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In un articolo precedente abbiamo conosciuto il vecchio saggio Sessa e i contabili del re. In questo articolo vedremo che significato hanno le parole base ed esponente quando si parla di potenze, prendendo come esempio proprio il lavoro dei contabili.

I contabili del re per calcolare quanti chicchi mettere sulla quinta casella della scacchiera di Sessa hanno dovuto moltiplicare il 2 cinque volte:

È un modo un po' scomodo di scrivere una moltiplicazione. Grazie all'operazione di elevamento a potenza (chiamata spesso semplicemente potenza) la stessa moltiplicazione può essere scritta in quest'altro modo:

Si legge due elevato alla quinta oppure due alla quinta.

Risulta evidente che il secondo modo di scrivere è più corto e più veloce rispetto al primo. Le potenze sono state inventate proprio per questo motivo. Ripetiamolo ancora una volta: le potenze sono state inventate per scrivere in modo veloce una moltiplicazione in cui i fattori sono tutti uguali.

indice

diamo qualche nome: esempio 1

Vediamo adesso di dare qualche nome. Abbiamo capito che:

Proviamo a descrivere a parole quello che abbiamo scritto: l'operazione di elevamento a potenza ( due alla terza) equivale a moltiplicare il numero 2 tre volte. È più facile usare i numeri che le parole, la matematica non è fatta per essere descritta con le parole.

Ogni numero che usiamo nell'elevamento a potenza ha un nome ben preciso. Vediamo quali sono:

Alla lavagna abbiamo 2 3 :

Il numero 2 è chiamato: Base.

Il numero 3 (scritto in piccolo in alto a destra del 2) è chiamato: Esponente.

Il numero 8, che è il risultato della moltiplicazione, è chiamato: Potenza.

esempio 2

L'esponente indica quante volte la base va ripetuta nella moltiplicazione. Facciamo un altro esempio per capire meglio le potenze: base ed esponente:

Cosa vuol dire 3 ⁴ ( tre alla quarta) ? Vuol dire che abbiamo una moltiplicazione in cui il numero 3 è ripetuto 4 volte:

Il risultato della moltiplicazione, cioè la potenza è 81. Ma quali sono base ed esponente? Guardiamo la lavagna sotto.

Il numero 3 è la base. Il numero 4 è l' esponente.

come si leggono

Vediamo come si può leggere 3 4 . Esistono diversi modi:

Sono tre modi diversi, tutti corretti, di leggere la stessa cosa.

esempio 3

Vediamo ancora un esempio per essere sicuri di avere capito bene.

Come si legge l'elevamento a potenza scritto nella lavagna sopra? Prima di scorrere in basso cerca di rispondere. Anche se sbagli non ti preoccupare, nessuno verrà a rimproverarti.

Molto bene. Ora cerchiamo di capire quale è la base, quale è l'esponente e quale è la potenza.

Quelli appena descritti sono gli elementi che compongono l'operazione di elevamento a potenza. Nei prossimi articoli vedremo altri esercizi, le potenze con esponente zero e con esponente uno.

Buon lavoro.

link utili

Cliccando qui verrai indirizzato in una pagina della Casa Editrice Zanichelli in cui puoi consultare e/o scaricare le tavole numeriche.

Se hai dubbi o vuoi segnalare un errore puoi scrivere alla casella mail: matematica.facile@libero.it ; saremo grati ai lettori che segnaleranno eventuali errori presenti nell'articolo.

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Le potenze: base ed esponente - Matematica Facile

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In un articolo precedente abbiamo conosciuto il vecchio saggio Sessa e i contabili del re. In questo articolo vedremo che significato hanno le parole base ed esponente quando si parla di potenze, prendendo come esempio proprio il lavoro dei contabili.

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INTRODUZIONE AI POLINOMI SEMPLICE E CHIARA - VIDEO

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INTRODUZIONE AI POLINOMI SEMPLICE E CHIARA - VIDEO

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Un video semplice e corto per chiarire l'idea!

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PROPORZIONI 1: come si calcola il termine incognito                       _ PR05

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LE PROPORZIONI E LA PROPRIETA' FONDAMENTALE

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Ecco due grafici che ti spiegano bene dove si collocano tutti i numeri che conosciamo. Come vedi l'insieme dei numeri Reali li contiene tutti tranne i numeri Irrazionali (come le radici), che fanno un gruppo a parte.

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Ecco due grafici che ti spiegano bene dove si collocano tutti i numeri che conosciamo. Come vedi l'insieme dei numeri Reali li contiene tutti tranne i numeri Irrazionali (come le radici), che fanno un gruppo a parte.

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MCD e mcm tra monomi | Il genio della matematica

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In questa lezione affrontiamo il calcolo del minimo comune multiplo (mcm) e del Massimo Comune Divisore (MCD) tra monomi.

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Quando si parla di numeri relativi si deve fare particolarmente attenzione ad alcune regole o semplici passaggi che permettono di trovare i risultati corretti: di seguito sono riportate le regole da applicare nelle operazioni con i numeri interi relativi.

Addizione di numeri interi relativi

Numeri relativi concordi (hanno lo stesso segno): il risultato avrà il segno uguale a quello dei numeri relativi iniziali e valore assoluto uguale alla somma dei valori assoluti dei numeri iniziali.

(- 7) + (- 4) = - (7 + 4) = - 11

Numeri relativi discordi (hanno il segno diverso): il risultato avrà il segno uguale a quello del numero che ha valore assoluto maggiore e valore assoluto uguale alla differenza dei valori assoluti dei numeri iniziali.

(- 2) + (+ 5) = + (5 - 2) = + 3

Vai alla pagina degli esercizi sull'addizione di numeri interi relativi!

Sottrazione di numeri interi relativi
Se davanti ad una parentesi si trova il segno meno (-), il segno del numero dentro parentesi cambia. Quindi, il primo passaggio consiste nel togliere le parentesi, applicando la regola del cambio segno. In seguito, si trova il risultato applicando le regole dell'addizione.
Esempi:
(+ 2) - (+ 6) = + 2 - 6 = - 4
Il - davanti al (+ 6) cambia il segno e ottengo - 6; poi eseguo il calcolo;

(- 3) - (- 7) = - 3 + 7 = + 4
Il - davanti al (- 7) cambia il segno e ottengo + 7; poi eseguo il calcolo;

(+ 4) - (- 5) = + 4 + 5 = + 9
Il - davanti al (- 5) cambia il segno e ottengo + 5; poi eseguo il calcolo;

(- 1) - (+ 9) = - 1 - 9 = - 10
Il - davanti al (+ 9) cambia il segno e ottengo - 9; poi eseguo il calcolo;

Per il calcolo del risultato può essere utile, almeno inizialmente, utilizzare la linea dei numeri.

Vai alla pagina degli esercizi sulla sottrazione di numeri interi relativi!

Moltiplicazione di numeri interi relativi
È importante ricordare le regole dei segni sotto riportate:
+ + = + ("più per più fa più")
- - = + ("meno per meno fa più")
+ - = - ("più per meno fa meno")
- + = - ("meno per più fa meno")

Esempi:
(+ 3) (+ 5) = + (3 5) = + 15
(- 2) (- 6) = + (2 6) = + 12
(+ 5) (- 4) = - (5 4) = - 20
(- 2) (+ 8) = - (2 8) = - 16

Vai alla pagina degli esercizi sulla moltiplicazione di numeri interi relativi!

Divisione di numeri interi relativi
È importante ricordare le regole dei segni sotto riportate:
+ : + = + ("più diviso più fa più")
- : - = + ("meno diviso meno fa più")
+ : - = - ("più diviso meno fa meno")
- : + = - ("meno diviso più fa meno")

Vai alla pagina degli esercizi sulla divisione di numeri interi relativi!

Potenza di numeri interi relativi

La potenza di un numero relativo positivo dà come risultato un numero positivo, con valore assoluto pari alla potenza del valore assoluto di partenza.

Esempi:

La potenza di un numero relativo negativo dà come risultato:

- Un numero positivo - se l'esponente è pari - con valore assoluto pari alla potenza del valore assoluto di partenza.

- Un numero negativo - se l'esponente è dispari - con valore assoluto pari alla potenza del valore assoluto di partenza.
Esempi:
Vai alla pagina degli esercizi sulla potenza di numeri interi relativi!

Scarica il pdf della lezione sulle operazioni con i numeri interi relativi!

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Operazioni con i numeri interi relativi - matematicaoggi

# data[].attributes.attachment_link.description
Quando si parla di numeri relativi si deve fare particolarmente attenzione ad alcune regole o semplici passaggi che permettono di trovare i risultati corretti: di seguito sono riportate le regole da applicare nelle operazioni con i numeri interi relativi.

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L'operazione di elevamento a potenza (o potenza) di un numero permette di semplificare la scrittura di una moltiplicazione.
Per comprendere cosa si intende con tale operazione, consideriamo il seguente esempio: un negoziante ordina $4$ scatole di detersivi. Ciascuna scatola contiene $4$ pacchi, ognuno dei quali contiene quattro confezioni. Quante confezioni ha ordinato il negoziante?

Se consideriamo il procedimento che ci porta alla soluzione del nostro problema ci accorgiamo che abbiamo moltiplicato il numero $4$ per se stesso $3$ volte. A queste operazione viene dato il nome di elevamento a potenza. Il fattore che si ripete ($3$) viene detto esponente, il risultato dei vari prodotti ($64$) è detto valore della potenza. L'esponente si scrive in piccolo, in alto a destra rispetto alla base.

La potenza di un numero è il prodotto di tanti fattori uguali a quel numero detto base, quanti ne indica l'esponente.

Proprietà delle potenze

Consideriamo il prodotto $3^2\cdot 3^3$. Scriviamo per esteso il calcolo delle potenze ed eseguiamo i prodotti:

$$3^2\cdot 3^3=\underbrace{3\cdot 3}_{\mbox{due fattori}}\cdot \underbrace{3\cdot 3\cdot 3}_{\mbox{tre fattori}}=9\cdot 27=243$$

ovvero: $3^2\cdot 3^3=\underbrace{3\cdot 3\cdot 3\cdot 3\cdot 3 }_{\mbox{cinque fattori}}=3^5=243$.

Le due scritture sono dunque equivalenti e possiamo scrivere la relazione:
Il prodotto di due o più potenze aventi la stessa base è uguale ad una potenza che ha per base la stessa base e per esponente la somma degli esponenti.
Consideriamo il quoziente $2^5\cdot 2^3$. Anche in questo caso scriviamo per esteso il calcolo delle potenze:

$$2^5\cdot 2^3=\underbrace{(2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2)}_{\mbox{cinque fattori}}: \underbrace{(2\cdot 2\cdot 2)}_{\mbox{tre fattori}}=32:8=4=2^2$$

In forma più sintetica possiamo dire che:
Il quoziente di due o più potenze aventi la stessa base è uguale ad una potenza che ha per base la stessa base e per esponente la differenza degli esponenti.
Consideriamo la potenza $(4^2)^3$. Scriviamo per esteso il calcolo delle potenze ed eseguiamo i prodotti:

$$(4^2)^3=\underbrace{4^2\cdot 4^2\cdot 4^2}_{\mbox{tre volte}}= \underbrace{4\cdot 4\ \cdot 4\cdot 4\ \cdot 4\cdot 4}_{\mbox{sei volte}}=4^6=4096$$

Quindi: $=(4^2)^3=4^6$, ovvero:
La potenza di una potenza è uguale ad una potenza che ha per base la stessa base e per esponente il prodotto degli esponenti.
Consideriamo il prodotto $2^2\cdot 3^2$. In questo caso le basi dei fattori sono diverse; possiamo comunque trasformare le potenze in prodotti:

$$2^2\cdot 3^2=2\cdot 2\cdot 3\cdot 3=4\cdot 9=36$$

In forma più sintetica possiamo dire che:
Il prodotto di due o più potenze aventi lo stesso esponente è uguale ad una potenza che ha per base il prodotto delle basi e per esponente lo stesso esponente.
Consideriamo il quoziente $15^3: 5^3$ e scriviamo per esteso il calcolo delle potenze:

$$15^3:5^3=(15\cdot 15\cdot 15):(5\cdot 5\cdot 5)=3375:125=27$$

In sintesi possiamo scrivere:
Il quoziente di due o più potenze aventi lo stesso esponente è uguale ad una potenza che ha per base il quoziente delle basi e per esponente lo stesso esponente.
Esempi di calcolo di potenze

1. $2^2\cdot 2^4=2^{2+4}=2^6$

2. $10^5:10^2=10^{5-2}=10^3$

3. $(5^2)^4=5^{2\cdot 4}=5^8$

4. $2^2\cdot 3^2\cdot 5^2=(2\cdot 3\cdot 5)^2=30^2$

5. $3^5\cdot 6^5:9^5=(3\cdot 6:9)^5=(18:9)^5=2^5$

Prendiamo in esame alcune potenze particolari in cui la base o l'esponente sono uguali a $0$ oppure a $1$.

Consideriamo il seguente quoziente di potenze:

$$2^4:2^4=16:16=1$$

Ripetiamo ora i calcoli applicando le proprietà delle potenze:

$$2^4:2^4=2^{4-4}=2^0$$

Avendo operato con le stesse potenze, i due risultati devono essere uguali, pertanto:

$$2^0=1$$

Più in generale, deduciamo la seguente:

La potenza di un qualsiasi numero diverso da zero, con esponente zero, è sempre uguale a $1$.

Eseguiamo il seguente quoziente di potenze:

$$7^3:7^2=343:49=7$$

Ripetiamo nuovamente i calcoli applicando le proprietà delle potenze:

$$7^3:7^2=7^{3-2}=7^1$$

Possiamo quindi concludere che:

$$7^1=7$$

Ne deduciamo la seguente:

Una potenza con esponente $1$ è sempre uguale alla base stessa.

Applichiamo adesso il calcolo delle potenze ai seguenti esempi:

1. $1^3=1\cdot 1\cdot 1=1$

2. $0^5=0\cdot 0\cdot 0\cdot 0\cdot 0=0$

Ne deduciamo le seguenti:

Le potenze del numero $1$ sono sempre uguali a $1$ qualunque sia l'esponente.

Le potenze del numero $0$, con esponente diverso da zero, sono sempre uguali a $0$; la potenza $0^0$ non ha significato.

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L'operazione di elevamento a potenza (o potenza) di un numero permette di semplificare la scrittura di una moltiplicazione. Per comprendere cosa si intende con tale operazione, consideriamo il seguente esempio: un negoziante ordina $4$ scatole di detersivi. Ciascuna scatola contiene $4$ pacchi, ognuno dei quali contiene quattro confezioni.

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Il rettangolo in Geometria è un quadrilatero convesso con i lati consecutivi perpendicolari tra loro, quindi con quattro angoli interni di 90°. In modo equivalente il rettangolo è un poligono convesso con quattro lati ed equiangolo.

Questo formulario è dedicato al rettangolo e ne propone la definizione, le formule da usare nella risoluzione dei problemi e tutte le proprietà che lo caratterizzano.

In primo luogo partiamo dalla definizione ed elenchiamo tutte le formule del rettangolo, distinguendo tra formule dirette e inverse, che consentono di calcolare perimetro e area, la misura delle diagonali e le misure di base e altezza.

A seguire ci occupiamo delle sue proprietà: dalle caratteristiche di angoli, lati e diagonali, passando per le proprietà di simmetria, fino ad arrivare alle relazioni con le altre figure geometriche. Da ultimo vi rimandiamo a una raccolta di esercizi e problemi svolti.

Definizione di rettangolo

Tra tutte le possibili definizioni equivalenti tra loro, il modo più semplice per descrivere il rettangolo è il seguente: un rettangolo è un quadrilatero convesso con i lati perpendicolari a due a due, e dunque equiangolo.

Soffermiamoci per un attimo sulla definizione:

- quadrilatero, perché ha 4 lati;

- convesso, perché non contiene alcun prolungamento dei suoi lati (e i suoi lati non si intrecciano tra loro);

- con i lati perpendicolari a due a due, ossia tali da formare angoli di 90°, dunque tale da avere angoli interni della stessa ampiezza ( equiangolo).

Rettangolo con rappresentazione di una diagonale.

Formule del rettangolo

Prima di vedere le formule del rettangolo specifichiamo i simboli che utilizzeremo: indicheremo con la base, con l'altezza, con la diagonale, con il perimetro e con l' area del rettangolo.

Nella seguente tabella riportiamo in grassetto le principali formule da cui è possibile ricavare le formule inverse.
Proprietà del rettangolo
1) Un rettangolo ha quattro angoli retti, ossia di ampiezza 90° (π/2), dunque è equiangolo.

2) I lati consecutivi sono perpendicolari; i lati opposti sono paralleli.

3) I lati opposti sono congruenti.

4) Un rettangolo ha le diagonali congruenti.

5) Le diagonali di un rettangolo si incontrano in un punto, detto centro del rettangolo, che le divide entrambe in due segmenti congruenti.

6) Ciascuna diagonale divide il rettangolo in due triangoli rettangoli.

7) Le diagonali di un rettangolo formano quattro triangoli isosceli.

8) Un rettangolo ha 2 assi di simmetria (per approfondire: assi di simmetria del rettangolo).

9) Il centro del rettangolo è il suo centro di simmetria.

10) Poiché le somme degli angoli opposti sono uguali (condizione di inscrivibilità dei quadrilateri), un rettangolo è sempre inscrivibile in una circonferenza. Il centro della circonferenza circoscritta coincide con il centro del rettangolo.

11) Un rettangolo è un parallelogramma con i lati a due a due perpendicolari.

Insieme dei rettangoli

Classificazione con i diagrammi di Eulero-Venn nell'insieme dei quadrilateri convessi.

Tipi di rettangolo particolari

- Il quadrato è un rettangolo con i quattro lati congruenti.

Esercizi e problemi svolti sul rettangolo

Lo sapete che abbiamo svolto molti esercizi sul rettangolo e che qui su YM è anche disponibile un tool per risolvere il rettangolo online? :)

Se non bastasse, potete dare uno sguardo agli approfondimenti in cui studiamo nel dettaglio i vari elementi del rettangolo, applicando le relative formule in semplici problemi svolti:

- perimetro del rettangolo

- area del rettangolo

- diagonale del rettangolo

- altezza del rettangolo.

Tchau, see you soon guys!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

Tags: tutte le formule sul rettangolo - proprietà del rettangolo - problemi risolti sul rettangolo.

Ultima modifica:

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Il rettangolo: definizione e formule del rettangolo, formule inverse per area, perimetro, diagonale e lati, proprietà ed esercizi svolti.

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Scomposizione dei polinomi - ppt scaricare

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