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°Presentación
°¿Qué es precálculo?
°¿Qué es función?
°Dominio de una función
°Rango de una función
°Tipo de función por su relación
°Desplazamiento o gráfica de una función a partir de una conocida

°Gráfica de una función cuadrática

°Tipos de gráficas lineales

°Propiedades de las funciones >> paridad

°Gráficas de una función par e impar

°Pendiente de una recta

°Máximos y mínimos locales de una función

°Multiplicación de polinomios
°División sintética
°Teorema del residuo y del factor

°Raíces de un polinomio

°Gráficos continuos y discontinuos

°Intersección con los ejes

°Funciones racionales
°Asíntota
°Formulas especiales de factorización
°Condiciones del dominio
°Función inversa
°Multiplicación de fracciones algebraica o funciones racionales
°División de fracciones algebraicas
°Introducción al límite
°Bibliografía

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Universidad de Guadalajara
Escuela Preparatoria de Jalisco
Maestro: Ing. Juan José Ávila Barajas

° U. de C. 1 - Introducción a las funciones.
° U. de C. 2 - Funciones de polinomios.
° U. de C. 3 - Funciones racionales.
° U. de C. 4 - Funciones trigonométricas.

Mancilla Sahagún Regina 5C TM

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Es una forma avanzada de álgebra escolar.
Abarca  conocimientos elementales de aritmética y álgebra.  incluye especialmente una revisión de álgebra y trigonometría, así como una introducción a las funciones exponenciales, logarítmicas y trigonométricas, a los números complejos, a las secciones cónicas, a los vectores, y a la geometría analítica.

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En matemática, una función (f) es una relación entre un conjunto dado X (llamado dominio ) y otro conjunto de elementos Y (llamado rango ) de forma que a cada elemento x del dominio le corresponde un único elemento f(x) del rango.

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Una función es la correspondencia entre los elementos de un conjunto inicial que se llama dominio y uno final denominado rango.
El dominio debe ser un número real que permita evaluar la función y de como resultado un valor, también real, que será parte del rango. El dominio de una función es el conjunto de valores que toma la variable independiente.

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Una función es la correspondencia entre los elementos de un conjunto inicial que se llama dominio y uno final denominado rango.
El dominio debe ser un número real que permita evaluar la función y de como resultado un valor, también real, que será parte del rango. El rango es el conjunto de valores que toma la variable dependiente en la función.

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Función inyectiva: Puedes saber que una función es inyectiva si cada elemento de “B”(imagen) corresponde a un sólo elemento de “A”(dominio), aunque no siempre los elementos de “B” deben contener el elemento”A”.
Función sobreyectiva: Para saber si una función es suprayectiva se debe considerar que para cada elemento de “B” siempre existirá un elemento de “A” y se expresa de la siguiente manera: f(a) = b.
Función biyectiva: Podremos determinar que una función es biyectiva cuando cada elemento de “B” tiene solo un elemento de “A”, sin que ningún elemento de “B” quede solo.
Diferencia entre función inyectiva y biyectiva: la principal diferencia es que en la inyectiva el elemento “B” puede quedar sin pareja, pero en la biyectiva el elemento “B” siempre debe estar acompañado.

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° Función lineal es una función polinómica de grado 1 que pasa por el origen de coordenadas, es decir, por el punto (0,0). Son funciones rectas de la forma:
f(x)   = mx.
° Función cuadrática es aquella que puede escribirse como una ecuación de la forma: f(x) = ax 2 + bx + c  donde a , b y c (llamados términos ) son números reales cualesquiera y a es distinto de cero (puede ser mayor o menor que cero, pero no igual que cero). El valor de b y de c sí puede ser cero .
° Función cúbica es una función polinómica de tercer grado. Tiene la forma: f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d \, ; donde el coeficiente a es distinto de 0.
° Raíz cuadrada las escribimos de la forma: cuyo dominio son todos los números reales positivos (0, ∞) , lo cual significa que x no puede ser negativo. Si el valor de x fuese negativo no sería una función raíz cuadrada .°  Valor absoluto es una función que contiene una expresión algebraica dentro de los símbolos de valor absoluto. Recuerde que el valor absoluto de un número es su distancia desde 0 en la recta numérica:  escrita como f ( x ) = | x |.
° Función Racional es una función que puede escribirse como cociente de dos polinomios. Si el denominador es un número (un polinomio de grado 0), entonces la función es un polinomio.

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GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN A PARTIR DE UNA CONOCIDA >> DESPLAZAMIENTOS 

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GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN A PARTIR DE UNA CONOCIDA >> DESPLAZAMIENTOS 

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GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN A PARTIR DE UNA CONOCIDA >> ALARGAMIENTOS

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GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN A PARTIR DE UNA CONOCIDA >> ALARGAMIENTOS

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GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN A PARTIR DE UNA CONOCIDA >> REFLEXIONES VERTICALES Y HORIZONTALES

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GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN A PARTIR DE UNA CONOCIDA >> REFLEXIONES VERTICALES Y HORIZONTALES

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DESPLAZAMIENTO O GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN A PARTIR DE UNA CONOCIDA

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DESPLAZAMIENTO O GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN A PARTIR DE UNA CONOCIDA

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Si se tiene un gráfica que sirve de patrón, se puede construir en base a esta un sin número de gráfica simplemente desplazando la gráfica de izquierda a derecha o de arriba a bajo, también se puede hacer rotaciones en los ejes tanto x como y.

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Una función cuadrática es aquella que puede escribirse como una ecuación de la forma:  f(x) = ax 2 + bx + c. La gráfica de una función cuadrática es una curva con forma de U llamada parábola. Puede ser trazada dibujando soluciones de la ecuación, encontrando el vértice y usando el eje de simetría para graficar puntos seleccionados, o encontrando las raíces y el vértice.

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° Gráfica creciente: Una gráfica es creciente si al aumentar la variable independiente aumenta la otra variable.
° Gráfica decreciente: Una gráfica es decreciente si al aumentar la variable independiente disminuye la otra variable.
° Creciente y decreciente: Una gráfica puede tener ambas partes.
° Gráfica constante: Una gráfica es constante si al variar la variable independiente la otra permanece invariable.

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Se puede clasificar a las funciones de variable real según su paridad. Aquellas funciones que poseen paridad satisfacen una serie de relaciones particulares de simetría, con respecto a inversas aditivas. Deben su nombre a la paridad de las potencias de las funciones monómicas que coinciden y por tanto satisfacen las condiciones de paridad.
° Función par es cualquier función que satisface la relación f(x) = f(-x)  y si x es del dominio de f entonces -x también. Desde un punto de vista geométrico, una función par es simétrica con respecto al eje y, lo que quiere decir que su gráfica no se altera luego de una reflexión sobre el eje y.
° Función impar es cualquier función que satisface la relación: f(-x) = -f(x) para todo x en el dominio de f. Desde un punto de vista geométrico, una función impar posee una simetría rotacional con respecto al origen de coordenadas, lo que quiere decir que su gráfica no se altera luego de una rotación de 180 grados alrededor del origen.
°Cuando ninguna de las dos características anteriores se cumplen en la función, se le llama sin paridad.

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Función Par e Impar ( Simetrías / Paridad ) - Ejercicios Resueltos

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Veamos los problemas y ejercicios de función par / impar. ✔ Suscríbete: http://goo.gl/3HP9QH (no olvides darle like 😉) ✔ Descarga la guía de ejercicios: https://matemovil.com/?p=2068 ✔ Curso completo de Cálculo: https://matemovil.com/calculo/ Hoy vamos a revisar la función par y la función impar, es decir, la paridad de funciones.

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° Par: Simetría respecto al eje "y".
° Impar: Simetría respecto al origen.

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La pendiente de una recta es la tangente del ángulo que forma la recta con la dirección positiva del eje de abscisas. Sean P1 (x1; y1) y (x2; y2), P2 dos puntos de una recta, no paralela al eje Y; la pendiente: m = y2 - y1 / x2 - x1
Es la tangente del ángulo que forma la recta con el semieje X positivo.

Si la pendiente (m) es mayor que 0 se dice que la pendiente es positiva, si la pendiente es menor que 0 se dice que la pendiente es negativa, si la pendiente es igual a 0 la recta es paralela al eje (x) del plano cartesiano, y si la pendiente es indefinida la recta es paralela al eje (y) del plano cartesiano

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Geometría analítica - Capítulo 3 - Ecuaciones de la recta (playlist): https://www.youtube.com/playlist?list=PLEwR-RTQiRPX0wOAwquOrYWyFsYyLdUvr SUSCRÍBETE: http://bit.ly/VN7586 (NO OLVIDES DAR UN ¨LIKE¨) VISITA: http://math2me.com FB: http://bit.ly/FBmath2me G+: http://google.com/+math2me Twitter: http://bit.ly/14ql1b7 (Video explicado por José Andalón) Help us caption & translate this video! http://amara.org/v/En1s/

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MÁXIMOS Y MÍNIMOS LOCALES DE UNA FUNCIÓN

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MÁXIMOS Y MÍNIMOS LOCALES DE UNA FUNCIÓN

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En matemáticas, los máximos y mínimos de unafunción, conocidos colectivamente como extremos de una función, son los valores más grandes (máximos) o más pequeños (mínimos), que toma una función en un punto situado ya sea dentro de una región en particular de la curva (extremo local) o en el dominio de la función.

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° ¿Qué es un polinomio? Las expresiones algebraicas que se forman a partir de la unión de dos o más variables y constantes, vinculadas a través de operaciones de multiplicación, resta o suma.
° Procedimiento para la multiplicación de polinomios:

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Es un procedimiento para dividir un polinomio con solo una variable, de grado n, entre un binomio de grado 1 de la forma x-r; donde x es la variable y r es un número. Este procedimiento es únicamente numérico (no se requiere manejo de literales) y resulta más fácil que la división de ´polinomios convencional. Después de realizada la división se obtiene como cociente un polinomio de orden n - 1 y un residuo que es un número.

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Si se divide la función polinomial ƒ(x) entre el binomio x - a donde a es un número real, el residuo es igual a ƒ(a).
°Residuo: El teorema del residuo indica que el resultado de evaluar numéricamente una función polinomial para un valor a es igual al residuo de dividir el polinomio entre x - a. Un ejemplo de esto se ilustra en la parte de arriba. Se recomienda que el lector realice otras comprobaciones.
°Factor: Si a es una raiz de ƒ(x), entonces x - a es un factor del polinomio, donde a es un número real.
Aqui podemos observar la importancia de conocer el valor del residuo, ya que si éste es igual a cero, nos va a indicar que hemos encontrado un factor del polinomio y con él, una raiz del polinomio (una solución a la ecuación polinomial ƒ(x) = 0).

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Las raíces de un polinomio (también llamadas ceros de un polinomio) son los valores para los cuales, el valor numérico del polinomio es igual a cero. ... Por tanto, 1 no sería un cero o raíz del polinomio P(x).

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°Función continua si su gráfica puede dibujarse de un solo trazo. Diríamos que es continua si puede dibujarse sin separar el lápiz de la hoja de papel.

°Función discontinua si no es continua, es decir, presenta algún punto en el que existe un salto y la gráfica se rompe.

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Existen dos puntos solución especialmente útiles cuya coordenadas x o y se anula. Tales puntos son llamados Intersecciones con los ejes porque son los puntos en los que la gráfica corta(se intersecta con) el x o el eje y. Un punto del tipo (a,0) es una x-intersección de la gráfica de una ecuación si es un punto solución de ésta, usualmente es llamado raíz de esa función. Para determinar las x-intersecciones, igualamos “y” a 0 y resolvemos la ecucación en x resultante. Análogamente, un punto del tipo (0,b) es una y-intersección de la gráfica de una ecucación si es un punto solución de la misma. Para hallar las y intersección, igualamos x a 0 y resolvemos la ecuación en y resultante.

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Una función racional es una función que puede escribirse como cociente de dos pólinomios.

Si el denominador es un número (un polinomio de grado 0), entonces la función es un polinomio. Por lo tanto, las funciones polinómicas son funciones racionales.

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Una asíntota es una linea recta que se aproxima muy cercanamente a una curva, pero nunca la toca. El tipo de asíntota depende de la recta.
°Asíntotas horizontales: Este tipo de asíntotas indican la trayectoria de la gráfica cuando x toma valores muy grandes (x --> + ∞ ) o muy pequeños (x --> - ∞ ).
°Asíntotas verticales: Indican la trayectoría de la función para valores de y muy grandes (y --> + ∞  ) o muy pequeños ( y --> - ∞ ).
Una función racional puede tener asíntotas horizontales y verticales. Esto depende del numerador y el denominador de la función.

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°Factorización: es una técnica que consiste la descomposición de una expresión matemática (que puede ser un número o una suma). Antes que todo, hay que decir que todo polinomio se puede factorizar utilizando números reales, si se consideran los números complejos. Existen métodos de factorización para algunos casos especiales, que son:
° Factorización Diferencia de cuadrados:

° Factorización Trinomio cuadrado perfecto:

° Factorización Trinomio de la forma x²+bx+c:

° Factorización Trinomio de la forma ax²+bx+c:

° Factorización Suma de cubos:

° Factorización resta de cubos:

° Factorización Factor común:

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El dominio de una funciónf ( x ) es el conjunto de todos los valores para los cuales la función está definida, y el rango de la función es el conjunto de todos los valores que f toma.

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Se llama función inversa o reciproca de fa

otra función f−1 que cumple que:

Si f(a) = b, entonces f−1(b) = a.

Por ejemplo, si fffconvierte aaa en bbb, entonces la inversa debe convertir bbb en aaa.

O, en otras palabras,f(a)=b⟺f−1(b)=a.

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MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS O FUNCIONES RACIONALES

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MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS O FUNCIONES RACIONALES

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El producto de dos fracciones algebraicas es otra fracción algebraica donde el numerador es el producto de los numeradores y el denominador es el producto de los denominadores.

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MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS - Ejercicio 1

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Julioprofe explica cómo multiplicar dos fracciones algebraicas. REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → http://www.julioprofe.net APP JULIOPROFE Para Android → https://goo.gl/XsJRwN Para iOS → https://goo.gl/3y2VtR

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El cociente de dos fracciones algebraicas es otra fracción algebraica con numerador el producto del numerador de la primera por el denominador de la segunda, y con denominador el producto del denominador de la primera por el numerador de la segunda.

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Los límites de una función son los puntos críticos que se nos presentan al obtener cocientes por ceros que prácticamente forman parte de elementos indefinidos.

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°Cuaderno de precálculo

° Jiménez Bernardino, Cruz Diaz, Pérez Márquez, et al. "Precálculo". Editorial Keep Reading. Jalisco, México. 2015.

°https://matematica.laguia2000.com/general/simetria-de-una-funcion

°http://matematicaconarriaga.blogspot.mx/2012/03/v-behaviorurldefaultvmlo.html

°https://www.geogebra.org/m/vF3YApKM

°https://sites.google.com/site/funcionesysuscaracteristicas/home/contenido/desplazamiento-reflexion-dilatacion-y-contraccion-de-funciones-1

°https://www.youtube.com/watch?v=kniCsN6w31s

°https://www.ecured.cu/Pendiente_de_una_recta

°https://www.varsitytutors.com/hotmath/hotmath_help/spanish/topics/domain-and-range

°https://es.wikiversity.org/wiki/Factorizaci%C3%B3n

°http://matecobao4.blogspot.mx/2013/04/teorema-del-factor-y-del-residuo.html

°http://geometrianaliticageogebra.blogspot.mx/2017/01/interseccion-con-los-ejes.html

°http://www.universoformulas.com/matematicas/analisis/funciones-continuas-discontinuas/