# data[].attributes.headline
Zadania do rozwiązania na lekcji online lub samodzielnego wykonania

# data[].attributes.subject
Zadania do rozwiązania na lekcji online lub samodzielnego wykonania

# data[].attributes.body
zad. 1,2,3,4,5 str. 187
zad. 6,7 str. 188
zeszyt ćwiczeń zad. 1-4 str. 79-80

# data[].attributes.attachment_link.title
Zapisywanie wyrażeń za pomocą równań #1 [ Równania ]

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
Z równaniami spotykaliście się już w młodszych klasach. Z pewnością często znajdowaliście liczbę ukrytą pod znakiem zapytania, chmurką czy w okienku, na przykład:

Jeżeli w tych równościach zastąpimy okienko, chmurkę czy znak zapytania dowolną literą, to otrzymamy równania.

W równaniach litera oznacza szukaną liczbę. Nazywamy ją niewiadomą.

# data[].attributes.attachment_link.title
Zapisywanie treści prostych zadań za pomocą równań

# data[].attributes.attachment_link.description
Z równaniami spotykaliście się już w młodszych klasach. Z pewnością często znajdowaliście liczbę ukrytą pod znakiem zapytania, chmurką czy w okienku, na przykład: Jeżeli w tych równościach zastąpimy okienko, chmurkę czy znak zapytania dowolną literą, to otrzymamy równania. W równaniach litera oznacza szukaną liczbę. Nazywamy ją niewiadomą.

# data[].attributes.headline
Zadania do rozwiązania na lekcji online lub samodzielnego wykonania

# data[].attributes.subject
Zadania do rozwiązania na lekcji online lub samodzielnego wykonania

# data[].attributes.body
zad. 1,2,3,4,5 str. 175
zad. 6,7,10,11 str. 176
zad. 13,14,15 str. 177
zeszyt ćwiczeń str. 76-77

# data[].attributes.attachment_link.title
Mnożenie sum algebraicznych #4 [ Sumy algebraiczne - działania ]

# data[].attributes.attachment_link.description
Materiał zawiera 4 ilustracje (fotografie, obrazy, rysunki), 18 ćwiczeń, w tym 6 interaktywnych. Ilustracje: mnożenie sum algebraicznych. Ćwiczenia: mnożenie sum algebraicznych, zamiana iloczynu na sumę, zapisywanie treści zadań w postaci wyrażeń algebraicznych.

# data[].attributes.headline
Zadania do rozwiązania na lekcji online lub samodzielnego wykonania

# data[].attributes.subject
Zadania do rozwiązania na lekcji online lub samodzielnego wykonania

# data[].attributes.body
zad. 1,2,3,4,5 str. 172
zad. 6,7,8,9 str. 173
zeszyt ćwiczeń str. 74-75

# data[].attributes.attachment_link.title
Mnożenie jednomianu przez sumę algebraiczną #1 [ Sumy algebraiczne - działania ]

# data[].attributes.attachment_link.title
Mnożenie sumy algebraicznej przez jednomian

# data[].attributes.attachment_link.description
Materiał zawiera 2 filmy, 17 ćwiczeń, w tym 7 interaktywnych. Filmy - sposób mnożenia sumy algebraicznej przez liczbę, dzielenie sumy algebraicznej przez liczbę

# data[].attributes.headline
Zadania do rozwiązania na lekcji online lub samodzielnego wykonania

# data[].attributes.subject
Zadania do rozwiązania na lekcji online lub samodzielnego wykonania

# data[].attributes.body
zad. 1,2,3 str. 169
zad. 4,5,6,8,10 str. 171
zeszyt ćwiczeń str. 73

# data[].attributes.attachment_link.title
Dodawanie i odejmowanie sum algebraicznych #3 [ Sumy algebraiczne ]

# data[].attributes.attachment_link.title
Dodawanie i odejmowanie sum algebraicznych

# data[].attributes.attachment_link.description
Materiał zawiera 32 ćwiczenia, w tym 20 interaktywnych. Ćwiczenia - zapisywanie sum algebraicznych w najprostszych postaciach, dodawanie i odejmowanie sum algebraicznych, przekształcanie wyrażeń algebraicznych

# data[].attributes.headline
Zadania do rozwiązania na lekcji online lub samodzielnego wykonania

# data[].attributes.subject
Zadania do rozwiązania na lekcji online lub samodzielnego wykonania

# data[].attributes.body
zad. 1,2,3,4,5,6 str. 166
zad. 7,8,9,11 str. 167
zeszyt ćwiczeń str. 71-72

# data[].attributes.attachment_link.title
Suma algebraiczna - przykłady #2 [ Sumy algebraiczne ]

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
Wyrażenie algebraiczne to takie wyrażenie, w którym występują liczby i litery połączone znakami działań matematycznych oraz nawiasami.

Wyrażenia algebraiczne utworzone są z liczb, liter, znaków działań matematycznych oraz nawiasów.

W wyrażeniach algebraicznych można pominąć znak mnożenia między dwiema literami oraz liczbą i literą, jeżeli liczba występuje w tym zapisie jako pierwsza.

Za pomocą wyrażeń algebraicznych możemy zapisywać na przykład wzory matematyczne. Nazwę wyrażenia algebraicznego określa działanie, które zgodnie z kolejnością wykonywania działań byłoby wykonywane jako ostatnie.

# data[].attributes.attachment_link.description
Wyrażenie algebraiczne to takie wyrażenie, w którym występują liczby i litery połączone znakami działań matematycznych oraz nawiasami. Wyrażenia algebraiczne utworzone są z liczb, liter, znaków działań matematycznych oraz nawiasów. W wyrażeniach algebraicznych można pominąć znak mnożenia między dwiema literami oraz liczbą i literą, jeżeli liczba występuje w tym zapisie jako pierwsza.

# data[].attributes.body
Po dodaniu wyrazów podobnych otrzymujemy prostszą postać sumy algebraicznej. Takie uproszczenie nazywamy redukcja wyrazów podobnych.

# data[].attributes.headline
Zadania do rozwiązania na lekcji online lub samodzielnego wykonania

# data[].attributes.subject
Zadania do rozwiązania na lekcji online lub samodzielnego wykonania

# data[].attributes.body
zad. 1,2,3 str. 163
zad. 4,5,6,7,8 str. 164
zeszyt ćwiczeń zad. 1,2,3,4,5 str. 71

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
Jednomianem nazywamy wyrażenie algebraiczne, które jest liczbą, literą lub iloczynem liczb i liter.

Wyrażenie algebraiczne zbudowane jest z jednomianów.

Występujący w jednomianie znak mnożenia często pomijamy, na przykład:

Jeżeli w jednomianie pierwszym czynnikiem jest litera, a drugim liczba, to znaku mnożenia nie pomijamy, albo zmieniamy kolejność czynników (mnożenie jest przemienne), na przykład:

Jednomian jest uporządkowany, jeżeli jego pierwszym czynnikiem jest liczba, a następnymi litery w kolejności alfabetycznej.

Definicja: Współczynnik liczbowy

Liczbę, która występuje na początku uporządkowanego jednomianu nazywamy współczynnikiem liczbowym tego jednomianu.

Sumę algebraiczną

możemy zapisać bez użycia nawiasów

# data[].attributes.attachment_link.description
Materiał zawiera 2 ilustracje (fotografie, obrazy, rysunki), 4 filmy, 34 ćwiczenia, w tym 20 interaktywnych. Definicje - jednomian, współczynnik liczbowy jednomianu, suma algebraiczna, jednomiany podobne, redukcja jednomianów podobnych. Filmy - przykłady jednomianów, porządkowanie jednomianów, jednomiany podobne, redukcja wyrazów podobnych. Ćwiczenia - rozpoznawanie jednomianów, porządkowanie jednomianów, określanie wyrazów sumy algebraicznej, jednomiany podobne, redukcja wyrazów podobnych, wykorzystanie jednomianów w zadaniach.

# data[].attributes.body
Liczbę występującą na początku uporządkowanego jednomianu nazywamy współczynnikiem liczbowym jednomianu.

# data[].attributes.body
Wszystkie wyrażenia algebraiczne zbudowane są z jednomianów. Aby wyrażenie było czytelne, występujące w nim jednomiany powinny być uporządkowane, czyli zapisane w jak najprostszej postaci.

# data[].attributes.headline
Jednomian - podstawowe  wyrażenie, które może być  liczbą, literą lub iloczynem liczb i liter

# data[].attributes.subject
Jednomian - podstawowe  wyrażenie, które może być  liczbą, literą lub iloczynem liczb i liter

# data[].attributes.body
Przykłady jednomianów

# data[].attributes.headline
Zadania do rozwiązania na lekcji online lub samodzielnego wykonania

# data[].attributes.subject
Zadania do rozwiązania na lekcji online lub samodzielnego wykonania

# data[].attributes.body
zad. 1,2,3,4,5 str. 160
zad. 6 str. 161
zeszyt ćwiczeń str. 68-69

# data[].attributes.attachment_link.description
Materiał zawiera 1 film, 17 ćwiczeń, w tym 7 interaktywnych. Ćwiczenia - obliczanie wartości liczbowej wyrażeń algebraicznych

# data[].attributes.headline
W miejsce liter występujących w wyrażeniu algebraicznym możemy podstawiać różne liczby. Otrzymujemy wtedy wartości liczbowe wyrażenia algebraicznego.

# data[].attributes.subject
W miejsce liter występujących w wyrażeniu algebraicznym możemy podstawiać różne liczby. Otrzymujemy wtedy wartości liczbowe wyrażenia algebraicznego.

# data[].attributes.headline
Zadania do rozwiązania na lekcji online lub samodzielnego wykonania

# data[].attributes.subject
Zadania do rozwiązania na lekcji online lub samodzielnego wykonania

# data[].attributes.body
zad. 1,2,3,4,5 str. 156
zad. 7,8,9,10 str. 157
zad. 11,12,14,15 str. 158
zeszyt ćwiczeń str. 65-67

# data[].attributes.attachment_link.title
wyrażenia algebraiczne - co to są wyrażenia algebraiczne i do czego służą

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
Rozwiązując różne zadania często zapisujemy wyrażenia arytmetyczne i obliczamy ich wartości.
W wyrażeniach arytmetycznych występują: liczby, znaki działań i nawiasy, np.

W zadaniach poniżej niektóre dane zapisane są za pomocą liter. Będziemy budować wyrażenia, w których, oprócz liczb, znaków działań i nawiasów, wystąpią litery.

# data[].attributes.attachment_link.description
Materiał składa się z sekcji: "Zapisywanie treści zadań z użyciem liter", "Jak zbudowane jest wyrażenie algebraiczne", "Wyrażenia algebraiczne w geometrii", "Wartość liczbowa wyrażenia algebraicznego". Materiał zawiera 1 ilustrację, 1 film, 16 ćwiczeń, w tym 11 interaktywnych. Film - zapisywanie treści zadania w postaci wyrażenia algebraicznego.

# data[].attributes.headline
Wyrażenia, w których obok liczb i znaków działań, występują jeszcze litery nazywamy wyrażeniami algebraicznymi.

# data[].attributes.subject
Wyrażenia, w których obok liczb i znaków działań, występują jeszcze litery nazywamy wyrażeniami algebraicznymi.

# data[].attributes.body
Przykłady wyrażeń algebraicznych:

# data[].attributes.headline
Zadania do rozwiązania na lekcji online lub samodzielnego wykonania

# data[].attributes.subject
Zadania do rozwiązania na lekcji online lub samodzielnego wykonania

# data[].attributes.body
zad. 1,2,3 str. 143
zad. 4,5,6 str. 144
zad. 7,8,10,12 str. 145
zeszyt ćwiczeń str. 61-62

# data[].attributes.attachment_link.title
Odczytywanie i zaznaczanie punktów w układzie współrzędnych #2 [ Układ współrzędnych ]

# data[].attributes.attachment_link.description
Materiał zawiera 6 ilustracji (fotografii, obrazów, rysunków), 4 ćwiczenia. Tekst - budowa układu współrzędnych, zaznaczanie i odczytywanie współrzędnych punktów w układzie współrzędnych, wykorzystanie układu współrzędnych w praktyce

# data[].attributes.headline
Zadania do rozwiązania na lekcji online lub samodzielnego wykonania

# data[].attributes.subject
Zadania do rozwiązania na lekcji online lub samodzielnego wykonania

# data[].attributes.body
zad. 1,2,3,4,5,6,7 str. 136
zad. 9,10,12,13 str. 137
zad. 14,15,17,18,19,20 str. 138
zad. 21,22,23 str. 139
zeszyt ćwiczeń str. 59-60

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
Przystępując do remontu domu czy mieszkania, trzeba poświęcić trochę czasu na ułożenie planu pracy. To bardzo ważny element - dzięki niemu unikniemy błędów i skrócimy czas remontu. Najpierw dokładnie ustalamy wymiary pomieszczeń, następnie wykonujemy potrzebne obliczenia. Na przykład obliczamy pole powierzchni podłogi lub ścian. Możemy wtedy skorzystać z poznanych wzorów na pole wielokątów.

# data[].attributes.attachment_link.description
Materiał składa się z sekcji: "Obliczanie pól wielokątów". Materiał zawiera 6 ilustracji (fotografii, obrazów, rysunków), 1 film, 22 ćwiczenia, w tym 13 interaktywnych. Film - jak obliczyć pole dowolnego wielokąta. Animacja - obliczanie pola figury w układzie współrzędnych, obliczanie pola kwadratu, prostokąta. Ćwiczenia - obliczanie pól powierzchni podłóg w mieszkaniu przedstawionym na rysunku, obliczanie pól danych wielokątów.

# data[].attributes.headline
Zadania do rozwiązania na lekcji online lub samodzielnego wykonania

# data[].attributes.subject
Zadania do rozwiązania na lekcji online lub samodzielnego wykonania

# data[].attributes.body
zad. 1,2,3,4 str. 130
zad. 5,6,7,8,9,10 str. 131
zad. 11,12,13 str. 132
zad. 16 str. 133
zeszyt ćwiczeń str. 56-58

# data[].attributes.attachment_link.title
Pole kwadratu i prostokąta - obliczenia praktyczne #2 [ Pola figur - wprowadzenie / Prostokąty i kwa

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
Aby obliczyć pole figury, możemy ją podzielić na jednakowe jednostkowe kwadraty. Liczba jednakowych kwadratów wskazuje, ile wynosi pole figury. Jeżeli pole figury zmierzymy kwadratami o boku długości 1 cm, to dowiemy się, ile centymetrów kwadratowych wynosi pole tej figury.

W przypadku dużych figur liczenie kratek jest uciążliwe, dlatego pole prostokąta obliczamy na podstawie jego wymiarów.

Przypomnijmy, jakie są podstawowe jednostki pola.

# data[].attributes.attachment_link.description
Aby obliczyć pole figury, możemy ją podzielić na jednakowe jednostkowe kwadraty. Liczba jednakowych kwadratów wskazuje, ile wynosi pole figury. Jeżeli pole figury zmierzymy kwadratami o boku długości 1 cm, to dowiemy się, ile centymetrów kwadratowych wynosi pole tej figury. W przypadku dużych figur liczenie kratek jest uciążliwe, dlatego pole prostokąta obliczamy na podstawie jego wymiarów.

# data[].attributes.headline
Zadania do rozwiązania na lekcji online lub samodzielnego wykonania

# data[].attributes.subject
Zadania do rozwiązania na lekcji online lub samodzielnego wykonania

# data[].attributes.body
zad. 1,2,3,4,6,7 str. 126
zeszyt ćwiczeń str. 55

# data[].attributes.attachment_link.title
Wielokąty foremne #1 [ Wielokąty foremne ]

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
Definicja: Wielokąt foremny

Wielokątem foremnym nazywamy wielokąt, który ma wszystkie boki równe i wszystkie kąty równe.

Trójkąt równoboczny jest wielokątem, który ma wszystkie boki równe i wszystkie kąty równe.
Jest on przykładem wielokąta foremnego.

Zauważmy, że środki okręgu wpisanego i opisanego na trójkącie równobocznym pokrywają się. Środek okręgu wpisanego (opisanego) leży w punkcie przecięcia wysokości trójkąta.
Tylko w trójkącie równobocznym punkt przecięcia się symetralnych oraz dwusiecznych leży w punkcie przecięcia wysokości.
Punkt przecięcia dzieli taki odcinek w stosunku licząc od wierzchołka trójkąta.
Zatem promień okręgu opisanego na trójkącie równobocznym jest dwa razy dłuższy od promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt.

Narysuj na kartce kwadrat

zaznacz jego przekątne,

wytnij ten kwadrat,

odrysuj go na kartce,

połóż wycięty kwadrat tak, aby pokrywał rysunek,

obróć wycięty kwadrat o wokół punktu przecięcia przekątnych,

obrysuj figurę, która powstała z kwadratu narysowanego i wyciętego.

Jak myślisz, czy powstały wielokąt jest wielokątem foremnym?

Następny wielokąt foremny to pięciokąt foremny.

Wielu wybitnych matematyków poszukiwało najprostszych sposobów konstrukcji tego wielokąta przy pomocy cyrkla i linijki. Poniżej przedstawiona jest jedna z najbardziej znanych konstrukcji. Spróbuj wykonać ją w zeszycie.

Zauważmy, że w trójkącie równobocznym każdy z kątów ma miarę . Możemy więc takie trójkąty ułożyć w ten sposób, aby miały jeden punkt wspólny tak, jak na rysunku.

Siedmiokąt foremny jest przykładem wielokąta foremnego, którego nie można skonstruować za pomocą tylko linijki i cyrkla. Udowodnił to wybitny niemiecki matematyk Karol Gauss (1777-1855), który tym samym położył kres wielowiekowym wysiłkom matematyków, próbujących znaleźć taką konstrukcję.

Aplet Geogebry

Uwaga!

Własności wielokąta foremnego:

wszystkie boki równe

wszystkie kąty równe

można na nim opisać okrąg

można weń wpisać okrąg

środki okręgu wpisanego i opisanego pokrywają się

przekątne nie muszą być równe

Powstanie wtedy sześciokąt o równych bokach. Każdy kąt tego wielokąta ma miarę

Animacja ilustruje trzy różne dziewięciokąty gwiaździste. Otrzymujemy je kreśląc przekątne dziewięciokąta foremnego - omijając za każdym razem jeden, dwa lub trzy wierzchołki.

Zastanówmy się, czy wielokąty foremne są figurami środkowosymetrycznymi. Sprawdzimy to za pomocą komputera.
Przesuwając punkty odpowiednio, ,... po bokach wielokątów, obserwujmy zmianę położenia punktów , ,.... Punkty , ,... leżą w tej samej odległości od punktów , ... co punkty , ,...

Animacja pokazuje, że środek symetrii mają tylko wielokąty foremne o parzystej liczbie wierzchołków. Pokazano na przykładzie: trójkąta równobocznego, kwadratu, pięciokąta foremnego i sześciokąta foremnego.

Zauważmy, że środek symetrii mają tylko wielokąty foremne o parzystej liczbie wierzchołków.

Większość ciał stałych ma budowę krystaliczną. Charakteryzuje się ona regularnym ułożeniem atomów, które tworzą tzw. siatkę krystaliczną. Bardzo często atomy w krysztale ułożone są w wierzchołkach wielokątów foremnych, a te z kolei tworzą struktury mające kształt brył nazywanych wielościanami foremnymi.

classicmobile

Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

R2EgV6oFnx18H

Wielokąt, który ma wszystkie boki równe jest wielokątem foremnym.

Wielokąt, który ma wszystkie kąty równe jest wielokątem foremnym.

Czworokąt foremny ma środek symetrii.

Sześciokąt foremny ma środek symetrii.

static

Jest to więc wielokąt foremny. Nazywamy go sześciokątem foremnym.
Zauważmy, że długość boku sześciokąta jest równa połowie dłuższej przekątnej.

Siedmiokąt można narysować, wykorzystując konstrukcję , co oznacza po grecku „dopasowanie".

Wykorzystując niektóre wielokąty foremne, można budować wielokąty, zwane gwiaździstymi.
Najpopularniejszym z nich jest pięciokąt gwiaździsty znany od czasów starożytnych pod nazwą pentagramu. Rysunek pentagramu był znakiem rozpoznawczym uczniów Pitagorasa.

Na bazie siedmiokąta można wykreślić siedmiokąt gwiaździsty zwany z greckiego heptagramem.

Animacja ilustruje dwa różne siedmiokąty gwiaździste. Otrzymujemy je kreśląc przekątne siedmiokąta foremnego - omijając za każdym razem jeden lub dwa wierzchołki.

Tworząc formy gwiaździste, kreślimy przekątne wielokąta, omijając za każdym razem tę samą liczbę wierzchołków. Inną gwiazdę otrzymamy, gdy będziemy omijać dwa wierzchołki, inną, gdy trzy.

# data[].attributes.attachment_link.description
Definicja: Wielokąt foremny Wielokątem foremnym nazywamy wielokąt, który ma wszystkie boki równe i wszystkie kąty równe. Trójkąt równoboczny jest wielokątem, który ma wszystkie boki równe i wszystkie kąty równe.Jest on przykładem wielokąta foremnego. Zauważmy, że środki okręgu wpisanego i opisanego na trójkącie równobocznym pokrywają się.

# data[].attributes.attachment_link.title
Jak narysować sześciokąt foremny - Konstrukcja - Matfiz24.pl

# data[].attributes.body
ćwiczenie B str. 125

# data[].attributes.headline
WIELOKĄT FOREMNY - wielokąt, który ma wszystkie boki jednakowej długości oraz wszystkie kąty jednakowej miary.

# data[].attributes.subject
WIELOKĄT FOREMNY - wielokąt, który ma wszystkie boki jednakowej długości oraz wszystkie kąty jednakowej miary.

# data[].attributes.headline
Zadania do rozwiązania na lekcji online lub samodzielnego wykonania

# data[].attributes.subject
Zadania do rozwiązania na lekcji online lub samodzielnego wykonania

# data[].attributes.body
zad. 1,2,3,4,5,6 str. 121
zad. 7,8,9,10,11,12 str. 122
zad. 13,14 str. 123
zeszyt ćwiczeń str. 52-54

# data[].attributes.attachment_link.description
Materiał zawiera: - animację - podział czworokątów, - 3 ćwiczenia interaktywne (rozpoznawanie czworokątów, własności czworokątów)

# data[].attributes.headline
Kwadrat - prostokąt, który ma wszystkie boki równej długości.

# data[].attributes.subject
Kwadrat - prostokąt, który ma wszystkie boki równej długości.

# data[].attributes.headline
Prostokąt-czworokąt, który ma wszystkie kąty proste.

# data[].attributes.subject
Prostokąt-czworokąt, który ma wszystkie kąty proste.

# data[].attributes.headline
Romb-równoległobok, który ma wszystkie boki równej długości.

# data[].attributes.subject
Romb-równoległobok, który ma wszystkie boki równej długości.

# data[].attributes.headline
Równoległobok-czworokąt, który ma dwie pary boków równoległych.

# data[].attributes.subject
Równoległobok-czworokąt, który ma dwie pary boków równoległych.

# data[].attributes.headline
Suma miar kątów w każdym czworokącie wynosi 360 stopni.

# data[].attributes.subject
Suma miar kątów w każdym czworokącie wynosi 360 stopni.

# data[].attributes.headline
Zadania do rozwiązania na lekcji online lub samodzielnego wykonania

# data[].attributes.subject
Zadania do rozwiązania na lekcji online lub samodzielnego wykonania

# data[].attributes.body
zad. 1,2,3,4 str. 117
zeszyt ćwiczeń str. 50-51

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
Wiemy już, że jeśli dwie figury są przystające, to można je tak przekształcić (wykorzystując np. symetrię), aby pokryły się.

Z warunku przystawania odcinków (dwa odcinki są przystające, gdy mają równe długości) wynika, że trójkąty przystające muszą mieć odpowiednie boki równe. Z warunku przystawania kątów wynika, że trójkąty przystające muszą mieć odpowiednie kąty równe.
Chcąc sprawdzić, czy trójkąty są przystające, nie musimy porównywać ich wszystkich boków i wszystkich kątów. Możemy skorzystać z własności przystawania, zwanych cechami przystawania trójkątów.

Trójkąt przystający do danego trójkąta można skonstruować również innym sposobem.

Z przeprowadzonego eksperymentu wynika kolejna cecha przystawania trójkątów.

Sformułujmy teraz trzecią cechę przystawania trójkątów.

Z przystawania trójkątów wynikają cechy przystawania trójkątów prostokątnych.

Dwa trójkąty prostokątne są przystające, jeśli mają odpowiednio równe

przyprostokątne

jedną z przyprostokątnych i przeciwprostokątną

przyprostokątną i kąt leżący naprzeciw tej przyprostokątnej

przeciwprostokątną i jeden z kątów ostrych

Wiemy już, że każdy wielokąt wypukły można podzielić na trójkąty o wspólnym wierzchołku, który jest zarazem wierzchołkiem wielokąta. Jeśli dwa wielokąty podzielimy w ten sposób na tę samą liczbę przystających trójkątów, to na podstawie I cechy przystawania trójkątów stwierdzamy, że wielokąty te mają boki i kąty odpowiednio równe. Są więc przystające.

Nie zawsze równość boków i równość kątów jest niezbędna do stwierdzenia przystawania wielokątów.

Dwa prostokąty są przystające, gdy

boki jednego prostokąta są równe bokom drugiego prostokąta

przekątna i jeden z boków jednego prostokąta są równe przekątnej i jednemu z boków drugiego prostokąta

przekątna i kąty przez nią utworzone z bokami w jednym prostokącie są odpowiednio równe przekątnej i kątom przez nią utworzonym z bokami w drugim prostokącie

W rombie przekątne przecinają się pod kątem prostym. Punkt przecięcia dzieli każdą z nich na połowę.
Do przystawania dwóch rombów wystarczy zatem stwierdzenie równości ich przekątnych ( II cecha przystawania trójkątów).

Dwa romby są przystające, gdy mają równe przekątne.

R1eLoAxK3jKZ0 1

Która z podanych równości jest prawdziwa?

α = 100 °

γ = 35 °

d = a

a = f

α + β = γ + δ

Czy trójkąty ABC i DEF są przystające?

Przejdź do ćwiczenia

Jeśli przekątna jednego kwadratu jest równa przekątnej drugiego kwadratu, to kwadraty te są przystające.

Każde dwa trójkąty równoboczne są przystające.

Pola trójkątów przystających są równe.

Przekątne dzielą równoległobok na cztery trójkąty przystające.

Przejdź do ćwiczenia

Dwa prostokąty są przystające, gdy ich przekątne są równe.

Dwa kwadraty są przystające, gdy ich obwody są równe.

Dwa romby są przystające, gdy mają równe boki tej samej długości.

Jeśli boki jednego równoległoboku są równe bokom drugiego równoległoboku, to równoległoboki te są przystające.

# data[].attributes.attachment_link.description
Materiał składa się z sekcji: "Pierwsza cecha przystawania trójkątów", "Druga cecha przystawania trójkątów", "Trzecia cecha przystawania trójkątów", "Zastosowania cech przystawania trójkątów". Materiał zawiera 28 ilustracji (fotografii, obrazów, rysunków), 1 film, 28 ćwiczeń, w tym 8 interaktywnych.

# data[].attributes.body
Cecha KBK

# data[].attributes.body
Cecha BKB

# data[].attributes.body
Cecha BBB

# data[].attributes.headline
Zadania do rozwiązania na lekcji online lub samodzielnego wykonania

# data[].attributes.subject
Zadania do rozwiązania na lekcji online lub samodzielnego wykonania

# data[].attributes.body
zad, 1,2 str. 111
zad.5,6,8,9,10 str. 112
zad. 11,12,13 str. 113
zeszyt ćwiczeń str. 48-49

# data[].attributes.attachment_link.title
Podział trójkątów ze względu na kąty i boki #2 [ Trójkąty - wprowadzenie ]

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
W Europie znajdują się trzy znane trójkątne rynki: w Bonn, Paryżu i Łowiczu.
Legenda głosi, że na Nowym Rynku w Łowiczu stał kiedyś ratusz, ale zawalił się za sprawą kobiety, którą spalono oskarżoną o czary. Przez długie lata rynek pełnił funkcję targowiska. W czasie wojny jego część włączono do getta. Obecnie na rynku, wokół znajdującej się tam fontanny, organizowane są imprezy kulturalne.

Trójkąt to wielokąt, który ma trzy boki.

Trójkąty klasyfikujemy ze względu na miary ich kątów na trójkąty ostrokątne, prostokątne i rozwartokątne.

Trójkąty można klasyfikować ze względu na długości ich boków.

Trójkąt, który ma wszystkie boki tej samej długości nazywamy trójkątem równobocznym.

Jeśli w trójkącie dwa boki są tej samej długości, to trójkąt taki nazywamy trójkątem równoramiennym.

Trójkąt, w którym wszystkie boki są różnej długości, nazywamy trójkątem różnobocznym.

Wniosek

Jeżeli w trójkącie jeden z kątów jest rozwarty, to każdy z pozostałych kątów jest kątem ostrym.

Jeżeli w trójkącie jeden z kątów jest prosty, to każdy z pozostałych kątów jest ostry. Suma miar tych kątów ostrych jest równa .

Układamy i rozwiązujemy odpowiednie równanie.
Suma kątów trójkąta jest równa

Odpowiedź. Miara kąta jest równa

W trójkącie równoramiennym jeden z kątów ma miarę Oblicz miary pozostałych kątów.
W trójkącie równoramiennym miary dwóch kątów są równe. Ponieważ nie wiemy, czy szukane kąty są równe, czy różne - rozpatrzymy dwa przypadki.
Skorzystamy z tego, że suma kątów w trójkącie jest równa .

Kąt o mierze jest kątem między ramionami trójkąta.

Odpowiedź. Miary pozostałych kątów trójkąta są równe i

Kąt o mierze jest kątem przy podstawie trójkąta.

Odpowiedź. Miara kąta jest równa

Definicja: Ortocentrum trójkąta

Punkt, w którym przecinają się proste zawierające wysokości trójkąta nazywamy ortocentrum trójkąta i oznaczamy go najczęściej dużą literą .

Definicja: Środkowa boku trójkąta

Środkową boku trójkąta nazywamy odcinek łączący wierzchołek trójkąta ze środkiem przeciwległego boku. Trójkąt ma trzy środkowe.

Animacja pokazuje w sześciu krokach wyznaczanie środka ciężkości trójkąta. Środek ciężkości danej figury to taki punkt, który skupia całą masę tej figury. Znaczy to, że podkładając w tym miejscu palec, możemy utrzymać całą figurę w położeniu równowagi. Dany jest trójkąt A B C. W celu odnalezienia jego środka ciężkości tworzymy środki jego boków. Jeżeli połączymy środki każdego boku trójkąta z przeciwnym mu wierzchołkiem trójkąta, to okazuje się, że te trzy odcinki przecinają się w jednym punkcie. Odcinki te nazywamy środkowymi trójkąta. Punkt przecięcia środkowych trójkąta wyznacza jego środek ciężkości. Zmieniając położenie wierzchołków zauważamy, że środek ciężkości trójkąta zawsze znajduje się wewnątrz trójkąta. Zauważamy też ważną własność trójkąta. Środek ciężkości trójkąta dzieli każdą środkową tego trójkąta w stosunku dwa do jednego, przy czym końcem dłuższego odcinka jest wierzchołek trójkąta.

Twierdzenie: Środek ciężkości trójkąta

Środek ciężkości trójkąta dzieli każdą z środkowych tego trójkąta w stosunku , licząc od wierzchołka.

Środkowe trójkąta równobocznego przecinają się w punkcie odległym od boku o . Obliczymy wysokość tego trójkąta.

W trójkącie równobocznym środkowe boków są zarazem jego wysokościami. Zatem odległość punktu przecięcia środkowych od wierzchołka jest dwa razy większa od odległości tego punktu od boku. Czyli

Wysokość h jest więc równa

Odpowiedź. Wysokość trójkąta jest równa .

Opiszmy na trójkącie okrąg i utwórzmy ortocentrum trójkąta.
Przekształcamy ortocentrum trzykrotnie w symetrii osiowej względem każdego z boków tego trójkąta.
Otrzymujemy punkty: . Gdzie leżą te punkty?

Otrzymane punkty leżą na okręgu opisanym na trójkącie.

Wyznaczamy środki boków trójkąta. Znajdujemy obrazy ortocentrum tego trójkąta w symetrii środkowej względem wyznaczonych punktów.
Otrzymujemy punkty: . Gdzie leżą te punkty?

Wyznaczone punkty leżą na okręgu opisanym na trójkącie.

Na rysunku zaznaczony jest trójkąt, jego ortocentrum, okrąg opisany na trójkącie i sześć punktów uzyskanych w poprzednich konstrukcjach.
Dorysowujemy punkty przecięcia dwusiecznych kątów trójkąta z symetralnymi boków.
Gdzie leżą te punkty?

Okazuje się, że punkty przecięcia dwusiecznych kątów trójkąta z symetralnymi jego boków leżą na okręgu opisanym na tym trójkącie, w środkach łuków o końcach odpowiednio oraz .

Własność ta została odkryta w Polsce kilka lat temu. Ponieważ wszystkie punkty, które rozważaliśmy, leżą na okręgu opisanym na trójkącie, okrąg ten został nazwany polskim okręgiem dwunastu punktów trójkąta.

Wiemy już, że dwusieczne kątów trójkąta przecinają się w jednym punkcie, który jest środkiem okręgu wpisanego w ten trójkąt.

Kolejnym punktem związanym z trójkątem, bardzo ważnym nie tylko dla matematyków, ale przede wszystkim dla fizyków, jest środek ciężkości trójkąta.
Można powiedzieć w uproszczeniu, że najczęściej środek ciała pokrywa się ze środkiem jego masy. Informacja o tym, gdzie znajduje się ten punkt jest bardzo ważna w budownictwie czy architekturze. Ale również w skokach spadochronowych, balecie, czynnościach czy zawodach wymagających ustalenia takiego punktu podparcia, aby zachować równowagę.

W trójkącie środek ciężkości zawsze leży w jego wnętrzu. Odnajdujemy go, konstruując najpierw środki boków trójkąta, a następnie łącząc odcinkiem każdy wierzchołek trójkąta z środkiem przeciwległego boku. Te trzy odcinki, które przecinają się w jednym punkcie nazywamy środkowymi boków trójkąta. Ten punkt wyznacza właśnie środek ciężkości trójkąta.

Środkowe boków trójkąta przecinają się w jednym punkcie, zwanym środkiem ciężkości trójkąta.

# data[].attributes.attachment_link.description
Materiał składa się z sekcji: "Trójkąt", "Nierówność trójkąta", "Rodzaje trójkątów", "Suma kątów w trójkącie", "Wysokości trójkąta", "Dwusieczne kątów trójkąta", "Środek ciężkości trójkąta". Materiał zawiera 28 ilustracji (fotografii, obrazów, rysunków), 48 ćwiczeń, w tym 19 interaktywnych.

# data[].attributes.headline
Zadania do rozwiązania na lekcji online lub samodzielnego wykonania

# data[].attributes.subject
Zadania do rozwiązania na lekcji online lub samodzielnego wykonania

# data[].attributes.body
zad. 1,2,3,4,5,6 str. 107
zad. 8,9,10,11,12,14 str. 108
zad.15,16 str, 110
zeszyt ćwiczeń str. 46-47

# data[].attributes.attachment_link.description
Z tego filmu dowiesz się: co to są kąty wierzchołkowe, co to są kąty naprzemianległe, co to są kąty odpowiadające, jak rozpoznać kąty wierzchołkowe, kąty naprzemianległe i kąty odpowiadające.