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Una funzione è una relazione che associa ad un valore della variabile indipendente (x) uno e un solo valore della variabile dipendente (y)
y=f(x)

ESEMPI DI FUNZIONE
1. seno,coseno,tangente
2. logaritmo
3. esponenziale
4. radice
5. potenze

Simona Fratepietro
Simona Lorusso
Valentina Consalez
Filippo Spada

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La variabile indipendente (x) appartiene al così detto insieme di partenza o dominio

La variabile dipendente (y) appartiene al così detto insieme di arrivo o dei valori

Il codominio è l'insieme delle immagini,sottoinsieme dell'insieme dei valori

Simona Fratepietro
Simona Lorusso
Valentina Consalez
Filippo Spada

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Una funzione è pari quando per ogni 'x' appartenente al Dominio
f(x)=f(-x)(sono cioè uguali).
Per tale ragione presenta due 'y' per la stessa ordinata 'x'.
Questo perchè elevare al quadrato due elementi uguali ma di segno opposto (ad esempio '-2' e '+2') porta ad avere la stessa cifra (in questo caso 4).
Il grafico è quindi una parabola.

Martina Lodedo
Andrea Canonico
Gaia Di Prima

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Una funzione si dice dispari se per ogni "x" appartendente al dominio f(x)=-f(-x), f(x) e f(-X) sono cioè opposti.

La forma della curva è tale che i valori opposti di "x" non portano allo stesso valore di "y", bensì a valori opposti. Basti pensare alla funzione y=x³. Se a "x" si sostituiscono due valori, ad esempio "2" e "-2", questi elevati al cubo porteranno a due valori opposti, in questo caso "8" e "-8".

La funzione dispari, sul grafico, presenta una simmetria rispetto alla retta y=-x. La mezza curva sul primo quadrante si riflette sulla mezza curva del terzo quadrante ma ribaltata, con alto e basso invertiti.

Gaia Di Prima
Martina Lodedo
Andrea Canonico

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Una funzione può essere illimitata, oppure limitata superiormente o inferiormente.
-Una funzione si dice illimitata se presenta un valore illimitato sia verso il basso (+ infinito e - infinito). Esempio è la funzione Y=x alla terza.
-Una funzione si dice limitata superiormente se esiste "k" appartenente ai numeri reali, tale che la funzione ha valori sempre minori o al più uguali a "k". Quindi ha valori inferiormente illimitati (- infinto), e superiormente presenta un massimo, che è un valore finito. (y= -x al quadro).
-Una funzione si dice limitata inferiormente se e solo se esiste un numero "k" tale che la funzione ha valori sempre maggiori o al più uguali a "k". Quindi ha valori superiormente illimitati (+ infinito) e inferiormente presenta un minimo, che è un valore finito.  ( y= x al quadro)
-Una funzione può essere anche limitata, presenta perciò sia un minimo sia un massimo, che sono valori finiti.

Elena Quaglia
Gaia Granata
Alessandro Canovi

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Una funzione f si dice invertibile se e solo se è iniettiva: in tal caso si chiama funzione inversa di f e si indica con il simbolo f alla meno 1,  la funzione che associa a ciascun elemento dell'immagine di f la sua unica controimmagine.

# data[].attributes.body
Una funzione per essere invertibile deve avere due proprietà: deve essere suriettiva e iniettiva .
Funzione suriettiva
f si dice suriettiva se il codominio coincide con l'insieme d'arrivo.
Una funzione f che va da x a y è suriettiva se per ogni valore del codominio y,esiste una valore del dominio x tale che f(x) sia uguale ad y.
f:x-->y ∀b∈B,∃a∈A tale che f(a)=b.
Funzione iniettiva
f si dice iniettiva se e solo se per ogni coppia di numeri del dominio di valori diversi corrispondono due immagini diverse.
Una funzione monotona che sia crescente o che sia decrescente è sempre iniettiva.
∀x1,x2∈Df con x1≠x2 si ha f(x1)≠f(x2)

Una funzione sia suriettiva sia iniettiva è biunivoca  e sempre invertibile.
Funzione biunivoca
Una funzione biunivoca presenta una proprietà in cui un valore di x porta ad un solo valore di y e che tutte le y del codominio vengono raggiunte,così che a partire dal codominio è possibile costruire sempre la funzione inversa.

Dipaola Serena
Pagella Denise
Longhi Giulia
Cioce Tabata

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L'operazione della composizione permette di definire una nuova funzione a partire da due funzioni a partire da due funzioni  f e g  assegnate.

La funzione composta viene indicata con il simbolo  g o f  (si legge  << g composto f >>)

Una funzione  f  tra due insiemi   A e B, trasforma ogni elemento di A in un elemento di B : in presenza di un'altra funzione  g  che trasforma ogni elemento di B in un elemento di un altro insieme C , si definisce la composizione di  f  e  g come la funzione che trasforma ogni elemento di A in C usando prima  f  e poi  g.

Affinché sia possibile calcolare g(f(x)), f(x) deve appartenere al dominio di g. Perciò il dominio di g o f è costituito da tutti gli elementi appartenenti al dominio di f tali che f(x) appartiene al dominio di g.

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Le funzioni monotone possono essere crescenti o decrescenti.
Una funzione si dice monotona crescente se la funzione assume valori crescenti al crescere dei valori di x tale che:
∨ x1, x2 ∈ D : x1< x2 ⇒ f(x1) < f(x2)

Una funzione si dice monotona decrescente se la funzione assume valori decrescenti al crescere dei valori di x tale che:
∨ x1, x2 ∈ D : x1< x2 ⇒ f(x1) > f(x2)

Le funzioni monotone possono anche essere strettamente crescenti o strettamente decrescenti.

Elena Quaglia
Gaia Granata
Alessandro Canovi

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si considera anche la composizione di  f o g
Date f e g la funzione composta  f ∘ g  (che si legge, " f composto g") è quella che preso un valore della variabile x, prima calcola g(x) e poi applica f al valore g(x). Ossia:

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date due funzioni f(x) = (radice quadrata di x)  e  g(x) = x - 2, si determinano di queste due funzioni l'espressione analitica delle due funzioni composte  f o g  e   g o f :

(g o f)(x) = g(f(x)) = g(radice quadrata di x) = (radice quadrata) - 2
Il dominio di  g o f è chiaramente x >= 0

(f o g)(x) = f(g(x)) = f(x-2) = (radice quadrata di x-2)
Il dominio di f o g è x >= 2

In generale  f o g  DIVERSO  g o f

Komini Anxhela
Giordano Eleonora
Poggio Beatrice