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Solución al problema 2.

Para empezar observamos que Pío Niro no pudo nacer en los años treinta, es decir, no pudo nacer en un año de la forma \(193x\). La suma de las cifras de un año de este tipo es, a lo sumo, \(22\), que es la que corresponde al año \(1939\). Si a \(1939\) le sumamos \(22\) tenemos \(1961\) que no es \(1971\). Algo similar ocurre si a cualquier año de la forma \(193x\) le sumamos la suma de sus cifras: nunca alcanzará a ser \(1971\). Similar razonamiento se puede seguir si el año de nacimiento fuera de la forma \(192x\), \(191x\), \(190x\), \(189x\), etcétera.

Razonemos ahora con una fecha de la forma \(194x\). Si Pío Niro hubiera nacido en \(1948\), cuya cifras suman \(22\), su muerte se tendría que haber producido, según reza en su lápida, en \(1948+22=1970\), que no coincide con \(1971\): se queda un año corto. Si hubiera nacido en \(1949\), cuyas cifras suman \(23\). su muerte se tendría que haber producido en el año \(1949+23=1972\), que sobrepasa en un año a \(1971\).

De todo lo anterior se deduce que es muy probable que el año de nacimiento de Pío Niro sea de la forma \(195x\). Vamos a plantear una ecuación según lo que dice en su lápida.

El año \(195x\) lo podemos escribir así: \(1000+900+50+x=1950+x\). La suma de sus cifras es \(1+9+5+x=15+x\). Si sumamos ambas cosas debe de dar \(1971\):

\[1950+x+15+x=1971\Rightarrow 2x=1971-1950-15\Rightarrow2x=6\Rightarrow x=3\]

Así, el año de nacimiento de Pío Niro fue \(1953\). La suma de sus cifras es \(18\) y \(1953+18=1971\). Obsérvese que vivió tantos años como la suma de las cifras de su año de nacimiento: \(18\).

Procediendo de manera similar a como se ha hecho para el problema 2, se puede obtener la solución del problema 1: la edad de la persona en el año \(2000\) era \(19\) años y nació en \(1981\).

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Solución al problema 2. Para empezar observamos que Pío Niro no pudo nacer en los años treinta, es decir, no pudo nacer en un año de la forma \(193x\). La suma de las cifras de un año de este tipo es, a lo sumo, \(22\), que es la que corresponde al año \(1939\).

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La razón entre las cantidades de hijo varón y madre es \(\dfrac{2/3}{1/3}=2\). La razón entre las cantidades de hija hembra y madre es \(\dfrac{1/3}{2/3}=\dfrac{1}{2}\). Las anteriores son las constantes de proporcionalidad hijo-madre, hija-madre. De la primera se deduce que el hijo recibe el doble que la madre, y de la segunda que la hija recibe la mitad de la madre.

De lo anterior se deduce que si la cantidad que recibe la madre es \(x\), la del hijo es \(2x\) y la de la hija es \(\dfrac{x}{2}\), cantidades que suman un total de \(3,5x\). Por tanto el reparto se realizará de la siguiente manera:

A la madre le corresponde \(x\) de \(3,5x\), es decir \(\dfrac{x}{3,5x}=\dfrac{2}{7}\) del total.

Al hijo le corresponde \(2x\) de \(3,5x\), es decir \(\dfrac{2x}{3,5x}=\dfrac{4}{7}\) del total.

A la hija le corresponde \(0,5x\) de \(3,5x\), es decir \(\dfrac{0,5x}{3,5x}=\dfrac{1}{7}\) del total.

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La razón entre las cantidades de hijo varón y madre es \(\dfrac{2/3}{1/3}=2\). La razón entre las cantidades de hija hembra y madre es \(\dfrac{1/3}{2/3}=\dfrac{1}{2}\). Las anteriores son las constantes de proporcionalidad hijo-madre, hija-madre. De la primera se deduce que el hijo recibe el doble que la madre, y de la segunda que la hija recibe la mitad de la madre.

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Un rajá dejó a sus hijas cierto número de diamantes y determinó que la división se hiciera del siguiente modo: la hija mayor sacaría un diamante y \(\displaystyle\frac{1}{7}\) de los que restasen. ...

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Yo tuve un terreno con la forma exacta de un cuadrado. Vendí la cuarta parte del mismo, y esa cuarta parte tenía también la forma de un cuadrado (en la imagen, el cuadrado que vendí, en color gris). La parte restante (en color lavanda), debía ser dividida en cuatro partes que fueran iguales en forma y tamaño.

¿Cómo resolver el problema?

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Yo tuve un terreno con la forma exacta de un cuadrado. Vendí la cuarta parte del mismo, y esa cuarta parte tenía también la forma de un cuadrado (en la imagen, el cuadrado que vendí, en color gris). La parte restante (en color lavanda), debía ser dividida en cuatro partes que fueran iguales en forma y tamaño.

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Para hallar el valor del radio del círculo inscrito en el triángulo vamos a "trocear" tal triángulo del modo que se indica en la figura siguiente:

El área del triángulo ABC es igual a la suma de las áreas de los triángulos AOE, AOB, BOD, y del cuadrado CDOE. Esto nos lleva a la siguiente igualdad:

\[\frac{ab}{2}=\frac{r(b-r)}{2}+\frac{cr}{2}+\frac{(a-r)r}{2}+r^2\]

Eliminando denominadores y paréntesis se tiene:

\[ab=rb-r^2+cr+ar-r^2+2r^2\Rightarrow ab=r(a+b+c)\]

Igualdad esta última de la que se deduce que el valor del radio es:

\[r=\frac{ab}{a+b+c}\]

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Radio del círculo inscrito en un triángulo rectángulo

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Para hallar el valor del radio del círculo inscrito en el triángulo vamos a "trocear" tal triángulo del modo que se indica en la figura siguiente: El área del triángulo ABC es igual a la suma de las áreas de los triángulos AOE, AOB, BOD, y del cuadrado CDOE.

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Tomando como unidad el ángulo o espacio recorrido en un minuto, llamemos \(x\) a los espacios de minuto que recorre la aguja pequeña o aguja horaria. Evidentemente, el minutero que está en las \(12\) recorre \(15\) espacios de minuto más \(x\) para superponerse por primera vez. Como este espacio es \(12\) veces mayor que el recorrido por la aguja horaria, podemos plantear la siguiente ecuación:

\[15+x=12x\]

Resolviendo:

\[11x=15\Rightarrow x=\frac{15}{11}=1+\frac{4}{11}\]

\(\displaystyle \frac{4}{11}\) minutos se corresponde con \(\displaystyle \frac{4}{11}\cdot60=\frac{240}{11}=21+\frac{9}{11}\) segundos.

Además \(\displaystyle\frac{9}{11}\) segundos son \(\displaystyle\frac{9}{11}\cdot10=\frac{90}{11}\approx8\) décimas de segundo.

Por tanto, las agujas se superponen a las \(3\) horas, \(16\) minutos, \(21\) segundos y \(8\) décimas de segundo.

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Tomando como unidad el ángulo o espacio recorrido en un minuto, llamemos \(x\) a los espacios de minuto que recorre la aguja pequeña o aguja horaria. Evidentemente, el minutero que está en las \(12\) recorre \(15\) espacios de minuto más \(x\) para superponerse por primera vez.

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La Bono Loto, como la Lotería Primitiva, es un sorteo que consiste en extraer, una a una, 6 bolas de un bombo que contiene 49 bolas, numeradas cada una de ellas del número 1 al número 49.

Supongamos que tenemos las 49 bolas dispuestas en el bombo. Sacamos la primera bola. Es muy fácil darse cuenta de que la probabilidad de que esta bola sea el número 19 es \(\frac{1}{49}\).

Hagamos un inciso aquí para aprender alguna terminología que se utiliza en teoría de probabilidades.

En realidad lo que estamos haciendo es un experimento. Experimento que consiste en extraer una bola de un bombo que contiene 49 bolas, numeradas del 1 al 49. El sorteo de la Bono Loto o de la Lotería Primitiva es otro experimento consistente en repetir seis veces, sin reemplazar las bolas extraídas sucesivamente del bombo, el experimento anterior. Este tipo de experimentos que tienen que ver con el azar reciben el nombre de experimentos aleatorios.

Los posibles resultados al ejecutar nuestro experimento aleatorio es un conjunto formado por 49 elementos: los 49 números naturales, del 1 al 49, con que se numera a cada una de las bolas del bombo. Al conjunto formado por todos los resultados posibles del experimento aleatorio se le llama espacio muestral y se suele simbolizar con la letra \(E\). En nuestro experimento aleatorio, el espacio muestral es:

\(E=\) {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49}

Cada subconjunto de un espacio muestral recibe el nombre de suceso aleatorio. Se suelen denotar con las letras mayúsculas \(A\), \(B\), \(C\),...

La probabilidad de un suceso \(A\), que simbólicamente escribiremos \(P(A)\), se halla dividiendo el número de elementos del suceso \(A\) (casos favorables), entre el número de elementos del espacio muestral \(E\) (casos posibles). Este resultado es conocido como regla de Laplace.

Por tanto, si llamamos \(A\) al suceso "extraer la primera bola con el número 19", entonces \(A=\{19\}\) y su probabilidad es \(P(A)=\frac{1}{49}\) (1 caso favorable entre 49 posibles).

De un modo similar, si llamamos \(B\) al suceso "extraer la segunda bola con el número 37", entonces \(P(B)=\frac{1}{48}\) (1 caso favorable entre 48 posibles, pues ya se había extraído una bola anteriormente, la número 19).

Así pues la probabilidad de que la primera bola sea la 19 y la segunda la 37 será \(\frac{1}{49}\cdot\frac{1}{48}=\frac{1}{2352}=0,00042517\).

Rigurosamente, la notación matemática es así:

donde:

\(A\cap B\)es el suceso "sacar primera bola 19 y segunda bola 37". En matemáticas se llama suceso intersección del suceso \(A\) y del suceso \(B\) y hace referencia al suceso que ocurre cuando se dan simultáneamente los sucesos \(A\) y \(B\).

\(B/A\) es el suceso "sacar segunda bola 37 sabiendo que la primera bola ha sido 19". Observa que es más riguroso escribirlo así en vez de simplemente \(B\), pues se sabe que la primera bola extraída ha sido la 19. Este suceso se llama suceso \(B\) condicionado por \(A\) y hace referencia a la ocurrencia del suceso \(B\) sabiendo que ya ha ocurrido el suceso \(A\).

Lo realmente importante es que hemos conseguido hallar la probabilidad de que la primera bola extraída sea la 19 y la segunda la 37:

Pero esta probabilidad es la de que la primera bola sea la 19 y la segunda la 37. Como se extraen seis bolas, las posiciones en que salen la bola 19 y la bola 37 pueden ser muy distintas. En concreto, hay 30 posibilidades diferentes. Hay 15 en que la bola 19 sale por delante de la bola 37 y otras 15 en que la bola 37 sale por delante de la 19. No es difícil escribirlas todas. Por ejemplo podemos escribir:

_ \(A\) _ _ \(B\) _

lo que significa que la segunda bola que sale es la 19 y la quinta es la 39. En los "huecos" puede salir cualquier otra bola. Os dejo a vosotros que las escribáis todas y que os convenzáis de que, efectivamente, hay 30 posibilidades diferentes de aparición de las bolas 19 y 37. Los más acostumbrados a trabajar con estadística y probabilidad se darán cuenta de que este número coincide con las variaciones sin repetición de 6 posiciones tomadas de 2 en 2: \(V_{6,\,2}=6\cdot5=30\).

Así pues, si llamamos \(C\) al suceso "salir las bolas 19 y 37" en un sorteo cualquiera de la Bono Loto, tendremos que su probabilidad es:

Por cierto, esta probabilidad es la misma para cualquier otra pareja de números fija, pero arbitraria.

Analicemos este resultado. Si multiplicamos la probabilidad obtenida por mil, se obtiene aproximadamente 12,7. Esto quiere decir que fijada una pareja de números, ésta aparecerá, más o menos, en 13 de cada 1000 sorteos de la Bono Loto, es decir, 1 vez cada 78 sorteos (más o menos).

Finalmente, como lo que queríamos era saber la probabilidad de que en dos sorteos consecutivos de la Bono Loto aparezca idéntica pareja de números, si llamamos \(S\) al suceso "salir una pareja determinada de números en un sorteo de la Bono Loto" y \(T\) al suceso "salir idéntica pareja de números en el otro sorteo de la Bono Loto", lo que queremos hallar es la probabilidad de que ocurran simultáneamente \(S\) y \(T\):

Matemáticamente:

Obsérvese que, en este caso \(T/S=T\), pues el hecho de que haya ocurrido el suceso \(S\), es decir, el hecho de que haya salido nuestra pareja de números en un sorteo de la Bono Loto, no condiciona para nada el hecho de ocurra el suceso \(T\), es decir, de que vuelva a salir idéntica pareja en el otro sorteo de la Bono Loto. Cuando esto ocurre se dice que los sucesos son independientes.

Si la probabilidad anterior se multiplica por cien mil, se obtiene aproximadamente 16,27. Esto viene a decir que si repite cien mil veces el experimento "realizar dos sorteos consecutivos de la Bono Loto", sólo en 16, más o menos, de tales experiencias aparecerá nuestra pareja de números. Utilizando una sencilla regla de tres llegamos a la conclusión de que aparecerá nuestra pareja de números en ambos sorteos de la Bono Loto cada 6250 veces que se lleven a cabo dos sorteos consecutivos.

Hay cuatro sorteos de la Bono Loto a la semana. Como el año tiene 52 semanas, tendremos 208 sorteos, 104 parejas de sorteos de la Bono Loto al año. Dividiendo 6250 entre 104 obtenemos, aproximadamente, 60. Esto quiere decir que deberemos esperar, más o menos, al año 2073 (no lo verán mis ojos) a que vuelvan a aparecer la pareja de números 19 y 37 en dos sorteos consecutivos de la Bono Loto (lo que no quiere decir que el azar sea caprichoso y vuelvan a aparecer en el próximo sorteo de la Bono Loto).

Un última observación: la persona acostumbrada a trabajar con las matemáticas, en especial con las ramas de la estadística y de la probabilidad, obtendrá rápidamente, utilizando la combinatoria y la regla de Laplace, la probabilidad \(P(S)\) de obtener la misma pareja de números en un sorteo de la bono loto:

Para la pregunta más general, ¿cuál es la probabilidad de que en dos sorteos cualesquiera de la Bono Loto aparezca idéntica pareja de números?, deberemos de fijar un período de tiempo, o lo que es lo mismo, un número determinado de sorteos de la Bono Loto, ya que si el número de sorteos de la Bono Loto tiende a infinito, naturalmente la probabilidad de que aparezca idéntica pareja de número tenderá a uno. Pongamos pues por caso que consideramos, como antes, un año, es decir, \(52\cdot4=208\) sorteos de la Bono Loto.

De este modo el experimento es la realización de un sorteo ordinario de la Bono Loto. Consideraremos que este experimento se repite 208 veces (ensayos) y, llamando éxito a que aparezca nuestra pareja de números, lo que vamos a intentar hallar es la probabilidad de que el éxito sea mayor o igual que dos, es decir que aparezca dos o más veces nuestra pareja de números en un año.

Esto requiere un uso a fondo de la combinatoria. Hay una teoría para ello: las experiencias o ensayos de Bernouilli y la distribución binomial.

Se dice que un experimento es binomial si cada uno de sus ensayos es independiente de los demás (es decir, la probabilidad de un resultado no depende de los resultados del resto de ensayos). Además cada ensayo admite dos probabilidades: \(p\) (probabilidad del éxito) y \(q=1−p\) (probabilidad de fracaso), probabilidades que se mantienen constantes cada vez que se lleva a cabo el experimento.

Si un experimento es binomial, la variable \(X\) = "número de éxitos", se dice que sigue una distribución binomial y es posible hallar la probabilidad de que el número de éxitos sea igual a \(r\), en \(n\) ensayos o repeticiones del experimento, probabilidad que viene dada por la fórmula:

En nuestro caso queremos hallar la probabilidad de que el número de éxitos sea mayor o igual que dos. Para ello podemos hallar la probabilidad de que el número de éxitos sea igual a cero: \(P(X=0)\), y la probabilidad de que el número de éxitos sea igual a uno: \(P(X=1)\). De este modo tendremos que la probabilidad de que el número de éxitos sea mayor o igual que dos será:

En nuestro caso tenemos que la probabilidad de éxito es \(p=0,012755102\), que redondearemos a \(p=0,013\) (la de que aparezca nuestra pareja de números en un sorteo de la Bono Loto), y repetimos el experimento \(n=208\) veces. Por tanto:

Es decir:

Esta probabilidad es bastante alta. Recuérdese que antes habíamos visto que la misma pareja de números aparecía, más o menos, cada 78 sorteos de la Bono Loto. Y \(78\cdot2=156\), que es menor que los 208 sorteos que se celebran en un año. Por tanto es bastante probable que, en un año, aparezca dos o más veces idéntica pareja de números.

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El lunes 24 de junio de 2013, la combinación de la Bono Loto fue la siguiente: 3, 7, 13, 19, 32, 37 Al día siguiente, martes 25 de junio de 2013, la combinación en el siguiente sorteo del juego de ...

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Sólo hay tres números que, reflejados en un espejo, tengan el mismo aspecto que sin reflejarse en él: el cero, el uno y el ocho.

Por ensayo y error podríamos empezar así: hay 1 cordero y 8 ovejas pues 1 por 8 es 8, que reflejado en el espejo también es 8, pero este número, que según el enunciado del acertijo, sería el número del rebaño completo, no coincide con lo que hemos supuesto (1 cordero y 8 ovejas hacen un total de 9 en el rebaño). También se podría pensar en 2 corderos y 4 ovejas, cuyo producto es 8, pero tampoco sería correcto pues 2+4=6.

Si emparejamos el cero, el uno y el ocho para obtener números con dos dígitos tenemos los siguientes: 01, 10, 08, 80, 18, 81. Su reflejo en el espejo son, respectivamente, 10, 01, 80, 08, 81, 18.

Si empezamos a tantear, por ejemplo, con el número 80 (cuyo reflejo es 08, número del rebaño completo según el enunciado), tendríamos que buscar parejas números cuyo producto sea 80 y cuya suma sea 8, pero esto es imposible (8 por 10 es 80, pero la suma de los factores es 18; 5 por 16 es 80, pero la suma de los factores es 21; etcétera).

Si probamos con 81 obtenemos la solución. Su reflejo en el espejo es 18, que sería el número del rebaño completo. El número 81 se puede expresar como producto de 9 por 9 y, además la suma de 9 y 9 es 18.

Así pues los campesinos llegarán a poseer 9 ovejas y 9 corderos.

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Sólo hay tres números que, reflejados en un espejo, tengan el mismo aspecto que sin reflejarse en él: el cero, el uno y el ocho.