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El cálculo es una parte de las matemáticas que nos ayuda a entender cómo cambian las cosas.
Sirve para estudiar el movimiento, el crecimiento, la velocidad y muchas otras situaciones de la vida real.

Por ejemplo:

¿Cuánto crece una planta cada semana?

¿Qué tan rápido corre un coche?

¿Cuánta agua llena un tanque con el tiempo?.

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La idea de analizar el cambio no surgió de la noche a la mañana. Fue una evolución gradual de conceptos a lo largo de siglos, con contribuciones de diversas culturas y pensadores.

Antigüedad: Los griegos, con figuras como Arquímedes (c. 287-212 a.C.), ya exploraron ideas que preludiaban el cálculo. Arquímedes utilizó el método de exhaución, una técnica para calcular áreas y volúmenes aproximándolos con figuras geométricas más simples. Aunque no era el cálculo como lo conocemos hoy, sentó las bases para la noción de aproximación y límites.

Edad Media: En el mundo islámico, matemáticos como Muhammad ibn Musa al-Jwarizmi (c. 780-850 d.C.), cuyo trabajo dio origen al álgebra, y Fibonacci (c. 1170-1250 d.C.), con sus investigaciones sobre sucesiones, aportaron herramientas y formas de pensamiento que serían cruciales para el desarrollo posterior del cálculo.

Siglo XVII: El Nacimiento Formal: El siglo XVII fue el crisol donde las ideas convergieron y el cálculo tomó forma. Isaac Newton (1643-1727) en Inglaterra y Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) en Alemania, trabajando de forma independiente, son generalmente reconocidos como los padres del cálculo moderno.

Isaac Newton, motivado por problemas de física como el movimiento de los planetas y la gravedad, desarrolló lo que él llamó el "método de las fluxiones" (lo que hoy conocemos como derivadas) y su inverso, las "series inversas de fluxiones" (integrales). Su obra principal, Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica (1687), donde formuló sus leyes del movimiento y la ley de gravitación universal, se basó fundamentalmente en sus ideas del cálculo.

Gottfried Wilhelm Leibniz, con una perspectiva más filosófica y un enfoque en la notación, desarrolló un sistema de cálculo que es notablemente similar al que usamos hoy en día. Introdujo la notación dy , dx para la derivada y el símbolo ∫ para la integral. Sus publicaciones sobre el cálculo aparecieron a partir de 1684.

La prioridad de la invención del cálculo generó una amarga disputa entre Newton y Leibniz y sus seguidores, una controversia que tuvo implicaciones significativas para el desarrollo de las matemáticas en Inglaterra y el continente europeo.

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Si bien Newton y Leibniz son los principales arquitectos del cálculo, sus trabajos se basaron en las ideas y los logros de muchos que les precedieron. Algunos precursores importantes incluyen:

Arquímedes (c. 287-212 a.C.): Como se mencionó anteriormente, su método de exhaución para calcular áreas y volúmenes fue una anticipación temprana de la idea de límites y la integración.

Johannes Kepler (1571-1630): Sus leyes del movimiento planetario, basadas en observaciones astronómicas precisas, plantearon problemas que eventualmente serían resueltos con las herramientas del cálculo.

Galileo Galilei (1564-1642): Sus estudios sobre el movimiento, la aceleración y la caída libre proporcionaron ejemplos concretos de fenómenos que requerían un análisis del cambio.

Pierre de Fermat (1601-1665): Sus trabajos sobre máximos y mínimos de curvas, utilizando métodos algebraicos, se acercaron a las ideas del cálculo diferencial.

René Descartes (1596-1650): Su invención de la geometría analítica, que conecta el álgebra y la geometría a través de un sistema de coordenadas, proporcionó un marco esencial para el desarrollo del cálculo.

Bonaventura Cavalieri (1598-1647): Su "método de los indivisibles" fue un precursor de la integración, permitiendo calcular áreas y volúmenes considerando figuras como compuestas por un número infinito de elementos infinitesimalmente pequeños.

Isaac Barrow (1630-1677): El maestro de Newton en Cambridge, Barrow demostró algunas relaciones importantes entre tangentes a curvas y áreas bajo curvas, anticipando el Teorema Fundamental del Cálculo.

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El cálculo se divide principalmente en dos ramas fundamentales, que están intrínsecamente relacionadas por el Teorema Fundamental del Cálculo:

1. Cálculo Diferencial:

Explicación: El cálculo diferencial se centra en el estudio de las tasas de cambio y las pendientes de las curvas. Su concepto fundamental es la derivada, que mide la razón instantánea de cambio de una función en un punto específico. Geométricamente, la derivada representa la pendiente de la línea tangente a la gráfica de la función en ese punto.

Conceptos Clave:

Límites: La base del cálculo diferencial. Un límite describe el valor al que se acerca una función a medida que su variable independiente se acerca a un cierto valor.

Derivada: Mide la sensibilidad de una función al cambio en su variable independiente.

Reglas de Derivación: Técnicas para encontrar las derivadas de diferentes tipos de funciones (potencias, exponenciales, trigonométricas, etc.) y combinaciones de funciones (regla del producto, regla del cociente, regla de la cadena).

Aplicaciones: Encontrar máximos y mínimos de funciones, analizar la concavidad de curvas, determinar velocidades y aceleraciones, optimizar procesos, modelar tasas de crecimiento y decaimiento, entre muchas otras.

2. Cálculo Integral:

Explicación: El cálculo integral se ocupa de la acumulación de cantidades y el cálculo de áreas bajo curvas. Su concepto fundamental es la integral, que puede interpretarse como la suma continua de infinitas cantidades infinitesimalmente pequeñas.

Conceptos Clave:

Antiderivada (Integral Indefinida): Una función cuya derivada es la función dada.

Integral Definida: Calcula el área entre la gráfica de una función y el eje x en un intervalo específico. Se define como el límite de una suma de Riemann.

Teorema Fundamental del Cálculo: Establece la profunda conexión entre la derivación y la integración, mostrando que son operaciones inversas. Permite calcular integrales definidas utilizando antiderivadas.

Técnicas de Integración: Métodos para encontrar antiderivadas e integrales definidas (sustitución, integración por partes, fracciones parciales, etc.).

Aplicaciones: Calcular áreas, volúmenes, longitudes de curvas, trabajo realizado por una fuerza, masa de objetos con densidad variable, probabilidades, valor presente de flujos de efectivo, entre otras.

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Las aplicaciones del cálculo diferencial incluyen cómputos que involucran velocidad, aceleración, la pendiente de una recta tangente a una curva y optimización.

El cálculo es usado en cada rama de las ciencias naturales, estadística, ingeniería, economía; incluso en negocios, medicina, demografía, y más generalmente en cualquier área donde un problema pueda ser modelado matemáticamente mediante variables continuas de números reales o complejos, y donde una solución óptima sea deseada; o donde se deseen entender los ciclos e interacciones entre las variables.

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es.wikipedia.org/wiki/Cálculo_infinitesimal

es.wikipedia.org/wiki/Isaac_Newton

es.wikipedia.org/wiki/Gottfried_Leibniz