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https://www.lifeder.com/limites-trigonometricos

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Hay dos definiciones que deben ser conocidas para poder entender cómo se realiza el cálculo de un límite trigonométrico. Estas definiciones son:

- Límite de una función "f" cuando "x" tiende a "b": consiste en calcular el valor al cual se aproxima f(x) a medida que "x" se aproxima a "b", sin llegar a valer "b".

- Funciones trigonométricas: las funciones trigonométricas son las funciones seno, coseno y tangente, denotadas por sin(x), cos(x) y tan(x) respectivamente.

Las demás funciones trigonométricas se obtienen a partir de las tres funciones mencionadas anteriormente.

Para aclarar el concepto de límite de una función se procederá a mostrar algunos ejemplos con funciones sencillas.

- El límite de f(x)=3 cuando "x" tiende a "8" es igual a "3", puesto que la función siempre es constante. No importa cuánto valga "x", el valor de f(x) siempre será "3".

- El límite de f(x)=x-2 cuando "x" tiende a "6" es "4". Ya que cuando "x" se aproxima a "6" entonces "x-2" se aproxima a "6-2=4".

- El límite de g(x)=x² cuando "x" tiende a "3" es igual a 9, puesto que cuando "x" se va acercando a "3" entonces "x²" se va acercando a "3²=9".

Como se puede notar en los ejemplos anteriores, calcular un límite consiste en evaluar el valor al cual tiende "x" en la función, y el resultado será el valor del límite, aunque esto es cierto solo para funciones continuas.

¿Existen límites más complicados?

La respuesta es si. Los ejemplos anteriores son los ejemplos más sencillos de límites. En los libros de cálculo, los principales ejercicios de límites son los que generan una indeterminación del tipo 0/0, ∞/∞, ∞-∞, 0*∞, (1)^∞, (0)^0 y (∞)^0.

Estas expresiones son llamadas indeterminaciones puesto que son expresiones que matemáticamente no tienen sentido.

Además de que, dependiendo de las funciones involucradas en el límite original, el resultado obtenido al resolver las indeterminaciones puede ser diferente en cada caso.

Ejemplos de límites trigonométricos sencillos

Para resolver límites, siempre es muy útil conocer las gráficas de las funciones involucradas. A continuación se muestran las gráficas de las funciones seno, coseno y tangente.

Algunos ejemplos de límites trigonométricos sencillos son:

- Calcule el límite de sin(x) cuando "x" tiende a "0".

Al ver la gráfica se puede apreciar que si "x" se va acercando a "0" (tanto por la izquierda como por la derecha), entonces la gráfica del seno se va acercando también a "0". Por lo tanto, el límite de sin(x) cuando "x" tiende a "0" es "0".

- Calcule el límite de cos(x) cuando "x" tiende a "0".

Observando la gráfica del coseno se aprecia que cuando "x" está cerca de "0" entonces la la gráfica del coseno está cerca de "1". Esto implica que el límite de cos(x) cuando "x" tiende a "0" es igual a "1".

Un límite puede existir (ser un número), como sucede en los ejemplos anteriores, pero también puede ocurrir que no exista como se muestra en el siguiente ejemplo.

- El límite de tan(x) cuando "x" tiende a "Π/2" por la izquierda es igual a "+∞", como se puede ver en la gráfica. Por otro lado, el límite de tan(x) cuando "x" tiende a "-Π/2" por la derecha es igual a "-∞".

Identidades de límites trigonométricos

Dos identidades muy útiles cuando se están calculando límites trigonométricos son:

- El límite de "sin(x)/x" cuando "x" tiende a "0" es igual a "1".

- El límite de "(1-cos(x))/x" cuando "x" tiende a "0" es igual a "0".

Estas identidades se utilizan muy a menudo cuando se tiene algún tipo de indeterminación.

Resuelva los siguientes límites utilizando las identidades descritas arriba.

- Ejercicio 1
Calcule el límite de "f(x)= sin(3x)/x" cuando "x" tiende a "0".
Si se evalúa la función "f" en "0" se obtendrá una indeterminación del tipo 0/0. Por lo tanto, hay que intentar resolver esta indeterminación utilizando las identidades descritas.

La única diferencia entre este límite y la identidad es el número 3 que aparece dentro de la función seno. Para poder aplicar la identidad se debe reescribir la función "f(x)" de la siguiente manera "3*(sin(3x)/3x)". Ahora, tanto el argumento del seno como el denominador son iguales.

De modo que cuando "x" tiende a "0", utilizando la identidad resulta "3*1=3". Por lo tanto, el límite de f(x) cuando "x" tiende a "0" es igual a "3".

- Ejercicio 2
Calcule el límite de "g(x)=1/x - cos(x)/x" cuando "x" tiende a "0".
Cuando se sustituye "x=0" en g(x) se obtiene una indeterminación del tipo ∞-∞. Para resolverla primero se restan las fracciones, lo cual arroja como resultado "(1-cos(x))/x".

Ahora, al aplicar la segunda identidad trigonométrica se tiene que el límite de g(x) cuando "x" tiende a "0" es igual a 0.

- Ejercicio 3
Calcule el límite de "h(x)=4tan(5x)/5x" cuando "x" tiende a "0".
Nuevamente si se evalúa h(x) en "0" se obtendrá una indeterminación del tipo 0/0.

Reescribiendo tan(5x) como sin(5x)/cos(5x) resulta que h(x)=(sin(5x)/5x)*(4/cos(x)).

Utilizando que el límite de 4/cos(x) cuando "x" tiende a "0" es igual a "4/1=4" y la primera identidad trigonométrica se obtiene que el límite de h(x) cuando "x" tiende a "0" es igual a "1*4=4".

Los límites trigonométricos no son siempre fáciles de resolver. En este artículo solo se mostraron ejemplos básicos.

1. Fleming, W., & Varberg, D. E. (1989). Precalculus Mathematics. Prentice Hall PTR.

2. Fleming, W., & Varberg, D. E. (1989). Precalculus mathematics: a problem-solving approach (2, Illustrated ed.). Michigan: Prentice Hall.

3. Fleming, W., & Varberg, D. (1991). Algebra y trigonometría con geometría analítica. Pearson Educación.

4. Larson, R. (2010). Precalculus (8 ed.). Cengage Learning.

5. Leal, J. M., & Viloria, N. G. (2005). Geometría Analítica Plana. Mérida - Venezuela: Editorial Venezolana C. A.

6. Pérez, C. D. (2006). Precalculo. Pearson Educación.

7. Purcell, E. J., Varberg, D., & Rigdon, S. E. (2007). Cálculo (Novena ed.). Prentice Hall.

8. Saenz, J. (2005). Cálculo Diferencial con funciones trascendentes tempranas para Ciencias e Ingeniería (Segunda Edición ed.). Hipotenusa.

9. Scott, C. A. (2009). Cartesian Plane Geometry, Part: Analytical Conics (1907) (reprint ed.). Lightning Source.

10. Sullivan, M. (1997). Precalculo. Pearson Educación.

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Hay dos definiciones que deben ser conocidas para poder entender cómo se realiza el cálculo de un límite trigonométrico. Estas definiciones son: - Límite de una función "f" cuando "x" tiende a "b": consiste en calcular el valor al cual se aproxima f(x) a medida que "x" se aproxima a "b", sin llegar a valer "b".

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Los límites trigonométricos son límites de funciones tales que dichas funciones están formadas por funciones trigonométricas.Hay dos definiciones que deben ser conocidas para poder entender cómo se realiza el cálculo de un límite trigonométrico.

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En este tipo de límites se considera
que x se aproxima al punto a sólo
por su derecha o por su
izquierda.

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Edwin Gabriel Encarnación Ortíz. 21030647Jade Yatana Hernández Lozano. 21030038Cynthia Michelle Porcallo Gómez. 21030094Francisco Javier Jimenez Sanchez. 21030611Zurisadai Pérez Cortes. 21030107Alexis Adan Zavala Hernandez. 21030731

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Edwin Gabriel Encarnación Ortíz. 21030647Jade Yatana Hernández Lozano. 21030038Cynthia Michelle Porcallo Gómez. 21030094Francisco Javier Jimenez Sanchez. 21030611Zurisadai Pérez Cortes. 21030107Alexis Adan Zavala Hernandez. 21030731

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El limite de una función es el valor al que tiende ésta cuando la variable independiente tiende a un valor a (x → a) y

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El límite de una función es el valor al que tiende ésta cuando la variable independiente tiende a un valor a ( x → a) y se escribe:

En el caso de existir este límite, éste es único (primera de las propiedades de los límites).

No necesariamente se cumple que:

Veamos un ejemplo en la siguiente función:

En ella existe el límite para x → -2, pero no existe f(-2):

La condición necesaria y suficiente para que exista el límite es que los límites laterales existan y que estos sean iguales:

No se busca f(a) sino los valores de la función f(x) en las proximidades de a a su izquierda y a su derecha.

Para ver el límite de una función en un punto, partimos de del concepto de límite.

A cualquier punto a de la recta real (valor al que tiende x), nos podemos acercar, en el caso de la existencia del límite, tanto como queramos, tanto por su izquierda como por su derecha. Son los límites laterales.

Al extremo derecho de la recta real, es decir, a +∞, solamente nos podemos acercar por la izquierda; al extremo izquierdo de la recta real, es decir, a -∞, solamente nos podemos acercar por la derecha. Ambos casos son los límites en el infinito.

En un punto de la variable x → a de una función f(x), podemos comprobar si existe el límite y su valor, dándole valores a la variable cada vez más cercanos a a, por la izquierda y por la derecha.

Veamos este límite:

Le damos valores cada vez más próximos a -2 por ambos lados, según esta tabla:

Como se ve en la figura:

Es indiferente que f(x) esté definida o no en a (en el ejemplo anterior, no está definida en x = -2) ni que el valor f(a) coincida con el límite. Lo importante es el valor de la función cuando x se acerca más y más a a en su entorno.

Para calcular el límite de una función en un punto de su dominio, cuando son del tipo polinómica, racional, exponencial o logarítmica, o en las funciones trigonométricas restringidas en su dominio, es suficiente con sustituir en x el valor a para el que queremos averiguar el límite.

Una función tiene límite si existen los dos límites laterales y éstos coinciden.

El límite de una función f(x) en a, si existe, este límite es único.

Se podrían dar valores a x cada vez más próximos a a por la izquierda o por la derecha. Obtendremos el límite lateral por la izquierda, al que llamaremos y/o el límite lateral por la derecha, al que llamaremos .

Por lo tanto, para que exista el límite L de una función f(x) en a, si existe, deben ser iguales el límite por la izquierda y el límite por la derecha, = .

Se denomina límite por la izquierda (o límite lateral por la izquierda), al que llamaremos de una función f(x) definida en el intervalo abierto ( a, c) y en un punto a, a la imagen, o el valor que toma esa función, cuando el valor de la variable x se acerca mucho a a, siendo x < a.

Se escribe:

Para cualquier valor muy pequeño δ > 0 se corresponde otro ε > 0, de manera que siempre que 0 < a - x < δ debe de cumplirse que: | f(x) - L₁| < ε.

Veamos como los valores de x se aproximan a a por la izquierda (en el ejemplo de la tabla, = 2) y, al mismo tiempo, la función f(x), en este caso, se aproxima también por la izquierda al límite lateral por la izquierda, .

Se denomina límite por la derecha (o límite lateral por la derecha), al que llamaremos de una función f(x) definida en el intervalo abierto ( a, b) y en un punto a, al valor que toma esta función f(x), cuando el valor de la variable x se acerca mucho a a, pero siendo x > a.

Se escribe:

Para cualquier valor tan pequeño δ > 0 se corresponde otro ε > 0, de manera que siempre que 0 < x - a < δ debe de cumplirse que: || < ε.

Para cualquier valor tan pequeño como se quiera y positivo δ > 0 se corresponde otro también positivo ε > 0, de manera que siempre que 0 < a - x < δ debe de cumplirse que: | f(x) - L₂| < ε.

Veamos como los valores de x se aproximan a a (en el ejemplo de la tabla = 2) por la derecha y, al mismo tiempo, la función f(x) se aproxima por la derecha a .

Las propiedades de los límites son operaciones que se pueden emplear para simplificar el cálculo del límite de una función más compleja. Al tratarse de operaciones, también se le denimina álgebra de los límites.

Sean f(x) y g(x) dos funciones definidas en un mismo intervalo en donde está el valor a del límite y k una constante.

Propiedad de la función constante: el límite de una función constante es esta misma constante.

Propiedad del factor constante: en un límite de una constante multiplicada por una función se puede sacar la constante del límite sin que se afecte el resultado.

Propiedad del cociente: el límite de un cociente de dos funciones es el cociente de los límites de las mismas.

Propiedad de la función exponencial: el límite de una función exponencial es la potencia de la base elevada al límite de la función exponente:

Se dice que existe límite infinito cuando la función f(x) llega a valores que crecen continuamente, es decir que se puede hacer la función tan grande como queramos. Se dice que f(x) diverge a infinito. Para ello, el valor al que tienda la variable independiente x puede ser tanto a un número finito, como tender al infinito ( límites en el infinito).

Su límite cuando la variable tiende a 2 es:

Se puede comprobar si damos valores a la x cada vez más cercanos a 2, tanto acercándonos por su izquierda como por su derecha, como se ve en el siguiente cuadro, el límite tiende a +∞:

Visto en esta gráfica:

Unas funciones con un límite infinito pueden crecer más rápidamente que otras, conforme la variable x se acerca al valor del límite. Decimos que hay diferentes órdenes de infinito, según su rapidez en acercarse a él.

Comparación de órdenes de infinito en infinitos fundamentales, ordenados de mayor a menor. Para eso, veamos estas gráficas:

Sus órdenes de infinito, de mayor a menor:

Pondremos ahora las denominaciones de las funciones fundamentales, ordenadas.

Potencial exponencial > exponencial > potencial > logarítmica.

O, lo que es lo mismo:

Una función f(x) puede tener un límite infinito cuando la función f(x) llega a valores que crecen continuamente, es decir que se puede hacer la función tan grande como queramos. Se dice entonces que f(x) diverge a infinito. Esto puede ocurrir cuando la variable x tienda a un valor finito a o también cuando x tienda al infinito. Veamos los tipos que se pueden presentar.

Un límite en el infinito es aquel al que tiende f(x) cuando la variable x se hace tan grande, tanto en positivo como en negativo, como queramos. Entonces la función f(x) puede tender a un valor finito o puede diverger a infinito (límite infinito).

Su límite cuando la variable tiende a 2 es:

Se puede comprobar si damos valores a la x cada vez más cercanos a +∞. Como se ve en el siguiente cuadro, el límite tiende a 1:

Visto en esta gráfica:

Vamos a ver operaciones con los límites de dos funciones f(x) y g(x), que estén definidas sobre el mismo intervalo en los números reales. Y sobre el mismo valor al que tiende la variable x.

El valor al que tiende x puede ser un número real o ± ∞ ( límites en el infinito).

Igualmente ocurre con el valor del límite. Que sea un número real o ± ∞ ( límites infinitos).

Para operar con los límites de las dos funciones f y g, han de tenerse en cuenta las propiedades de los límites.

Conocer los siguientes casos que se muestran en esta tabla resulta útil para resolver operaciones con límites, siempre que en alguno de sus valores intervengan 0 o ∞. (Estos casos, especialmente cuando interviene ∞, debe tenerse en cuenta que no son lo que se define como una operación matemática. Son ayudas para averiguar el valor del límite).

Cuando una de esas operaciones contenidas en la tabla da como resultado una de las indeterminaciones, no hay que interpretar que el límite no exista, sino que habrá que hacer una serie de transformaciones adicionales para averiguar (si es que existe) el valor del límite.

Conocida la noción matemática de límite, se pueden encontrar varios tipos de límites, según sea el valor al que tienda la variable independiente x de una determinada función o el valor correspondiente que tome su límite.

Las combinaciones se ven en el siguiente cuadro:

Los dos casos que aparecen en las dos celdas de la última columna de la tabla son límites infinitos, mientras que los dos casos que aparecen en las dos celdas de la última fila son límites en el infinito.

En la función en rojo está representado el límite cuando x tiende a -2, cuyo valor es L = 8 (límite finito cuando la variable tiende a un valor finito).

En la misma función en rojo hay un límite finito en el infinito. Es decir, un caso de límites en el infinito cuando x tiende a infinito. Aquí coinciden sus límites laterales, tanto el límite por la izquierda como su límite por la derecha. Su valor de límite es un número finito, es 1 (relacionado con las asíntotas horizontales).

Sin embargo, en la misma función hay un caso cuando x tiende a -1. Aquí los límites laterales no coinciden. El límite por la izquierda es +∞, mientras que su límite por la derecha es -∞. Por tanto, no existe el límite en la función cuando x tiende a -1 (relacionado con las asíntotas verticales).

En la función de color azul, su límite cuando x tiende a +∞ toma el valor de +∞. Es un caso de límite infinito en un límite en el infinito.

Tenemos a continuación una tabla con operaciones cuando el cálculo se efectúa con valores de límites de ∞ o con un número, incluido el 0. Estos cálculos son sobre el valor del límite, no se trata de operaciones con números, porque ∞ no lo es. Cuando los signos son evidentes, se omiten. (En las líneas con dos ±, debe entenderse que o se usa el + en los dos casos o el - también en ambos).

El primer paso para intentar resolver un límite cuando la variable x tiende al valor a consiste en substituir directamente la variable x por el valor del límite a. Entonces ver el resultado, sin otra consideración.

Es decir, que en una función de tipo usual, como en una función continua, y está definida en el entorno del límite a, lo esperable es que directamente sea:

Como es este caso:

En cambio, no existe este límite:

Y es que la función no está definida en el entorno de -3, porque -3 no está en el campo de existencia de la función, el cual está restringido al subconjunto de los reales positivos.

Si en esa substitución se llega a un caso de indeterminación, se tratará de resolver según el tipo de indeterminación de que se trate.

Una técnica muy potente para resolver determinadas indeterminación> es la regla de L'Hôpital.

Una función exponencial es del tipo: , siendo k un número positivo diferente de 1.

La variable de la función está en el exponente.

Si k és mayor que 1 ( k > 1), la función exponencial es continua y estrictamente creciente en el dominio de los números reales. Si, por el contrario, k és menor que 1 ( k < 1), la función es estrictamente decreciente.

Podemos decir que los límites notables de estas funciones exponenciales son:

Para k > 1:

Para 0 < k < 1:

Una función logarítmica es del tipo: . Se verifica que:

Es la función inversa a la función exponencial . Por eso, sus gráficas son simétricas:

La función logarítmica es continua y estrictamente creciente en el dominio de los números reales positivos, el intervalo (0, +∞). Su codominio son los números reales (-∞, +∞).

Podemos decir que límites notables de estas funciones logarítmicas son:

Los límites indeterminados (o indeterminaciones) no indican que el límite no exista, sino que no se puede anticipar el resultado.

Se tendrán que hacer operaciones adicionales para eliminar la indeterminación y averiguar entonces el valor del límite (en el caso de que exista). Ese valor puede ser un número finito, incluido el cero, o +∞ o bien -∞.

Aparecen indeterminaciones cuando, al sustituir la variable ( x) de la expresión por el valor del límite al que tiende ésta, se convierte en uno de los casos siguientes:

Pero no serán indeterminaciones cuando, al realizar la sustitución mencionada de la variable por el valor de su límite, aparecen resultados como estos, siendo m un valor finito diferente de cero:

El siguiente límite, por ejemplo, es indeterminado:

Por el contrario, este límite no tiene indeterminación:

La indeterminación ∞ / ∞ se puede resolver dividiendo el numerador y el denominador por el mayor grado de la variable.

Pueden haber tres casos de este tipo de límites indeterminados:

1. Que el mayor grado en el numerador sea mayor que el mayor grado del denominador. En este caso, el límite es o +∞ o -∞.

Como se ve en la imagen:

2. Que el mayor grado en el numerador sea igual que el del denominador. La solución es el cociente entre los coeficientes de los términos de mayor grado del numerador y del denominador:

Como se ve en la imagen:

3. El tercer caso es que el mayor grado en el numerador sea menor que el del denominador. En este caso, el límite es cero.

Como se ve en la imagen:

Los límites indeterminados del siguiente tipo requieren la aplicación de la regla de L'Hôpital.

En los límites indeterminados del tipo ∞ - ∞ suelen ser del tipo f( x) - g( x), es decir, la resta de dos funciones.

Tratamos de ver si uno de los términos infinitos es de un orden mayor.

Una potencia de mayor exponente será el término mayor ( x ⁴ > x ²).

El término mayor de un polinomio es mayor que un logaritmo ( x ² > ln x ³).

Entre dos funciones exponenciales, la mayor será la que lo sea su base (5 > 4).

Por tanto, si en una indeterminación ∞ - ∞ uno de los dos términos es de orden mayor, el límite será ± ∞ (el signo lo determinará si el término de orden mayor es el minuendo o el sustraendo.

Veámoslo en los casos anteriores:

Pero si el orden de los dos términos fuera el mismo, habría que realizar otro procedimiento.

Veamos un ejemplo con términos del mismo orden (en este caso el orden es 1). Reducimos a común denominador y simplificamos:

Como se ve en la figura, el límite es 0, tanto si la x tiende a +∞ como si tiende a -∞.

Veamos los dos casos:

El límite de una fracción de funciones racionales que dé una indeterminación del tipo 0/0 se resolverá descomponiendo en factores el numerador y el denominador. Después, simplificar y resolver:

Como se ve en la figura:

Un número real dividido por cero en aritmética es una operación que no arroja un resultado definido. En cambio, en cálculo, si el límite de una expresión llega a un número entre cero ( k / 0), tendremos un caso que podríamos calificar como indeterminación que sí que podría ser resuelta.

Ese límite puede ser +∞, -∞ o, simplemente, no existir un límite.

Veremos en los ejemplos expuestos, que en los límites en los que se llega a k / 0 (donde k es una constante), el valor al que tiende la x no existe en el dominio de la función. La función no está definida en ese punto.

La operativa es comprobar los límites laterales. Si nos acercamos mucho al límite por la izquierda, y, a su vez, al límite por la derecha, veremos que en el numerador tenemos un número, positivo o negativo y en el denominador un número cada vez más próximo a cero, que puede también ser positivo o negativo. Según los signos el resultado de ambos límites laterales puede ser +∞ o -∞. Si ambos límites laterales coinciden, el límite existe (esta es una condición necesaria para la existencia de cualquier límite en un punto).

Al contrario, si uno de los límites laterales da +∞ y el otro -∞, el límite no existe.

Este último sería el caso de las asíntotas verticales divergentes.

Usualmente ocurren en el producto de funciones del tipo:

Habitualmente, pueden resolverse operando, factorizando, simplificando y resolviendo.

Las raíces del primer polinomio son (+4, -1).

Operamos:

Como se ve en la figura:

Se refieren a casos de función potencial exponencial, donde tanto la base como el exponente son funciones. En general, los límites exponenciales indeterminados de los tres tipos, , y , que se resuelven aplicando en primer lugar esta transformación:

Puesto que la potencia y el logaritmo de la misma base que la potencia se anulan entre sí por ser funciones inversas.

En cualquier límite exponencial indeterminado, según lo que se acaba de decir, podemos hacer:

Por una de las propiedades de los límites: el límite de un logaritmo es el logaritmo del límite:

Por una de las propiedades de los logaritmos, el logaritmo de una potencia es igual al exponente multiplicado por el logaritmo de la base:

Por comodidad, podemos llamar al límite del exponente de este tipo de expresiones: L. Como se ha dicho, la transformación descrita es aplicable a los tres tipos de límites exponenciales indeterminados.

La transformación, a la que llamaremos (1), queda:

Los límites indeterminados del tipo 1∞ son los límites exponenciales en los que la base tiende a 1 y el exponente tiende a ∞.

Son de los llamados límites del tipo e.

Para resolver límites indeterminados, en concreto del tipo , se puede aplicar la propiedad siguiente:

Retengamos esta propiedad, porque es muy útil para resolver estos límites exponenciales.

Se refieren a casos de función potencial exponencial, donde tanto la base como el exponente son funciones. En general, los límites exponenciales indeterminados de los tres tipos, , y se resuelven aplicando en primer lugar esta transformación (1):

Se verifica, puesto que la potencia y el logaritmo de la misma base que la potencia se anulan entre sí por ser funciones inversas.

En cualquier límite exponencial indeterminado, por tanto, podemos hacer:

Por una de las propiedades de los límites, el límite de un logaritmo es el logaritmo del límite:

Por otra de las propiedades de los logaritmos, el logaritmo de una potencia es igual al exponente multiplicado por el logaritmo de la base:

Por comodidad, podemos llamar al límite del exponente: L. Como se ha dicho, la transformación descrita es aplicable a los tres tipos de límites exponenciales indeterminados.

En total, la transformación, que llamaremos (1), queda:

Se refieren a casos de función potencial exponencial, donde tanto la base como el exponente son funciones. En general, los límites exponenciales indeterminados son de estos tres tipos: 0⁰, y 0 ∞ se resuelven aplicando en primer lugar esta transformación:

Se verifica, puesto que la potencia y el logaritmo de la misma base que la potencia se anulan entre sí por ser funciones inversas.

En cualquier límite exponencial indeterminado, por tanto, podemos hacer:

Por una de las propiedades de los límites: el límite de un logaritmo es el logaritmo del límite.

Por una de las propiedades de los logaritmos, el logaritmo de una potencia es igual al exponente multiplicado por el logaritmo de la base.

Por comodidad, podemos llamar al límite del exponente: L. Como se ha dicho, la transformación descrita es aplicable a los tres tipos de límites exponenciales indeterminados.

En total, la transformación, que llamaremos (1), queda:

La regla de l'Hôpital sirve para resolver muchos casos de límites que den indeterminación, especialmente los casos más complejos, exponenciales o términos no racionales. Se aplica directamente a límites con indeterminaciones del tipo 0/0 o ∞/∞. Eso no impide que pueda aplicarse a otros casos de límites indeterminados, realizando transformaciones para llegar a una de los tipos anteriores. La regla de l'Hôpital puede aplicarse sucesivamente. Requiere conocer bien la técnica de la derivación>.

Aplicación de la regla de L'Hôpital

Si dos funciones f(x) y g(x) continuas en un intervalo que contiene el punto a toman los valores f(a) = g(a) = 0, se verifica que:

Las funciones deben derivarse por separado en el numerador y en el denominador.

Es una indeterminación del tipo 0/0.

Entonces se verifica que:

Siempre que exista el límite en a de f'/g' y que g'(x) ≠ 0 en cualquier punto del intervalo diferente de a. (El que no exista el límite f'/g' no excluye que pudiera existir el límite de f/g).

El valor del límite en a puede ser cualquiera en el intervalo derivable de ambas funciones, incluyendo +∞ y -∞.

La regla de L'Hôpital se puede aplicar también directamente a límites laterales y a límites indeterminados del tipo ∞ / ∞ ya que del caso del enunciado inicial se puede hacer la transformación:

En los límites que den indeterminaciones exponenciales del tipo , o , mediante transformaciones basadas en las propiedades de los límites y de los logaritmos, llegar a una indeterminación cociente 0/0 o ∞/∞ a la que sí que se le podría aplicar la regla de L'Hôpital.

Los límites de las funciones definidas a trozos requieren conocer en qué consisten este tipo de funciones.

Las funciones definidas a trozos (o función a trozos o función por partes) son aquellas que tienen distintas expresiones o fórmulas dependiendo del intervalo (o trozo) en el que se encuentre la variable independiente ( x).

Dos funciones f(x) y g(x) son equivalentes en a si se cumple la condición:

Y se escribe así:

O, dicho de otra manera, el límite de su cociente es 1. (O, también, que ambas funciones deben tener el mismo límite en a).

El valor de a puede ser cualquier número real o ±∞.

Una asíntota de una función (en el caso de existir esa asíntota) es una recta en el plano tal que una rama de la función f(x) que crece infinitamente en el sentido x, f(x) o en los dos sentidos a la vez, se acerca a la asíntota cada vez más. Dicho de otra manera, una asíntota es la tangente a una rama de la función en el infinito.

Tipos de asíntotas

Una función puede tener asíntotas horizontales, asíntotas verticales, o asíntotas oblicuas. Tambien hay funciones en las que no existen asíntotas (en las llamadas "ramas parabólicas").

Una recta es una asíntota horizontal de una función f(x) si cumple al menos una de las siguientes condiciones ( límite finito en el infinito):

Como máximo, una función puede tener dos asíntotas horizontales, una a la derecha (límite a +∞) y otra a la izquierda (límite a -∞).

La ecuación de una asíntota horizontal es:

Lo más frecuente es que la misma asíntota sea a la vez la de la de la rama derecha de la función y la de la izquierda. Por ejemplo en esta función racional con única asíntota horizontal y = 1.

Sin embargo, en funciones con radicales pueden aparecer dos asíntotas horizontales diferentes, como en la figura:

En algunos casos, una asíntota horizontal puede cortar a la gráfica de su función en uno o más puntos:

Una recta es una asíntota vertical de una función f(x) si cumple al menos una de las cuatro condiciones siguientes:

Las condiciones (1) y (2) se verifican cuando la recta es una asíntota hacia arriba. La gráfica de la función se acerca a ella en el infinito respectivamente por la izquierda o por la derecha.

Las condiciones (3) y (4) se verifican cuando la recta es una asíntota hacia abajo. La gráfica de la función se acerca a ella en el infinito respectivamente por la izquierda o por la derecha.

Las condiciones (1) y (2), las (3) y (4), la (1) y la (4) o la (3) y la (4) se pueden verificar simultáneamente. Incluso en una misma función puede haber asíntotas horizontales. En la imagen aparece una función que cumple las cuatro condiciones de una asíntota vertical más una horizontal:

En las funciones racionales, las asíntotas verticales, en caso de tenerlas, están en los valores que hacen nulo su denominador.

La asíntota oblicua de una función f(x) son rectas con ecuación y = px + q que existirán si se cumple que hayan, al menos, uno de estos dos límites:

En el primer caso, se dice que existe asíntota oblicua por la derecha (o asíntota oblicua en +∞).

En el segundo caso, se dice que existe asíntota oblicua por la izquierda (o asíntota oblicua en -∞).

Necesitamos, en cada caso, saber la ecuación de la recta de cada asíntota oblicua. Hay que averiguar el parámetro p (pendiente de la recta) y el q (punto de corte con el eje de ordenadas).

El cálculo de la pendiente p se obtiene de uno de estos dos límites:

Dependiendo del valor de p obtenido puede ocurrir que.

1. Si p es un número real diferente de cero, existe asíntota oblicua. Cuando p > 0, la pendiente es positiva y la asíntota va en la dirección del primer al tercer cuadrante de los ejes de coordenadas. Si p < 0, la pendiente es negativa y la asíntota va en la dirección del segundo al cuarto cuadrante.

2. Si el valor de p = ±∞ no existe asíntota oblicua y la rama estudiada es del tipo de la parábola vertical.

3. Si el valor de p = 0; no existe asíntota oblicua y la rama estudiada es del tipo de la parábola horizontal.

Punto de corte de la asíntota con el eje de ordenadas, q.

Si p calculado anteriormente es un número real diferente de cero, el parámetro q se obtiene mediante este límite:

Si este límite es finito, existe la asíntota oblicua. Pero si el límite fuese infinito, no hay asíntota y sí rama parabólica.

Una función no puede tener asíntotas horizontales y, a la vez, oblicuas.

Las funciones polinómicas racionales con asíntota oblicua tienen un grado más en el numerador que en el denominador.

Una asíntota oblicua puede cortar a la gráfica de la función en uno o más puntos.

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Límite de una función - Universo Formulas

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El límite de una función es el valor al que tiende ésta cuando la variable independiente tiende a un valor a ( x → a) y se escribe: En el caso de existir este límite, éste es único (primera de las propiedades de los límites).

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https://es.slideshare.net/eric281997/limites-algebraicos-78371134

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Tema 2 (1) Tema 2 Límites de Funciones 2.1.- Definición de Límite Idea de límite de una función en un punto: Sea la función . Si x tiende a 2, ¿a qué valor se ...

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Este tipo de limites se presenta cuando aparece una raíz en el numerador o el denominador de una función racional y está al ser evaluado el limite se vuelve cero en el denominador.

Racionalizar una fracción consiste en conseguir que su denominador sea racional y , podemos considerarlo como un proceso de simplificación.

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Limite algebraico indica que el limite de una función f(x) es T cuando x tiende a s, siempre que se puede hallar para cada ocasión un x cerca de s de manera tal que el valor de f(x) sea tan cercano a T como se pretenda.

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P. (s. f.). Límites laterales. MiProfe.com. Recuperado 8 de octubre de 2021, de https://miprofe.com/limites-laterales/

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C. & Ver todas las publicaciones. (2017b, noviembre 20). Calculo de limites usando Racionalización. CALCULO I. https://calculodelimitesusandoracionalizacionupse.wordpress.com/2017/11/20/primera-entrada-del-blog/

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Se dice que existe límite infinito cuando la función f(x) llega a valores que crecen continuamente, es decir que se puede hacer la función tan grande como queramos

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Límites infinitos - Universo Formulas. (s. f.). Universo Formulas. https://www.universoformulas.com/matematicas/analisis/limites-infinitos/

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La función exponencial, es conocida formalmente como la función real e a la x; esta función tiene por dominio de definición el conjunto de los números reales, y tiene la particularidad de que su derivada es la misma función.