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Kombinatorische Aufgaben von alltäglichen Situationen lösen - Ausbau der Grunderfahrungen im Bereich der Kombinatorik (Klasse 3/4)

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Wir entdecken alle Möglichkeiten, wie ein Eisverkäufer drei Eiskugeln mit den Sorten Schokolade, Erdbeere, Zitrone im Hörnchen anordnen kann und gehen dabei zunehmend systematischer vor.

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Ich kann die vorgegebene Aufgabenstellung verstehen und setze mich mit ihr auseinander.

Ich kann durch Probieren oder durch systematisches Vorgehen zu einer Lösung kommen.

Ich kann mich mit anderen über mein Vorgehen austauschen.

Ich kann meine gefundene Lösung vorstellen.

Ich kann die erlernten Vorgehensweisen auf andere Aufgabenstellungen übertragen.

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Zentrale Unterrichtsziele Das Kind ist in der Lage, ... kombinatorische Aufgabenstellungen zu lösen (zunächst durch Ausprobieren, später zunehmend systematisch). verschiedene Herangehensweisen zum Lösen kombinatorischer Aufgabenstellungen zu nutzen und zu vergleichen. eigene Vorgehensweisen beim Lösen kombinatorischer Aufgabenstellungen zu beschreiben. Vorgehensweisen auf

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Kombinatorische Denk- und Arbeitsweisen entwickeln

An dieser Stelle wird ein Beispiel aufgegriffen, das variiert und in unterschiedlichen Klassenstufen bearbeitet werden kann. Es ermöglicht unterschiedliche Zugänge (enaktiv, ikonisch und symbolisch) und bietet die Chance, entwickelte Lösungsstrategien auf analoge, in andere inhaltliche Kontexte eingebettete Aufgaben zu übertragen. Das zum Einstieg genutzte Problem ist die Umkehrung der im folgenden aufgeführten Aufgabenstellung.

Hände schütteln

An eurem Gruppentisch sitzen vier Kinder.
Ihr begrüßt euch jeden Morgen und gebt euch die Hand. Wie oft werden an jedem Morgen die Hände geschüttelt

Diese Aufgabe kann bereits von Kinder des ersten Schulbesuchsjahres handelnd gelöst werden: Wir geben uns die Hand und zählen. Dabei muss aufgepasst werden, wer wem schon die Hand geschüttelt hat. In einer Lerngruppe ( 4 Kinder) wurde festgelegt, dass Lisa mit dem Händeschütteln beginnen soll. Sie schüttelte den 3 anderen Kindern die Hand. Das zweite Kind dann noch den 2 anderen. Jan muss zum Schluss feststellen, dass er ja allen schon die Hand gegeben hat, also kein weiterer, neuer Handschlag mehr hinzukommt. Insgesamt gibt es also 3+2+1= 6 Handschläge.

Kinder einer anderen 4-er Gruppe dokumentierten ihre Überlegungen in einer zeichnerischen Darstellung. Alle Namen wurden verteilt und das Handschütteln durch Verbindungsstriche veranschaulicht. Es wird erkannt, dass z. B. der Handschlag Anna-Tom identisch ist mit dem Handschalg Tom-Anna. Er wird nur einmal gezählt.

Die Aufgabe kann variiert werden, indem zugelassen wird, dass die Aufgabe für die in der Realität möglicherweise vorhandenen unterschiedlich großen Gruppentische bearbeitet wird.

Auch die Kinder selbst variieren Aufgabenstellungen. So haben die Kinder, die für ihren 5er-Tisch die Anzahl der Händedrücke ermittelt haben (10), dann überlegt, wie oft wohl bei 12 Kindern die Hände geschüttelt werden. Der Punkt, manchmal war auch ein Doppelpunkt zu finden, ist kein Operationszeichen, sondern ein Zeichen, nach dem die Anzahl der Händedrücke des jeweiligen Kindes notiert werden.

Interessant sind immer wieder zeichnerische Lösungen der Kinder. In diesem Fall hat (anscheinend) schon das Aufzeichnen der 8 Gäste, ohne die Verbindungslinien, ausgereicht, um die Lösungsschritte zu erkennen und anderweitig zu dokumentieren.

Im Reflexionsprozess zu dieser Aufgabe kann bzw. sollte die Chance genutzt werden, die Analogie zur folgenden Aufgabe herauszuarbeiten: Die Anzahl der Verbindungslinien zwische 8 Punkten, von denen keine drei Punkte auf einer Geradenden liegen.

Kinder können ihr Vorgehen auf analoge Aufgabenstellungen, wie das Anstoßen mit Gläsern, übertragen. Die folgenden Abbildungen zeigen Kinderdokumente.

Die Summe der aufgeführten Zahlen haben die Kinder (zu Beginn der Klasse 3) genauso korrekt ermittelt, wie die Gruppe der Kinder, die herausgefunden hat, dass bei 10 Personen 45 mal die Gläser klingen, wenn jeder mit jedem anstößt. Die Notation 1:9 bedeutet hier, der erste stößt mit 9 weiteren an.

An dieser Stelle wollen wir nun endlich das Beispiel der Einstiegsseite aufgreifen.

Familie Meyer hat zur Silvesterfeier zwei Gäste mehr als im vergangenen Jahr eingeladen.
Frau Meyer überlegt: "Wenn wir um Mitternacht anstoßen, werden die Gläser 33mal häufiger
klingen als im vergangenen Jahr."

Wie viele Gäste sind bei Familie Meyer in diesem Jahr eingeladen, wie viele waren es im vergangenen Jahr.

Es ist eine Umkehrungen der bisherigen kombinatorischen Aufgabenstellungen. Derartige Aufgaben sind ganz besondere Herausforderungen. Sie sind insbesondere geeignet, mathematisch begabten Grundschulkindern zu fordern und zu fördern. An dieser Stelle eine Kinderlösung. Versuchen Sie zunächst, den Lösungsweg nachzuvollziehen und zu interpretieren?

Das Kind hat überlegt, dass die beiden neuen Gäste mit den anderen anstoßen, insgesamt beide zusammen 33 mal. Da es zwei Gäste sind, wurde die Hälfte gebildet: 16 1/2., d. h. einer mit 16 und der andere mit 17 Gästen, was zu der korrekten Lösung führt.
Eine andere günstige Überlegung, die Kinder beschrieben: 33 muss als Summe von zwei aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen dargestellt werden, was ebenso zu 16+17 führt.

Die bisherigen Schülerdokumente zeigen, dass Kinder unterschiedliche Darstellungen nutzen, um ihre Überlegungen sichtbar werden zu lassen. Diese Darstellungen zeigen auch, dass Kinder die Informationen des Kontextes mathematisieren. Diese Aufgaben sind somit auch geeignet, mathematisches Modellieren bei den Kindern zu schulen. Derartige Aufgaben regen Kinder an, sich im Lösungsprozess auszutauschen, d.h. sie kommunizieren und argumentieren bereits im Arbeitsprozess. Darüber hinaus bieten die Lösungen zu Variationen dieser Aufgaben vielfältige Möglichkeiten, um die Kinder anzuregen, Lösungen zu vergleichen, nach Strukturen und Muster zu suchen und diese zu beschreiben. Insbesondere das Herausstellen von Analogien unterstützt das Erkennen und die Entwicklung tragfähiger Lösungsstrategien.

In den auf der Material-Seite aufgeführten Zeitschriften-Beiträgen finden Sie eine Vielzahl weiterer Anregungen für kombinatorische Aufgabenstellungen.
Anregungen, Aufgaben (u.a. Spielansetzungen für ein Fußballturnier) und Beispiel für Lösungsstrategien finden Sie auch auf den Seiten des Partnerprojektes KIRA: Daten, Häufigkeiten und Wahrscheinlichkeiten - Kombinatorik.

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Kombinatorische Denk- und Arbeitsweisen entwickeln An dieser Stelle wird ein Beispiel aufgegriffen, das variiert und in unterschiedlichen Klassenstufen bearbeitet werden kann. Es ermöglicht unterschiedliche Zugänge (enaktiv, ikonisch und symbolisch) und bietet die Chance, entwickelte Lösungsstrategien auf analoge, in andere inhaltliche Kontexte eingebettete Aufgaben zu

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Praxis Impulse: Daten, Zufall und Wahrscheinlichkeit  Braunschweig 2011

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Die Schülerinnen und Schüler …

prozessbezogen: Problemlösen – Erkunden, Lösen, Reflektieren

-        verwenden Hilfsmittel, Strategien und Forscherfragen zur Problemlösung

-        bearbeiten Aufgabenstellungen eigenständig und im Austausch mit anderen

prozessbezogen: Kommunizieren – Beschreiben, Dokumentieren, Kooperieren

-        präsentieren Lösungswege, Ideen und Ergebnisse mithilfe geeigneter Darstellungsformen und (digitaler) Medien

prozessbezogen: Darstellen

-        setzen erarbeitete mathematische Zeichen, Tabellen, Diagramme sachgerecht ein

inhaltsbezogen: Wahrscheinlichkeiten

-        bestimmen zunehmend systematischer die Anzahl verschiedener Möglichkeiten im Rahmen einfacher kombinatorischer Aufgabenstellungen

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Die Schüler·innen erhalten für das Lösen der Aufgabe zunächst einmal genügend Zeit und geeignetes Material (Legematerial, vorstrukturierte ABs …), damit sie alle Möglichkeiten zunächst handelnd und anschließend bildlich darstellen können.

Nach der Bau- und Dokumentationsphase sollen die Kinder in Partnerarbeit ihre Ergebnisse miteinander vergleichen und die Vollständigkeit ihrer Ergebnisse dadurch überprüfen, dass sie die gefundenen Kombinationen sortiert auf eine Plakat kleben sollen.

Kinder, die bisher nur probierend Lösungen gefunden haben, profitieren durch die Ergebnisse der Partnerkinder und können sich im Austausch darüber bewusst werden, wie systematisch alle möglichen Kombinationen gefunden werden können.

Im Kreis werden die Plakate vorgestellt und es können differenzierte Fragen an die Kinder gestellt werden.

Tipps und Tricks zum geschickten Finden aller Kombinationsmöglichkeiten werden auf einem Plakat/Tafel festgehalten. Die Lehrerin zeigt an der Tafel, dass sich hier gut ein Baumdiagramm als Darstellungsmittel eignet.

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Als weiteres Vorgehen kann nun die Aufgabenstellung variiert werden:

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Als weiteres Vorgehen kann nun die Aufgabenstellung variiert werden:

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1.      Variation ohne Wiederholung: mehrere Kugeln Eis

2.      Variation ohne Wiederholung: Anzahl der Eissorten erhöhen

3.      Variation mit Wiederholung: mehrfach eine Sorte Eis wählen.

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Die Schülerinnen und Schüler finden durch den handelnden Umgang mit Legematerial verschiede Kombinationen.

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Die Schülerinnen und Schüler finden durch Probieren verschiedene Kombinationen und übertragen diese auf vorstrukturierte Arbeitsblätter.

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Die Schülerinnen und Schüler finden durch ein zunehmend strategiegeleitetes Vorgehen möglichst viele Kombinationen und übertragen diese auf vorstrukturierte Arbeitsblätter.

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Die Schülerinnen und Schüler arbeiten systematisch und zielorientiert an der Problemlösung, finden alle möglichen Kombinationen und können die Vollständigkeit begründen.

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Die Schülerinnen und Schüler arbeiten systematisch und zielorientiert an der Problemlösung, finden alle möglichen Kombinationen, können die Vollständigkeit begründen und übertragen ihr erlangtes Wissen auf eine erweiterte Problemstellung mit einer weiteren Eissorte

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Strategisches Vorgehen bei weiterer Aufgaben (hier: Variation mit Wiederholung) anwenden

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Eine kombinatorische Aufgabenstellung zunehmend systematisch lösen und die Lösung zeichnerisch darstellen (Variation ohne Wiederholung)

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PPP mit Problemstellung, Forscherauftrag und Ablauf der Arbeitsphase

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PPP mit Problemstellung, Forscherauftrag und Ablauf der Arbeitsphase

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Vorstrukturierte Arbeitsblätter - Lernetappe 1

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Vorstrukturierte Arbeitsblätter - Lernetappe 1

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Vorstrukturierte Arbeitsblätter - Lernetappe 1

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Lösungen in Mathekonferenz durch ein Sortieren der Lösungsmenge auf Vollständigkeit überprüfen

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Mathekonferenz Ablauf und Tippkarte - Lernetappe 2

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Mathekonferenz Ablauf und Tippkarte - Lernetappe 2

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Mathekonferenz Ablauf und Tippkarte - Lernetappe 2

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Präsentation der Ergebnisse aus den Mathekonferenzen

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Einführung des Baumdiagramms als übersichtliches Darstellungsmittel

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Legematerial Baumdiagramm - Lernetappe 4

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Legematerial Baumdiagramm - Lernetappe 4

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Legematerial Baumdiagramm - Lernetappe 4

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Baumdiagramm - Pflichtaufgabe nach 1. Unterrichtseinheit

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Mögliche Fragen für die Präsentationsgruppe

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Mögliche Fragen für die Präsentationsgruppe

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AB I: Wie viele verschiedene Kombinationen habt ihr gefunden?

AB II: Beschreibt mal eure Idee, wie ihr geordnet habt.

AB III: Erklär mal woher ihr wisst, dass ihr alle Kombinationen gefunden habt.

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Einführung 2 - Verlauf - Forscherauftrag

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Einführung 2 - Verlauf - Forscherauftrag

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Einführung 2 - Verlauf - Forscherauftrag

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Vorstrukturierte Arbeitsblätter - Lernetappe 5 (identisch zu Material von Lernetappe 1)

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Vorstrukturierte Arbeitsblätter - Lernetappe 5 (identisch zu Material von Lernetappe 1)

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Vorstrukturierte Arbeitsblätter - Lernetappe 1

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Legematerial - Lernetappe 5 (identisch zu Material von Lernetappe 1)

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Legematerial - Lernetappe 5 (identisch zu Material von Lernetappe 1)

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Baumdiagramm - Lernetappe 5 - zweifach differenziert

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Baumdiagramm - Lernetappe 5 - zweifach differenziert

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Baumdiagramm - Lernetappe 5 - zweifach differenziert

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A collection of cute everyday kids that's perfect for creating greetings cards, hybrid projects and more! Contains 8 kids as pictured, 4 boys and 4 girls.

FOR PERSONAL & EDUCATIONAL USE (please see my Terms of Use for more information)

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A collection of cute everyday kids that's perfect for creating greetings cards, hybrid projects and more! Contains 8 kids as pictured, 4 boys and 4 girls. FOR PERSONAL & EDUCATIONAL USE (please see my Terms of Use for more information)

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Unterrichtsmaterial selbst erstellen. Schnell und einfach.

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Der Worksheet Crafter ist die ansprechende und einfach zu bedienende Software für die differenzierte Lernmaterialgestaltung in Grund, Volks- und Förderschule.

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Set of 8 delicately painted and textured papers that are perfect for adding a touch of hand crafted whimsy to your pages and projects!

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