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Weisstein, E. W. (n.d.). Magic square. MathWorld–A Wolfram Web Resource. https://mathworld.wolfram.com/MagicSquare.html

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Quadrados mágicos são arranjos numéricos em formato de quadrado, onde a soma dos números de cada linha, coluna e das duas diagonais principais é sempre a mesma. Esse valor constante é chamado de constante mágica.

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Foi um místico e matemático árabe que viveu no século XIII.

Utilizou quadrados mágicos em textos esotéricos e místicos, especialmente no livro Shams al-Ma'arif, onde os quadrados tinham propósitos talismânicos e espirituais.

Ahmad ajudou a popularizá-los no mundo islâmico.

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Os quadrados mágicos foram criados na China, por volta de 2200 a.C. com a lenda do diagrama Lo Shu numa tartaruga. Acredita-se que, na antiguidade, estes quadrados tinham poderes mágicos.

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Quadrado mágico de Júpiter (soma 34), usado como talismã para fortalecer o ânimo e o equilíbrio espiritual.                                                                        Fernández, J. C. (2020, 8 de abril). Quadrado mágico de Júpiter (soma 34) [Imagem]. Matemática para Filósofos. https://www.matematicaparafilosofos.pt/os-quadrados-magicos-na-antiga-medicina/

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No Renascimento, os números não eram vistos apenas como cálculos, mas também como símbolos com poder sobre o corpo e o espírito. Os quadrados mágicos, ligados aos planetas, representavam forças cósmicas que influenciavam a saúde e o equilíbrio interior.

Por exemplo, o quadrado mágico associado a Júpiter simbolizava expansão, energia e proteção, ou seja, qualidades essenciais para manter o bem-estar físico e emocional. Essa visão unia medicina, astrologia e numerologia, formando uma abordagem integrada para compreender e harmonizar as energias humanas.

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O termo “mágico” em quadrado mágico deve-se à surpresa e ao mistério do arranjo numérico.

Nesses quadrados, todas as linhas, colunas e diagonais principais somam o mesmo valor, criando uma aparência de truque. A magia está na expectativa de desordem nas somas, mas o que se vê é um equilíbrio impressionante, como se os números estivessem “a trabalhar juntos”.

Além disso, a criação de um quadrado mágico exige um equilíbrio e lógica delicados, revelando uma complexidade por trás da simplicidade.

Assim, sua “magia” reside na união harmoniosa dos números, que, através dos séculos, foi associada a simbolismos espirituais e poderes ocultos.

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China (c. 2200 a.C.)

Os primeiros registos de quadrados mágicos vêm da China antiga. O mais famoso é o Lo Shu, um quadrado 3x3 associado a uma lenda sobre uma tartaruga sagrada que emergiu do Rio Lo com marcas nas costas formando esse padrão, sendo este um dos exemplos mais antigos conhecidos de um quadrado mágico.

Índia & Mundo Islâmico

Na Índia e no Médio Oriente, os quadrados mágicos também aparecem em antigos textos matemáticos e espirituais. Eram estudados tanto pelas suas propriedades numéricas quanto pelo seu valor simbólico e místico, especialmente em contextos religiosos, astrológicos e esotéricos.

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Artista e matemático alemão.

Na sua gravura Melancolia I (1514), aparece um quadrado mágico de ordem 4. Esse quadrado é muito conhecido porque:

A soma de todas as linhas, colunas e diagonais dá 34.

Os dois números centrais da última linha formam o ano "1514".

Ajudou a torná-los conhecidos no Renascimento europeu.

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"Melancolia I” é uma gravura criada por Albrecht Dürer em 1514, considerada uma obra-prima do Renascimento. A imagem retrata uma figura sentada, pensativa, e cercada por vários símbolos matemáticos, científicos e místicos. Um dos elementos mais notáveis da gravura é o quadrado mágico que aparece no canto superior direito.

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Quadrado mágico na obra “Melancolia I” de Albrecht Dürer

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Quadrado mágico na obra “Melancolia I” de Albrecht Dürer

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No canto superior direito da gravura Melancolia I, Albrecht Dürer inseriu um quadrado mágico 4x4, onde a soma de cada linha, coluna e diagonal resulta em 34 — a chamada constante mágica. Este número não foi escolhido ao acaso: representa um equilíbrio matemático, visto como reflexo da harmonia universal.

Um detalhe curioso e simbólico é que os dois números centrais da última linha são 15 e 14, formando o ano da obra: 1514. Essa escolha mostra que Dürer não usou o quadrado apenas como elemento decorativo, mas como parte do conteúdo profundo da obra.

Este quadrado é um dos primeiros exemplos de uso artístico de quadrados mágicos na Europa, marcando o cruzamento entre a ciência, a arte e a filosofia renascentista. A presença do quadrado reforça o tema central da gravura: a tensão entre a razão humana, o conhecimento matemático e os mistérios que permanecem fora do nosso alcance.

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O Lo Shu Square é o mais antigo
É um quadrado mágico 3x3 da China antiga, com mais de 4.000 anos. Diz a lenda que foi encontrado nas costas de uma tartaruga sagrada.

Somatório constante tem fórmula
Para um quadrado mágico de ordem n, a soma mágica é sempre n×(n2+1)2\frac{n \times (n^2 + 1)}{2}. Isso funciona para qualquer tamanho!

Existem quadrados mágicos de todas as ordens, exceto de ordem 2
Ou seja, não existe quadrado mágico 2x2 — não é possível organizar números 1 a 4 para que linhas, colunas e diagonais tenham a mesma soma.

Quadrados mágicos aparecem na arte e na arquitetura
Como na famosa gravura “Melancolia I” de Albrecht Dürer, e em mosaicos antigos com simbolismo religioso.

Os números em quadrados mágicos podem ser usados para criar códigos secretos
Inspiraram técnicas primitivas de criptografia e ainda são estudados para segurança de dados.

Um quadrado mágico pode ter propriedades extras
Por exemplo, o quadrado mágico perfeito é aquele em que as somas das “quase-diagonais” também são iguais à soma mágica — um caso especial e raro.

Em algumas culturas, quadrados mágicos eram usados como talismãs
Acreditava-se que protegiam contra o mal, atraíam boa sorte e tinham poderes místicos.

O maior quadrado mágico conhecido tem ordem gigantesca
Cientistas e matemáticos já construíram quadrados mágicos com milhares de linhas e colunas usando computadores!

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Um quadrado mágico organiza números para que a soma de linhas, colunas e diagonais principais seja a mesma - constante mágica - garantindo equilíbrio numérico na sua disposição.

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Durante a Idade Média e o Renascimento, os quadrados mágicos ganharam nova vida, tornando-se símbolos de ordem, harmonia e perfeição. Foram amplamente utilizados em contextos como a alquimia, a astrologia e a arte, aparecendo tanto em obras visuais quanto em tratados místicos, como os escritos por Cornelius Agrippa.

Nessa época, passaram a ser vistos como uma ponte entre a matemática e a magia natural, refletindo a busca por uma compreensão mais profunda da harmonia oculta do universo.

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Os números em quadrados mágicos são distribuídos estrategicamente para que todas as somas sejam iguais, usando a fórmula presente na imagem acima

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Wikipédia. (s.d.). Quadrado mágico [Imagem]. Em Wikipédia, a enciclopédia livre. Recuperado de https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Quadrado_mágico

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Lo Shu Square (China) — O quadrado mágico 3x3 mais antigo

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Lo Shu Square (China) — O quadrado mágico 3x3 mais antigo

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O Quadrado de Lo Shu, é o quadrado mágico 3x3 mais antigo, originalmente criado na China. É um diagrama com números de 1 a 9, dispostos num quadrado de forma a que a soma de cada linha, coluna e diagonal seja sempre a mesma (neste caso, 15).

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Os quadrados mágicos no Islão são estudados desde o século VIII, conhecidos como "wafq al-a'dad" (disposição harmoniosa dos números) e associados às influências planetárias da astrologia antiga. Eram usados em talismãs para invocar virtudes planetárias e influenciar o destino. O Taj Mahal incorpora essa tradição geométrica, refletindo também influências indianas, especialmente nos seus jardins e na arquitetura. Estes quadrados têm raízes antigas na Índia, onde eram utilizados em tecelagem, arquitetura e como símbolos místicos. O Islão e Índia têm em comum o uso dos quadrados mágicos, tanto em artes e ofícios como em dimensões simbólicas e matemáticas.

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Quadrados mágicos na Europa Renascentista

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Quadrados mágicos na Europa Renascentista

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Durante o Renascimento, os quadrados mágicos foram estudados não só pela matemática, mas também por pensadores ligados à astrologia, alquimia e misticismo. Circulavam entre estudiosos como Cornelius Agrippa e eram vistos como símbolos de ordem cósmica, ligados aos planetas e às forças invisíveis do universo.

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Wikipédia. (s.d.). Quadrado latino [Imagem]. Em Wikipédia, a enciclopédia livre. Recuperado de https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Quadrado_latino

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Quadrados latinos são tabelas de ordem n × n com "n" símbolos diferentes, de forma que cada símbolo apareça uma vez em cada linha e em cada coluna.

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Matemático suíço que estudou quadrados latinos, quadrados gregos e quadrados mágicos de forma sistemática.

Foi pioneiro em muitos aspetos da combinatória.

Estudou as propriedades matemáticas profundas dos quadrados, como o problema das 36 oficiais (relacionado a quadrados latinos).

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Estudo de padrões e propriedades numéricas

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Estudo de padrões e propriedades numéricas

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Quadrados mágicos analisam padrões numéricos, simetrias e propriedades através da soma constante dos números.

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São usados no estudo de arranjos e contagem de números ou objetos sob restrições específicas.

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Quadrados mágicos relacionam-se à teoria dos números, especialmente nas somas, progressões aritméticas e propriedades modulares em explorações numéricas.

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Quadrados mágicos relacionam-se com matrizes e estruturas em álgebra linear.

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Elementos para obter certos equilíbrios em experiências usam quadrados mágicos para minimizar erros e variabilidades.

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Padrões numéricos e quadrados mágicos influenciam cifragem e organização de dados

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Simbolismo

Harmonia e ordem cósmica

Proteção e poder

Geometria sagrada

Mistério

Enigmas ocultos

Relação entre a ciência e a magia

Talismãs visuais

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Arquitetura

Estrutura e simetria

Elementos decorativos

Design

Ornamentação geométrica

Símbolos

Talismãs e design de objetos

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Método de construção para quadrado mágico de ordem ímpar 

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Método de construção para quadrado mágico de ordem ímpar 

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Passo a passo para construir um quadrado mágico ímpar (exemplo 3x3):

1. Posição inicial:

Colocar o número 1 na célula central da primeira linha (linha de cima, coluna do meio).

2. Regras para colocar os próximos números:

Para cada próximo número (2, 3, 4, ... até n²) temos de fazer o seguinte:

Vá para a célula diagonal superior direita (uma linha acima e uma coluna à direita da posição atual).

Se essa posição estiver fora do quadrado (passou da borda), “volte” para o lado oposto (como se o quadrado fosse toroidal).

Se a célula já estiver ocupada, em vez disso, desça uma célula para baixo da posição atual e coloque o número lá.

Repita até preencher todas as células.

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Método de construção para quadrado mágico de ordem par

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Método de construção para quadrado mágico de ordem par

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Par duplo (como 4x4, 8x8):

Este método é chamado de método da inversão ou método do “complemento”.

Passos:

1. Preencher o quadrado sequencialmente com os números de 1 até n², na ordem normal, linha por linha.

2. Trocar os números nas posições de células que estão em certas posições especiais, geralmente aquelas na diagonal principal e na diagonal secundária (ou outras células em um padrão definido).

A inversão troca o número k pelo seu complemento n2+1−kn^2 + 1 - k.

Ou seja,

1. Preencher de 1 a 16 assim:

1  2  3  4

5  6  7  8

9 10 11 12

13 14 15 16

Agora, inverter os números nas células da diagonal principal e secundária

2. Depois das trocas, fica:

16  2  3  13

5 11 10   8

9  7  6  12

4 14 15   1

Par simples (como 6x6, 10x10):

1. Dividir o quadrado em blocos menores (como 2x2 ou 3x3),

2. Preencher os blocos de forma que cada um seja um quadrado mágico ímpar,

Por exemplo (6x6):

Q1 (1 a 9):

8 1 6

3 5 7

4 9 2

Q2 (10 a 18):

17 10 15

12 14 16

13 18 11

Q3 (19 a 27):

26 19 24

21 23 25

20 27 22

Q4 (28 a 36):

35 28 33

30 32 34

29 36 31

3. Ajustar os valores para que o quadrado inteiro forme um quadrado mágico

8 1 6 17 10 15

3 5 7 12 14 16

4 9 2 13 18 11

26 19 24 35 28 33

21 23 25 30 32 34

20 27 22 29 36 31

4. Ajustar os valores trocando colunas específicas entre os quadrantes para equilibrar as somas

Para o exemplo 6x6:

Trocar a colunas 1 do Q1 e Q3

Trocar a colunas 3 do Q1 e Q3

Trocar a colunas 6 do Q2 e Q4

35 1 6 26 19 24

3 32 7 21 23 18

31 9 2 22 27 20

8 28 33 17 10 15

30 5 34 12 14 16

4 36 29 13 25 11

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Archidoxia Mágica, obra onde Paracelso descreve os quadrados mágicos como instrumentos de cura.    Paracelso. (1591). Quadrado mágico de Júpiter [Imagem]. Em Archidoxis Magica. Johannes Huser. [URL da imagem]                    

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O médico e alquimista renascentista Paracelso acreditava que os quadrados mágicos podiam ser usados como talismãs com poderes curativos. Na sua obra Archidoxia Mágica, Paracelso descreve como cada quadrado possui propriedades específicas para proteger a saúde física e espiritual.

Esses talismãs numéricos eram usados para equilibrar energias, prevenir doenças e fortalecer o bem-estar, combinando medicina, astrologia e simbolismo numérico numa prática terapêutica que integrava corpo, mente e cosmos.

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Quadrado de Saturno (3x3): proteção contra perigos, afastar espíritos malignos, cura de doenças graves e fortalecimento da resistência.

Quadrado de Júpiter (4x4): equilíbrio espiritual, prosperidade, fortalecimento da sabedoria e da justiça, proteção contra energias negativas.

Quadrado de Marte (5x5): coragem, força física e proteção contra inimigos e males físicos.

Quadrado do Sol (6x6): saúde, vitalidade, iluminação espiritual e cura.

Quadrado de Vênus (7x7): amor, harmonia, equilíbrio emocional e cura do coração.

Quadrado de Mercúrio (8x8): inteligência, comunicação, proteção mental e clareza.

Quadrado da Lua (9x9): intuição, proteção durante a noite, equilíbrio emocional e cura psíquica

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 Quadrado mágico imperfeito ou defeituoso

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 Quadrado mágico imperfeito ou defeituoso

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Descrição: É um quadrado onde nem todas as condições de um quadrado mágico clássico são cumpridas.

Exemplo: As linhas e colunas somam o mesmo valor, mas as diagonais não.

# data[].attributes.headline
Quadrado mágico hipermágico (ou panmágico)

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Quadrado mágico hipermágico (ou panmágico)

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Descrição: É um quadrado mágico que, além das linhas, colunas e diagonais principais, também mantém a soma mágica em outras diagonais secundárias e em partes rotacionadas ou refletidas do quadrado.

Exemplo: Em alguns casos, mesmo trocando colunas ou linhas de certas formas, o quadrado continua mágico.

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Descrição: É uma versão ainda mais complexa do quadrado mágico, que possui muitas propriedades especiais, como simetrias complexas, subquadrados também mágicos, somas iguais em todos os sentidos possíveis, etc.

Origem do nome: A palavra "diabólico" refere-se à dificuldade extrema em construir esses quadrados. Não é um termo técnico usado em matemática formal, mas aparece em alguns textos e puzzles.