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1° gruppo: Enrico Cantisani, Antonino Busillo, Martina Moscariello e Giorgia Giovine

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numeri naturali by antonino busillo on Genially

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Discover more about numeri naturali ✌️ - Presentation

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Daphne Naponiello, Antoniopio Setaro e Jasmine Olga Danza

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NUMERI NATURALIeNUMERI INTERI

I NUMERI NATURALI

capitolo 1

CHE COSA SONO I NUMERI NATURALI?

I numeri naturali sono tutti i numeri che troviamo dopo lo 0.Essi possono essere rappresentati su una semiretta, per indicare il loro valore possiamo usare i segni >,<,=.Il loro insieme viene indicato con la letteraℕ.

LE OPERAZIONI

I numeri naturali presentano 4 operazioni:

le proprietà

Per ogni operazione abbiamo una proprietà:

le espressioni

Un'espressione con i numeri naturali indica un isieme di operazioni da svolgere in un ordine preciso, dove vanno eseguite prima le operazioni tra le parentesi tonde (), poi quelle quadre [] e poi quelle graffe {}.Le operazioni si svolgono nel seguente ordine:moltiplicazioni e divisioni-addizioni e sottrazioni

Un'espressione letterale è un'espressione in cui compaiono numeri e lettere o solo lettere legate tra loro da segni di operazioni. Essa può avere infiniti risultati a seconda del valore che assumono le lettere a,b,c....Quste permettono di scrivere le formule che si applicano in geometria alle relative figure.

Title 1

le espressioni

Un'espressione con i numeri naturali indica un isieme di operazioni da svolgere in un ordine preciso, dove vanno eseguite prima le operazioni tra le parentesi tonde (), poi quelle quadre [] e poi quelle graffe {}.Le operazioni si svolgono nel seguente ordine:moltiplicazioni e divisioni-addizioni e sottrazioni

Un'espressione letterale è un'espressione in cui compaiono numeri e lettere o solo lettere legate tra loro da segni di operazioni. Essa può avere infiniti risultati a seconda del valore che assumono le lettere a,b,c....Quste permettono di scrivere le formule che si applicano in geometria alle relative figure.

Title 1

Minimalist Presentation

multipli e divisori

Un numero naturale a è multiplo di un numero naturale b se esiste un numero naturale q che moltiplicato per b dà a.

Un numero naturale b, diverso da 0, è divisore di un altro numero naturale a se la divisione fra quest ultimo e il numero dato è esatta, cioè se la divisione dà come resto 0.

i criteri di divisibilità

mASSIMO COMUNE DIVISOREEMINIMO COMUNE MULTIPLO

Il maggiore comune divisore (MCD) è il più grande tra i divisori comuni.

Il minore comune multiplo (mcm) è il più piccolo fra i loro multiplo comuni diversi da 0.

Minimalist Presentation

CHE COSA SONO I NUMERI INTERI?

NUMERI INTERI

I numeri interi corrispondono all' insieme ottenuto unendo i numeri naturali (0, 1, 2, ...) e i numeri interi negativi (−1, −2, −3,...), cioè quelli ottenuti ponendo un segno "−" davanti ai naturali. Questo insieme in matematica viene indicato con la lettera Z. Essi posso essere concordi (se sono contrassegnati dallo stesso segno) discordi (se contrassegnati da segni opposti).

le operazioni nei z

Minimalist Presentation

le potenze

Se il numero al di fuori della parentesi è pari allora il numero sarà positivo. Se invece il numero al di fuori della parentesi è dispari allora sarà negativo

by Antoniopio, Daphne e Jasmine

1B

FINE

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I numeri naturali e interi by Antoniopio Setaro on Genially

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NUMERI NATURALIeNUMERI INTERI I NUMERI NATURALI capitolo 1 CHE COSA SONO I NUMERI NATURALI? I numeri naturali sono tutti i numeri che troviamo dopo lo 0.Essi possono essere rappresentati su una semiretta, per indicare il loro valore possiamo usare i segni >,<,=.Il loro insieme viene indicato con la letteraℕ.

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PROGETTO DI MATEMATICA.NUMERI NATURALI ED INTERI

Valente Gerarda, Caponigro Davide,Del Giudice Yohana,Paletta Riccardo

Numeri Naturali ed Interi

Le lettere in matematicaLe operazioniLe potenzeLa leggenda delle potenzeEspressioni numericheEspressioni letteraliProprietà delle operazioni in ℕIl sistema di numerazione romanoProprietà delle potenze in ℕMultipi e DivisoriCrivello di EratosteneMassimo comune divisore e minimo comune multiploAlgoritmo di EuclideIl teorema della divisibilità del resto

indice

I numeri naturali sono l'insieme di base su cui si costruiscono tutti gli altri tipi di numeri. I numeri naturali non sono definibili a partire da altri oggetti : essi sono dati a priori.L'insieme dei numeri naturali si indica con la lettera ℕ ed è infinito.Può essere rappresentato su una semiretta orientata, facendo coincidere lo 0 con l'origine di essa e spostandoci di un'unità per ogni numero che segue.Da ciò che abbiamo appena detto si può evincere che ogni numero(escluso lo 0), ha un precedente e un successivo.Per esempio, il numero 6 ha come precedente il 5 e come successivo il 7 .Due numeri che sono l'uno il successivo dell'altro si dicono consecutivi .Tra un numero e l'altro,però, passano infiniti numeri non naturali ed è per questo che l'insieme ℕ è un insieme discreto.Due numeri naturali diversi possono essere sempre confrontati da loro attraverso i simboli>, <, ≥, ≤e =.Questi simboli comparvero per la prima volta in un trattato di Thomas Harriot, noto matematico inglese vissuto tra il XVI e il XVII secolo.

Numeri Naturali ed Interi

numeri naturali

Numeri Naturali e Interi

le lettere in matematica

In matematica si utilizzano le lettere per indicare un numero generico. Ad esempio, nell'operazione n · 2, n non ha un valore specifico e cambia a secondo del valore cui gli diamo. Se, per esempio, n equivale a 7 possiamo dire che n· 2 (o 2n) sarà uguale a 14. La lettera utilizzata si chiama variabile (o variabile numerica), perché è possibile sostituirla con numeri di volta in volta diversi.

Numeri Naturali e Interi

Le operazioni inverse dell'addizione e della moltiplicazione sono rispettivamente la sottrazione e la divisione. La differenza tra due numeri è il numero che sommato al sottraendo (secondo termine) mi dà il minuendo (primo termine). Il risultato della sottrazione è interno ad ℕ solo se il minuendo è maggiore o uguale al sottraendo. Il quoziente è quel numero che moltiplicato per il divisore dà come risultato il dividendo. Ciò accade solo quando il divisore è diverso da 0. Se il divisore è uguale a 0, l'operazione non è definita. Il risultato di una divisione è interno ad ℕ solo se la divisione è esatta, ossia quando non ha resto

le operazioni inverse

Attraverso i numeri naturali si possono eseguire le operazioni di addizione(+), sottrazione(-), moltiplicazione(× o ·) e divisione(:). I numeri che operano vengono chiamati operandi. Essi assumono nomi diversi a seconda dell'operazione a cui appartengono: -Nell'addizione vengono chiamati addendi, il risultato somma -Nella sottrazione il primo si chiama minuendo, il secondo sottraendo e il risultato differenza -Nella moltiplicazione entrambi gli operandi assumono il nome di fattori, il risultato è il prodotto -Nella divisione il primo operando è il dividendo, il secondo è il divisore ed il risultato è il quoziente o quoto (quest'ultimo si utilizza solo quando il resto è uguale a zero, ovvero quando il dividendo è un multiplo del divisore) Le operazioni si dividono in chiuse e aperte. La moltiplicazione e l'addizione sono chiuse, perché il risultato delle due operazioni dà sempre un numero interno all'insieme ℕ. La sottrazione e la divisione, invece, sono aperte, perché il loro risultato può essere esterno o interno all'insieme ℕ.

le operazioni

Numeri Naturali e Interi

Le potenze

La potenza di un numero è il prodotto del numero per se stesso tante volte quante ne indica l'esponente. Essa è composta da due elementi: la base, indicata con la lettera a, e l'esponente, indicato con la lettera n. Per definizione possiamo dire che se una potenza con a e n ∈ ℕ:

-a^n = a · a· a · a n volte solo se n > 1-a^1 = a- a^0= 1 solo se a ≠ 0- non si definisce la potenza 00Le potenze a2 e a3 si leggono rispettivamente "a al quadrato" e "a al cubo"

ESEMPIO

Numeri Naturali e Interi

la leggenda delle potenze

Come sono nate le potenze? Una leggenda indiana narra la storia di un uomo di nome Sessa Ebu Daher, un sapiente indiano, che inventò il gioco degli scacchi e decise di mostrarlo al sultano. Questi volle subito impararlo e ne fu entusiasta. Così, per ringraziare Sessa di avergli insegnato quel bellissimo gioco, si dichiarò pronto a soddisfare qualunque suo desiderio, per quanto grande fosse. Sessa si mise a pensare e poi disse che voleva un chicco di grano per la prima casella della scacchiera, due per la seconda, quattro per la terza, otto per la quarta, e così via sempre raddoppiando, fino all'ultima casella della scacchiera. Il principe, stupito della richiesta modesta da parte di Sessa, decise di accontentarlo non sapendo che la quantità di chicchi arrivava a circa 18 miliardi di miliardi. Quando però il tesoriere del Sultano disse che non c'era abbastanza grano in tutti i granai del mondo per soddisfare la richiesta di Sessa, il sultano restò sbalordito. Si dice che questa sia una storia vera, ma non si sa come sia andata davvero a finire. Sappiamo solo che Sessa aveva grande conoscenza dei numeri e, a quei tempi, chi sapeva fare i calcoli era considerata una persona molto importante

Numeri Naturali e Interi

espressioni numeriche

Un espressione numerica è una scrittura in cui compaiono dei numeri legati fra di loro tramite le operazioni. In un'espressione, la potenza ha la precedenza su tutte le operazioni. A seguire la moltiplicazione e la divisione ed infine l'addizione e la sottrazione. Moltiplicazioni e divisioni hanno pari precedenza, come addizione e sottrazione. Ciò vuol dire che quando una moltiplicazione e una divisione sono una dopo l'altra, vanno eseguite nell'ordine in cui compaiono, ovvero da destra verso sinistra. Tali precedenze cambiano se nell'espressione sono presenti le parentesi. Vanno svolti prima i calcoli all'interno delle parentesi tonde, poi in quelle quadre e infine in quelle graffe. Per arrivare più facilmente al risultato di un espressione spesso la si semplifica. Semplificare un'espressione significa sostituirla con una più semplice con lo stesso valore attraverso le operazioni. L'uso delle parentesi all'interno di un'espressione può essere comparato con l'uso della punteggiatura. Per esempio, l'espressione 15· 3 : (1+2) è diversa rispetto all'espressione 15· (3:1) +2, pur contenendo gli stessi elementi, danno risultati diversi. In una frase ,pur avendo le stesse parole, il significato cambia a seconda dei segni di punteggiatura contenuti in essa.

espressioni letterali

Attraverso le variabili possiamo scrivere l'espressioni letterali. Ma che cos'è un espressione letterale? L 'espressione letterale è una scrittura che comprende al suo interno sia fattori numerici che letterari. Questi tipi di espressioni vengono utilizzati soprattutto nella geometria perché permettono di scrivere formule applicabili alle figure e ai solidi. In un'espressione letterale il simbolo della moltiplicazione tra variabile e numero si omette.

ESEMPIO

Numeri Naturali e Interi

ESEMPIO 2 · b = 2bUn'espressione letterale diventa numerica se attribuiamo particolari valori numerici alle lettere presenti nell'espressione letteraleESEMPIO 2b - a = a = 2 b = 3 = 2 · 3 - 2 = 4Un'espressione letterale può essere tradotta dai simboli alle parole e viceversa.Ad esempio, se abbiamo a+b possiamo tradurla dai simboli alle parole (a+b = la somma tra a e b).

espressioni numeriche e letterali

Numeri Naturali e interi

proprietà delle operazioni inℕ

L'addizione e la moltiplicazione possiedono rispettivamente un elemento (neutro) e due elementi (neutro ed assorbente)- Lo 0 è l'elemento neutro dell'addizione, ovvero quel numero che sommato ad un altro numero dà come risultato il numero stesso. ESEMPIO (2+0 = 2)- L'1 è l'elemento neutro della moltiplicazione, ossia quel numero che moltiplicato per un numero qualsiasi diverso da zero dà come prodotto il numero stesso. ESEMPIO ( 2·1 = 2 )-Lo 0 è l'elemento assorbente della moltiplicazione, cioè quel numero che moltiplicato per un numero qualsiasi dà come risultato il numero 0. ESEMPIO (2 · 0 = 0)Se il prodotto di due numeri è 0, allora uno dei due fattori sarà uguale a 0 (Legge dell'annullamento del prodotto)La legge commutativa vale sia per la moltiplicazione sia per l'addizione.

LE PROPRIETA' DELL' ADDIZIONE E MOLTIPLICAZIONE

Numeri Naturali e Interi

proprietà delle operazioni inℕ

PROPRIETA' DISSOCIATIVA DELL'ADDIZIONE"la somma di più addendi non cambia se ad uno di essi ne sostituiamo altri due (o più) tali che sommati diano quell'addendo" (2+6 = 2+3+3)PROPRIETA' DISSSOCIATIVA DELLA MOLTIPLICAZIONE"il prodotto di più fattori non cambia se ad uno di essi ne sostituiamo altri due (o più) tali che moltiplicati diano quel fattore" (2 ·10· 3 = 2· 2 · 5· 3)PROPRIETA' DISTRIBUTIVA DELLA MOLTIPLICAZIONERISPETTO ALL' ADDIZIONE" moltiplicare un fattore per la somma di due numeri equivale a calcolare la somma tra il prodotto del fattore per il primo addendo e il prodotto del fattore per il secondo addendo. ESEMPIO a · (b + c) = a · b + a · cUna regola associata a quest'ultima proprietà è la regola del raccoglimento a fattor comune. Il raccoglimento a fattor comune ( o messa in evidenza) dice che: quando, in una somma, tutti gli addendi presentano un fattore in comune, esso può essere raccolto moltiplicandolo per la somma degli altri termini.ESEMPIO a·b + a·c = a · (b+c)

PROPRIETA' DELL'ADDIZIONE E DELLA MOLTIPLICAZIONE

Numeri Naturali e Interi

proprieta' delle operazioni in ℕ

LE PROPRIETA' DELLA SOTTRAZIONE E DELLA DIVISIONE

La proprietà invariantiva vale sia per la sottrazione che per la divisione.PROPRIETA' INVARIANTIVA DELLA SOTTRAZIONE "Sommando o sottraendo lo stesso numero per ogni termine all'interno dell'operazione la differenza non cambia" a-b = (a + c) - (b + c) a - b = ( a-c) - ( b - c) (solo quando le sottrazioni sono possibili).PROPRIETA' INVARIANTIVA DELLA SOTTRAZIONE "Moltiplicando o dividendo lo stesso numero per ogni termine all'interno dell'operazione il quoziente non cambia" a:b = (a · c) : (b · c) a:b = (a : c) : (b : c) solo se c ≠ 0 e quando le divisioni sono possibili.PROPRIETA' DISTRIBUTIVA DELLA MOLTIPLICAZIONE RISPETTO ALLA SOTTRAZIONE " Moltiplicare un fattore per la differenza di due numeri equivale a calcolare la differenza tra il prodotto del fattore per il minuendo e il prodotto del fattore per il sottraendo. c · ( a - b) = c · a - c · bPROPRIETA' DISTRIBUTIVA DELLA DIVISIONE RISPETTO ALL'ADDIZIONE E ALLA SOTTRAZIONE "Per dividere una somma (o una differenza) per un numero si può dividere ciasun termine della somma ( o differenza) per quel numero e poi addizionare ( o sottrarre) i risultati ottenuti" (a + b) : c = a : c + b : c (a - b) : c = a : c - b : c (solo se c ≠ 0 e le divisioni e le sottrazioni sono possibili)

Numeri Naturali e Interi

Il sistema di numerazione romano è un sistema numerico additivo. Ciò significa che a ciascuno dei simboli appartenenti al sistema è associato un valore, e che ogni numero romano rappresenta la somma dei valori dei simboli che lo compongono. Nel sistema romano ogni numero indica sempre la stessa quantità (1= I 5= V 10= X...), che va aggiunta o sottratta a seconda che il simbolo successivo rappresenti un numero minore o maggiore. Ad esempio, XI equivale a 10 + 1 = 11, IX equivale a 10 - 1= 9. Il sistema di numerazione odierno , ovvero quello arabo, è posizionale. Ciò significa che i simboli ( le cifre) usati per scrivere i numeri assumono valori diversi a seconda della posizione che occupano nella notazione.

sistema di numerazione romano

Numeri Naturali e Interi

PRODOTTO DI POTENZE CON STESSA BASE"Il prodotto di potenze con la stessa base è una potenza che per base ha la stessa base e che per esponente ha la somma degli esponenti." a^n · a^m = a^n+^m esempio 12^2 · 12^4 = 12^6QUOZIENTE DI POTENZE CON STESSA BASE "Il quoziente di potenze con la stessa base è una potenza che ha per base la stessa base e per esponente la differenza tra gli esponenti" a^n : a^m = a^n-^m , con a ≠ 0 e n > m esempio 12^4 : 12^2= 12^2POTENZA DI POTENZA "La potenza di una potenza è una potenza che ha per base la stessa base e per esponente il prodotto degli esponenti." (a^n)^m = a^n·^m esempio (12^2)^4 = 12^8PRODOTTO DI POTENZE CON LO STESSO ESPONENTE " il prodotto di potenze con lo stesso esponente è una potenza che ha come esponente lo stesso esponente e come base il prodotto delle basi." a^n · b^n = (a · b)^n esempio 12^3 · 5^3 = 60^3QUOZIENTE DI POTENZE CON LO STESSO ESPONENTE "Il quoziente di potenze con lo stesso esponente è una potenza che ha per esponente lo stesso esponente e per base il quoziente delle basi" a^n : b^n = (a : b)^n con b ≠ 0 e a divisibile per b esempio 12^3 : 6^3 = 2^3

proprietà delle potenze in ℕ

Per le potenze valgono 5 proprieta',scopriamo quali sono...

Numeri Naturali e Interi

multipli e divisori

DEFINIZIONE DI MULTIPLO" Un numero naturale a è multiplo di b se esiste un numero naturale q che moltiplicato per b dia come risultato il numero a"a = b · q esempio 12 = 6 · 2 L'insieme dei multipli di un numero n si indica con Mn e i suoi elementi sono n × 0, n × 1, n × 2, n × 3, n × 4...L'insieme dei multipli di un numero naturale diverso da 0 è un insieme infinito. Lo 0 ha solo un multiplo, se stesso, perché ogni numero moltiplicato per zero dà come risultato zero.DEFINIZIONE DIDIVISORE"Un numero naturale b, diverso da 0, è divisore di un numero naturale a se la divisione tra a e b è esatta, cioè se la divisione non dà resto"a : b = q esempio 12: 6 = 2 q · b = a 2 · 6 = 12L'insieme dei divisori di un numero n si indica con Dn. I divisori sono finiti, dunque diciamo che "L'insieme dei divisori di un numero naturale diverso da zero è un insieme finito". I divisori di 0 sono infiniti perché 0 è diviso esattamente da ogni altro numero.

Numeri Naturali e Interi

I criteri di divisibilità sono degli algoritmi che permettono di verificare la divisibilità di un numero intero per un fattore senza eseguire la divisione. Vediamo quali sono:

criteri di divisibilità

Numeri Naturali e Interi

CHI ERA ERATOSTENE?Eratostene di Cirene fu un importante matematico, astronomo, geografo e filosofo greco, vissuto tra il III e il II secolo a.C. Fu il primo a misurare le dimensioni della Terra tramite un calcolo che si basava sull'osservazione di un bastone verticale posto a Siene ,in Egitto il giorno del solstizio d'estate.CHE COS'ERA IL CRIVELLO DI ERATOSTENE?Il crivello ( che significa setaccio) di Eratostene è una tabella che serve per "setacciare" i numeri primi. Essa permette di separare i numeri primi dai numeri composti.COME FUNZIONA?Per prima cosa si cercano nella tabella dei numeri i multipli di 2, escluso il 2, e si cancellano. Poi si cercano i multipli di 3, escluso il 3, e si cancellano. Quindi si cercano e si cancellano i multipli di 5, escluso il 5. Infine si cercano e si cancellano i multipli di 7, escluso il 7. I numeri che restano sono numeri primi

crivello di Eratostene

COSA SIGNIFICA TROVARE IL M.C.D?Trovare il massimo comune divisore di due o più numeri naturali significa trovare il più grande divisore fra i loro divisori comuni.ESEMPIO -> M.C.D ( 12, 18) = 6I divisori di 12 = 2,4,6,12I divisori di18 = 2,4,6,9,18Il divisore comune più grande tra 12 e 18 è 6COME SI TROVA IL M.C.D?Il M.C.D si trova grazie alla scomposizione in fattori primi. La scomposizione in fattori primi è il procedimento per cui un numero si riscrive come prodotto di numeri primi Il M.C.D è il prodotto dei fattori comuni, presi una sola volta, con l'esponente minore.

Numeri Naturali e Interi

il massimo comune divisore e il minimo comune multiplo

M.C.D.

COSA SIGNIFICA TROVARE IL MINIMO COMUNE MULTIPLO?Trovare il minimo comune multiplo di due o più numeri naturali significa trovare il multiplo comune più piccolo tra i loro multipli (diverso da 0).ESEMPIO -> m.c.m (12,18) = 36I multipli di 12 = 12, 24, 36, 58, 60, 72 ...I multipli di 18= 19, 36, 54, 72...Il minimo comune multiplo tra 12 e 18 è 36COME SI TROVA IL m.c.m?Il minimo comune multiplo si trova grazie alla scomposizione in fattori primi. Il m.c.m è il prodotto di tutti i fattori ( comuni e non comuni) presi una sola volta, con l'esponente maggiore.ESEMPIO -> m.c.m (12,18) = 22 · 32 = 4 · 9 = 36Parliamo di numeri primi tra loro quando non hanno nessun fattore in comune diverso da 1. Due numeri consecutivi sono sempre primi fra loro. Il m.c.m tra due numeri primi tra loro è uguale al loro prodotto.

Numeri Naturali e Interi

il massimo comune divisore e il minimo comune multiplo

m.c.m.

COSA E' UN ALGORITMO?L'algoritmo è un procedimento sistematico di calcolo, oggi per lo più destinato a essere eseguito da un automa esecutore quale un calcolatore. Il termine deriva dal nome latinizzato del matematico arabo Muhammad ibn Mùsà.CHE COS'E' L'ALGORITMODI EUCLIDE?L'algoritmo di Euclide è un algoritmo per il calcolo del M.C.D fra due numeri mediante sottrazioni successive. Il metodo si basa sul teorema della divisibilità della differenza. Il teorema dice che se due numeri naturali a e b, con a > b , sono divisibili per uno stesso numero c, allora anche a - b è divisibile per c.

Numeri Naturali e Interi

l'algoritmo di Euclide

Se due numeri naturali a e b, con a > b , sono divisibili per uno stesso numero c, allora anche r ( il resto della divisione tra a e b) , è divisibile per c.ESEMPIO130 e 40 sono divisibili per 5. 130 : 40 = 3 con resto 10 1O è divisibile per 5.

teorema della divisibilità del resto

Numeri Naturli e Interi

numeri interi

I numeri interi sono l'insieme ottenuto dall'unione dei numeri naturali e dei numeri negativi.Ogni numero, può avere il segno - o +.ESEMPIO: (5, +5, -5)Indichiamo con Z il loro insieme.

Due numeri diversi da zero sono concordi se hanno lo stesso segno .ESEMPIO:( +8,+6)Discordi se hanno segno diverso.ESEMPIO: ( -7, +12)Opposti se hanno i segni diversi e lo stesso valore assoluto.ESEMPIO: (-9, +9)

concordi, discordi e opposti

Numeri Naturali e Interi

numeri interi

Nell'insieme dei numeri interi, possiamo indicare un numero positivo anche senza scrivere il segno, a differenza di un numero negativo che va sempre messo il segno.Dobbiamo sapere che N è un sottoinsieme proprio di Z.In simboli: N⊂Z.Infine, abbiamo il valore assoluto o modulo di un numero intero, che lo indichiamo con: | x |;il valore assoluto di un numero intero è sempre positivo o è 0.

confronto tra i numeri interi

Z è un insieme ordinato; ESEMPIO:0 > -50 è maggiore di ogni intero negativo e minore di ogni intero positivo; ESEMPIO:0 < +9Ogni intero negativo è minore di ogni intero positivo; ESEMPIO: -1 < +2Il minore di due interi positivi è quello con il valore assoluto minore; ESEMPIO:+3 < +7il minore di due interi negativi è quello con il valore assoluto maggiore; ESEMPIO: -8 < - 6.

Numeri Naturali e Interi

confronto tra i numeri interi

LA RETTA ORIENTATA

Poichè Z è un insieme ordinato, è possibile rappresentare i suoi elementi su una retta orienatata.

Possiamo dire che:- I numeri opposti sono equidistanti da 0;-Tutti i numeri positivi, sono a destra dello 0 e i negativi alla sua sinistra;-Se preniamo un numero, ad esempio il 3, notiamo che alla sua destra, abbiamo un numero più grande (4) e alla sua sinistra, uno più piccolo (2);

Numeri Naturali e Interi

-ADDIZIONE:Distinguiamo due casi:la somma di due interi concordi formaun intero che ha: segno uguale a quello degli addendi evalore assoluto uguale alla somma dei valori assoluti dei due numeriESEMPIO:(-3) + (-5) = -8.Notiamo inoltre che la definizione di addizione tra numeri interi positivi, coincide con la definizione di addizione che abbiamo dato tra numeri naturali.La somma di due interi discordi è un interno che ha: segno uguale a quello dell'addendo con valore assoluto maggiore ESEMPIO:(-7) + (+3) = -4.Lo zero è un numero neutro.Addizione interna: quando la somma di due numeri interi è sempre un numero intero; la somma di un numero interno e del suo opposto è zero.

operazioni in Z e le loro proprietà...

Numeri Naturali e Interi

-MOLTIPLICAZIONE:Il prodotto di due numeri interi diversi da 0 è un intero che ha:segno positivo se i fattori sono concordisegno negativo se sono discordivalore assoluto uguale al prodotto dei valori assoluti dei fattori.Se almeno uno dei fattori è 0, il prodotto è 0 (elemento neutro) / (+3) · (+5) = +15; (-3) · (+5) = -15.----> LEGGE DELL' ANNULLAMNENTO.il segno della moltiplicazione può essere sottinteso con il simbolo: (·).Nel prodotto di più fattori il segno è positivo se il numero di fattori negativi è pari, invece è negativo se il numero dei fattori negativi è dispari.Questo perché possiamo raggruppare a coppie i fattori negativi dato chemogni coppia fornisce il segno positivo.4 fattori pari negativi: (-1) (-2) (+3) (-2) (-1) = +12: PRODOTTO POSITIVO 5 fattori dispari negativi:(-1) (-2) (-3) (-2) (- 1) = -12:PRODOTTO NEGATIVO valgono le proprietà commutativa e associativa e la proprietà distributiva rispetto all'addizione e alla sottrazione.Moltiplicando un numero intero qualsiasi, diverso da zero, per -1, otteniamo il suo opposto: (+13) (-1) = -13.Un segno - davanti a una parentesi può essere considerato come la moltiplicazione per -1.Possiamo allora eliminare le parentesi cambiando il segno degli addendi: -(+3 -5 +7) = (-1) · (+3 -5 +7) = -3 +5 -7 = -5

operazioni in Z e le loro proprietà

Numeri Naturali e Interi

Nell'insieme dei numeri naturali non possiamo calcolare 4 - 8 poichè il risultato non è un numero naturale.L'introduzione dei numeri negativi ci permette di calcolare anche differenze come questa, in cui il minuendo è minore del sottraendo.La differenza di due interi è la somma del minuendo con l'opposto del sottraendo ESEMPIO: a - b = a + (-b).In questo caso le sottrazioni si trasformano in addizioni e, per un calcolo più rapido, eliminiamo le parentesi e cambiamo il segno del sottraendo.In Z l'operazione di sottrazione è interna, mentre in N non lo è, infatti, le sottrazioni che non sono possibili in N hanno sempre risultato in Z.Come in N, anche in Z la sottrazione usufruisce della proprietà invariantiva,poiché la sottrazione si trasforma in addizione, possiamo considerare addizione e sottrazione come una stessa operazione in N.

operazioni in Z e le loro proprietà...

-SOTTRAZIONE:

Numeri Naturali e Interi

operazioni in Z e le loro proprietà

-MOLTIPLICAZIONE:Il prodotto di due numeri interi diversi da 0 è un intero che ha:segno positivo se i fattori sono concordisegno negativo se sono discordivalore assoluto uguale al prodotto dei valori assoluti dei fattori.Se almeno uno dei fattori è 0, il prodotto è 0 (elemento neutro) / (+3) · (+5) = +15; (-3) · (+5) = -15.---->LEGGE DELL' ANNULLAMNENTO.il segno della moltiplicazione può essere sottinteso con il simbolo: (·).Nel prodotto di più fattori il segno è positivo se il numero di fattori negativi è pari, invece è negativo se il numero dei fattori negativi è dispari.Questo perché possiamo raggruppare a coppie i fattori negativi dato chemogni coppia fornisce il segno positivo.4 fattori pari negativi: (-1) (-2) (+3) (-2) (-1) = +12: PRODOTTO POSITIVO5 fattori dispari negativi: (-1) (-2) (-3) (-2) (- 1) = -12: PRODOTTO NEGATIVOValgono le proprietà commutativa e associativa e la proprietà distributiva rispetto all'addizione e alla sottrazione.Moltiplicando un numero intero qualsiasi, diverso da zero, per -1, otteniamo il suo opposto:(+13) (-1) = -13.Un segno - davanti a una parentesi può essere considerato come la moltiplicazione per -1Possiamo allora eliminare le parentesi cambiando il segno degli addendi: -(+3 -5 +7) = (-1) · (+3 -5 +7) = -3 +5 -7 = -5

Numeri Naturali e Interi

operazioni in Z e le loro proprietà

-DIVISIONE:Come in N, la divisione tra numeri è definita come operazione inversa della moltiplicazione.Il quoziente di due interi, diversi da 0, se esiste, è un intero che ha:segno positivo se divisore e dividendo sono concordisegno negativo se sono discordi, hanno valore assoluto uguale al quoziente dei valori assoluti del dividendo e del divisore ESEMPIO (+8) : (+2) = +4; (-8) : (-2) = +4.Se il dividendo è 0, il quoziente è 0. Il divisore non può mai essere 0.In Z l'operazione di divisione non è interna: (+5) : (-3) infatti non ha risultato in Z, perché 5 non è multiplo di 3.Anche in Z la divisione gode delle proprietà invariantiva e distributiva a destra rispetto all'addizione e alla sottrazione.Non vale invece, così come non vale in N, la proprietà distributiva a sinistra.

Numeri Naturali e Interi

potenze in N

La definizione di potenza in Z discende da quella di moltiplicazione, infatti, nel caso di esponente maggiore di 1, anche in Z la potenza può essere considerata una moltiplicazione ripetuta di fattori uguale alla base.Perciò possiamo dare la seguente definizione...la potenza di un intero è un intero che ha:segno negativo solo se la base è negativa e l'esponente è dispari evalore assoluto uguale alla potenza con stesso esponente del valore assoluto della base.In Z,come in N, valgono le cinque proprietà delle potenze.

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FINE <3

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MATHEMATICAL OPERATIONS by Gera Vale on Genially

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PROGETTO DI MATEMATICA.NUMERI NATURALI ED INTERI Valente Gerarda, Caponigro Davide,Del Giudice Yohana,Paletta Riccardo Numeri Naturali ed Interi Le lettere in matematicaLe operazioniLe potenzeLa leggenda delle potenzeEspressioni numericheEspressioni letteraliProprietà delle operazioni in ℕIl sistema di numerazione romanoProprietà delle potenze in ℕMultipi e DivisoriCrivello di EratosteneMassimo comune divisore e minimo comune multiploAlgoritmo di EuclideIl teorema della divisibilità del resto indice I numeri naturali sono l'insieme di base su cui si costruiscono tutti gli altri tipi di numeri.

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