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✎ O quadrado da soma dos dois termos é representado pela seguinte expressão:

(a + b)² = (a + b) . (a + b)

Logo, ao aplicar a propriedade distributiva temos que:

(a + b)² = a ² + 2ab + b 2

Assim, o quadrado do primeiro termo é somado ao dobro do primeiro termo pelo segundo termo, e por fim, somado ao quadrado do segundo termo.

✎ O quadrado da diferença dos dois termos é representado pela seguinte expressão:

(a – b)² = (a – b) . (a – b)

Logo, ao aplicar a propriedade distributiva temos que:

(a – b)² = a ² - 2ab + b 2

Logo, o quadrado do primeiro termo é subtraído ao dobro do produto do primeiro termo pelo segundo termo e, por fim, somado ao quadrado do segundo termo.

✎ O produto da soma pela diferença dois termos é representado pela seguinte expressão:

a ² - b ² = (a + b) . (a – b)

Nota-se que ao aplicar a propriedade distributiva da multiplicação, o resultado da expressão é a subtração do quadrado do primeiro e do segundo termo.

✎ O cubo da soma de dois termos é representado pela seguinte expressão:

(a + b)³ = (a + b) . (a + b) . (a + b)

Logo, ao aplicar a propriedade distributiva temos:

a ³ + 3a ² b + 3ab ² + b 3

Dessa forma, o cubo do primeiro termo é somado ao triplo do produto do quadrado do primeiro termo pelo segundo termo e o triplo do produto do primeiro termo pelo quadrado do segundo termo. Por fim, ele é somado ao cubo do segundo termo.

✎ O cubo da diferença de dois termos é representado pela seguinte expressão:

(a – b)³ = (a – b) . (a – b) . (a – b)

Logo, ao aplicar a propriedade distributiva temos:

a ³ - 3a ² b + 3ab ² - b 3

Assim, o cubo do primeiro termo é subtraído ao triplo do produto do quadrado do primeiro termo pelo segundo termo. Por conseguinte, ele é somado ao triplo do produto do primeiro termo pelo quadrado do segundo termo. E, por fim, é subtraído ao cubo do segundo termo.

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✎ Fator comum em evidência: Usa-se esse tipo de fatoração quando existe um fator que se repete em todos os termos do polinômio. Esse fator, que pode conter número e letras, será colocado na frente dos parênteses. Dentro dos parênteses ficará o resultado da divisão de cada termo do polinômio pelo fator comum.

Passoa para a fatoração:

1. Identificar se existe algum número que divide todos os coeficientes do polinômio e letras que se repetem em todos os termos.

2. Colocar os fatores comuns (número e letras) na frente dos parênteses (em evidência).

3. Colocar dentro dos parênteses o resultado da divisão de cada fator do polinômio pelo fator que está em evidência. No caso das letras, usamos a regra da divisão de potências de mesma base.

✎ Fatoração por agrupamento:  No polinômio que não exista um fator que se repita em todos os termos, podemos usar a fatoração por agrupamento. Para isso, devemos identificar os termos que podem ser agrupados por fatores comuns. Nesse tipo de fatoração, colocamos os fatores comuns dos agrupamentos em evidência.

Exemplo 1:
2xy – 12x + 3by – 18b
2x(y – 6) + 3b(y – 6)
(2x + 3b)( (y – 6)

Exemplo 2: 6x²b + 42x² – y²b – 7y² 6x²(b + 7) – y²(b + 7) (6x² – y²) (b + 7)

✎ Diferença entre dois quadrados: Para fatorar polinômios do tipo a² - b² usamos o produto notável da soma pela diferença. Assim, a fatoração de polinômios desse tipo será: a ² - b ² = (a + b) . (a - b)
Para fatorar, devemos calcular a raiz quadrada dos dois termos.
Depois, escrever o produto da soma dos valores encontrados pela diferença desses valores.

Exemplo 1:
Dada a expressão algébrica 25x² – 81, a raiz dos termos 25x² e 81 é respectivamente 5x e 9. Então, a forma fatorada é (5x – 9) (5x + 9).

Exemplo 2:
Dada a expressão algébrica 4x² – 81y², a raiz dos termos 4x² e 81y2 é respectivamente 2x e 9y. Então, a forma fatorada é (2x – 9y) (2x + 9y).

✎ Trinômio do segundo grau: Os trinômios quadrados perfeitos a² + 2ab + b² e a² - 2ab + b² resultam do produto notável do tipo (a + b)² e (a - b)².

Assim, a fatoração do trinômio quadrado perfeito será:

a ² + 2ab + b ² = (a + b)² (quadrado da soma de dois termos)

a ² - 2ab + b ² = (a - b)² (quadrado da diferença de dois termos)