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https://youtu.be/N9hIVf1EYx4

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1)X che tende a - infinito

2)X che tende a + Infinito

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Il limite infinito per x tendente all'infinito è la quarta tipologia di limite definita per le funzioni reali di variabile reale. Viene denominata talvolta limite infinito all'infinito e consente di studiare il comportamento di una funzione agli eventuali estremi illimitati del suo dominio.

Lo scopo di questa lezione consiste nel fornire la definizione del quarto tipo di limite: in accordo con la lezione introduttiva sul concetto di limite, avrete di certo intuito che la distinzione viene fatta sul valore cui tende la x, finito o infinito, e sul valore del limite, che può essere finito o infinito. L'ultimo caso che ci resta da trattare è quello in cui la funzione tende all'infinito quando x tende all'infinito.

Per introdurre la nozione di limite infinito all'infinito scriveremo la definizione commentandola in dettaglio, la analizzeremo graficamente ed infine proporremo un esempio di verifica di un limite mediante la definizione stessa.

Premesse per la definizione di limite infinito per x tendente all'infinito

Per cominciare consideriamo una funzione e supponiamo che il suo dominio sia illimitato sia superiormente, sia inferiormente. In modo del tutto equivalente possiamo supporre che esistano due numeri reali tali che la funzione sia definita per e per .

In altre parole, supponiamo che la funzione sia definita in un intorno di -infinito e in un intorno di +infinito (si veda la lezione: intorno di infinito).

Per definire la nozione di limite infinito all'infinito dobbiamo dare un senso a tutti i possibili limiti in cui la x tende ad un valore infinito ed il limite assume un valore infinito. Abbiamo quindi quattro possibilità relative alle combinazioni di segno che possono assumere l'infinito cui tende la x e il risultato del limite

Noi ci concentreremo sulla definizione del primo caso analizzandola nel dettaglio; più che imparare a memoria ogni definizione, l'importante è comprendere la logica che si cela dietro al linguaggio simbolico dei limiti. In questo modo potrete scrivere agevolmente le rimanenti definizioni basandovi sul semplice ragionamento.

Prima di passare alla definizione ricordiamo che l'operazione di passaggio al limite per x tendente all'infinito serve per studiare il comportamento della funzione in un intorno di infinito, e a seconda dei casi per valori decrescenti della x o per valori crescenti della x . Non dimenticate che non sono numeri reali.

La funzione

ha come dominio e ammette come grafico una parabola rivolta verso l'alto con vertice nell'origine. Alla fine di questa lezione saremo in grado di dimostrare che

Se consideriamo la funzione

essa è definita in un intorno di +infinito, e risulta che

Vi anticipiamo che la verifica di un limite del genere mediante la definizione non è affatto semplice. Ad ogni modo non preoccupatevi: nelle lezioni successive introdurremo tutte le tecniche che consentono di calcolare i limiti e impareremo a determinare il risultato di questo, e di moltissimi altri limiti, con una manciata di calcoli. ;)

Definizione di limite infinito all'infinito

La prima definizione che vi presentiamo è quella relativa al limite +infinito per x tendente a +infinito; dopo averla analizzata nel dettaglio sarete in grado di scrivere autonomamente le restanti definizioni relative alle altre possibili combinazioni sui segni.

Definizione (limite +infinito per x tendente a +infinito)

Sia una funzione dall'espressione analitica , e supponiamo che il suo dominio sia superiormente illimitato. Diciamo che la funzione tende a per , e scriviamo

se per ogni valore di controllo sulle ordinate esiste un corrispondente valore di controllo , dipendente da , tale per cui se consideriamo allora risulta che .

In simboli:

Nel caso in cui la proprietà richiesta sia soddisfatta diremo che la funzione diverge positivamente per x tendente a +infinito.

La definizione è molto più semplice di quanto sembri e per comprenderla a fondo basta concentrarsi sul concetto e non sui simboli. Essa ci dice che ha limite più infinito per tendente a più infinito se, comunque scegliamo un valore di controllo per le distanze delle ordinate, da intendersi "grande a piacere", esiste un corrispondente valore di controllo per le ascisse, da intendersi "grande", con la proprietà che prendendo ascisse più grandi di avremo immagini più grandi di .

Come al solito, è importante fare attenzione ad ogni singola parola della definizione onde evitare figuracce all'interrogazione o all'esame orale. ;) La proprietà richiesta nella definizione inizia con un bel per ogni, che non vuol dire ne basta uno: la proprietà deve essere verificata per ogni possibile valore di controllo sulle ordinate.

L'interpretazione grafica della definizione di limite +infinito per x che tende a +infinito non lascia spazio ad alcun dubbio.

L'esempio della precedente figura soddisfa chiaramente la proprietà, e abbiamo indicato una sola coppia per dare un'idea, ma è chiaro che anche per altri valori di c'è un corrispondente per cui vale la definizione.

Altre definizioni di limite infinito all'infinito

Le altre possibili combinazioni di segno che si possono manifestare sul risultato del limite e sul segno dell'infinito cui tende la possono essere facilmente individuate passando ai restanti quadranti del piano cartesiano:

- limite per x tendente a (secondo quadrante);

- limite per x tendente a (quarto quadrante);

- limite per x tendente a (terzo quadrante);

e dovrebbe essere chiaro come si modifica la definizione del limite per x tendente a per adattarla agli altri casi. Non stiamo qui ad esporle una ad una, ma a titolo di esempio...
Definizione (limite +infinito per x tendente a -infinito)
Diciamo che f tende a quando x tende a , e scriviamo

se per ogni valore di controllo sulle ordinate esiste un corrispondente valore di controllo (dipendente cioè da ) tale che se si considera allora risulta che .

In simboli:

Una piccola, insignificante osservazione: nella definizione abbiamo considerato il valore di controllo per le ascisse, ossia , in modo che fosse positivo e conseguentemente abbiamo scritto in modo da individuare le ascisse nell'intorno di -infinito. La convenzione per le definizioni sui limiti prevede di considerare sempre valori di controllo positivi e di attribuire il rispettivo segno nelle disuguaglianze, in modo da evitare possibili fraintendimenti.

Attenzione perché certe fonti prediligono di attribuire il segno meno nel momento in cui viene introdotto il valore di controllo (nel nostro caso avremmo per poi scrivere ). Dal punto di vista logico non cambia assolutamente nulla; dal punto di vista pratico dovremo leggere con attenzione ogni singola lettera delle definizioni che ci verranno proposte.

Un buon esercizio prevede di scrivere le rimanenti definizioni facendo riferimento a generiche funzioni che soddisfino le proprietà richieste graficamente; per farlo basta disegnarne i grafici senza conoscere le espressioni analitiche.

A titolo di curiosità, ecco i grafici delle funzioni degli esempi 1) e 2) proposti inizialmente

Esempio 1): funzione con limite +infinito per x tendente a -infinito e a +infinito.

Esempio 2): funzione con limite +infinito per x tendente a +infinito.

Esempio di verifica di un limite infinito all'infinito con la definizione

Vogliamo usare la definizione per verificare il seguente limite, che esprime il comportamento a più infinito della funzione radice di x

Per cominciare notiamo che la funzione in esame ha dominio , dunque ha perfettamente senso considerarne il limite per x tendente a più infinito. Per capire se la proprietà espressa dalla definizione è soddisfatta dobbiamo verificare che per ogni esiste un , dipendente da , tale per cui considerando risulta che .

Consideriamo la condizione finale

che è una semplicissima disequazione irrazionale

Abbiamo già finito. Il valore di controllo che verifica la definizione è e si noti che, intendendo per un valore "grande a piacere", il corrispondente valore è altrettanto "grande".

Nella scheda di esercizi correlati potete cimentarvi con gli esercizi sulla verifica mediante la definizione, per tutto il resto c'è la barra di ricerca interna. ;)

বিদায়, see you soon guys!

Agente Ω

Tags: definizione di limite infinito per x tendente a un valore infinito, il quarto dei quattro tipi di limite. Lezione molto utile nel contesto di verifica dei limiti con la definizione e per impararne il significato geometrico - per ogni N esiste un M.

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Limite infinito per x tendente all'infinito

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Il limite infinito per x tendente all'infinito è la quarta tipologia di limite definita per le funzioni reali di variabile reale. Viene denominata talvolta limite infinito all'infinito e consente di studiare il comportamento di una funzione agli eventuali estremi illimitati del suo dominio.

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https://www.youtube.com/watch?v=bIbACme0Evw

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FORMULE E SPIEGAZIONE ASINTOTI ORIZZONTALI E VERTICALI

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FORMULE E SPIEGAZIONE ASINTOTI ORIZZONTALI E VERTICALI

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https://www.youtube.com/watch?v=cw-toIKOlIU

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L'asintoto verticale si ha quando la X tende ad un valore escluso dal dominio e il valore del limite tende all'infinito, avvicinandosi ad una retta verticale.

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L'asintoto orizzontale esclude quello obliquo e viceversa perché al crescere della X, la funzione può andare all'infinito in un solo modo.

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L'asintoto obliquo si ha quando la X tende all'infinito e quindi la funzione tende ad avvicinarsi ad una retta obliqua.

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L'asintoto orizzontale si ha quando la X tende all'infinito e quindi la funzione si avvicina ad una retta orizzontale.

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Per asintoti si tratta di una retta che si avvicina ad una funzione senza mai toccarla. Si dice anche che l'asintoto sia la tangente all'infinito della funzione. Una funzione può tendere all'infinito avvicinandosi ad una retta in due modi

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Positività di una funzione razionale fratta

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Positività di una funzione razionale fratta

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Positività di una funzione esponenziale 

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Positività di una funzione esponenziale 

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https://youtu.be/LhIAN0JjzkY

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http://progettomatematica.dm.unibo.it/StudioFun/intersezione.html

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Intersezioni con l'asse delle ascisse (Asse x)

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Intersezioni con l'asse delle ascisse (Asse x)

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Il grafico di una funzione può intersecare o non l'asse x e se lo interseca può farlo in uno o più punti. Per calcolare le coordinate dei punti di intersezione con l'asse x,di equazione y=0 dobbiamo domandarci quali sono i valori di x per i quali la funzione si annulla.
Dobbiamo quindi risolvere l'equazione: f(x)=0

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Intersezioni con l'asse delle ordinate (asse y)

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Intersezioni con l'asse delle ordinate (asse y)

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Il grafico di una funzione può intersecare o non l'asse y ma, se lo interseca, lo può intersecare solo una volta.
Per calcolare l'ordinata del punto di intersezione con l'asse y dobbiamo valutare la funzione in corrispondenza dell'ascissa x=0
ossia sostituire il valore x=0 nell'espressione della funzione. Dopo averla calcolata avremo immediatamente le coordinate del punto di intersezione con l'asse delle y.

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prendiamo la derivata di una qualsiasi funzione
y`=x³+4x²
faccio la derivata seconda
y``=3x+8x

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trovando cosi il punto esatto in cui il flesso si trova

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identificando cosi "l'orientamento" del flesso

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per trovare dove si trova esattamente questo flesso stazionario occorre porre la derivata seconda dell'equazione f(x) y=2(x-3)³

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nel punto (0,0) all'origine degli assi cartesiani la funzione passa dall'avere la sua concavità verso il basso all averla orientata verso l'alto

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possiamo prendere in considerazione l'equazione di questa funzione
f(x)
y=x^3

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Con l'espressione intersezione con gli assi si indicano le intersezioni del grafico di una funzione con gli assi cartesiani, ovvero quando la funzine interseca gli assi cartesiani(ASSE DELLE ORADINATE o ASSE DELLE ASCISSE).La funzione potrebbe anche non intersecare alcuno dei 2 assi, oppure potrebbe intersecare soltanto uno, o eventualmente entrambi.

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La derivata seconda ci da la possibilità di trovare (se esiste) nella nostra funzione un punto detto "flesso stazionario"
ovvero un punto nello spazio appartenente alla mia funzione in cui la stessa cambia la sua concavità

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È un'operazione che permette di studiare il comportamento di una funzione all'avvicinarsi ad un punto [X0] o all'infinito
(Determina il valore a cui la funzione tende).

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La derivata viene usata per definire i punti stazionari cioè i punti in cui la  retta tangente è orizzontale e può essere di tre tipi: massimi, minimi e flessi.
In matematica viene chiamata derivata di una funzione il limite del rapporto (detto incrementale) fra la differenza dei valori assunti dalla funzione per 2 valori della variabile e la differenza tra questi 2 valori, quando questa seconda differenza tende a 0:

lim      f(X0+h)-f(X0)/h
h—>0
La derivata di una funzione è una grandezza che viene calcolata punto per punto, nel caso in cui la derivata esista in ogni punto del dominio, la si può vedere come una funzione che associa a ogni punto proprio la derivata in quel punto.
Derivate delle funzioni elementari:

y=cos x —> y’= -sen x

y=sen x —> y’= cos x

y=ln x—> y’= 1/x

y= ex  —> y’=ex

y=xn  —> y’= nx-1

y=√x. —> y’= 1/2√X

https://www.youtube.com/watch?v=yHyPJ0_ENdk&feature=share

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Questo punto ci permette di stabilire il segno che assume la funzione, ovvero le parti nel piano cartesiano in cui la funzione sarà positiva (sopra l'asse x), e le parti in cui sarà negativa (sotto l'asse x).
Per comodità, convenzionalmente si studia la positività della funzione risolvendo la disequazione:          y>0       ovvero    f(x)>0