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dal grafico alla funzione _viceversa.docx

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Da esso si deduce un metodo, detto metodo delle derivate successive ,per la determinazione dei massimi e dei minimi e dei flessi a tangente orizzontale di una funzione. Tale metodo consiste nel calcolare le soluzioni dell'equazione f'( x) =0 e,indicate con x 0 una di esse,nel calcolare poi la derivata seconda f''( x).

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f: x → x³ − 3x² + x − 2 (vedi il grafico a lato; cliccalo se vuoi vederlo più grande). Determiniamo dove il grafico ha la concavità verso l'alto e dove verso il basso. Poiché la funzione è facilmente derivabile due volte, possiamo usare quanto osservato sopra:
f″(x) = 6(x − 1), dunque  f″(x) > 0 se x > 1 e f″(x) < 0 se x < 1,  e, quindi, f ha grafico con concavità verso l'alto nei punti di ascissa maggiore di 1 e concavità verso il basso in quelli con ascissa minore di 1.

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Un punto di flesso per una curva o funzione è un punto in cui si manifesta un cambiamento di curvatura o di convessità. La definizione e lo studio dei punti di flesso fa largo uso del calcolo infinitesimale e più precisamente del concetto di derivata.

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Un punto di flesso per una curva o funzione è un punto in cui si manifesta un cambiamento di curvatura o di convessità. La definizione e lo studio dei punti di flesso fa largo uso del calcolo infinitesimale e più precisamente del concetto di derivata.

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Determinazione dei flessi di una funzione

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Veramente con questo metodo troviamo sia i flessi obliqui che quelli orizzontali: Poiche' nei punti di flesso la tangente attraversa la curva, la curva stessa dovra' a destra ed a sinistra del punto avere una concavita' di tipo diverso, quindi la determinazione del flesso e' legata alla

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ESERCIZI SVOLTI SU MAX EM MIN DI FUNZIONI RAZIONALI FRATTE

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ESERCIZI SVOLTI SU MAX EM MIN DI FUNZIONI RAZIONALI FRATTE

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Una funzione f(x) è decrescente in un intervallo se e solo se al crescere delle ascisse decrescono le corrispondenti ordinate, ossia se:

x₁< x2  → f(x1 )> f(x₂)

Pertanto nelle funzioni decrescenti ad incrementi della x corrispondono decrementi della y, quindi i rapporti incrementali sono sempre negativi

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Una funzione f(x) è crescente in un intervallo se e solo se al crescere delle ascisse crescono le corrispondenti ordinate, ossia se:

x₁< x2  → f(x1 ) < f(x₂)

Quindi nelle funzioni crescenti ad incrementi positivi della x corrispondono incrementi della y dello stesso e quindi positivi, ovvero i rapporti incrementali  ∆y/∆x sono sempre positivi.

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Correlazione tra funzione crescente e decrescente e il segno della sua derivata prima

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Correlazione tra funzione crescente e decrescente e il segno della sua derivata prima

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Funzioni crescenti e decrescenti in un intervallo chiuso e limitato
Premetto che quando parliamo di funzioni crescenti o decrescenti senza precisare altro, intendiamo considerare funzioni crescenti o decrescenti ≤ , che invece si considerano per le funzioni crescenti o decrescenti in in senso stretto. Ciò significa che dobbiamo considerare la relazione < oppure > e non ≥ oppure senso lato che definiremo in seguito.

Una funzione f(x) è crescente in un intervallo se e solo se al crescere delle ascisse crescono le corrispondenti ordinate, ossia se:

Quindi nelle funzioni crescenti ad incrementi positivi della x corrispondono incrementi della y dello stesso e quindi positivi, ovvero i rapporti incrementali ∆y/∆x sono sempre positivi.

[Nel caso in cui risulti:

allora la funzione si dice non decrescente (o crescente in senso lato),cioè f(x) o cresce o si mantiene costante].

Osserviamo attentamente il diagramma di due funzioni crescenti (in senso stretto):

fig. 1a) fig. 1b)
Una funzione f(x) è decrescente in un intervallo se e solo se al crescere delle ascisse decrescono le corrispondenti ordinate, ossia se:

Pertanto nelle funzioni decrescenti ad incrementi della x corrispondono decrementi della y, quindi i rapporti incrementali sono sempre negativi

[Nel caso in cui risulti:

la funzione si dice non crescente (o decrescente in senso lato), ovvero la f(x) o decresce o si mantiene

Osserviamo attentamente i diagrammi di due funzioni decrescenti in senso stretto:

fig. 2a) fig. 2b)
Ebbene, se una funzione continua e derivabile ha derivata f '(x) > 0 in tutti i punti dell'intervallo (aperto o chiuso) di definizione ciò comporta, per definizione di derivata, che il limite del rapporto incrementale è positivo e, per il teorema della permanenza del segno, che anche il rapporto incrementale è positivo, che come sappiamo è una caratteristica delle funzioni crescenti.

Pertanto, possiamo dire che:

' se risulta f (x) > 0 in tutti i punti di [a;b] allora la funzione è crescente in [a;b]

Invece, se una funzione continua e derivabile ha derivata f '(x) < 0 in tutti i punti dell'intervallo (aperto o chiuso) di definizione ciò comporta, per definizione di derivata, che il limite del rapporto incrementale è negativo e, per il teorema della permanenza del segno, che anche il rapporto incrementale è negativo, che come sappiamo è una caratteristica delle funzioni crescenti.

Pertanto, possiamo dire che:

' se risulta f (x) < 0 in tutti i punti di [a;b] allora la funzione è decrescente in [a;b]

se la funzione è crescente o decrescente in [a;b] allora non è detto che sia f '(x)> 0 o f ' (x)< 0

Infatti basta considerare come esempio il diagramma delle funzioni rappresentate in fig. 3a) e fig. 3b):

fig. 3a) fig. 3b)
Infatti, come si osserva in fig. 3a) le tangenti ad una curva con andamento strettamente crescente o hanno coefficiente angolare m>0 ( perché formano con l'asse delle x un angolo acuto) o m = 0 (perché la retta tangente t è parallela all'asse delle x) e pertanto, tenuto conto dell'interpretazione geometrica della derivata prima di una funzione in un punto x generico dell'intervallo di definizione, si ha che in tali punti risultano rispettivamente f '(x) > 0 oppure f '(x) = 0.

Analogamente, dal grafico illustrato in fig. 3 b) si rileva che se la funzione ha andamento decrescente la condizione f '(x)< 0 non risulta verificata in tutti i punti x interni all'intervallo di definizione. Infatti la tangente t nel punto x = 0 ha coefficiente angolare m = 0 e quindi f '(x) = 0.

Pertanto, possiamo affermare che:

Come vedremo meglio in seguito, il punto nell'intorno del quale la funzione è crescente (o decrescente) e derivata nulla viene denominato flesso a tangente orizzontale ( vedi fig. 3) e 3b).
Funzioni crescenti e decrescenti in un punto
Come è stata definita la funzione crescente e decrescente nell'intervallo [a;b], cioè globalmente, allo stesso modo si definisce la funzione crescente e decrescente in un punto x 0 interno ad [a;b]. Solo che questa volta non si tratta di una proprietà globale ma di una proprietà locale della f(x), ossia di una proprietà valida soltanto in un opportuno intorno del punto x ₀.

Infatti, una funzione si dice crescente o decrescente nel punto x₀ se e soltanto se in un intorno completo di x ₀, (x 0 - h ; x 0 + h) contenuto in [a; b], si verificano rispettivamente le seguenti implicazioni:
Osservazione
Per determinare, dunque, gli intervalli in cui una funzione è crescente o decrescente basta studiare il segno della sua derivata prima .

Determinare in quali intervalli è crescente o decrescente la seguente funzione

Innanzitutto determiniamo il dominio: la funzione è definita per ogni x reale.

Per determinare in quali intervalli la f(x) è crescente o decrescente studiamo il segno della sua derivata prima che è la seguente:

Studiamo y' > 0:

Compiliamo il quadro dei segni:

Quindi la funzione è crescente per x< 0 V x>2 mentre è decrescente nel restante intervallo, cioè per 0<x<2.

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Correlazione tra funzione crescente e decrescente e il segno della sua derivata prima

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Funzioni crescenti e decrescenti in un intervallo chiuso e limitato Premetto che quando parliamo di funzioni crescenti o decrescenti senza precisare altro, intendiamo considerare funzioni crescenti o decrescenti ≤ , che invece si considerano per le funzioni crescenti o decrescenti in in senso stretto.

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ESEMPIO: REGOLA PER LA DETERMINAZIONE DEGLI INTERVALLI DI MONOTONIA 

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ESEMPIO: REGOLA PER LA DETERMINAZIONE DEGLI INTERVALLI DI MONOTONIA 

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Punti Stazionari e Segno della Derivata Prima

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http://www.maurolabarbera.it/definizione_derivata.htm

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http://www.maurolabarbera.it/regole_derivate.htm

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http://www.maurolabarbera.it/Es%20derivate.htm