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El experimento de Cavendish

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Ley de Gravitación Universal

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Ley de Gravitación Universal

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Contribución y originalidad de Newton en la propuesta de la Ley de Gravitación Universal.

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La ley de la gravitación universal, o simplemente, ley de la gravedad, establece la fuerza con la que se atraen dos cuerpos por el simple hecho de tener masa. Esta ley fue desarrollada por Sir Isaac Newton en el tercer libro de su obra Principios matemáticos de fillosofía natural, titulado Sobre el sistema del mundo. En este apartado estudiaremos:

¿Estás preparado?

Fuerza de la gravedad

La expresión de la ley de gravitación universal se plasma en la expresión de la fuerza gravitatoria o fuerza de la gravedad, ya estudiada en niveles anteriores (puedes pulsar sobre la pestaña Ver también en la parte superior de la página para ampliar información a este respecto). En esta sección vamos a recordarla y a profundizar en ella.

Dos cuerpos se atraen con una fuerza directamente proporcional al cuadrado de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa, y está dirigida según la recta que une los cuerpos. Dicha fuerza se conoce como fuerza de la gravedad o fuerza gravitacional y se expresa de la forma:

donde:

:Es el vector fuerza gravitatoria. Su unidad de medida en el Sistema Internacional es el newton (N)

G es la constante de gravitación universal, que no depende de los cuerpos que interaccionan y cuyo valor es G = 6,67·10⁻¹¹ N·m²/kg²,

M y m son las masas de los cuepos que interaccionan. Su unidad de medida en el Sistema Internacional (S.I.) es el kilogramo (kg)

r es la distancia que los separa. Es el módulo del vector , que une la masa que genera la fuerza con la masa sobre la que actúa.

es un vector unitario que posee la misma dirección de actuación de la fuerza aunque de sentido contrario.

Por tanto, la interacción gravitatoria entre dos cuerpos siempre se manifiesta como una pareja de fuerzas iguales en dirección y módulo pero sentido contrario. El caracter atractivo de la fuerza se indica mediante el signo - de la expresión anterior. La siguiente imagen ilustra este concepto.

Fuerza Gravitacional

Efectos sobre un conjunto de masas

Hemos estudiado cómo la gravedad actúa sobre una pareja de cuerpos como una pareja de fuerzas, pero ¿qué ocurre cuando, en lugar de dos masas, tenemos tres o más?

La fuerza gravitatoria resultante que actúa sobre una masa cualquiera de un conjunto de más de dos masas se calcula, según el principio de superposición, calculando la resultante de las fuerzas gravitatorias que las demás ejercen sobre ella.

Así, si por ejemplo tenemos n masas, la fuerza gravitatoria que actuará sobre la primera de las masas se calculará según:

La siguiente imagen ilustra el principio anterior.

Fuerza Gravitatoria Resultante

Deducción

Probablemente habrás oído la leyenda según la cual Newton comenzó a preguntarse por la teoría de la gravedad cuando vio caer una manzana de un árbol en Woolsthorpe, Lincolnshire (Inglaterra) en 1666. Lo cierto es que la teoría que elaboró, y que publicó en 1687 en su obra Philosopiae Naturalis Principia Mathematica, permite relacionar fenómenos aparentemente tan distintos como la aceleración de los cuerpos que caen en la superficie de la Tierra (la manzana de la leyenda, por ejemplo) y las órbitas que tienen los planetas o los satélites (la Tierra alrededor del Sol, por ejemplo).

La expresión anterior de la fuerza gravitatoria no tiene demostración matemática alguna, sino que podemos llegar a ella usando algunos datos experimentales y algo de intuición: Newton llegó a ella basándose en una minuciosa observación de la realidad. Para deducirla vamos a partir de la órbita que describe la Tierra alrededor del Sol, con algunos matices, y deduciremos la dependencia con la distancia y con la masa de la fuerza. La siguiente imagen te ayudará a entender el desarrollo que presentamos a continuación:

Deducción de la ley de la gravedad
Modelo de trayectoria
Consideramos que la Tierra y el Sol son partículas puntuales. Podemos hacerlo por que las distancias consideradas son mucho mayores que los tamaños de los astros. Así mismo, sabemos que las órbitas de los planetas son elípticas, pero podemos suponer, para simplificar, que la Tierra tiene una trayectoria circular alrededor del Sól. Al fin y al cabo, una circunferencia no es más que un caso particular de una elipse en el que su excentricidad es cero y la excentricidad de la Tierra es, de hecho, próxima a 0. Finalmente, podemos suponer que la única fuerza significativa que actúa sobre la Tierra es la gravitatoria ejercida por el sol.
La fuerza gravitatoria depende de la distancia
Sabemos que la aceleración centrípeta es la responsable del movimiento circular de la Tierra alrededor del Sol. Dicha aceleración se genera gracias a la fuerza centrípeta, que en este caso, es precisamente la fuerza gravitatoria. Por tanto, teniendo esto en cuenta y a partir del principio fundamental, podemos escribir:

Conociendo la expresión de la aceleración centrípeta, podemos escribir:

A partir de las observaciones de Kepler y su tercera ley , y sustituyendo la aceleración centrípeta en la expresión de la fuerza correspondiente anterior, podemos escribir:

O, dicho de otro modo, la fuerza gravitatoria es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia.
La fuerza gravitatoria depende de la masa
La deducción de Newton, en este caso, se basa en los siguientes puntos:

Con todo ello, la constante k' anterior, debe ser, a su vez, proporcional a la masa del planeta Sol, quedando finalmente:

La expresión anterior determina la fuerza con la que se atraen dos masas cualesquiera por el simple hecho de tener materia. La constante G es una constante de proporcionalidad independiente, esta vez, de ambas masas.
Obtención del valor de la constante universal G
Aunque resulta inmediato despejar la constante G de la expresión dada para la fuerza gravitatoria, lo cierto es que en tiempos de Newton existían serias dificultades para ello. Por un lado, si considerásemos dos masas cualesquiera, los efectos de su atracción (necesarios para conocer y despejar G) quedaban enmascarados por la acción de la Tierra. Por otro lado, si considerásemos una masa cualquiera y la masa de la Tierra, podríamos conocer a partir de la aceleración de la gravedad en la Tierra ( facilmente medible ). El problema aquí es que, en aquella época, no se conocía la masa de la Tierra.

La primera medición precisa del valor de G fue obtenida en 1798 por H. Cavendish (1731 - 1810 ) con una balanza de torsión como la que se muestra en la figura.

Balanza de Torsión

Significado físico de la constante de Kepler

La tercera ley de Kepler establece la relación entre el periodo de un planeta alrededor del Sol y su radio medio a través de la constante k según la expresión . Kepler supuso que la razón del movimiento plantario residía en el Sol. A partir de la expresión de la fuerza gravitacional, podemos comprobar que no le faltaba razón.

Según hemos hablado, la fuerza gravitacional es centrípeta, al ser la responsable de que el planeta, de masa gire en torno al Sol, de masa . Por tanto, podemos escribir:

La expresión anterior es, precisamente, la tercera ley de Kepler, considerando:

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La ley de la gravitación universal, o simplemente, ley de la gravedad, establece la fuerza con la que se atraen dos cuerpos por el simple hecho de tener masa. Esta ley fue desarrollada por Sir Isaac Newton en el tercer libro de su obra Principios matemáticos de fillosofía natural, titulado Sobre el sistema del mundo.

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Uploaded by Juan Jesús Rico Fuentes on 2014-12-18.

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Principales hechos de la vida de  Isaac Newon

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Principales hechos de la vida de  Isaac Newon

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