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Instituto Federal de Goiás - Página inicial

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Portal do Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia de Goiás

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EDO resolvida por Fator integrante - Aplicação em Engenharia Química

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A questão está a página 10.

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Essa é a segunda parte da aula.

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Grings - Equação Diferencial 1ª Ordem com Fator Integrante (parte 2)

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Não consegui colocar as duas partes da aula. Mas é muito legal e vale a pena assistir.

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Grings - Equação Diferencial 1ª Ordem com Fator Integrante (parte 1)

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Capitulo explicando sobre fator integrante, contendo passo a passo de exercícios. Porem outro link interessante de video aula sobre o tema, é este: https://pt.khanacademy.org/search?search_again=1&page_search_query=equa%C3%A7%C3%B5es+resolvidas+por+fator+integrante , Onde há vídeo aula curtas do tema.  

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Capitulo explicando sobre fator integrante, contendo passo a passo de exercícios. Porem outro link interessante de video aula sobre o tema, é este: https://pt.khanacademy.org/search?search_again=1&page_search_query=equa%C3%A7%C3%B5es+resolvidas+por+fator+integrante , Onde há vídeo aula curtas do tema.  

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Neste PDF tem algumas aplicações interessantes de EDO.

Link para acessar o PDF:
https://wp.ufpel.edu.br/nucleomatceng/files/2012/11/calculo_D_edo_1.pdf

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Neste arquivo podemos ver definições de EDO, EDP, ordem e
linearidade de equações diferenciais. Apresentando também o método dos fatores integrantes para resolução de EDOs lineares de primeira ordem (página 9)

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EDO resolvida por Fator integrante - Aplicação em Engenharia Química

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EDO resolvida por Fator integrante - Aplicação em Engenharia Química

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Aplicação de EDO em problemas relacionados a misturas de fluidos.

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EDO resolvida por Fator integrante - Aplicação em Engenharia Química

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Nota de aula explicando e.d.o. pelo fator integrante passo a passo e alguns exercícios resolvidos

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Nota de aula explicando e.d.o. pelo fator integrante passo a passo e alguns exercícios resolvidos

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Neste site é possível ver que existe aplicação para fator integrante no sistema de queda livre

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Geralmente tratamos problemas de Física desprezando a resistência do ar para facilitar nossos cálculos. No entanto, essa resistência existe e, aqui, vamos ver uma equação diferencial para a queda de corpos considerando a resistência do ar.

Consideremos um corpo de massa m em queda livre vertical, onde atuam somente a força da gravidade g e a resistência do ar proporcional à velocidade do corpo. Precisamos admitir que tanto a gravidade como a massa deste corpo permaneçam constantes durante a queda.

Já vimos em outro artigo deste blog que, para corpos em queda livre, devemos adotar um sentido (para baixo ou para cima) como positivo. Convenientemente, vamos adotar o sentido para baixo como sendo sentido positivo.

Segundo a Segunda Lei de Newton: A força resultante que atua sobre um corpo é igual à taxa de variação da quantidade de movimento (momentum) do corpo, ou, para uma massa constante.

onde F é a força resultante que atua sobre o corpo e v é a velocidade do corpo, consideradas no instante t.

Num corpo em queda livre, há duas forças atuando sobre ele: a primeira é a força da gravidade g, dada pelo peso p do corpo, que é igual a mg:

A segunda força é devida à resistência do ar, dada por:

é uma constante de proporcionalidade. O sinal negativo se dá pelo fato desta força estar atuando no sentido contrário à queda do corpo, se opondo à velocidade, atuando no sentido para cima.

[Figura 1]

A força resultante será:

Se substituirmos (4) em (1), obteremos:

Agora, (5) é a equação de movimento do corpo. Para resolver esta equação, usamos a técnica de fator integrante dado por:

Multiplicando (6) por (5), obtemos:

Observe que o lado esquerdo de (7) é derivada da função:

Pois:

Assim, comparando (7) com (9), segue que:

Ou seja,

que é a velocidade em cada instante.

Vejam que, se k = 0, temos que a resistência do ar é desprezível e a equação (5) se reduz a:

Se k > 0, a velocidade limite v ₁ é obtida fazendo dv / dt = 0, pois na há um equilíbrio da força da gravidade com a força devida ao atrito do ar. Assim:

Uma observação importante é que as equações (5) e (11) são válidas somente se as condições dadas forem satisfeitas. Se a resistência do ar não for proporcional à velocidade e sim ao quadrado da velocidade.

Deixa-se cair um corpo de massa de 5 kg de uma altura de 100 m, com velocidade inicial zero. Supondo que não haja resistência do ar, determine:

a) A expressão da velocidade do corpo no instante t;

b) A expressão da posição do corpo no instante t;

c) O tempo necessário para o corpo atingir o solo.

Primeiramente adotamos o sistema de coordenada como na figura abaixo, sendo positivo o sentido para baixo.

[Figura 2]

Como não há resistência do ar, usamos a equação (10):

Esta é uma equação linear separável. Assim:

b) Para determinar a expressão da posição x no instante t, fazemos:

Sendo x(0) = 0, segue que:

Quero deixar meu agradecimento para o Professor Paulo do Blog Fatos Matemáticos que contribuiu para o desenvolvimento deste artigo.

Galileu e a queda dos corpos
Equação do Movimento, Queda Livre e Lançamento Vertical
O Que é Mais Rápido: Subir ou Descer? no Blog Pós-Graduando em Física
A velocidade Terminal de um Pára-Quedas no Blog Fatos Matemáticos

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EDO: Queda dos Corpos com Resistência do Ar

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Geralmente tratamos problemas de Física desprezando a resistência do ar para facilitar nossos cálculos. No entanto, essa resistência existe e, aqui, vamos ver uma equação diferencial para a queda de corpos considerando a resistência do ar. Consideremos um corpo de massa m em queda livre vertical, onde atuam somente a força da gravidade g e a resistência do ar proporcional à velocidade do corpo.

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Geralmente tratamos problemas de Física desprezando a resistência do ar para facilitar nossos cálculos. No entanto, essa resistência existe e, aqui, vamos ver uma equação diferencial para a queda de corpos considerando a resistência do ar.

Consideremos um corpo de massa m em queda livre vertical, onde atuam somente a força da gravidade g e a resistência do ar proporcional à velocidade do corpo. Precisamos admitir que tanto a gravidade como a massa deste corpo permaneçam constantes durante a queda.

Já vimos em outro artigo deste blog que, para corpos em queda livre, devemos adotar um sentido (para baixo ou para cima) como positivo. Convenientemente, vamos adotar o sentido para baixo como sendo sentido positivo.

Segundo a Segunda Lei de Newton: A força resultante que atua sobre um corpo é igual à taxa de variação da quantidade de movimento (momentum) do corpo, ou, para uma massa constante.

onde F é a força resultante que atua sobre o corpo e v é a velocidade do corpo, consideradas no instante t.

Num corpo em queda livre, há duas forças atuando sobre ele: a primeira é a força da gravidade g, dada pelo peso p do corpo, que é igual a mg:

A segunda força é devida à resistência do ar, dada por:

é uma constante de proporcionalidade. O sinal negativo se dá pelo fato desta força estar atuando no sentido contrário à queda do corpo, se opondo à velocidade, atuando no sentido para cima.

[Figura 1]

A força resultante será:

Se substituirmos (4) em (1), obteremos:

Agora, (5) é a equação de movimento do corpo. Para resolver esta equação, usamos a técnica de fator integrante dado por:

Multiplicando (6) por (5), obtemos:

Observe que o lado esquerdo de (7) é derivada da função:

Pois:

Assim, comparando (7) com (9), segue que:

Ou seja,

que é a velocidade em cada instante.

Vejam que, se k = 0, temos que a resistência do ar é desprezível e a equação (5) se reduz a:

Se k > 0, a velocidade limite v ₁ é obtida fazendo dv / dt = 0, pois na há um equilíbrio da força da gravidade com a força devida ao atrito do ar. Assim:

Uma observação importante é que as equações (5) e (11) são válidas somente se as condições dadas forem satisfeitas. Se a resistência do ar não for proporcional à velocidade e sim ao quadrado da velocidade.

Deixa-se cair um corpo de massa de 5 kg de uma altura de 100 m, com velocidade inicial zero. Supondo que não haja resistência do ar, determine:

a) A expressão da velocidade do corpo no instante t;

b) A expressão da posição do corpo no instante t;

c) O tempo necessário para o corpo atingir o solo.

Primeiramente adotamos o sistema de coordenada como na figura abaixo, sendo positivo o sentido para baixo.

[Figura 2]

Como não há resistência do ar, usamos a equação (10):

Esta é uma equação linear separável. Assim:

b) Para determinar a expressão da posição x no instante t, fazemos:

Sendo x(0) = 0, segue que:

Quero deixar meu agradecimento para o Professor Paulo do Blog Fatos Matemáticos que contribuiu para o desenvolvimento deste artigo.

Galileu e a queda dos corpos
Equação do Movimento, Queda Livre e Lançamento Vertical
O Que é Mais Rápido: Subir ou Descer? no Blog Pós-Graduando em Física
A velocidade Terminal de um Pára-Quedas no Blog Fatos Matemáticos

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EDO: Queda dos Corpos com Resistência do Ar

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Geralmente tratamos problemas de Física desprezando a resistência do ar para facilitar nossos cálculos. No entanto, essa resistência existe e, aqui, vamos ver uma equação diferencial para a queda de corpos considerando a resistência do ar. Consideremos um corpo de massa m em queda livre vertical, onde atuam somente a força da gravidade g e a resistência do ar proporcional à velocidade do corpo.

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Neste pdf tem diversas aplicações de edo. Entretanto, a que eu gostaria de compartilhar é a aplicação de queda livre com atrito.

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Este é um Trabalho de Conclusão de Curso que fala sobre o cálculo utilizado na administração de medicamentos para promover o controle homeostático dos pacientes, onde a quantidade do princípio ativo que entra na corrente sanguínea não provoque danos ao tratamento.

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CONTRIBUIÇÕES DAS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS EM CIRCUITOS RC UTILIZADOS NO COTIDIANO.

Palavra-chaves: APLICAÇÕES, CIRCUITO-RC, EDO, LEI-DE-KIRCHHOFF Comunicação Oral (CO) AT 08 - Ciências e Novas Tecnologias: diálogos entre ensino e pesquisa Publicado em 17 de julho de 2018

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CONTRIBUIÇÕES DAS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS EM CIRCUITOS RC UTILIZADOS NO COTIDIANO.

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Muitos dos princípios ou leis que regem o comportamento do mundo físico encontram sua expressão natural nas equações diferenciais. Essas equações surgiram através de estudos feitos primeiramente por Isaac Newton, e logo após por Gottfried W. Leibniz, que contribuíram para uma vasta evolu[...]

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Lucas Barros Rocha