# data[].attributes.body
Uma versão simples do jogo do caos pode ser descrita como se segue.

Comece com três pontos nos vértices de um triângulo. Pinte um vértice de vermelho, outro de verde e o outro de azul.

# data[].attributes.body
Em muitos fractais, o TODO parece-se com uma sua PARTE e esta, por sua vez, parece-se com a parte mais pequena seguinte. Há uma similaridade de padrão que se repete continuamente.

# data[].attributes.body
De seguida, pinte dois lados de um dado de vermelho, dois lados de verde e dois lados de azul.

Escolha um qualquer ponto do triângulo: esta é a semente. Agora lance o dado. Dependendo de qual cor surge, considere o ponto médio entre o ponto escolhido e o vértice de cor semelhante.

# data[].attributes.body
www.cmat.uminho.pt

# data[].attributes.body
Esta repetição interminável origina uma característica fascinante: a autossimilaridade. Sempre que olhamos para o todo ou para uma parte do objeto, ele parece ser o mesmo.

# data[].attributes.body
Um fractal é uma forma de aspeto estranho, irregular e fragmentada, recortada e repetitiva, que encontramos facilmente ao nosso redor.

# data[].attributes.body
Os fractais fazem parte integrante da biologia e são soluções que a SELEÇÃO NATURAL utiliza vezes e vezes sem conta.

# data[].attributes.body
Estão presentes nos nossos pulmões e vasos sanguíneos, nas flores, nas árvores, nos sistemas climáticos e nas telecomunicações sem fios.

# data[].attributes.body
nas plantas...

# data[].attributes.body
nas árvores...

# data[].attributes.body
nas flores...

# data[].attributes.body
nos pulmões...

# data[].attributes.body
nos animais...

# data[].attributes.body
no estudo do clima...

# data[].attributes.body
nas telecomunicações...

# data[].attributes.body
Em 1958 este matemático começou a trabalhar na IBM [precisamente na altura em que a empresa desenvolvia um objeto que iria mudar o mundo: o computador]

# data[].attributes.body
Os engenheiros da IBM transmitiam dados informáticos através de linhas telefónicas, mas nem sempre a informação chegava ao seu destino. Mandelbrot debruçou-se sobre este problema e apercebeu-se que as linhas ficavam demasiado ruidosas e isso originava muitos erros. Ao representar graficamente o ruído, Mandelbrot deu-se conta que o gráfico parecia o mesmo para qualquer escala de tempo [1 dia ou 1 hora ou 1 segundo] e reconheceu a autossimilaridade comum à geometria que o fascinara enquanto estudante.

# data[].attributes.body
Repita este procedimento, considerando, de cada vez, o ponto médio entre o ponto anterior e o vértice da cor que aparece quando o dado é lançado.

Após uma dúzia de jogadas, comece a marcar todos esses pontos.

# data[].attributes.body
Quando repetimos esse processo milhares de vezes, o padrão que surge é uma surpresa: não é uma desordem aleatória, como muitos esperariam.

Em vez disso, a imagem que se começa a formar é um dos fractais mais famosos de todos: o triângulo de Sierpinski.

# data[].attributes.body
Mandelbrot afirmou que muitas das formas existentes na natureza podem ser descritas matematicamente através de fractais, palavra que ele próprio inventou inspirado no adjetivo FRACTUS em latim [que significa partido, quebrado, acidentado, áspero]

As suas ideias vieram desafiar suposições seculares sobre as formas que a natureza toma e a própria tradição matemática em que a uniformidade era tudo até então.

# data[].attributes.body
A Grande Onda de Kanawaga, também conhecida como A Grande Onda, é um dos exemplos mais famosos da arte japonesa no mundo. A onda está prestes a atingir os barcos  de pescadores como se fosse um enorme monstro e parece simbolizar a força irresistível da natureza e a fraqueza do ser humano. A superfície da água é a ampliação das curvas do interior das ondas. As curvas da espuma da grande onda geram outras curvas que se dividem em muitas ondas pequenas que repetem a imagem da onda mãe, formando um fractal.

# data[].attributes.body
Explore este outro mural digital para conhecer (melhor) a evolução do estudo da geometria fractal

# data[].attributes.attachment_link.title
Big Brains. Small Films. Benoît Mandelbrot, The Father of Fractals | IBM

# data[].attributes.body
No final do século XIX os matemáticos tinham apresentado uma definição formal daquilo que uma curva deveria ser.

# data[].attributes.body
Alguns matemáticos como Cantor, Koch, Sierpinski, Peano e Hilbert estudaram objetos que satisfaziam a definição formal de curva mas que nem se conseguiam desenhar. Punham em causa alguns dos princípios matemáticos da época relacionados com análise, geometria e álgebra. Esses objetos tomaram o nome de monstros matemáticos.

# data[].attributes.attachment_link.title
Playing the Chaos Game (Sierpinski Triangle)

# data[].attributes.attachment_link.description
Generating a Sierpinski Triangle by playing the Chaos Game

# data[].attributes.body
Jogando o jogo do caos com um quadrado, não obteremos nenhum fractal e o interior do quadrado será preenchido uniformemente com pontos.

No entanto, se houver restrições na escolha dos vértices, aparecerão figuras bem surpreendentes!

# data[].attributes.body
Os conjuntos de Cantor e de Sierpinski são gerados por um processo de remoção de alguma parte da figura inicial que se repete. Os conjuntos de Koch, Peano e de Hilbert são gerados através da repetição de um processo de alteração da figura inicial.

# data[].attributes.body
Mandelbrot decidiu focar-se num problema apresentado pelo matemático Gaston Julia no decorrer da I Guerra Mundial.

Julia queria ver o que acontecia se considerássemos uma simples equação, como a que apresentamos abaixo, e a iterássemos repetidamente através de um ciclo de retroalimentação muitas e muitas vezes.

# data[].attributes.body
Começamos por introduzir um valor inicial. A fórmula devolverá um outro valor que voltamos a inserir na fórmula. Obtemos um outro valor e continuamos a iterar a equação repetidamente.

A questão que Julia colocava prendia-se com o que aconteceria quando iterássemos a equação muitas vezes.

O conjunto de números obtidos tem o nome de conjunto de Julia.

# data[].attributes.body
Na IBM Mandelbrot pôde usar computadores para executar as equações milhões de vezes, ultrapassando essa grande dificuldade que travara Julia na descoberta de uma resposta ao seu problema.

# data[].attributes.body
Mandelbrot transformou os números dos conjuntos de Julia em pontos num gráfico e desenhou centenas de imagens que o levaram, em 1980, à equação que combinava os conjuntos de Julia numa única imagem:

# data[].attributes.body
Ao iterar a sua equação, obteve o seu próprio conjunto de pontos e, representando-o graficamente num computador, obteve uma espécie de mapa de todos os conjuntos de Julia e que é o símbolo da geometria fractal: o conjunto de Mandelbrot.

# data[].attributes.body
Na página web do Centre National de Recherche Scientifique, pode explorar esta homenagem a Mandelbrot.

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
Un hommage en images

- Ecrit par Piste verte Le 28 octobre 2010 Jos Leys
Lire l'article en

L'exploration de l'ensemble de Mandelbrot nous a ravis depuis trente ans déjà. Maintenant que l'homme qui l'a inventé n'est plus parmi nous, quel meilleur hommage que de montrer les merveilles qui s'y cachent ?

J'ai entendu le nom de Mandelbrot pour la première fois il y a trente ans, en 1980. Il y avait un petit article dans un hebdomadaire anglais sur des dessins étranges qu'on appelait des fractales. C'était le temps où les ordinateurs personnels commençaient à apparaître dans les magasins spécialisés, et j'en avais acheté un. En comparaison avec les machines d'aujourd'hui, " ordinateur ", c'est un grand mot. Ma machine (une Tandy TRS80) avait déjà le luxe d'être munie de 16 kilooctets de mémoire et un écran à 64 colonnes et 16 lignes ! Malgré ça, ces fractales me fascinaient et j'ai donc pour la première fois vu apparaître sur mon écran un ensemble de Mandelbrot rudimentaire, à l'aide d'un petit logiciel en Basic.

Il a fallu attendre encore une dizaine d'années avant que les ordinateurs soient devenus capables de calculer l'ensemble assez rapidement, et à l'afficher sur l'écran en couleurs et en grand détail.

Un nouvel hobby est né au début des années 90 : l'imagerie fractale. C'est aussi en ce temps-là que l'internet a fait son apparition, ce qui permit aux gens de montrer leurs créations au monde et de collaborer sur des algorithmes avec d'autres enthousiastes. Comme logiciels il y avait d'abord Fractint (qui existe encore), mais après quelques années on avait l'embarras du choix avec l'apparition de Ultrafractal , ChaosPro et beaucoup d'autres.

On parle aujourd'hui d' Art Fractal mais pour beaucoup de gens, c'est un terme discutable. Il y a en effet très peu d'artistes qui peuvent gagner leur vie en créant des images fractales. La plupart des " fractalistes " sont restés des " hobbyistes ", fascinés par la magie des images qui surgissent de formules très simples.

Si on fait une recherche internet avec image fractale comme mot clé, on obtient plus de 5 millions de résultats. On trouvera toutes sortes d'images, basées sur une multitude de formules, donc pas seulement sur la formule, $z \mapsto z^2+c$, mais les zooms sur l'ensemble engendré par cette formule de Mandelbrot seront très nombreux.

Ce sont donc les travaux de Mandelbrot qui sont à la base de toute cette évolution. Ils ont donné d'innombrables heures de plaisir à tous ces hobbyistes (et probablement encore plus d'heures aux mathématiciens qui font des choses sérieuses avec la géométrie fractale).

Comme hommage, nous allons faire un petit tour de l'ensemble un peu hors du commun : on va prendre une forme 3D qu'on obtient en convertissant la distance entre un point dans le plan et le bord de l'ensemble de Mandelbrot en une certaine profondeur, comme ceci :

Nous pouvons survoler les falaises au bord de ce plateau pour aller découvrir les belles structures, et atterrir parfois pour les regarder de plus près :

En contournant l'ensemble, les falaises changent de structure :

On découvre des petites copies de l'ensemble un peu partout (des minibrots) :

Une vue sur la vallée des éléphants :

...et une autre vallée, sans nom :

Si on cherche un peu, on trouve même des ensembles de Julia :

On est arrivé dans la vallée des hippocampes :

La vallée des hippocampes, c'est la plus belle. En atterrisant et en regardant de très près, on y trouve par exemple ;

ou encore :

Pour terminer, l'ensemble de Mandelbrot apparaît ailleurs aussi. Prenons l'équation $f(z)=z^3+(c-1)z-c$ et cherchons les racines. Il est clair que $z=1$ en est une, et les deux autres dépendent de $c$. Nous pouvons les trouver avec la méthode de Newton : on itère $z \mapsto z-f(z)/f'(z)$. Pour voir comment ceci dépend de $c$, pour chaque point $c$ dans le plan, on fait l'itération. Si on arrive à $z=1$ comme racine, on met le pixel en jaune. Si on arrive à une des deux autres racines, on met le pixel en vert. Si l'itération ne converge pas, on met le pixel en blanc. Comme on voit en dessous, la zone blanche a la forme d'un ensemble de Mandelbrot, bien que la forme ne soit pas identique. Ce sont Douady et Hubbard qui ont expliqué ce phénomène et nous y reviendrons dans un prochain article.

Voilà comment l'héritage de Benoît Mandelbrot nous donne une réserve inépuisable de belles images.

Post-scriptum :

Sur Benoît Mandelbrot on peut également lire le billet de J-P Kahane, Benoît Mandelbrot (1924-2010).

Article édité par Aurélien Alvarez

Notes

Le prix : 40.000 francs belges (mille euros), ce qui était dans ce temps-là beaucoup plus d'argent qu'aujourd'hui !

Toutes les images ont été créées à l'aide du logiciel Ultrafractal, par l'auteur. Encore plus d'images ici.

# data[].attributes.attachment_link.description
Un hommage en images - Ecrit par Piste verte Le 28 octobre 2010 Jos Leys Lire l'article en L'exploration de l'ensemble de Mandelbrot nous a ravis depuis trente ans déjà. Maintenant que l'homme qui l'a inventé n'est plus parmi nous, quel meilleur hommage que de montrer les merveilles qui s'y cachent ?

# data[].attributes.body
Neste vídeo, em inglês, pode encontrar uma explicação clara da definição do conjunto de Mandelbrot.

# data[].attributes.body
Neste vídeo, em inglês, pode visualizar características dos conjuntos de Julia e de Mandelbrot.

# data[].attributes.attachment_link.title
What's so special about the Mandelbrot Set? - Numberphile

# data[].attributes.attachment_link.title
Arthur C Clarke - Fractals - The Colors Of Infinity

# data[].attributes.body
O conjunto de Cantor é um subconjunto infinito de pontos no intervalo unitário [0,1].  A sua construção geométrica dá-nos uma boa perceção do conjunto e leva-nos à estruturação de um fractal.

# data[].attributes.body
Consideremos como figura inicial um segmento de reta I₀  de medida 1.

Dividimo-lo em 3 partes congruentes e desprezamos a terça parte do meio. Ficamos, desta forma, com a união disjunta de dois segmentos de reta de comprimento 1/3 cada, I₁.

# data[].attributes.body
Aplicando este processo a esses dois segmentos, ou seja, dividindo cada um deles em três partes iguais e desprezando o terço médio, obtemos a união disjunta de quatro segmentos de comprimento 1/9 cada, I₂.

# data[].attributes.body
Continuando o processo para os quatro intervalos obtidos no passo anterior, obtemos a união disjunta de oito intervalos de comprimento 1/27 cada, I₃.

# data[].attributes.body
Repetindo este processo N vezes, iremos obter a união disjunta de 2N segmentos de reta de comprimento 1/(3N) cada, IN.

IN terá medida igual a (2/3)N.

# data[].attributes.body
O Conjunto de Cantor é o conjunto dos pontos que restam quando repetimos os passos onde se removem os terços médios até ao infinito.

Observe-se que, quando N tende para infinito, (2/3)N tende para zero.

Assim, o Conjunto de Cantor é infinito [tem tantos pontos como o segmento original] e tem medida nula!

# data[].attributes.body
Neste vídeo, em inglês, pode ver uma descrição mais pormenorizada do conjunto de Cantor.

# data[].attributes.body
Estamos habituados a pensar em dimensões de conjuntos bem comportados. Parece-nos evidente que um segmento tem dimensão 1, um quadrado dimensão 2 e um cubo dimensão 3.

# data[].attributes.body
Um dos exemplos mais simples de um fractal clássico é a curva do floco de neve de Koch.

Criada em 1904 pelo matemático sueco Helge von Koch, a curva do floco de neve tem uma propriedade verdadeiramente notável: tem área finita mas o seu perímetro é infinito.

# data[].attributes.body
Vejamos como a curva do floco de neve é construída. Considere, inicialmente, um triângulo equilátero de lado de medida 1.

Seja P₁ o perímetro da curva 1, então P₁ = 3.

# data[].attributes.body
Considere cada um dos lados do triângulo dividido em três partes iguais. No terço médio de cada um dos três lados, construa um triângulo equilátero com lados de comprimento 1/3. Remova a base de cada um dos três novos triângulos. O resultado é uma "Estrela de David" de seis pontas.

Esta segunda curva é o resultado da primeira iteração do algoritmo do floco de neve de Koch.

Note que o perímetro desta segunda curva é dado por 3x(4/3), ou seja, P₂ = P₁ x (4/3) = 3x(4/3).

# data[].attributes.body
Repita o processo nos 12 segmentos que compõem a segunda curva.

Repare que o perímetro da terceira curva é P₃ = P₂ x (4/3) = 3x(4/3)².

# data[].attributes.body
Volte a repetir o processo e repare que o perímetro da quarta curva é dado por P₄ = P₃ x (4/3) = 3x(4/3)³.

# data[].attributes.body
Podemos derivar a expressão do perímetro da n-ésima curva: Pn = 3x(4/3)n-1.

A sucessão de perímetros das curvas obtidas nas várias iterações é uma progressão geométrica com razão r=4/3. Como r>1,  a sucessão diverge.

Assim, quando n tende para infinito, também Pn tende para infinito.

# data[].attributes.body
Quando n cresce sem limite, o perímetro do floco de neve torna-se infinitamente longo.

O floco de neve limita uma área finita mas tem perímetro infinito!

# data[].attributes.body
No final do século XIX, Peano e Hilbert apresentaram exemplos de curvas de preenchimento do plano, ou seja, curvas que passam, pelo menos uma vez, por todos os pontos de uma determinada região, acabando por, gradualmente, a preencher totalmente.

# data[].attributes.body
A construção das curvas de Peano e de Hilbert, que são fractais, parte de um quadrado. A ideia da construção é dividir cada quadrado em quadrados menores iguais sucessivamente e determinar um caminho, ou curva, que passe por cada quadrado. O limite desse caminho é a curva de Peano ou a curva de Hilbert, consoante o caso.

# data[].attributes.body
a curva de Peano

# data[].attributes.body
a curva de Hilbert

# data[].attributes.body
Se fixarmos o comprimento de um segmento, do lado de um quadrado e da aresta de um cubo como sendo 1, percebemos rapidamente que se dividirmos em duas partes iguais:

- o segmento, cada novo segmento tem comprimento (1/2);
- os lados do quadrado, obtemos 4 quadrados, cada um com área (1/2)²;
- as arestas do cubo, obtemos 8 cubos, cada um com volume (1/2)³.

# data[].attributes.body
Se olharmos para o triângulo de Sierpinski,

# data[].attributes.body
verificamos que ele é composto por 3 cópias de triângulos de Sierpinski mais pequenos,

# data[].attributes.body
medindo o lado de cada um destes triângulos ½ do lado do triângulo maior. Podemos então dizer que se consideramos um triângulo de Sierpinski com metade do comprimento do lado relativamente ao anterior, a sua área é 1/3 da do anterior.

# data[].attributes.body
Precisamos de perceber como muda a medida de cada um destes conjuntos quando os redimensionamos.

Voltando um pouco atrás, porque dizemos: que o cubo é tridimensional? Ou que o quadrado é bidimensional?

# data[].attributes.body
Se mudarmos a aresta de um cubo, de comprimento L e medida [volume] M, para sL,

a medida do segundo cubo = s³ M

Do mesmo modo, se M for a medida [área] de um quadrado com lado de comprimento L então, tomando o quadrado de lado medindo sL,

a medida do segundo quadrado = s² M.

# data[].attributes.body
Voltando ao triângulo de Sierpinski com lado de comprimento L e medida M, se reduzirmos o lado do triângulo para ½L, estamos à procura de um número D para o qual a sua medida satisfaça a relação

(1/2)D M = 1/3 M,

o que nos diz que D = log₂(3) ~ 1,585. Esta é a dimensão fratal do triângulo de Sierpinski.

# data[].attributes.body
Percebemos que a dimensão fratal de um segmento é 1, a de um quadrado é 2 e a de um cubo é 3.

A dimensão fratal de um dado objeto mede o seu grau de rugosidade ou de irregularidade.

# data[].attributes.body
Descrevemos agora um procedimento que permite calcular a dimensão fratal de uma forma geométrica no plano:

# data[].attributes.body
(i)   dividimos o plano numa rede de quadradinhos todos iguais e contamos quantos destes quadrados intersetam o nosso conjunto;

(ii)   ampliamos o conjunto pelo fator 2 e contamos, novamente, quantos quadradinhos da grelha original intersetam o conjunto;

(iii)  dividimos o número obtido em (ii) pelo obtido em (i);

(iv) repetimos o argumento usando uma rede com quadrados com os lados com comprimento ainda menor;

(v) repetindo sucessivamente este procedimento, encontraremos o número x do qual estes quocientes se estão a aproximar;

(vi) a dimensão fratal do nosso objeto será o número D para o qual x=2D.

# data[].attributes.body
Partindo de um triângulo equilátero, removemos o triângulo equilátero definido pelos pontos médios dos lados. Repetimos sucessivamente o processo em todos os triângulos equiláteros que não foram removidos e obtemos, no limite, o triângulo de Sierpinski.

# data[].attributes.body
Sendo A a área do triângulo inicial, facilmente concluímos que a área da figura obtida na primeira iteração é A₁=3/4 A. De facto, podemos identificar a divisão do triângulo inicial em 4 triângulos iguais mais pequenos, sendo removido um desses triângulos.

Denotando por P o perímetro do triângulo inicial, podemos concluir que o perímetro da figura obtida na primeira iteração é dado por P₁=3/2 P. Com efeito, temos os três segmentos que definem o triângulo original e os três segmentos que definem o triângulo do meio que foi removido e que medem metade do comprimento dos lados do triângulo inicial. Sendo assim, o perímetro P₁ é dado por P + P/2, ou seja, por 3/2 P.

# data[].attributes.body
Repetindo este raciocínio, rapidamente concluímos que a área da figura obtida na segunda iteração é A₂=3/4 A₁=(3/4)² A.

Podemos ainda concluir que o prerímetro da figura obtida na segunda iteração é dado por P₂=3/2 P₁=(3/2)² P.

# data[].attributes.body
Temos, então, que a área da figura obtida na n-ésima iteração é An=3/4 An-1=(3/4)n A, ao passo que o perímetro dessa figura é dado por Pn=3/2 Pn-1=(3/2)n P.

# data[].attributes.body
Estamos perante duas progressões geométricas, uma, a da área, de razão 3/4 (que é menor que 1) e outra, a do perímetro, de razão 3/2 (que é maior que 1).

Significa isto que a área da figura obtida tende para zero quando n → +∞, enquanto o perímetro tende para infinito.

# data[].attributes.body
Mostrámos, deste modo, que o triângulo de Sierpinski tem área nula e perímetro infinito!

# data[].attributes.attachment_link.title
How fractals can help you understand the universe | BBC Ideas

# data[].attributes.body
Há muito que se observou a existência de diferentes valores atribuídos ao comprimento da linha costeira ou da fronteira de um dado país.

Lewis Fry Richardson (1881-1953) foi um pacifista, físico e meteorologista inglês, que decidiu analisar matematicamente a Primeira Guerra Mundial, baseado no palpite de que os conflitos podem depender do comprimento das fronteiras comuns e rapidamente encontrou grandes discrepâncias nessas medições.

# data[].attributes.body
A fronteira Portugal/Espanha, por exemplo, teria 1214 km, segundo os portugueses, e 987 km, segundo os espanhóis. Não tardou que Richardson pusesse o dedo na ferida, evidenciando que o comprimento da fronteira depende da escala em que esta for medida.

# data[].attributes.body
A título de curiosidade, no “The World Fact Book” da CIA [https://www.cia.gov/library/publications/the-world-factbook/fields/282.html], o valor atribuído à extensão da costa portuguesa é de 1793 km.

# data[].attributes.body
Se já leu a informação que apresentamos neste mural digital sobre o floco de neve de von Koch, não deve estranhar o que aqui dizemos, pois já saberá que a linha que limita o floco tem comprimento infinito, apesar de limitar uma região no plano!

# data[].attributes.body
O paradoxo da linha costeira, primeiramente observado por Richardson, forneceu a Mandelbrot a inspiração para o seu artigo, publicado na Revista Science em 1967, “Qual é a extensão da costa britânica? Autossimilaridade, estatística e dimensão fraccionária” [o termo fractal só foi introduzido por ele em 1975].

Neste artigo, Mandelbrot discute a lei empírica observada por Richardson, L(G) = MG¹⁻ᴰ, sendo L o comprimento, G a escala que se utiliza, M uma constante positiva e D uma constante maior ou igual a 1, a que chamaremos dimensão. Esta constante D é a dimensão fractal da curva.

# data[].attributes.body
Na realidade, muitas linhas costeiras são curvas fractais. Intuitivamente, se a linha costeira é suave, o valor de D deve estar perto de 1 e, quanto mais irregular for a linha da costa, mais perto de 2 deve estar D. Hoje sabe-se que o valor para a Noruega é 1,52, para a Grã-Bretanha 1,25 e para a Austrália 1,13.

# data[].attributes.body
A chamada arte fractal, um tipo de arte algorítmica, gerada por computador, surgiu na década de 1980. Esta forma de arte é baseada nos cálculos de objetos fractais que são representados como imagens.

Por serem baseados em fórmulas matemáticas, os fractais são uma forma de arte pouco comum, enquadrada na arte digital.

Não são, no entanto, a primeira instância em que os artistas contam com a matemática para a criação artística. Tome-se, como outro exemplo, a música do compositor contemporâneo Iannis Xenakis.

# data[].attributes.body
Na década de 1980 o radioastrónomo Nathan Cohen fez uma descoberta tecnológica em comunicação eletrónica, utilizando geometria fractal.

Depois de ouvir uma palestra de Mandelbrot, Cohen começou a pensar numa antena com formas fractais. Um dos primeiros esboços que fez foi inspirado no floco de neve de Koch.

# data[].attributes.body
Uma antena fractal é uma antena com uma forma fractal para aumentar o perímetro do material que recebe ou transmite a radiação eletromagnética.

As antenas fractais são muito compactas, multibanda ou banda larga, e têm aplicações úteis nas telecomunicações móveis e nas comunicações por microondas.

Uma antena fractal é capaz de operar com bom desempenho em muitas frequências diferentes simultaneamente. Normalmente, as antenas padrão devem ser "cortadas" para a frequência com que serão usadas - e, portanto, as antenas padrão funcionam bem apenas nessa frequência.

# data[].attributes.attachment_link.title
Benoit Mandelbrot: Fractals and the art of roughness

# data[].attributes.attachment_link.description
At TED2010, mathematics legend Benoit Mandelbrot develops a theme he first discussed at TED in 1984 -- the extreme complexity of roughness, and the way that fractal math can find order within patterns that seem unknowably complicated.

# data[].attributes.body
Nesta página web pode encontrar variadas imagens e vídeos produzidos por Jos Leys.

# data[].attributes.attachment_link.description
This sites features mathematical images and animations made by Jos Leys.