조선의 수학자 홍정하는 파스칼 삼각형을 단순히 발견한 것을 넘어 시대를 뛰어넘는 통찰을 한 것으로 알려져 있다. 현대 조합론의 측면에서 보아도 홍정하의 통찰은 가히 천재적이며 이산수학이 어느 나라보다도  발달했던 조선의 수학적 성과를 엿볼 수 있다. 여담으로, 미적분학은 영국 등지에서 발달하였으나 미적분학과 대등한 위치에 있는 수학분야인 이산수학은 동양, 특히 조선에서 발달하였다. 미적분학은 증기기관, 열기관 등에 산업적으로 응용되어 산업혁명이 일어나기까지 100여 년의 시간이 걸렸지만 영국의 경우 정부 차원에서 연구 지원을 이어갈 수 있었기에 산업혁명의발생지가 될 수 있었지만, 조선은 학문의 산업적 발전이 식민지배 등으로 퇴보하였으며 그러한 학문적 성과도 현재에 이르러서도 과소평가되고 있는 실정이다. 이산수학은 인공지능의 핵심 이론적 기반으로서 4차 산업혁명 시대 그 산업적 활용이 비약적으로 진행되고 있는 수학 분야이다.
파스칼은 스피노자와 함께 서양 근대 철학의 문을 연 프랑스의 철학자이자 확률론을 창시한 수학자이다. 파스칼의 삼각형은 그가 확률 연구 도중 발견한 것이며 이후 파스칼은 이 삼각형의 여러 가지 성질을 발견한 뒤 수삼각형론에 발표했는데, 이런 업적으로 그의 이름이 붙여진 것으로, 발견한 방법론을 어디에 써먹을지 적절한 곳에 적절하게 집어넣은 것 또한 학계에서의 덕목인 것이다.
파스칼 삼각형에서 숨겨진 패턴들이 있다.
1.프랙털 패턴
2.이항정리
3.하키스틱 패턴(바깥의 1부터 시작해 대각선으로 있는 수들을 더하면 그 값은 마지막 수의 아래에 있다는 것인데 왜냐하면 맨 첫 번째 수인 1은 2번째 수의 옆에 있는 1과 같아 파스칼의 삼각형의 규칙인 어떤 수는 그 위 두수의 합이라는 것 때문에 이런 규칙이 생깁니다)
4.삼각수
5.2의거듭제곱(각 줄의 합이 2의 거듭제곱)
6.11의거듭제곱(각 줄의 숫자를 차례로 읽으면 11의 배수가 됩니다. 단 1, 5, 10, 10, 5, 같은 경우는 1은 받아올림해서 161051 (11⁵)로 읽습니다)
7.역삼각형(소수의 배를 색칠하면 나온다)
그 외에 몇의 배수나 숫자에 n이 들어가는 것을 색칠한다는 등 많은 규칙들이 존재한다.

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20521 이재민

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정의
파스칼 삼각형을 그리는 규칙은 다음과 같다.

1. 숫자가 들어갈 칸을 첫 번째 줄에는 1개, 두 번째 줄에는 2개, 세 번째 줄에는 3개 이런 식으로 한 줄씩 내려가면 한 칸씩 늘어나게 정삼각형 모양으로 만든다.

2. 첫 번째 줄과 두 번째 줄의 3칸에는 1을 쓴다.

3. 세 번째 줄부터는 줄의 양쪽 끝 칸에는 1을 쓰고 나머지 칸에는 바로 윗줄에 위치한 칸 중 해당 칸과 인접해 있는 두 칸의 숫자를 더해서 그 값을 쓴다.

이 규칙에 따라 삼각형을 그려보면 위 그림처럼 된다.

다만 차수가 커지면 삼각형을 그리는 것보다 이항정리를 사용하여 직접 구하는 쪽이 좀 더 빠르다. 삼각형을 수학 공식으로 나타내면 아래와 같으며, 이를 파스칼 항등식이라고 한다.
역사
파스칼의 삼각형은 파스칼(1623~1662)이 최초로 발견한 것은 아니다. 동양에선 그보다 훨씬 전부터 알려져 있었다. 중국에서는 송나라의 양휘(?1238~?1298)가 2의 6제곱까지, 원나라의 주세걸(1270~1330)이 2의 8제곱까지의 이항계수를 삼각형 모양으로 배열한 그림을 소개하였다. 또한 서양에서도 16~17세기의 많은 수학자들의 저서에 나타난다.

뿐만 아니라 조선의 수학자 홍정하는 파스칼 삼각형을 단순히 발견한 것을 넘어 시대를 뛰어넘는 통찰을 한 것으로 알려져 있다. 현대 조합론의 측면에서 보아도 홍정하의 통찰은 가히 천재적이며 이산수학이 어느 나라보다도 발달했던 조선의 수학적 성과를 엿볼 수 있다. 여담으로, 미적분학은 영국 등지에서 발달하였으나 미적분학과 대등한 위치에 있는 수학분야인 이산수학은 동양, 특히 조선에서 발달하였다. 미적분학은 증기기관, 열기관 등에 산업적으로 응용되어 산업혁명이 일어나기까지 100여 년의 시간이 걸렸지만 영국의 경우 정부 차원에서 연구 지원을 이어갈 수 있었기에 산업혁명의 발생지가 될 수 있었지만, 조선은 학문의 산업적 발전이 식민지배 등으로 퇴보하였으며 그러한 학문적 성과도 현재에 이르러서도 과소평가되고 있는 실정이다. 이산수학은 인공지능의 핵심 이론적 기반으로서 4차 산업혁명 시대 그 산업적 활용이 비약적으로 진행되고 있는 수학 분야이다.

파스칼은 스피노자와 함께 서양 근대 철학의 문을 연 프랑스의 철학자이자 확률론을 창시한 수학자이다. 파스칼의 삼각형은 그가 확률 연구 도중 발견한 것이며 이후 파스칼은 이 삼각형의 여러 가지 성질을 발견한 뒤 수삼각형론에 발표했는데, 이런 업적으로 그의 이름이 붙여진 것으로, 발견한 방법론을 어디에 써먹을지 적절한 곳에 적절하게 집어넣는 것 또한 학계에서의 덕목인 것이다.
성질

1. 짝수행은 항의 개수가 짝수개이고, 좌우대칭이며 홀수행은 항의 개수가 홀수개이고, 가운데 숫자를 중심으로 좌우대칭이다.

2. 같은 줄의 연속된 두 수를 더한 값은 아랫줄의 더한 두 수 사이에 있다.[2]

3. 모서리의 1부터 대각선방향으로 쭉 더한 값은 다음 줄의 같은방향 숫자 옆에 있다 (하키스틱 모양처럼 생겨서 실제로 하키 스틱 패턴이라고 부른다).

4. 특정한 사선 방향(45도 이하)으로 더하면 피보나치 수가 나온다. (이를 쉽게 보기 위해서는 칸이 참조 링크의 것처럼 칸이 육각형으로 되어있어야 편하다)

5. n번째 행의 수들의 합은 {2}^{n}2n과 같다. 즉 각 행의 수들의 합은 2의 거듭제곱이다.[3]

6. {(a+b)}^{n}(a+b)n을 전개한 각 항의 계수는 숫자들이 나온 순서대로다.

7. n번째 행에서 오른쪽부터 r번째 항에 {10}^{r-1}10r−1을 곱한 값을 모두 더하면 {11}^{n-1}11n−1 이 된다(이항정리로 증명이 가능하다)[4]

8. 파스칼 삼각형에서 '2'는 딱 한 번 나온다.

9. v 자로 더하면 그 아래에 있는 숫자와 같다.(ex_1+3+6+6+3+1=20)

10. p행의 모든 수는 p의 배수이다. (단, p=소수, 양 끝1은 제외)

11. 어떤 수 주위의 6개의 숫자를 번갈아 가며 3개씩 곱한 값은 같다. (ex_3주위에 2x1x6=1x3x4)

12. 첫 번째 항에서 두 번째를 빼고 다시 세 번째를 더하고 네 번째를 빼고... 이 과정을 계속하면 0이 나온다. 즉 짝수 번째 항의 합은 홀수 번째 항의 합과 같다. [5]

13. n번째 줄까지의 1의 개수는 2n+1개이다. (ex_5번째줄=2×5+1=11)

14. 홀수만 음영 처리하면 시어핀스키 삼각형이다.

15. n행의 수에 차례로 열번호에서 1을 뺀 값을 곱한 후 다 더하면 n\cdot2^{n-1}n⋅2n−1이다. [6]

16. n행의 수를 모두 제곱하여 더하면 2n행의 가운데 수가 나온다.

17. 파스칼의 삼각형에서 2,4,6번 등장하는 수는 무수히 많다. 반면 8번 이상 등장하는 수는 1, 3003외에 알려진 바가 없다.[7]

프랙탈홀수와 짝수의 색깔을 다르게 하여 색칠하면 프랙탈 구조가 나타난다.이 사진에서 볼 수 있듯이 하얀색은 짝수, 갈색은 홀수이다. 그리고 여기에서 프랙탈 구조를 볼 수 있다.이것뿐만이 아니라 파스칼 삼각형과 관련된 성질들은 몹시 많지만 여기서 줄이도록 하겠다. 몹시 흥미롭고 신비한 ‘파스칼 삼각형’. 이것에 대해 조사하면서 삼각수, 프랙탈 구조 등에 대해 배울 수 있었던 좋은 기회였다.

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정의
파스칼 삼각형을 그리는 규칙은 다음과 같다.

1. 숫자가 들어갈 칸을 첫 번째 줄에는 1개, 두 번째 줄에는 2개, 세 번째 줄에는 3개 이런 식으로 한 줄씩 내려가면 한 칸씩 늘어나게 정삼각형 모양으로 만든다.

2. 첫 번째 줄과 두 번째 줄의 3칸에는 1을 쓴다.

3. 세 번째 줄부터는 줄의 양쪽 끝 칸에는 1을 쓰고 나머지 칸에는 바로 윗줄에 위치한 칸 중 해당 칸과 인접해 있는 두 칸의 숫자를 더해서 그 값을 쓴다.

이 규칙에 따라 삼각형을 그려보면 위 그림처럼 된다.

다만 차수가 커지면 삼각형을 그리는 것보다 이항정리를 사용하여 직접 구하는 쪽이 좀 더 빠르다. 삼각형을 수학 공식으로 나타내면 아래와 같으며, 이를 파스칼 항등식이라고 한다.
역사
파스칼의 삼각형은 파스칼(1623~1662)이 최초로 발견한 것은 아니다. 동양에선 그보다 훨씬 전부터 알려져 있었다. 중국에서는 송나라의 양휘(?1238~?1298)가 2의 6제곱까지, 원나라의 주세걸(1270~1330)이 2의 8제곱까지의 이항계수를 삼각형 모양으로 배열한 그림을 소개하였다. 또한 서양에서도 16~17세기의 많은 수학자들의 저서에 나타난다.

뿐만 아니라 조선의 수학자 홍정하는 파스칼 삼각형을 단순히 발견한 것을 넘어 시대를 뛰어넘는 통찰을 한 것으로 알려져 있다. 현대 조합론의 측면에서 보아도 홍정하의 통찰은 가히 천재적이며 이산수학이 어느 나라보다도 발달했던 조선의 수학적 성과를 엿볼 수 있다. 여담으로, 미적분학은 영국 등지에서 발달하였으나 미적분학과 대등한 위치에 있는 수학분야인 이산수학은 동양, 특히 조선에서 발달하였다. 미적분학은 증기기관, 열기관 등에 산업적으로 응용되어 산업혁명이 일어나기까지 100여 년의 시간이 걸렸지만 영국의 경우 정부 차원에서 연구 지원을 이어갈 수 있었기에 산업혁명의 발생지가 될 수 있었지만, 조선은 학문의 산업적 발전이 식민지배 등으로 퇴보하였으며 그러한 학문적 성과도 현재에 이르러서도 과소평가되고 있는 실정이다. 이산수학은 인공지능의 핵심 이론적 기반으로서 4차 산업혁명 시대 그 산업적 활용이 비약적으로 진행되고 있는 수학 분야이다.

파스칼은 스피노자와 함께 서양 근대 철학의 문을 연 프랑스의 철학자이자 확률론을 창시한 수학자이다. 파스칼의 삼각형은 그가 확률 연구 도중 발견한 것이며 이후 파스칼은 이 삼각형의 여러 가지 성질을 발견한 뒤 수삼각형론에 발표했는데, 이런 업적으로 그의 이름이 붙여진 것으로, 발견한 방법론을 어디에 써먹을지 적절한 곳에 적절하게 집어넣는 것 또한 학계에서의 덕목인 것이다.
성질

1. 짝수행은 항의 개수가 짝수개이고, 좌우대칭이며 홀수행은 항의 개수가 홀수개이고, 가운데 숫자를 중심으로 좌우대칭이다.

2. 같은 줄의 연속된 두 수를 더한 값은 아랫줄의 더한 두 수 사이에 있다.[2]

3. 모서리의 1부터 대각선방향으로 쭉 더한 값은 다음 줄의 같은방향 숫자 옆에 있다 (하키스틱 모양처럼 생겨서 실제로 하키 스틱 패턴이라고 부른다).

4. 특정한 사선 방향(45도 이하)으로 더하면 피보나치 수가 나온다. (이를 쉽게 보기 위해서는 칸이 참조 링크의 것처럼 칸이 육각형으로 되어있어야 편하다)

5. n번째 행의 수들의 합은 {2}^{n}2n과 같다. 즉 각 행의 수들의 합은 2의 거듭제곱이다.[3]

6. {(a+b)}^{n}(a+b)n을 전개한 각 항의 계수는 숫자들이 나온 순서대로다.

7. n번째 행에서 오른쪽부터 r번째 항에 {10}^{r-1}10r−1을 곱한 값을 모두 더하면 {11}^{n-1}11n−1 이 된다(이항정리로 증명이 가능하다)[4]

8. 파스칼 삼각형에서 '2'는 딱 한 번 나온다.

9. v 자로 더하면 그 아래에 있는 숫자와 같다.(ex_1+3+6+6+3+1=20)

10. p행의 모든 수는 p의 배수이다. (단, p=소수, 양 끝1은 제외)

11. 어떤 수 주위의 6개의 숫자를 번갈아 가며 3개씩 곱한 값은 같다. (ex_3주위에 2x1x6=1x3x4)

12. 첫 번째 항에서 두 번째를 빼고 다시 세 번째를 더하고 네 번째를 빼고... 이 과정을 계속하면 0이 나온다. 즉 짝수 번째 항의 합은 홀수 번째 항의 합과 같다. [5]

13. n번째 줄까지의 1의 개수는 2n+1개이다. (ex_5번째줄=2×5+1=11)

14. 홀수만 음영 처리하면 시어핀스키 삼각형이다.

15. n행의 수에 차례로 열번호에서 1을 뺀 값을 곱한 후 다 더하면 n\cdot2^{n-1}n⋅2n−1이다. [6]

16. n행의 수를 모두 제곱하여 더하면 2n행의 가운데 수가 나온다.

17. 파스칼의 삼각형에서 2,4,6번 등장하는 수는 무수히 많다. 반면 8번 이상 등장하는 수는 1, 3003외에 알려진 바가 없다.[7]

프랙탈
홀수와 짝수의 색깔을 다르게 하여 색칠하면 프랙탈 구조가 나타난다.

이 사진에서 볼 수 있듯이 하얀색은 짝수, 갈색은 홀수이다. 그리고 여기에서 프랙탈 구조를 볼 수 있다.

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정의
파스칼 삼각형을 그리는 규칙은 다음과 같다.

1. 숫자가 들어갈 칸을 첫 번째 줄에는 1개, 두 번째 줄에는 2개, 세 번째 줄에는 3개 이런 식으로 한 줄씩 내려가면 한 칸씩 늘어나게 정삼각형 모양으로 만든다.

2. 첫 번째 줄과 두 번째 줄의 3칸에는 1을 쓴다.

3. 세 번째 줄부터는 줄의 양쪽 끝 칸에는 1을 쓰고 나머지 칸에는 바로 윗줄에 위치한 칸 중 해당 칸과 인접해 있는 두 칸의 숫자를 더해서 그 값을 쓴다.

이 규칙에 따라 삼각형을 그려보면 위 그림처럼 된다.

다만 차수가 커지면 삼각형을 그리는 것보다 이항정리를 사용하여 직접 구하는 쪽이 좀 더 빠르다. 삼각형을 수학 공식으로 나타내면 아래와 같으며, 이를 파스칼 항등식이라고 한다.
역사
파스칼의 삼각형은 파스칼(1623~1662)이 최초로 발견한 것은 아니다. 동양에선 그보다 훨씬 전부터 알려져 있었다. 중국에서는 송나라의 양휘(?1238~?1298)가 2의 6제곱까지, 원나라의 주세걸(1270~1330)이 2의 8제곱까지의 이항계수를 삼각형 모양으로 배열한 그림을 소개하였다. 또한 서양에서도 16~17세기의 많은 수학자들의 저서에 나타난다.

뿐만 아니라 조선의 수학자 홍정하는 파스칼 삼각형을 단순히 발견한 것을 넘어 시대를 뛰어넘는 통찰을 한 것으로 알려져 있다. 현대 조합론의 측면에서 보아도 홍정하의 통찰은 가히 천재적이며 이산수학이 어느 나라보다도 발달했던 조선의 수학적 성과를 엿볼 수 있다. 여담으로, 미적분학은 영국 등지에서 발달하였으나 미적분학과 대등한 위치에 있는 수학분야인 이산수학은 동양, 특히 조선에서 발달하였다. 미적분학은 증기기관, 열기관 등에 산업적으로 응용되어 산업혁명이 일어나기까지 100여 년의 시간이 걸렸지만 영국의 경우 정부 차원에서 연구 지원을 이어갈 수 있었기에 산업혁명의 발생지가 될 수 있었지만, 조선은 학문의 산업적 발전이 식민지배 등으로 퇴보하였으며 그러한 학문적 성과도 현재에 이르러서도 과소평가되고 있는 실정이다. 이산수학은 인공지능의 핵심 이론적 기반으로서 4차 산업혁명 시대 그 산업적 활용이 비약적으로 진행되고 있는 수학 분야이다.

파스칼은 스피노자와 함께 서양 근대 철학의 문을 연 프랑스의 철학자이자 확률론을 창시한 수학자이다. 파스칼의 삼각형은 그가 확률 연구 도중 발견한 것이며 이후 파스칼은 이 삼각형의 여러 가지 성질을 발견한 뒤 수삼각형론에 발표했는데, 이런 업적으로 그의 이름이 붙여진 것으로, 발견한 방법론을 어디에 써먹을지 적절한 곳에 적절하게 집어넣는 것 또한 학계에서의 덕목인 것이다.
성질

1. 짝수행은 항의 개수가 짝수개이고, 좌우대칭이며 홀수행은 항의 개수가 홀수개이고, 가운데 숫자를 중심으로 좌우대칭이다.

2. 같은 줄의 연속된 두 수를 더한 값은 아랫줄의 더한 두 수 사이에 있다.[2]

3. 모서리의 1부터 대각선방향으로 쭉 더한 값은 다음 줄의 같은방향 숫자 옆에 있다 (하키스틱 모양처럼 생겨서 실제로 하키 스틱 패턴이라고 부른다).

4. 특정한 사선 방향(45도 이하)으로 더하면 피보나치 수가 나온다. (이를 쉽게 보기 위해서는 칸이 참조 링크의 것처럼 칸이 육각형으로 되어있어야 편하다)

5. n번째 행의 수들의 합은 {2}^{n}2n과 같다. 즉 각 행의 수들의 합은 2의 거듭제곱이다.[3]

6. {(a+b)}^{n}(a+b)n을 전개한 각 항의 계수는 숫자들이 나온 순서대로다.

7. n번째 행에서 오른쪽부터 r번째 항에 {10}^{r-1}10r−1을 곱한 값을 모두 더하면 {11}^{n-1}11n−1 이 된다(이항정리로 증명이 가능하다)[4]

8. 파스칼 삼각형에서 '2'는 딱 한 번 나온다.

9. v 자로 더하면 그 아래에 있는 숫자와 같다.(ex_1+3+6+6+3+1=20)

10. p행의 모든 수는 p의 배수이다. (단, p=소수, 양 끝1은 제외)

11. 어떤 수 주위의 6개의 숫자를 번갈아 가며 3개씩 곱한 값은 같다. (ex_3주위에 2x1x6=1x3x4)

12. 첫 번째 항에서 두 번째를 빼고 다시 세 번째를 더하고 네 번째를 빼고... 이 과정을 계속하면 0이 나온다. 즉 짝수 번째 항의 합은 홀수 번째 항의 합과 같다. [5]

13. n번째 줄까지의 1의 개수는 2n+1개이다. (ex_5번째줄=2×5+1=11)

14. 홀수만 음영 처리하면 시어핀스키 삼각형이다.

15. n행의 수에 차례로 열번호에서 1을 뺀 값을 곱한 후 다 더하면 n\cdot2^{n-1}n⋅2n−1이다. [6]

16. n행의 수를 모두 제곱하여 더하면 2n행의 가운데 수가 나온다.

17. 파스칼의 삼각형에서 2,4,6번 등장하는 수는 무수히 많다. 반면 8번 이상 등장하는 수는 1, 3003외에 알려진 바가 없다.[7]

프랙탈홀수와 짝수의 색깔을 다르게 하여 색칠하면 프랙탈 구조가 나타난다.이 사진에서 볼 수 있듯이 하얀색은 짝수, 갈색은 홀수이다. 그리고 여기에서 프랙탈 구조를 볼 수 있다.이것뿐만이 아니라 파스칼 삼각형과 관련된 성질들은 몹시 많지만 여기서 줄이도록 하겠다. 몹시 흥미롭고 신비한 ‘파스칼 삼각형’. 이것에 대해 조사하면서 삼각수, 프랙탈 구조 등에 대해 배울 수 있었던 좋은 기회였다.

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파스칼의 삼각형이란 자연수를 삼각형 모양으로 배열한 것이다. 이는 원래 중국인에 의해 만들어졌으나 프랑스의 수학자 파스칼이 체계적인 이론을 만들고 그 속에서 흥미로운 성질을 발견했기 때문에 파스칼의 삼각형이라고 불린다.

파스칼 삼각형을 만드는 방법
파스칼의 삼각형에서 각 행의 맨 처음과 끝은 항상 1이고 그리고 그 사이의 수들은 바로 위의 행의 왼쪽과 오른쪽에 있는 두 수의 합을 적으면 된다.

시어핀스키 삼각형
이 삼각형은 1917년 폴란드의 수학자인 와크로 시어핀스키가 고안한 것이다. 이 삼각형을 그리는 방법은 정삼각형을 한 개 그리고,  정삼각형의 각 변의 가운데 점을 연결하여 합동인 삼각형 4개를 그린 후 가운데 삼각형을 없앤다. 이 규칙을 반복해서 만들어지는 도형을 시어핀스키 삼각형이라고 한다. 시어핀스키 삼각형 안에는 무수히 많은 삼각형이 있지만, 과정의 단계 수가 증가함에 따라 삼각형의 넓이는 0에 가깝게 된다.

파스칼 삼각형 활용

삼각수
파스칼의 삼각형의 3행 1열에서 시작하는 오른쪽 아래 방향의 대각선의 수는 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36 ...이다. 이 수들은 정삼각형 모양으로 점을 배열했을 때 그 모양을 이루고 있는 점의 개수인 삼각수가 된다.

하키 스틱 패턴
파스칼의 삼각형에서 각 행의 첫 번째 수나 마지막 수인 1에서 시작하여 대각선 방향에 배열된 수들을 더하면 그 다음 행의 오른쪽이나 왼쪽에 있는 수가 된다. 이것을 파스칼 삼각형에 표시하면 하키 스틱 모양이 되므로 '하키 스틱 패턴'이라고 한다.

이항정리
파스칼의 삼각형에서 각 행에 배열된 수들을 더하면 2의 거듭제곱이 됩니다. 더 정확히 말하면 n행의 수들의 합은 2의 n제곱이 된다. 이 성질은 이항정리를 이용한 식  을 떠올리면 쉽게 이해할 수 있다.

원에 다각형 내접시키기
원에 직선, 삼각형, 사각형 등을 내접시키고 각각의 경우 몇 개의 점, 선분, 삼각형, 사각형이 생기는지 조사해봅시다. 예를 들어 원 안에 사각형을 내접시킬 때 점은 4개, 선분은 6개, 삼각형은 4개, 사각형은 1개가 생깁니다. 이런 식으로 정리한 표에는 파스칼의 삼각형이 들어 있는데, 따져보면 사각형을 내접시킬 때 점의 개수는 4개의 점에서 하나의 점을 선택하는 경우 4개, 선분의 개수는 4개의 점에서 2개의 점을 선택하는 경우의 수 6개, 삼각형의 개수는 4개의 점에서 3개의 점을 선택하는 경우의 수 4개이기 때문이다.

프랙털 패턴
파스칼의 삼각형에서 짝수 자리와 홀수 자리에 서로 다른 색을 칠하면 부분이 전체를 닮은 프랙털 패턴이 나타납니다. 이 프랙털 모양들은 재료 과학자들이 혁신적인 성질을 가진 새로운 구조물들을 만들어 내는 데 도움이 되는 모형으로 활용될 수 있습니다. 예를 들어 1986년에 연구자들은 홀수 자리에 구멍을 내어 파스칼의 삼각형과 거의 똑같이 생긴 마이크로미터 크기의 철사 개스킷을 만들어 내기도 했습니다. 가장 작은 삼각형은 대략 1.38 제곱마이크로미터였고 과학자들은 자기장하에서 이 초전도 개스킷이 나타내는 수많은 희귀 성질들을 조사했습니다.

파스칼 삼각형의 역사
프랑스의 수학자 파스칼(Blaise Pascal; 1623 ~ 1662)이 파스칼의 삼각형의 창시자는 아니다. 파스칼 이전에 중국, 아랍 등의 수학자들에 의하여 파스칼의 삼각형에 대한 많은 사실들이 알려져 있었다.

파스칼의 삼각형에 대한 현존하는 가장 오래된 문서는 중국의 수학자 양휘에 의한 것이며 그 후 1303년 주세걸이 쓴 책에 다시 등장한다. 이때문에 중국에서는 양휘의 삼각형이라고 한다.

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파스칼의 삼각형

파스칼의 삼각형이란?

파스칼의 삼각형은 세 번째 줄부터는 줄의 양쪽 끝 칸에는 1을 쓰고 나머지 칸에는 바로 윗줄에 위치한 칸 중 해당 칸과 인접해 있는 두 칸의 숫자를 더해서 그 값을 쓴다.

이 규칙에 따라 삼각형을 그려보면 삼각형의 그림이 나타난다.

파스칼의 삼각형의 역사는?

파스칼의 삼각형은 파스칼(1623~1662)이 최초로 발견한 것은 아니다. 동양에선 그보다 훨씬 전부터 알려져 있었다. 중국에서는 송나라의 양휘가 2의 6제곱까지, 원나라의 주세걸이 2의 8제곱까지의 이항계수를 삼각형 모양으로 배열한 그림을 소개하였다. 또한 서양에서도 16~17세기의 많은 수학자들의 저서에도 나타난다.

뿐만 아니라 조선의 수학자홍정하는 파스칼 삼각형을 단순히 발견한 것을 넘어 시대를 뛰어넘는 통찰을 한 것으로 알려져 있다.

반면에, 파스칼은 스피노자와 함께 서양 근대 철학의 문을 연 프랑스의 철학자이자 확률론을 창시한 수학자이다. 파스칼의 삼각형은 그가 확률 연구 도중 발견한 것이며 이후 파스칼은 이 삼각형의 여러 가지 성질을 발견을 하였고, 이러한 발견 덕분에 그의 이름을 붙인 것이다.

파스칼의 삼각형의 규칙에는 뭐가 있을까?

1. 양 옆에 있는 수를 더한 값은 아래의 숫자가 된다.

2. 3번째 줄의 숫자들은 삼각수를 이룬다.

3. 3번째 대각선의 숫자들과 4번째 대각선의 숫자들은 계차수열을 이룬다.

4. 대각선의 숫자들을 더한 값은 ‘ㄱ’자 모양으로 구할 수 있다.

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1)정의
파스칼의 삼각형이란 자연수를 삼각형 모양으로 배열한 것을 말한다. 이는 원래 중국인에 의해 만들어졌으나 프랑스의 수학자 파스칼(1623~1662)이 체계적인 이론을 만들고 그 속에서 흥미로운 성질을 발견했기 때문에 파스칼의 삼각형이라고 부르게 되었다.

2)역사

프랑스의 수학자 파스칼(Blaise Pascal; 1623 ~ 1662)이 파스칼의 삼각형의 창시자는 아니다. 파스칼 이전에 중국, 아랍 등의 수학자들에 의하여 파스칼의 삼각형에 대한 많은 사실들이 알려져 있었다.

파스칼의 삼각형에 대한 현존하는 가장 오래된 문서는 중국의 수학자 양휘에 의한 것이며 그 후 1303년 주세걸이 쓴 책에 다시 등장한다. 이때문에 중국에서는 양휘의 삼각형이라고 한다.

이탈리아에서는 1556년 이 삼각형의 번째 행까지 계산하여 출판한 수학자 타르탈리아(Niccolò Fontana Tartaglia; 1500 ~ 1557)의 이름을 따서 타르탈리아의 삼각형이라고 한다.

이 삼각형을 파스칼의 삼각형이라고 하게 된 것은 파스칼이 그 삼각형의 많은 성질을 찾아내고 응용하였기 때문이다. 파스칼이 1665년 출판한 저서 『수삼각형론(Traité du triangle arithmetique)』에서 이 삼각형을 소개하였는데, 수학적 귀납법의 시초라고 할 수 있는 표현이 나온다.

3)성질
1) 짝수행은 항의 개수가 짝수개이고, 좌우대칭이며 홀수행은 항의 개수가 홀수개이고, 가운데 숫자를 중심으로 좌우대칭이다.

2) 같은 줄의 연속된 두 수를 더한 값은 아랫줄의 더한 두 수 사이에 있다.

3) 특정한 사선 방향(45도 이하)으로 더하면 피보나치 수가 나온다.

4) n번째 행의 수들의 합은 {2}^{n}2n과 같다. 즉 각 행의 수들의 합은 2의 거듭제곱이다.

5) {(a+b)}^{n}(a+b)n을 전개한 각 항의 계수는 숫자들이 나온 순서대로다.

6) 파스칼 삼각형에서 '2'는 딱 한 번 나온다.

7) v 자로 더하면 그 아래에 있는 숫자와 같다.(ex_1+3+6+6+3+1=20)

8) p행의 모든 수는 p의 배수이다. (단, p=소수, 양 끝1은 제외)

9) 어떤 수 주위의 6개의 숫자를 번갈아 가며 3개씩 곱한 값은 같다. (ex_3주위에 2x1x6=1x3x4)

10) 첫 번째 항에서 두 번째를 빼고 다시 세 번째를 더하고 네 번째를 빼고... 이 과정을 계속하면 0이 나온다. 즉 짝수 번째 항의 합은 홀수 번째 항의 합과 같다.

11) n번째 줄까지의 1의 개수는 2n+1개이다. (ex_5번째줄=2×5+1=11)

12) n행의 수를 모두 제곱하여 더하면 2n행의 가운데 수가 나온다.

13) 파스칼의 삼각형에서 2,4,6번 등장하는 수는 무수히 많다. 반면 8번 이상 등장하는 수는 1, 3003외에 알려진 바가 없다

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파스칼의 삼각형

1.정의

이항계수를 삼각형 모양의 기하학적 형태로 배열한것

2.역사

중국의 수학자 양휘와 주세걸 등이 연구하였고 16세기 유럽에 소개되었다. 파스칼은 이를 체계적으로 정리하고 발표하였다.

3.성질

1) 짝수행은 항의 개수가 짝수개이고, 좌우대칭이며 홀수행은 항의 개수가 홀수개이고, 가운데 숫자를 중심으로 좌우대칭이다.

2) 같은 줄의 연속된 두 수를 더한 값은 아랫줄의 더한 두 수 사이에 있다.

3) 특정한 사선 방향(45도 이하)으로 더하면 피보나치 수가 나온다.

4) n번째 행의 수들의 합은 {2}^{n}2n과 같다. 즉 각 행의 수들의 합은 2의 거듭제곱이다.

5) {(a+b)}^{n}(a+b)n을 전개한 각 항의 계수는 숫자들이 나온 순서대로다.

6) 파스칼 삼각형에서 '2'는 딱 한 번 나온다.

7) v 자로 더하면 그 아래에 있는 숫자와 같다.(ex_1+3+6+6+3+1=20)

8) p행의 모든 수는 p의 배수이다. (단, p=소수, 양 끝1은 제외)

9) 어떤 수 주위의 6개의 숫자를 번갈아 가며 3개씩 곱한 값은 같다. (ex_3주위에 2x1x6=1x3x4)

10) 첫 번째 항에서 두 번째를 빼고 다시 세 번째를 더하고 네 번째를 빼고... 이 과정을 계속하면 0이 나온다. 즉 짝수 번째 항의 합은 홀수 번째 항의 합과 같다.

11) n번째 줄까지의 1의 개수는 2n+1개이다. (ex_5번째줄=2×5+1=11)

12) n행의 수를 모두 제곱하여 더하면 2n행의 가운데 수가 나온다.

13) 파스칼의 삼각형에서 2,4,6번 등장하는 수는 무수히 많다. 반면 8번 이상 등장하는 수는 1, 3003외에 알려진 바가 없다.

4.다양한 패턴

1) 모서리의 1부터 대각선방향으로 쭉 더한 값은 다음 줄의 같은방향 숫자 옆에 있다.(하키 스틱 패턴)

2) 홀수만 음영 처리하면 시어핀스키 삼각형이다.

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보고서 제출합니다

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20810 송희윤

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확률과 통계 보고서

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