# data[].attributes.body
Um cone circular reto tem raio da base de 6 cm e uma altura de 8 cm. Segundo os dados oferecidos, calcule:

1. a área da base

2. a área lateral

3. a área total

# data[].attributes.body
Para facilitar a resolução, anotamos primeiramente os dados oferecidos pelo problema:
raio (r): 6 cm
altura (h): 8 cm

Vale lembrar que antes de encontrarmos as áreas do cone, devemos encontrar o valor da geratriz, calculada pela seguinte fórmula:
g=√r²+h²
g=√6²+8
g=√36+64
g=√100
g=10 cm
Feito o cálculo da geratriz do cone, podemos encontrar as área do cone:
1. Assim, para calcular a área da base do cone, utilizamos a fórmula:
Ab = π.r²
Ab = π.6²
A b = 36 π cm 2
2. Por conseguinte, para calcular a área lateral utilizamos a seguinte expressão:
Al = π.r.g
Al = π.6.10
A l = 60 π cm 2
3. Por fim, a área total (soma da área lateral e da área da base) do cone é encontrado através da fórmula:
At = π.r (g+r)
At = π.6 (10+6)
At = π.6 (16)
A t = 96π cm 2
Logo, a área da base é de 36 π cm², a área lateral do cone é de 60 π cm² e a área total é de 96 π cm².

# data[].attributes.body
Calcule o volume de um cone circular reto cujo raio da base mede 3 m e geratriz 5 m.

# data[].attributes.body
Primeiramente, devemos calcular a altura do cone. Nesse caso, podemos utilizar o teorema de Pitágoras:

h² + r² = g²
h² + 9 = 25
h² = 25 – 9
h² = 16
h = 4 m

Após encontrar a medida da altura, basta inserir na fórmula do volume:

V = 1/3 π.r². h
V = 1/3 π . 9 . 4
V = 12 π m³

# data[].attributes.body
Calcule o tronco do cone cujo raio da base maior mede 20 cm, o raio da base menor mede 10 cm e a altura é de 12 cm.

# data[].attributes.body
Para encontrar o volume do tronco do cone basta colocar os valores na fórmula:

R: 20 cm
r: 10 cm
h: 12 cm

V = π.h/3 . (R² + R . r +r²)
V = π.12/3 . (400 + 200 + 100)
V = 4п . 700
V = 2800 π cm³

# data[].attributes.body
Qual a área lateral e a área total de um cone circular reto que possui altura de 8 cm e o raio da base de 6 cm?

# data[].attributes.body
Primeiramente, temos que calcular a geratriz desse cone:

g = √r² + h²
g = √6² + 8²
g = √36 + 64
g = √100
g = 10 cm

Feito isso, podemos calcular a área lateral através da fórmula:

Al = π.r.g
Al = π.6.10
Al = 60π cm ²

Pela fórmula da área total, temos:

At = π.r (g+r)
At = π.6 (10+6)
At = 6π (16)
At = 96π cm ²
Poderíamos resolver de outra maneira, ou seja, somando as áreas da lateral e da base:

At = 60π + π.6²
At = 96π cm ²

# data[].attributes.body
Encontre a área total do tronco do cone que apresenta altura de 4 cm, a base maior um círculo de diâmetro de 12 cm e a base menor um círculo de diâmetro de 8 cm.

# data[].attributes.body
Para encontrar a área total desse tronco de cone, é necessário encontrar as áreas da base maior, menor e ainda, da lateral.

Além disso, é importante lembrar o conceito de diâmetro, que equivale duas vezes a medida do raio (d = 2r). Assim, pelas fórmulas temos:

Área da Base Menor

Ab = π.r²
Ab = π.4²
Ab = 16π cm ²

Área da Base Maior

AB = π.R²
AB = π.6²
AB = 36π cm ²

Área Lateral

Antes de encontrar a área lateral, temos que encontrar a medida da geratriz da figura:

g² = (R – r)2 + h²
g² = (6 – 4)² + 4²
g² = 20
g = √20
g = 2√5

Feito isso, vamos substituir os valores na fórmula da área lateral:
Al = π.g. (R + r)
Al = π . 2√5 . (6 + 4)
Al = 20π√5 cm ²

Área Total

At = AB + Ab + Al
At = 36π + 16π + 20π√5
At = (52 + 20√5)π cm 2

# data[].attributes.body
(PM ES – Exatus 2013). Dados um cilindro circular reto e um cone circular reto de mesma altura e mesmo raio, é correto afirmar que o volume do cone é igual a:

a) três vezes o volume do cilindro

b) duas vezes o volume do cilindro

c) metade do volume do cilindro

d) terça parte do volume do cilindro

e) sexta parte do volume do cilindro

# data[].attributes.body
Vamos comparar cada uma das fórmulas utilizadas para o cálculo do volume do cone e do cilindro.

Fórmula para cálculo de volume de cilindros:

V = π.r².h

Fórmula para cálculo de volume de cones:

V = (π.r².h)/3

Como altura e raio são iguais, claramente o volume do cone é 1/3 do volume do cilindro.

Resposta: D

# data[].attributes.body
(Fuvest) Deseja-se construir um cone circular reto com 4cm de raio da base e 3cm de altura. Para isso, recorta-se, em cartolina, um setor circular para a superfície lateral e um círculo para a base. A medida do ângulo central do setor circular é:

a) 144°

b) 192°

c) 240°

d) 288°

e) 336°

# data[].attributes.body
Sabemos que o ângulo do setor é dado por θ = 360r/g. Portanto, precisamos descobrir o valor da geratriz:

Temos que o triângulo retângulo formado por h, g e r tem os catetos r = 4 e h = 3, portanto g = 5 – principal triângulo pitagórico: 3, 4 e 5. Assim,  θ = 360.4/5 ⇒ θ = 72.4 ⇒ θ = 288°.

# data[].attributes.body
(Cesgranrio) Um copo de papel, em forma de cone, é formado enrolando-se um semicírculo que tem um raio de 12cm. O volume do copo é de, aproximadamente:

a) 390 cm²

b) 350 cm²

c) 300 cm²

d) 260 cm²

e) 230 cm²

# data[].attributes.body
Se temos um semicírculo, o ângulo θ = 180°, mas, θ = 360r/g e g = 12cm ⇒ 180 = 360r/12 ⇒ 6 = r, h = r√3 = 6√3. Por conseguinte, o volume desse cone é V = πr²h/3 = 3,14.36.6.1,73/3 ⇒ V = 391,11cm³ aproximadamente.

# data[].attributes.body
(PM ES – Exatus 2013). O volume do sólido gerado pela rotação de um triângulo isósceles de lados congruentes medindo 5 cm e base medindo 6 cm, em torno da base é igual a:

a) 32π cm³

b) 13π cm³

c) 14π cm³

d) 15π cm³

e) 16π cm³

# data[].attributes.body
Veja na figura abaixo que, após a rotação em torno da base do triângulo isósceles, teremos um sólido formado por dois cones iguais.

Calcularemos o volume de um deles, e depois multiplicaremos por 2.
Utilizaremos o Teorema de Pitágoras para o cálculo do raio da base do cone:

5² = 3² + r²

25 = 9 + r²

r² = 25 – 9
r² = 16

r = √16

Calculando o volume do cone:

V = Área da base x altura / 3

V = π . 4² . 3 / 3

V = π . 16

V = 16π cm³
Volume total:

2 . 16π = 32π cm³

Resposta: A

# data[].attributes.body
(PRF 2008). Considere que um cilindro circular reto seja inscrito em um cone circular reto de raio da base igual a 10 centímetros e a altura igual a 25 centímetros, de forma que a base do cilindro esteja no mesmo plano da base do cone. Em face dessas informações e, considerando, ainda, que h e r correspondam à altura e ao raio da base do cilindro, respectivamente, assinale a opção correta.

a) A função afim que descreve h como função de r é crescente.

b) O volume do cilindro como uma função de r é uma função quadrática.

c) Se A(r) é a área lateral do cilindro em função de r, então A(r) = 50.π.r (1 – r/10)

d) É possível encontrar um cilindro de raio da base igual a 2 centímetros e altura igual a 19 centímetros que esteja inscrito no referido cone.

e) O cilindro de maior área lateral que pode ser inscrito no referido cone tem raio da base superior a 6 centímetros.

# data[].attributes.body
Analisando cada uma das alternativas.

a) A função afim que descreve h como função de r é crescente.

Basta verificar que a medida que r aumenta, h diminui, ou seja, a função é decrescente.

Para encontrar a equação de h, vamos usar o método dos triângulos proporcionais. Se o triângulo maior, ABC, e o triângulo menor CDE. Veja:

Obs: o fato de -2,5r ser negativo nos prova que a função afim é decrescente.

b) O volume do cilindro como uma função de r é uma função quadrática.

Utilizando a fórmula:

V = π.r².h

V = π.r².(25 – 25r/10)

V = 25π.r² – 25π.r³/10

Veja que a função é cúbica e não quadrática.

c) Se A(r) é a área lateral do cilindro em função de r, então A(r) = 50 r.

A(r) = base.altura = 2π.r.h = 2π.r.(25 – 25r/10) = 50π.r (1 – r/10)

d) É possível encontrar um cilindro de raio da base igual a 2 centímetros e altura igual a 19 centímetros que esteja inscrito no referido cone.

h = 25 – 25r/10 = 25 – 25.2/10 = 25 – 5 = 20

e) O cilindro de maior área lateral que pode ser inscrito no referido cone tem raio da base superior a 6 centímetros.

A(r) = 50π.r (1 – r/10) = 50π.r – 5π.r². (função quadrática decrescente, o ponto máximo de r é o vértice)

xv = -b/2a – -50π/2(-5π) = 5

Resposta: C

# data[].attributes.body
Qual a área da esfera de raio √3 m?

# data[].attributes.body
Para calcular a área da superfície esférica, utiliza-se a expressão:

Ae=4.п.r²
Ae = 4. п. (√3)²
Ae = 12п

Logo, a área da esfera de raio √3 m, é de 12 п.

# data[].attributes.body
Qual o volume da esfera de raio ³√3 cm?

# data[].attributes.body
Para calcular o volume da esfera, utiliza-se a expressão:

Ve = 4/3.п.r³
Ve = 4/3.п.(³√3)³
Ve = 4п.cm3

Portanto, o volume da esfera de raio ³√3 cm é de 4п.cm ³.

# data[].attributes.body
Calcule a área das superfícies esféricas:

a) esfera de raio 7 cm
b) esfera de diâmetro de 12 cm
c) esfera de volume 288π cm³

# data[].attributes.body
a) esfera de raio 7 cm

Ae = 4.π.r²
Ae = 4.π.7
Ae = 4.π.49
A e = 196π cm ²

b) esfera de diâmetro de 12 cm

Antes de mais nada, devemos lembrar que o diâmetro equivale duas vezes a medida do raio (d = 2r). Portanto, o raio dessa esfera mede 6 cm.

Ae = 4.π.r²
Ae = 4.π.6²
Ae = 4.π.36
A e = 144π cm ²

c) esfera de volume 288π cm³

Para realizar esse exercício devemos lembrar a fórmula do volume da esfera:

V e = 4.π.r ³/3

288π cm3 = 4.π.r³/3 (corta-se o π dos dois lados)
288 . 3 = 4.r³
864 = 4.r³
864/4 = r³
216 = r ³
r = 3√216
r = 6 cm

Descoberta a medida raio, vamos calcular a área da superfície esférica:

Ae = 4.π.r²
Ae = 4.π.6²
Ae = 4.π.36
A e = 144π cm ²

# data[].attributes.body
(CEMIG). O volume de uma esfera de raio r é (4/3).π.r³. Se um balão esférico é inflado até que o seu raio seja quadruplicado, então o seu volume é aumentado pelo fator:

a) 1024

b) 256

c) 64

d) 164

# data[].attributes.body
Nota-se que a fórmula matemática utilizada para o cálculo do volume de uma esfera está em função apenas de r.

Como o raio será quadruplicado, veja o que vai acontecer quando elevamos ao cubo:

(4r)³ = 4³.r³ = 64.r³

Daí, quando o raio de uma esfera é quadruplicado, o volume passa a ser 64 vezes maior que o inicial.

Resposta: C

# data[].attributes.body
(AMEOSC). Pretende-se encher uma bexiga até que ela atinja 20 cm de diâmetro. Considere que essa bexiga é esférica. Quantos litros de água serão necessários?

a) 4,2 litros.

b) 3,8 litros.

c) 3,1 litros.

d) 2,5 litros.

# data[].attributes.body
Para resolvermos a questão, é necessário sabermos que um litro de água enche uma esfera de volume igual a 1 dm³.

Desta forma, consideraremos que o diâmetro deve atingir 2 dm, e o raio 1 dm.

Calculando o volume da esfera:

V = (4/3) . π . r³

V = (4/3) . 3,14 . 1³

V = (4/3) . 3,14 . 1

V = 4,19 dm³

Daí, são necessários, aproximadamente 4,2 litros.

Resposta: A

# data[].attributes.body
(Funcab). O único sólido geométrico que NÃO pode ser planificado é o(a):

a) paralelepípedo

b) pirâmide

c) esfera

d) cilindro

e) cone

# data[].attributes.body
Em nossas publicações, vimos que o paralelepípedo, a pirâmide, o cilindro e o cone podem ser planificados. O único sólido dentre as opções que não pode ser planificado é a esfera. Um exercício interessante que o aluno pode fazer caso tenha dúvida, é descascar uma laranja e tentar colocar todas as cascas no plano.

Resposta: C

# data[].attributes.body
(Funcab). No ensino de geometria, nas séries iniciais, tem sua importância social o reconhecimento do universo tridimensional. Pensando nisso, uma professora levou para uma de suas aulas os objetos abaixo:

I. Uma caixa de sapato (paralelepípedo).

II. Uma lata de leite em pó (cilindro).

III. Uma bola de futebol (esfera).

Os sólidos acima são, respectivamente:

a) poliedro, sólido de revolução e poliedro.

b) sólido de revolução, poliedro e poliedro.

c) sólido de revolução, sólido de revolução e poliedro.

d) poliedro, sólido de revolução e sólido de revolução.

e) sólido de revolução, sólido de revolução e sólido de revolução.

# data[].attributes.body
Resolução

I – o paralelepípedo é um tipo de poliedro, que é um sólido geométrico de três dimensões, cuja superfície é formada por um número finito de superfícies planas.

II – um cilindro reto é um sólido de revolução, gerado pela rotação de um retângulo em torno de um de seus lados.

III – uma esfera é um sólido de revolução gerado pela rotação de um semicírculo em torno de um eixo que contém o diâmetro.

Resposta: D

# data[].attributes.body
Qual é a área de uma esfera cujo raio mede 63 cm? Considere π = 3.

a) 47628 cm²

b) 48628 cm²

c) 49628 cm²

d) 50000 cm²

e) 51628 cm²

# data[].attributes.body
Calcular a área de uma esfera é simples. Basta substituir o valor do raio e o valor de π na fórmula. Observe:

A = 4πr²

A = 4·3·63²

A = 12·3969

A = 47628 cm²

Gabarito: letra A.

# data[].attributes.body
Um artesão confecciona esferas de madeira para sua próxima criação. Ele terá que pintar três dessas esferas de branco e duas de vermelho para seu trabalho. Em suas pesquisas, conseguiu encontrar um artesão que vende tintas por centímetro quadrado, o que lhe sairá muito mais em conta. O metro centímetro quadrado da tinta branca custa R$ 0,09 e da tinta vermelha custa R$ 0,02. Sabendo que o raio da esfera vermelha é de 4 centímetros e que o raio da esfera branca é de 9 centímetros, quanto esse artesão gastará com tinta? (Considere π = 3).

a) R$ 91,32

b) R$ 262,44

c) R$ 270,12

d) R$ 7,68

e) R$ R$ 0,31

# data[].attributes.body
Primeiro, calculamos as áreas das esferas:

Av = 4πr²
Av = 4·3·4²
Av = 12·16
Av = 192 cm²

Ab = 4πr²
Ab = 4·3·9²
Ab = 12·81
Ab = 972 cm²

Agora multiplicamos cada área pelo custo da tinta:

Esfera vermelha: 192·0,02 = 3,84

Esfera branca: 972·0,09 = 87,48

Como há duas esferas vermelhas e três brancas, teremos:

2·3,84 + 3·87,48 = 7,68 + 262,44 = 270,12

O artesão gastará R$ 270,12.

Gabarito: letra C.

# data[].attributes.body
Uma esfera possui raio igual a 30 centímetros. Qual a diferença entre sua área e a área de um fuso esférico dessa mesma esfera com ângulo igual a 90°? (considere π = 3)

a) 10800 cm²

b) 2700 cm²

c) 13500 cm²

d) 8100 cm²

e) 4050 cm²

# data[].attributes.body
Para resolver esse problema, basta calcular a área da esfera e do fuso e, depois, subtrair os resultados.

Área da esfera:

A = 4πr²

A = 4·3·30²

A = 12·900

A = 10800 cm²

Área do fuso esférico:

A = απr²
90

A = 90·3·30²
90

A = 3·900

A = 2700 cm²

Diferença entre as duas:

10800 – 2700 = 8100 cm²

Gabarito: letra D.