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Wochenplan vom 10.02.22 bis zur Klausur.

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https://www.sofatutor.com/t/dtq7

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Multiplikation einer Matrix mit einem Vektor – Übung | sofatutor.com

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Lerne Multiplikation einer Matrix mit einem Vektor – Übung verständlich per Video erklärt auf sofatutor.com!

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Inhalt

Die Matrizenmultiplikation

Matrizen sind ein sehr grundlegendes und nützliches Konzept in der Mathematik. Wir wollen uns im Folgenden damit beschäftigen, wie man zwei Matrizen miteinander multipliziert. Wir wissen dazu bereits, wie eine Matrix in der Mathematik definiert ist und was die Ordnung einer Matrix ist.

Wie multipliziert man Matrizen?

Wir erinnern uns zunächst an die Definition einer Matrix. Unter einer Matrix versteht man in der Mathematik ein rechteckiges Schema, das mit Zahlen gefüllt ist:

$\begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix}$

Die Ordnung einer Matrix wird in der Form $(m \times n)$ angegeben, wobei $m$ die Anzahl der Zeilen beschreibt und $n$ die Anzahl der Spalten. Die Beispielmatrix hat also die Ordnung $(3 \times 3)$.

Nachdem wir die Definition der Matrix wiederholt haben, wollen wir die folgenden Matrizen $A$ mit der Ordnung $(m_A \times n_A)$ und $B$ mit der Ordnung $(m_B \times n_B)$ miteinander multiplizieren:

$ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 0 & 6 \end{pmatrix}$

$ B = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 7 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}$

Bevor wir mit der Matrix-Matrix-Multiplikation beginnen, müssen wir uns die Frage stellen, ob wir die vorliegenden Matrizen überhaupt miteinander multiplizieren können. Es können nämlich nicht beliebige Matrizen miteinander multipliziert werden. Damit die Multiplikation zweier Matrizen möglich ist, muss die Spaltenzahl der ersten Matrix mit der Zeilenzahl der zweiten Matrix übereinstimmen.

Die Matrix $A$ hat die Ordnung $(2 \times 3)$, also drei Spalten, und die Matrix $B$ hat die Ordnung $(3 \times 2)$, also drei Zeilen. Wir können diese beiden Matrizen also miteinander multiplizieren. Das Ergebnis einer Matrixmultiplikation ist wieder eine Matrix, und zwar mit der neuen Ordnung $(m_A \times n_B)$. Die neue Matrix hat also so viele Zeilen wie der erste Faktor des Matrixprodukts und so viele Spalten wie der zweite Faktor im Matrixprodukt. In unserem Beispiel hat die neue Matrix also die Ordnung $(2 \times 2)$.

$ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 0 & 6 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 7 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = C $

Die Multiplikation der Matrizen verläuft nach dem Prinzip Zeile mal Spalte und ähnelt dem Vorgehen beim Skalarprodukt zweier Vektoren. Dabei setzt sich die erste Zeile der neuen Matrix $C$ aus der Multiplikation der ersten Zeile der Matrix $A$ mit den jeweiligen Spalten der Matrix $B$ zusammen.

Den Wert für den Eintrag $a$ in der ersten Zeile und ersten Spalte der Matrix $C$ erhalten wir, indem wir die Einträge der ersten Zeile der Matrix $A$ mit den Einträgen der ersten Spalte der Matrix $B$ multiplizieren und die Ergebnisse aufsummieren - ganz analog zum Skalarprodukt zweier Vektoren. Für den zweiten Eintrag in der ersten Zeile, also $b$, multiplizieren wir die Einträge der ersten Zeile der Matrix $A$ mit den Einträgen der zweiten Spalte der Matrix $B$ und summieren auch diese auf. So gehen wir Schritt für Schritt vor, bis wir die Matrix $C$ bestimmt haben. Das Vorgehen können wir grafisch folgendermaßen veranschaulichen:

Das klingt kompliziert, ist aber eigentlich ganz einfach. Wir gehen das Verfahren an unserem Beispiel Schritt für Schritt durch, um es anschaulicher zu machen.

Die erste Zeile der Matrix $A$ ist:

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \end{pmatrix} $

Und die erste Spalte der Matrix $B$ ist:

$ \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} $

Damit berechnet sich $a$ wie folgt:

$a = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 0 + 3 \cdot 2 = 2 + 0 + 6 = 8$

Wir haben also den ersten Eintrag berechnet:

$ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 0 & 6 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 7 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 & b \\ c & d \end{pmatrix} = C $

Für den Eintrag $b$ müssen wir wieder die erste Zeile der Matrix $A$ nutzen, aber die zweite Spalte der Matrix $B$. Die Berechnung von $b$ sieht also folgendermaßen aus:

$b = 1 \cdot 1 + 2 \cdot 7 + 3 \cdot (-1) = 1 + 14 -3 = 12$

Damit haben wir den zweiten Eintrag der Matrix $C$ und damit die gesamte erste Zeile berechnet:

$ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 0 & 6 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 7 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 & 12 \\ c & d \end{pmatrix} = C $

Um die Einträge in der zweiten Zeile der Matrix $C$ zu berechnen, multiplizieren wir die zweite Zeile der Matrix $A$ mit den Spalten der Matrix $B$ nach dem gleichen Muster wie bisher. Wir beginnen mit dem Eintrag $c$. Dafür multiplizieren wir die Einträge der zweiten Zeile der Matrix $A$ mit den Einträgen der ersten Spalte der Matrix $B$ und bilden die Summe:

$c = 4 \cdot 2 + 0 \cdot 0 + 6 \cdot 2 = 8 + 0 + 12 = 20$

Und für den Eintrag $d$ multiplizieren wir die Einträge der zweiten Zeile der Matrix $A$ mit den Einträgen der zweiten Spalte der Matrix $B$ und summieren auf:

$d = 4 \cdot 1 + 0 \cdot 7 + 6 \cdot ( -1 ) = 4 + 0 -6 =-2 $

Damit erhalten wir als endgültiges Ergebnis der Matrixmultiplikation:

$ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 0 & 6 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 7 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 & 12 \\ 20 & -2 \end{pmatrix} = C $

Dieses Video

In diesem Video wird dir das Multiplizieren von Matrizen einfach erklärt. Du erfährst, wann du zwei Matrizen miteinander multiplizieren kannst und wie du die Multiplikation durchführen musst.

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Matrizen sind ein sehr grundlegendes und nützliches Konzept in der Mathematik. Wir wollen uns im Folgenden damit beschäftigen, wie man zwei Matrizen miteinander multipliziert. Wir wissen dazu bereits, wie eine Matrix in der Mathematik definiert ist und was die Ordnung einer Matrix ist. Wir erinnern uns zunächst an die Definition einer Matrix.

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Hallo, ich bin Anne und ich erkläre dir heute, was eine Matrix ist. Dazu wollen wir zuerst überlegen, wozu man Matrizen verwendet. Dann gebe ich dir die genaue Definition einer Matrix. Und zum Schluss wollen wir eine sogenannte Übergangsmatrix aus einem Schema ableiten. Matrizen verwendet man, um Zusammenhänge mathematisch zu beschreiben. Zum Beispiel wollen wir jetzt eine Matrix bilden, in der man die Entfernung zwischen Städten festhält. Dazu siehst du hier eine Deutschlandkarte mit drei Städten: Berlin, München und Frankfurt am Main. Aus diesen Entfernungen wollen wir jetzt eine Tabelle bilden. Dazu schreiben wir in die Spalten der Tabelle die drei Städte, genauso in die Zeilen. Und jetzt übertragen wir die Entfernungen in diese Tabelle. Zum Beispiel fährt man von Berlin nach München 592 Kilometer und der Rückweg, also München Berlin ist natürlich genauso lang. Dann fährt man zum Beispiel von München nach Frankfurt am Main 393 Kilometer, der Rückweg ist wieder genauso lang. Und die Entfernung der Städte zu sich selbst ist natürlich Null Kilometer. Die Matrix erhält man jetzt, indem man aus der Tabelle nur noch die Zahlenwerte schreibt. Und Matrizen schreibt man immer in so runden Klammern. Der Sachverhalt, der dahinter steht, den muss man sich jetzt merken. Gleich gebe ich dir ein zweites Beispiel aus der Wirtschaft. Das zweite Beispiel kommt aus der Wirtschaft. Und dabei geht es um zwei Stromanbieter, die um ihre Kunden konkurrieren. Diese beiden Stromanbieter nennen wir jetzt mal A und B und anhand dieses Schemas kann man jetzt erkennen, wie sich die Marktanteile der Kunden von Jahr zu Jahr verändern. Zum Beispiel bleiben 60% der Kunden dem Stromanbieter A treu und 30% der Kunden von B bleiben dem Stromanbieter B treu. Diese Marktanteile wollen wir jetzt wieder in eine Tabelle übertragen, um letztendlich dann auf die sogenannte Übergangsmatrix zu kommen. Also wir schreiben wieder eine Tabelle auf. In den Spalten stehen die beiden Stromanbieter A und B und genauso in den Zeilen der Matrix. Also wir haben schon gesagt: 60% der Kunden von A bleiben auch bei A im Folgejahr, das heißt, in dieser ersten Zeile, erste Spalte steht dann 0,6. Von A nach B wandern 40% der Kunden von A, also schreiben wir rechts daneben 0,4. Von B nach A wandern 70% der Kunden von B, das heißt in dieser zweiten Zeile, erste Spalte schreiben wir 0,7. Und dreißig Prozent der Kunden von B bleiben auch bei dem Stromanbieter B, deswegen schreibt man dann in die zweite Zeile, zweite Spalte 0,3. Man erhält jetzt wieder die Matrix, indem man nur noch diese Zahlenwerte aus der Tabelle schreibt. Und wieder in diesen runden Klammern. Übrigens ergibt jede Zeile dieser Übergangsmatrix Eins, da sich in jeder Zeile quasi diese 100% der Kunden eines Stromanbieters befinden. Also in der ersten Zeile sind die 100% Kunden des Stromanbieters A und in der zweiten Zeile sind die 100% der Kunden des Stromanbieters B. Ja, gleich gebe ich dir die genaue Definition einer Matrix. Ich gebe euch jetzt die Definition einer Matrix: Das rechteckige Schema reeller Zahlen A mit den Einträgen a ₁₁, a ₁₂ bis a 1n, dann a ₂₁, a ₂₂ bis a 2n und dann geht man so weiter runter bis a m1, a m2 bis a mn heißt Matrix und m und n sind natürliche Zahlen. Sie besitzt dann m Zeilen und n Spalten. Diese Größe dieser Matrix mit m Zeilen und n Spalten nennt man auch Ordnung der Matrix. Und bei unserer Matrix A ist diese Ordnung dann mxn. Also erst schreibt man immer die Anzahl der Zeilen und dann die Anzahl der Spalten. Wenn wir unsere Entfernungsmatrix, die wir hier oben sehen mal Matrix groß D nennen, dann hat diese Matrix die Ordnung 3x3, weil sie drei Zeilen und drei Spalten hat. Man kann jetzt die Elemente einer Matrix benennen, so wie wir es eigentlich hier schon gemacht haben. Und das macht man immer mit dem kleinen Buchstaben von dem Namen von der Matrix. Also die Matrix ist immer der große Buchstabe und die Elemente der Matrix sind ein kleiner Buchstabe. Und so ein Element a mn gibt immer an, in welcher Zeile und in welcher Spalte sie steht. Also für unser Beispiel Matrix D nehme ich jetzt ein kleines d, weil ich ein einzelnes Element haben will. Dann wähle ich das Element Zwei, Drei. Das heißt, zweite Zeile, dritte Spalte. Und das ist bei uns dann 393. Ja, gleich wollen wir nochmal üben, wie wir aus einem Schema eine Übergangsmatrix ablesen. Wir wollen jetzt nochmal üben, wie man aus so einem Schema eine Übergangsmatrix bildet. Und jetzt haben wir drei Stromanbieter gegeben: A, B und C. Und wir wollen jetzt aus diesem Schema erstmal die Tabelle bilden und dann daraus die Matrix. Man sieht jetzt schon mal, dass 60% der Kunden von A auch dem Stromanbieter A treu bleiben im Folgejahr. Und wir schreiben in die Tabelle jetzt die Dezimalzahlen. Deswegen haben wir jetzt hier 0,6 von A nach A. Dann von A nach B gehen 30%, also 0,3. Von A nach C gehen 10%, 0,1. Von B nach A gehen 50%, 0,5. 50% bleiben dem Stromanbieter B treu, also haben wir hier 0,5. Von B nach C sind 0%, also 0. Dann von C nach A gehen 90%, 0,9. Von C nach B gehen 5%, also 0,05. Und 5% bleiben C treu, also haben wir hier 0,05. Man kann auch mal überprüfen, ob man alles richtig gemacht hat, indem man jede Zeile addiert und da muss dann immer Eins rauskommen. Und das ist hier auch der Fall, also haben wir alles richtig gemacht. Ja, jetzt schreiben wir quasi die Matrix auf, die wir groß E nennen. Und da brauche ich jetzt quasi nur noch diese Zahlenwerte und den Sachverhalt muss ich mir merken, der dahinter steht. Also haben wir jetzt die Einträge 0,6, 0,3, 0,1, dann 0,5, 0,5 und 0 und 0,9, 0,05 und 0,05. Ja, und jetzt haben wir diese Übergangsmatrix gefunden. Zum Schluss möchte ich nochmal zusammenfassen, was du heute gelernt hast: Wir haben uns Beispiele angeguckt, wann man Matrizen verwendet, einmal für die Entfernung von Städten und einmal für solche Übergangsmatrizen. Dann habe ich dir die genaue Definition einer Matrix gegeben. Und wir haben über die Ordnung der Matrix geredet und wie man die Elemente einer Matrix benennt. Und zum Schluss haben wir nochmal geübt, wie man aus so einem Schema eine Übergangsmatrix bildet. Ja, ich hoffe, du hast alles verstanden und hattest auch ein bisschen Spaß dabei. Bis zum nächsten Mal, deine Anne.

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Hallo, ich bin Anne und ich erkläre dir heute, was eine Matrix ist. Dazu wollen wir zuerst überlegen, wozu man Matrizen verwendet. Dann gebe ich dir die genaue Definition einer Matrix. Und zum Schluss wollen wir eine sogenannte Übergangsmatrix aus einem Schema ableiten. Matrizen verwendet man, um Zusammenhänge mathematisch zu beschreiben.

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von Pauline