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Liburu hau 1. Batxilergoko geometriaren blokea ematen eta ikasten laguntzeko da

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Liburu hau 1. Batxilergoko geometriaren blokea ematen eta ikasten laguntzeko da

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Bektoreen batuteka

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Puntu berdea mugitu eta aztertu. Puntu urdinak mugitu u bektorea (-5,2) eta v bektorea (7,0) koordenatuak izan arte.

"Lehen metodoa" erabiliz nola lortzen den bektoreen arteko batuketa deskribatu.

"Bigarren metodoa" erabiliz batura bera lortzen dela konprobatu eta bi metodoek dituzten diferentziak deskribatu.

Irristailua erabili koordenatuak ikusteko.
Zein erlazio aurkitzen duzu u, v eta u+v bektoreen koordenatuen artean?

Creado con GeoGebra por Manuel Sada Allo (Noviembre 2005)

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Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and activated. ( click here to install Java now) Puntu berdea mugitu eta aztertu. Puntu urdinak mugitu u bektorea (-5,2) eta v bektorea (7,0) koordenatuak izan arte. "Lehen metodoa" erabiliz nola lortzen den bektoreen arteko batuketa deskribatu.

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Bektoreen kenketa

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Puntu berdeak mugitu eta aztertu. Hasierako egoerara bueltatu eta puntu urdinak mugitu u bektorea (-3,1) eta v bektorea (5,0) koordenatuak eduki arte. Mugi orain puntu berdea.Desliza ahora el punto verde. Irristailua erabili koordenatuak ikusteko.
Zein erlazio aurkitzen duzu u, v, u-v eta v-u bektoreen koordenatuen artean?

Creado con GeoGebra por Manuel Sada Allo (Noviembre 2005)

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Bektoreen konbinazio lineala

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Puntu berdek mugitu ondorengoak lortu arte: Irristailua erabili koordenatuak ikusteko.

Zein erlazio dago u, v eta 2u+3v bektoreen koordenatuen artean?

Konprobatu ondorengo hauetan: u=(1,-2) eta v(-3,0)

Probatu u=(1,0) eta v(0,1) bektoreekin.

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Bi bektoreen bideketa eskalarra

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Aztertu irudia eta u·v biderketa eskalarra lortzeko dauden bi prozedura deskribatu.

Ikustarazi ondorengo bektore bikote eta dagokion biderketa eskalarraren balioaz ohartu:

Erantzun arrazoituz:

Biderketa eskalarra negatiboa izateko, nolakoak izan behar dute bektoreek?

Zenbat balioko du bi bektore zuten biderketa eskalarra?

Eta bi bektore paraleloena?

Biderketa eskalarra oso handia izatea nahi badugu, nolako bektoreak hartuko ditugu?

Hasierako irudia berreskuratzeko, eguneratu ( ) botoia sakatu, puntu berdea mugitu eta aztertu:

Zein bi zenbakien biderkaduraren berdina da koloreztatuko zatiaren azalera?

Nola lortu daiteke bi bektoreen arteko biderkadura eskalarra bata bestearen gaineko proiekzioa erabiliz?

Creado con GeoGebra por Manuel Sada Allo (Agosto 2006)

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Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and activated. ( click here to install Java now) Aztertu irudia eta u·v biderketa eskalarra lortzeko dauden bi prozedura deskribatu. Ikustarazi ondorengo bektore bikote eta dagokion biderketa eskalarraren balioaz ohartu: Erantzun arrazoituz: Biderketa eskalarra negatiboa izateko, nolakoak izan behar dute bektoreek?

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Puntu batetik zuzen baterako distantzia- Ariketak

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Puntu batetik zuzen baterako distantzia- Ariketak

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-¡Punto mío!

-¿Qué dices, Ven? ¡Ha dado en la línea! ¡Eso es dentro!

-¿¿Dentro?? De eso nada, Sal, ha dado fuera de la línea.

-Ha dado sobre la línea -dijo Sal muy seguro, tranquilo y convencido.

Gauss miraba fijamente la línea tratando de posicionarse en aquella discusión. Pero no lo tenía tampoco muy claro. Al fin y al cabo, adoraba a sus dos dueños y no le gustaba tomar partido. Mati se dejaba querer por el sol y la brisa marina pensando en teoremas y conjeturas.

-Que sí, que ha dado sobre la línea, ¿lo ves? -dijo Sal sin perder los nervios.

-No, Sal, ¡ésa es una marca antigua! -Ven estaba cada vez más rojo y nervioso. Se le empezaba a rizar el pelo, no se sabe muy bien por qué.

-Huy, qué acalorados estáis, chicos -Mati salió de su ensoñación matemática-¿Qué os pasa?

-Nada, Mati -dijo Sal -Sólo que Ven está tratando de hacer trampas...

-Nada de eso, Mati -interrumpió el pequeño muy excitado -Ha dado fuera de la línea, ¡punto mío!

-Que no, Ven, pesado, que ha dado sobre la línea -insistió el gafotas.

-¿¿Estás de broma?? ¡La bola no entró! -Ven estaba cada vez más enfadado, casi tira la raqueta al suelo, pero no lo hizo porque era un regalo de sus abuelos y no quería romperla.

-Entiendo... -añadió la pelirroja tratando de buscar una salida a aquella situación -Todo depende de decidir si el punto donde la bola tocó el suelo estaba sobre una línea o no...

Mati se quedó cómicamente pensando, los niños la miraban esperando, cada uno por su lado, que le diera la razón. Gauss miraba al mar...

-En Matemáticas es mucho más fácil saberlo, ¿sabéis? -comenzó a decir Mati -Se trata simplemente de usar una ecuación.

-¡Toma! Nosotros ya sabemos ecuaciones, Mati -dijo el pequeño con alegría -Nos enseñaste el otro día.

-Es cierto, Ven -respondió Mati -pero las ecuaciones de las que os hablo, son un poco diferentes, aunque también muy sencillas.

-¿Por qué son diferentes, Mati? -preguntó inmediatamente Sal.

-Porque, por ejemplo, en estas ecuaciones, no hay una sola letra misteriosa, o incógnita, la -dijo Mati -sino que aparece con una de sus mejores amigas, la , que también va de incógnita.

-Hum, interesante... -añadió Ven -Así que tenemos dos sospechosas...

-Sí y no -contestó ella.

-¿Sí y no? -Sal estaba cada vez más intrigado y entregado.

-Veréis en realidad de lo que se trata es de saber si un punto está o no sobre la línea o recta, que a los matemáticos nos gusta llamar rectas a las líneas rectas, porque hay otras líneas que son curvas -Mati hizo una pequeña pausa y continuó -Para ello lo que solemos hacer es dar una ecuación de la recta, que es, podríamos decir, como una contraseña que deben cumplir los puntos para estar sobre ella.

-¿No hay sospechosos entonces, Mati?

-No exactamente, Ven -continuó la gafotas -No se trata de desenmascarar a y la para conocer su valor como hicimos con las ecuaciones del otro día, sino comprobar si el punto que elijamos cumple la ecuación (la contraseña) para estar en esa recta.

Los niños seguían mirando a Mati con los ojos brillantes con las raquetas en ristre, esperando que ella continuara contándoles aquella historia de contraseñas para pertenecer al club de la recta. Gauss se echó a dormir aprovechando que no tenía que ir a buscar las bolas cuando éstas salían despedidas.

-Os lo explico con un ejemplo -propuso Mati mientras sacaba su libreta del bolso de la playa -A ver si así os resulta más fácil

-¡Sí, por favor! -dijo

-Lo primero que necesitamos es un sistema de coordenadas, por ejemplo, cartesianas.

-¿Por qué pones números negativos, Mati? -preguntó Ven.

-Son números enteros, ¿recuerdas? -dijo ella -Para indicar que estamos a la izquierda o por debajo del origen. Los positivos nos indican que estamos a la derecha o arriba del mismo. Y con este sistema de referencia, sabemos las coordenadas de los puntos como cuando jugábamos a los barquitos.

-¡Mola! Como estamos en la playa... -Ven se iba olvidando poco a poco de la polémica bola...

-Voy a dibujar una recta -continuó Mati.

-Para poder conseguir la ecuación de esta recta, es decir, la contraseña para que un punto esté sobre ella, necesito obtener algunos datos de la misma. Para ello vamos a usar, por ejemplo, a dos miembros de ella, dos puntos que pertenecen a este club. Necesitamos las coordenadas de 2 puntos sobre ella...

-Éste y éste -dijo Sal a la vez que señalaba 2 puntos sobre el cuaderno de Mati.

-Muy bien. Ahora -dijo la pelirroja -Voy a darle un nombre y un apellido, unas coordenadas, a la flechita que va desde A hasta B. A esa flecha le llamaré vector AB.

-¿Cómo se saben las coordenadas de una flecha, Mati? -preguntó Sal intrigado.

-Las coordenadas de una flecha o vector serán las siguientes: la primera coordenada nos indica cuánto nos movemos hacia la derecha, si es positiva, o hacia la izquierda, si es negativa; la segunda coordenada nos dirá cuántos pasos damos hacia arriba, si es positiva, o hacia abajo, si es negativa.

Los niños se pusieron a contar los pasos que indicaban el vector AB de su dibujo.

-Tres pasos a la derecha... -mascullaba Ven -y dos hacia arriba...¡(3,2), Mati!

-También se pueden calcular las coordenadas del vector AB restando a las coordenadas de B las coordenadas de A -les contó Mati.

-¿Cómo se restan coordenadas, Mati? -quiso saber Sal.

-Ah, claro. La primera con la primera y la segunda con la segunda -respondió ésta.

-¡Toma, toma, toma! ¡Es verdad! -el pequeño ya estaba alucinando.

-¿Qué pasa si sumamos al punto A dos veces el vector ? -preguntó ella.

Los niños se quedaron pensando y mirando al dibujo, hasta que, finalmente, Sal dijo:

-Que andaríamos 6 pasos a la derecha y 4 hacia arriba y llegaríamos... a este punto -señaló el gafotas sobre el dibujo -Al de coordenadas (7, 5).

-¿No es el mismo resultado que si hacemos esta cuenta? -cuestionó Mati a los niños.

-¿Cómo se multiplica 2 por (3,2)? -preguntó el gafotas - ¿A la primera coordenada? ¿O a la segunda?

-A las dos -respondió la gafotas.

-¡TOMAAAAAAAAAAAAA! -gritó Ven entusiasmado -Sale (7,5)

-Claro -continuó Mati sonriendo -Todos los puntos de esa recta se pueden conseguir sumando a A el vector AB un número de veces o restándolo.

-¿Cómo que restándolo?

-A ver, ¿hacéis este cálculo? -les pidió

Los niños se pusieron manos a la obra.

-¿Cómo se hace 1-6, Mati? -preguntó el pequeño.

-Andando 6 pasos a la izquierda en la regleta, ¿ no te acuerdas? Y 1-4 se calcula dando 4 pasos a la izquierda del 1 también en la regleta.

-Huy, es verdad... -se disculpó Ven -A ver qué nos sale... (-5, -3)... ¡Toma! ¡Es verdad! ¡También está sobre la recta! -el pequeño Ven disfrutaba cada descubrimiento.

-Y eso, ¿cómo se usa, Mati? -preguntó sal muy serio.

-Vamos a ver, decidme un punto sospechoso de pertenecer a la recta...

Los niños miraron el dibujo.

-Muy bien -dijo Mati -tomamos x como 7 e y como 5 y susitituimos en la ecuación. (7,5) pertenecerá a la recta si k nos da el mismo valor en las dos ecuaciones.

-¡Toma, toma, toma! -el pequeño saltaba de alegría.

-Ahora el (10, 9) -propuso Sal animado.

-Vamos a ver si (10, 9) se sabe la contraseña...

-¡Ja! ¡Te pillamos (10,9)! Tú no eres del club de la recta... -Ven estaba disfrutando con aquello.

-Es alucinante, Mati...-Sal miraba al cuaderno y se ajustaba las gafas.

-Las Matemáticas siempre lo son -respondió ella con un guiño -Pero hay otras formas de detectar a los miembros de una recta. Os las enseñaré. Vamos a dejar sola a k en las dos ecuaciones como ya sabemos, deshaciendo en orden inverso todas las operaciones que la ocultan...

-Cuando igualamos las dos ecuaciones porque las dos valen lo mismo, k, tenemos una nueva ecuación de la recta, que se llama ecuación continua.

-Así, cada vez que tengamos dos puntos de una recta podemos calcular suu ecuación continua sin más que hacer esto

-¡Qué chulo! -exclamó Sal - ¿¡Cómo la usamos para saber si, por ejemplo, el (1,0) pertenece al club?

-Ajá, no eres de nuestro club, forastero... -dijo Ven cuando descubrieron que el (1,0) no pertenecía a la recta.

-¿Os gusta, chicos? -continuó la pelirroja -Pues aún podemos escribir la ecuación de la recta de otra forma.

-¡Venga! -la animó Sal.

-Usando nuestras técnicas de desenmascaramiento vamos a tratar de llevar todo al primer miembro de la ecuación, ya veréis...

-Ya tenemos otra ecuación de la recta -dijo Mati -La ecuación implícita.

-Prueba con el (4,2), Mati -pidió Ven ansioso.

-¡Otro! Hemos pillado a otro que no está -Ven lo pasaba en grande.

-Pues además de decirnos si un punto pertenece o no a una recta, con esta ecuaciones podemos calcular todos los puntos sobre ella que queramos -dijo Mati.

-¿¿Cómo?? -preguntaron los dos niños a la vez.

-Elegid un valor para la x -les propuso.

-¡10! -gritó Ven.

-Estupendo -contestó la pelirroja -ponemos en lugar de x y vamos a ver cuánto vale y...

-¡Toma, toma, toma! ¡CÓMO MOLA! -a Ven se le salían los ojos de las órbitas.

-¡Me encanta, Mati! -Sal estaba también entusiasmado.

-Pues aún hay más...-respondió ella con tono de misterio -pero ésas la dejaremos pendientes... Ahora vamos a dar un paseo por la playa.

-¡Vale! -dijo Ven -Pero que sepáis que la bola no entró...

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¿Estás de broma?¡La bola no entró! - Mati y sus mateaventuras

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¡Punto mío! -¿Qué dices, Ven? ¡Ha dado en la línea! ¡Eso es dentro! -¿¿Dentro?? De eso nada, Sal, ha dado fuera de la línea. -Ha dado sobre la línea -dijo [...]