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É a área da Matemática responsável pelo estudo das geometrias plana e espacial usando processos algébricos. Por meio da geometria analítica, os conceitos da geometria clássica puderam ser compreendidos de uma forma inteiramente nova, com novos métodos para a demonstração, uso e criação de propriedades ainda não imaginadas.

O estudo da geometria analítica no ensino médio é dividido em: estudo analítico do ponto, estudo analítico da reta, estudo analítico da circunferência, vetores e cônicas.

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Vamos relembrar!!!

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Início no estudo sobre Geometria Analítica - Plano Cartesiano - Professora Angela

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Anote em seu caderno!

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O plano cartesiano é formado por duas retas reais perpendiculares, ou seja, o ângulo entre elas é de 90°. Essas retas determinam um único plano, que é denominado com sistema ortogonal de coordenadas cartesianas ou somente planocartesiano.

No ano de 1637, René Descartes teve a brilhante ideia de relacionar álgebra e geometria, dando início à conhecida geometria analítica, método que possibilita descrever a geometria utilizando uma menor quantidade de diagramas e desenhos. Apesar de os créditos dessa descoberta serem dados a Descartes, Pierre de Fermat já conhecia e utilizava alguns conceitos de geometria analítica, logo o plano cartesiano.
Veja também: Ângulos formados entre duas retas
Para que serve um plano cartesiano?

Plano cartesiano formado pelos eixos x e y.

O plano cartesiano é um sistema de coordenadas desenvolvido por René Descartes. Esse sistema de coordenadas é formado por duas retas perpendiculares, chamadas de eixos cartesianos. Esses eixos determinam um único plano, assim, é possível determinar a localização no sistema de coordenadas de todo os pontos e, consequentemente, de qualquer objeto formado por esses pontos que estejam nesse plano.

Desse modo, perceba que é possível representar pontos ou objetos utilizando somente suas coordenadas, isto é, não é necessário construir um desenho de um objeto, basta somente expressar suas coordenadas.

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Muitos problemas da Matemática só puderam ser resolvidos graças a essa concepção, como para calcular a distância entre dois pontos ou calcular a área de um triângulo. Esses assuntos são a base da geometria analítica, que é, por sua vez, a base para desenvolver o cálculo diferencial e integral.

Como se faz um plano cartesiano?

O plano cartesiano é formado por duas retas reais em que o ângulo entre elas é de 90°, ou seja, elas são perpendiculares. Essas retas são chamadas de eixos. Assim, há o eixo horizontal, que échamado de eixo das abscissas, e o eixo vertical, que é o eixo das ordenadas.

Perceba que as retas perpendiculares dividem o plano em quatro regiões, que são chamadas de quadrantes - isso porque as duas retas perpendiculares dividem o plano em quatro regiões.

Vamos representar os quadrantes no sentido anti-horário. Veja:

Note as relações entre os valores dos eixos x (abscissas) e y (ordenadas). No 2º quadrante, o valor da abscissa é sempre menor que o valor da ordenada, ou seja, x < y. No 4º quadrante, o valor da abscissa é sempre maior que o valor da ordenada, assim, x > y.
Leia também: Demonstração das fórmulas das coordenadas do vértice
Nos quadrantes ímpares, 1º e 3º, já não podemos afirmar alguma relação, pois neles podemos ter abscissas maiores, menores ou iguais aos valores das ordenadas.

Ponto em um plano cartesiano

Um ponto qualquer do plano cartesiano é indicado a partir de suas coordenadas, que são representadas por um par ordenado, ou seja, um ponto é formado por um conjunto de dois números que possui uma ordem a ser seguida ( ordenado). A notação do par ordenado ou ponto P é:

y → à Ordenada

Assim, para localizar um ponto, basta marcar o valor no eixo das abscissas e, em seguida, o valor no eixo das ordenadas. Depois trace uma reta perpendicular aos pontos x e y encontrados. O local onde essas retas perpendiculares se encontram é onde ponto P está.
Solução
Exercícios resolvidos
Solução
Questão 1 - Marque os pontos A (2, 3), B (-2,5), C (-3, -2) e D (1, -4) no plano cartesiano.

Questão 2 - Em um ponto Q (a, b) do plano cartesiano, a abscissa é menor que a ordenada, assim, em que quadrante esse ponto não pode estar?

Do enunciado, temos que o valor da abscissa é menor que o da ordenada, ou seja:

a < b

O único quadrante em que o ponto Q não pode estar é no quarto, visto que o valor da abscissa é sempre maior que o valor da ordenada.

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Plano cartesiano: para que serve, como montar - Mundo Educação

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Conheça o que é o plano cartesiano e qual a sua função. Saiba também como montar e marcar pontos nele.

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Assista com concentração e Anote

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Geometria Analítica - Distância entre dois pontos - Professora Angela

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Cálculo da Distância entre Dois Pontos do Plano Cartesiano

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Cálculo da Distância entre Dois Pontos do Plano Cartesiano

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Não é difícil!

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Dizemos que a distância entre os pontos A e B é a medida do segmento de reta que liga o ponto A ao ponto B. Dessa forma, a distância entre dois pontos é um comprimento.

Essa medida pode ser obtida de diversas formas. As mais comuns são duas: medir o segmento de reta que liga os pontos distintos A e B utilizando alguma ferramenta que possui esse fim ou utilizar um resultado proveniente da Geometria Analítica.

Os instrumentos mais conhecidos que são utilizados para medir segmentos de reta são: régua, trena e fita métrica.

Já o resultado proveniente da Geometria Analítica depende da localização dos pontos A e B e baseia-se no cálculo do comprimento da hipotenusa de um triângulo retângulo.

Para calcular a distância entre os pontos A e B, devemos escolher pontos que possuem coordenadas quaisquer A (x ₁, y ₁) e B (x ₂, y ₂). Essas coordenadas representam a localização dos pontos A e B em um plano. A distância entre esses dois pontos é igual ao comprimento do segmento de reta na cor lilás na imagem a seguir.

Exemplo de pontos A e B, com suas localizações e coordenadas no plano

O cálculo dessa distância é feito por meio da seguinte fórmula:

Fórmula utilizada para calcular a distância entre dois pontos

Para utilizá-la, basta substituir os valores numéricos das coordenadas dos pontos A e B nos locais indicados na fórmula e realizar os cálculos.

1 - Calcule a distância entre os pontos A(1,1) e B(1,4).

Primeiramente, mostraremos por meio do plano cartesiano que d AB = 3. Observe a figura a seguir:

Exemplo de cálculo entre os pontos A(1,1) e B(1,4)

Agora, vamos mostrar que, utilizando a fórmula para o cálculo de distância entre dois pontos, encontraremos que a distância entre A e B (d ) é igual a 3. Observe:

Cálculos feitos a partir das coordenadas dos pontos A e B resultando na distância entre A e B

Exemplo 2 - Calcule a distância entre os pontos A(- 2, 4) e B(2,2).

Não é necessário fazer qualquer desenho para calcular a distância entre dois pontos, pois basta ter em mãos as coordenadas de dois pontos quaisquer do plano e utilizar a fórmula proposta acima. Observe:

Cálculo utilizado para encontrar a distância entre os pontos A e B

Por Luiz Paulo Moreira
Graduado em Matemática

Aproveite para conferir nossas videoaulas sobre o assunto:

Comprimento do segmento de reta AB

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Distância entre dois pontos - Escola Kids

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Dizemos que a distância entre os pontos A e B é a medida do segmento de reta que liga o ponto A ao ponto B. Dessa forma, a distância entre dois pontos é um comprimento. Essa medida pode ser obtida de diversas formas.

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Assista esta vídeo-aula do Centro de Mídias!

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Assista esta vídeo-aula do Centro de Mídias!

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Copie em seu caderno para memorizar!

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O CMSP - Centro de Mídias SP é uma iniciativa da Secretaria da Educação do Estado de São Paulo para contribuir com a formação dos profissionais da Rede e ampliar a oferta aos alunos de uma educação mediada por tecnologia, de forma inovadora, com qualidade e alinhada às demandas do século XXI.

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Vamos por a mão-na-massa!

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Sistemas de Equações da Reta!

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Copie em seu caderno!

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G. A. EQUAÇÃO REDUZIDA DA RETA (c/ exemplos)

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Deixa rolar enquanto estuda...

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📒🧮🎼MÚSICA PARA ESTUDIAR MATEMÁTICAS Y CONCENTRARSE CEPSI  PSICOPEDAGOGÍA🧮📒🎼