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Representación simbólica de los elementos constituidos de un sistema o conjunto, mediante esquemas gráficos.

"las relaciones de orden pueden representarse mediante un diagrama cartesiano o un grafo dirigido"

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En el siguiente ejemplo vemos rutas en un mapa, en las cuales determinaremos varias distancias entre varios puntos puntos.

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1. Una de las aplicaciones mas importantes y mas usadas de los grafos en los mapas, es para determinar e intentar disminuir el tiempo y camino en recorridos entre sitios distintos.
Para ir de la ciudad P a la ciudad F, existen al menos 5 rutas; pero el objetivo de los grafos aquí es identificar y aplicar el camino mas corto entre los 2 vértices. El camino mas corto para llegar de P a F, es el que contenga menos aristas en su recorrido hacia el vértice final. En este caso sería {P, O, M, L, J, F}.

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2. Otra aplicación de los grafos es la del coloreo, es muy usada cuando hablamos de pintar mapas.

El objetivo es colorear los vértices de un grafo de tal manera que no existan dos vértices adyacentes del mismo color, ademas de que tenemos que usar el menor numero de colores posibles.

El algoritmo de coloración dice que basta solo de 4 colores para pintar cualquier mapa; este algoritmo es llamado el "Teorema de los 4 Colores". Para aplicar este algoritmo necesitamos saber el grado de cada vértice, es decir, conocer el numero de vértices adyacentes.

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Aplicación de los Grafos en Diseño Matemático.

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Aplicación de los Grafos en Diseño Matemático.

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1. Algoritmo De Flody Y Warshall:

El algoritmo de Floyd y Warshall, permite hallar la ruta más corta en grafos dirigidos ponderados.

Características:

Obtiene la mejor ruta entre todo par de nodos.

Trabaja con la matriz 'D' inicializada con las distancias directas entre todo par de nodos.

La iteración se produce sobre nodos intermedios, es decir, para todo elemento de la matriz se prueba si lo mejor para ir de 'i' a 'j' a través de un nodo intermedio elegido o como estaba anteriormente, y esto se prueba con todos los nodos de la red.

Una vez probados todos los nodos de la red como nodos intermedios, la matriz resultante da la mejor distancia entre todo par de nodos.

Matriz 'Sn' que entrega el nodo intermedio para llegar desde un nodo 'i' a un nodo 'j' del grafo.

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2. Algoritmo De Flujo Máximo:

El algoritmo de flujo máximo consiste en interpretar el grafo como una red de flujo de algun material.

Cada arco (vértice) puede ser considerado como un conducto de cierta capacidad.

Este algoritmo es de gran utilidad para reducir las congestiones entre ciertos puntos de partida y destino de una red, por ejemplo sistemas de vías públicas, transporte de petróleo desde la refinería hasta los centros de almacenamiento, distribucion de energía eléctrica  a través de los de una red de alumbrado público.

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En este tipo de aplicación de los grafos se pueden realizar cálculos de costos; en este caso, la arista del grafo puede representar cosas como: la distancia en kilómetros, el precio de un tiquete de avión o el costo de expandir una red telefónica entre los dos puntos que representan los vértices de los extremos.

La aplicación consiste en encontrar la forma más rápida o barata de ir de una ciudad a otra o de crear una red telefónica, o el punto más adecuado para instalar un hospital en una ciudad.

Nota: Cuando dos vértices no están conectados se dice que el coste entre ellos es infinito ( ∞).

La figura 1 muestra un grafo de costos.

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Si definimos el costo de un camino como la suma de los costos de los arcos que componen dicho camino, podemos plantearnos calculas los costos minimos de un punto determinado a otro.

El problema se puede resolver con el llamado algoritmo de Dijikstra, que plantea ir formando un conjunto de todos aquellos vértices de los que ya se conoce el costo minimo para llegar a ellos a partir del vértice fuente. Este conjunto comienza conteniendo solo la fuente y acaba con todos los vértices del grafo. En cada iteración se añade uno de los vértices restantes cuya distancia sea mínima usando un camino que pase solo por vértices ya incluidos en el conjunto de vértices tratados.

Aplicando esta definición a la figura 1 tomando como fuente el vértice 1 obtenemos la siguiente tabla y los caminos que se muestran en la figura 2.