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Dos triángulos son congruentes si sus lados correspondientes y sus ángulos correspondientes son de la misma medida. Esto significa que, si se superpone un triángulo sobre el otro, coincidirían exactamente en forma y tamaño.

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Para probar que dos triángulos son congruentes sin tener que medir todos los lados y ángulos, se utilizan los siguientes criterios:

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De esto se deduce que los triángulos Δ ABC y Δ DEF son congruentes, por lo tanto, escribiremos:

Δ DEF≅Δ ABC según el criterio de congruencia Lado, Ángulo, Lado (LAL)

AC=DF (arista)

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Isosceles Triangle Theorems: Properties & Proofs Explained

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Master isosceles triangle theorems with step-by-step examples. Boost your maths skills-learn from Vedantu’s expert guides.

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Ejercicio 4: Congruencia con Triángulos Superpuestos:

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Ejercicio 4: Congruencia con Triángulos Superpuestos:

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Enunciado: En la figura, se sabe que AB = AD, AC = AE y ∠BAD = ∠CAE. Demostrar que BC = DE.

Datos (Hipótesis):

·        AB = AD.

·        AC = AE.

·        ∠BAD = ∠CAE.

Por demostrar (Tesis):

·        BC = DE.

Demostración:

1.      Nuestro objetivo es demostrar que ΔABC ≅ ΔADE. Para eso, necesitamos dos lados y el ángulo entre ellos. Ya tenemos dos pares de lados (AB=AD y AC=AE). Necesitamos demostrar que el ángulo comprendido, ∠BAC, es igual al ángulo ∠DAE.

2.      Construimos los ángulos necesarios.

o   Sabemos que ∠BAD = ∠CAE (dado).

o   El ángulo ∠CAD es común a la región entre estos dos ángulos.

o   Si sumamos este ángulo común a ambos lados de la igualdad, la igualdad se mantiene: ∠BAD + ∠CAD = ∠CAE + ∠CAD

3.      Identificamos los ángulos completos.

o   Al observar la figura, vemos que (∠BAD + ∠CAD) forma el ángulo completo ∠BAC.

o   De igual manera, (∠CAE + ∠CAD) forma el ángulo completo ∠DAE.

o   Por lo tanto, hemos demostrado que ∠BAC = ∠DAE.

4.      Aplicamos el criterio de congruencia.

o   Ahora, considerando los triángulos ΔABC y ΔADE, tenemos:

§  AB = AD (Lado, dado).

§  ∠BAC = ∠DAE (Ángulo, demostrado en el paso 3).

§  AC = AE (Lado, dado).

o   Por el criterio Lado-Ángulo-Lado (LAL), concluimos que ΔABC ≅ ΔADE.

5.      Conclusión.

o   Como los triángulos son congruentes, sus lados correspondientes son iguales. Por lo tanto, BC = DE.

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Ejercicio 3: Bisectriz en un Romboide (Kite):

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Ejercicio 3: Bisectriz en un Romboide (Kite):

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Enunciado: En un romboide (o cometa) ABCD, donde los pares de lados adyacentes son iguales (AB = AD y BC = DC), demostrar que la diagonal AC es la bisectriz de los ángulos ∠BAD y ∠BCD.

Datos (Hipótesis):

·        ABCD es un romboide.

·        AB = AD.

·        BC = DC.

Por demostrar (Tesis):

·        AC biseca a ∠BAD (es decir, ∠BAC = ∠DAC).

·        AC biseca a ∠BCD (es decir, ∠BCA = ∠DCA).

Demostración:

1.      Consideramos los dos triángulos formados por la diagonal AC: ΔABC y ΔADC.

2.      Identificamos los lados iguales.

o   AB = AD (dado).

o   BC = DC (dado).

o   AC = AC (es un lado común a ambos triángulos).

3.      Aplicamos el criterio de congruencia.

o   Como los tres lados correspondientes de los triángulos son iguales, podemos aplicar el criterio Lado-Lado-Lado (LLL).

o   Por el criterio LLL, concluimos que ΔABC ≅ ΔADC.

4.      Conclusión.

o   Dado que los triángulos son congruentes, sus ángulos correspondientes también deben ser iguales.

o   Por lo tanto, ∠BAC = ∠DAC y ∠BCA = ∠DCA, lo que prueba que la diagonal AC es la bisectriz de ambos ángulos.

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Ejercicio 2: Altura del Triángulo Isósceles

Enunciado: Demostrar que la altura trazada desde el vértice de un triángulo isósceles hacia la base, es también la mediana de dicha base.

Datos:

·        ΔABC es un triángulo isósceles con AB = AC.

·        AD es la altura trazada desde A hasta BC, lo que significa que AD ⊥ BC (el ángulo ∠ADB y ∠ADC son de 90°).

Por demostrar:

·        AD es la mediana de BC, lo que significa que BD = DC.

Demostración:

1.      Consideramos los dos triángulos formados por la altura: ΔADB y ΔADC. Ambos son triángulos rectángulos.

2.      Identificamos lados y ángulos iguales.

o   AB = AC (dado, es un triángulo isósceles).

o   AD = AD (es un lado común a ambos triángulos).

o   ∠ADB = ∠ADC = 90° (dado, AD es la altura).

3.      Aplicamos el criterio de congruencia.

o   Aquí podemos usar el criterio de congruencia para triángulos rectángulos: Hipotenusa-Cateto. La hipotenusa (AB y AC) y uno de los catetos (AD) son iguales en ambos triángulos.

o   También se puede ver por el criterio LAL si consideramos el teorema de Pitágoras, o por el criterio AAL (Ángulo-Ángulo-Lado), ya que si AB=AC, entonces los ángulos base ∠B = ∠C.

4.      Conclusión.

o   Por cualquiera de estos criterios, concluimos que ΔADB ≅ ΔADC.

o   Como los triángulos son congruentes, sus lados correspondientes son iguales. Por lo tanto, BD = DC, lo que demuestra que D es el punto medio de BC y AD es la mediana.

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Ejercicio 1: Propiedades del Paralelogramo

Enunciado: Demostrar que, en todo paralelogramo, los lados opuestos son iguales.

Datos

·        ABCD es un paralelogramo.

·        Por definición, AB es paralelo a DC (AB || DC) y AD es paralelo a BC (AD || BC).

Por demostrar :

·        AB = DC y AD = BC.

Demostración:

1.      Trazamos la diagonal AC. Esto divide al paralelogramo en dos triángulos: ΔABC y ΔCDA.

2.      Identificamos ángulos iguales.

o   Como AB || DC, y AC es una línea transversal, los ángulos ∠BAC y ∠DCA son ángulos alternos internos, por lo tanto, son iguales (∠BAC = ∠DCA).

o   Como AD || BC, y AC es una línea transversal, los ángulos ∠BCA y ∠DAC son ángulos alternos internos, por lo tanto, son iguales (∠BCA = ∠DAC).

3.      Identificamos lados iguales.

o   El lado AC es común a ambos triángulos (AC = CA).

4.      Aplicamos el criterio de congruencia.

o   Tenemos un ángulo, un lado y otro ángulo que son correspondientemente iguales en ambos triángulos (Ángulo-Lado-Ángulo).

o   Por el criterio ALA, concluimos que ΔABC ≅ ΔCDA.

5.      Conclusión.

o   Dado que los triángulos son congruentes, sus lados correspondientes son iguales. Por lo tanto, AB = CD y BC = DA.

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Teoremas Relevantes y Demostraciones

Estos criterios se usan para demostrar otros teoremas importantes en geometría.

Teorema del Triángulo Isósceles

Enunciado: Si dos lados de un triángulo son iguales, entonces los ángulos opuestos a esos lados también son iguales.

Demostración usando congruencia:

1.      Dado: Un triángulo ABC donde el lado AB es igual al lado AC (AB = AC).

2.      Construcción: Trazamos la bisectriz del ángulo BAC, que corta al lado BC en el punto D. Una bisectriz divide a un ángulo en dos ángulos iguales, por lo tanto, el ángulo BAD es igual al ángulo CAD.

3.      Análisis: Ahora tenemos dos triángulos: ABD y ACD.

o   AB = AC (Dado).

o   El ángulo BAD = ángulo CAD (Por la construcción de la bisectriz).

o   AD = AD (Es un lado común a ambos triángulos).

4.      Conclusión: Por el criterio Lado-Ángulo-Lado (LAL), el triángulo ABD es congruente con el triángulo ACD.

5.      Resultado: Como los triángulos son congruentes, todas sus partes correspondientes son iguales. Por lo tanto, el ángulo B (correspondiente al ángulo C) es igual al ángulo C.

Teorema de la Mediatriz

Enunciado: Cualquier punto sobre la mediatriz de un segmento está a la misma distancia de los extremos del segmento.

Demostración usando congruencia:

1.      Dado: Un segmento AB y su mediatriz, que es una recta que lo corta en su punto medio M de forma perpendicular (formando ángulos de 90°). Sea P un punto cualquiera sobre la mediatriz.

2.      Análisis: Se forman dos triángulos: PMA y PMB.

o   AM = MB (M es el punto medio de AB).

o   El ángulo PMA = ángulo PMB = 90° (Por definición de mediatriz).

o   PM = PM (Es un lado común a ambos triángulos).

3.      Conclusión: Por el criterio Lado-Ángulo-Lado (LAL), el triángulo PMA es congruente con el triángulo PMB.

4.      Resultado: Como los triángulos son congruentes, sus lados correspondientes son iguales. Por lo tanto, el lado PA es igual al lado PB, demostrando que el punto P equidista de A y B.

Estos son solo un par de ejemplos de cómo los criterios de congruencia son la base para construir y demostrar muchas otras propiedades geométricas.

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Criterios de Congruencia

Existen tres criterios principales para establecer la congruencia entre dos triángulos:

Lado-Ángulo-Lado (LAL)

Dos triángulos son congruentes si tienen dos lados correspondientes iguales y el ángulo comprendido entre ellos también es igual.

·        Ejemplo: Si en el triángulo ABC, el lado AB mide 5 cm, el ángulo B es de 30° y el lado BC mide 7 cm, y en otro triángulo DEF, el lado DE mide 5 cm, el ángulo E es de 30° y el lado EF mide 7 cm, entonces los triángulos ABC y DEF son congruentes por el criterio LAL.

Ángulo-Lado-Ángulo (ALA)

Dos triángulos son congruentes si tienen dos ángulos correspondientes iguales y el lado comprendido entre ellos también es igual.

·        Ejemplo: Si en el triángulo ABC, el ángulo A es de 45°, el lado AB mide 10 cm y el ángulo B es de 60°, y en otro triángulo DEF, el ángulo D es de 45°, el lado DE mide 10 cm y el ángulo E es de 60°, entonces los triángulos ABC y DEF son congruentes por el criterio ALA.

Lado-Lado-Lado (LLL)

Dos triángulos son congruentes si sus tres lados correspondientes son de la misma longitud.

·        Ejemplo: Si los lados del triángulo ABC miden 3 cm, 4 cm y 5 cm, y los lados del triángulo DEF también miden 3 cm, 4 cm y 5 cm, entonces ambos triángulos son congruentes por el criterio LLL.

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Los criterios de congruencia de triángulos son postulados que nos permiten asegurar que dos triángulos son exactamente iguales en forma y tamaño, sin necesidad de medir todos sus lados y ángulos. Son herramientas fundamentales en la geometría para realizar demostraciones.

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Teorema del triangulo equilátero. Ejercicio:

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Teorema del triangulo equilátero. Ejercicio:

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Ejemplo: Calcular el área de un triángulo equilátero

1. Datos: Supongamos un triángulo equilátero con un lado de 6 cm.

2. Derivar la altura (h) usando el teorema de Pitágoras:

2. Un triángulo equilátero se puede dividir en dos triángulos rectángulos, donde la altura (h) es un cateto, la mitad de la base (a/2) es el otro cateto, y el lado del triángulo (a) es la hipotenusa.

3. En nuestro ejemplo, la hipotenusa es 6 cm y un cateto (la mitad de la base) es 3 cm (6 cm / 2).

4. Aplicamos el Teorema de Pitágoras: a² = b² + c².

5. 6² = 3² + h².

6. 36 = 9 + h².

7. h² = 36 - 9.

8. h² = 27.

9. h = √27.

10. h = 3√3 cm.

11. Calcular el área:

La fórmula general del área de un triángulo es Área = (1/2) base altura.

Sustituimos los valores: Área = (1/2) 6 cm 3√3 cm.

Área = 3 cm * 3√3 cm.

Área = 9√3 cm².

Alternativa: Usar la fórmula derivada del área del triángulo equilátero

La fórmula específica del área de un triángulo equilátero es Área = (√3/4) * lado².

Con un lado de 6 cm:

Área = (√3/4) * (6 cm)².

Área = (√3/4) * 36 cm².

Área = 9√3 cm².

Ejercicio del teorema del triangulo rectángulo.

1.    Calcular la hipotenusa del triángulo rectángulo cuyos catetos miden 3 y 4 centímetros.

2.    Resolvemos:

3.    Apartado 1: sabemos la medida de los catetos (aa y bb):

4.    a=3 cm,b=4 cma=3 cm,b=4 cm

5.    Aplicando el teorema de Pitágoras podemos calcular la hipotenusa:

6.     Calculadora de hipotenusas

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https://www.ck12.org/geometry/equilateral-triangles/lesson/equilateral-triangles-bsc-geom/

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Teorema del cateto

El cuadrado de un cateto es igual al producto de la hipotenusa por la proyección de dicho cateto sobre la hipotenusa.

Como consecuencia tenemos las siguientes fórmulas:

La media proporcional (o geométrica) de dos números es la raíz cuadrada de su producto. Esto nos indica que; si extraemos la raíz cuadrada a cada término de las dos expresiones, tenemos que los catetos son la media proporcional de sus proyecciones y la hipotenusa.

Estas fórmulas nos permiten calcular los catetos, conocidas sus proyecciones o bien calcular un cateto conocida su proyección y la hipotenusa.

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3.3. Teoremas basados en los triángulos rectángulos

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Teorema del cateto El cuadrado de un cateto es igual al producto de la hipotenusa por la proyección de dicho cateto sobre la hipotenusa. Como consecuencia tenemos las siguientes fórmulas: La media proporcional (o geométrica) de dos números es la raíz cuadrada de su producto.

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Ejercicio del teorema del triángulo isósceles:

# data[].attributes.subject
Ejercicio del teorema del triángulo isósceles:

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teorema del triángulo isósceles

Dado: ∆ABC es un triángulo isósceles con AB = AC.

Construcción: Altura AD desde el vértice A hasta el lado BC.

Para demostrar: ∠B = ∠C.

Demostración: Sabemos que la altura de un triángulo isósceles desde el vértice es la mediatriz del tercer lado. Por lo tanto, podemos concluir que

∠ADB = ∠ADC = 90º ----------- (1)

BD = DC ---------- (2)

Consideremos ∆ADB y ∆ADC

AB = AC [Dado]

AD = AD [lado común]

BD = DC [De la ecuación (2)]

Por lo tanto, por congruencia LLL podemos decir que

∆ADB ≅ ∆ADC

Por CPCT , ∠B = ∠C.

Por lo tanto, hemos demostrado que si dos lados de un triángulo son congruentes, entonces los ángulos opuestos a los lados congruentes son iguales.

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Teorema del cateto: relaciona los catetos (b y c) con la hipotenusa (a) y las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa (m y n).

Teorema de la altura: relaciona la altura (h) con las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa (m y n)

Teorema sobre la altura y la hipotenusa: relaciona la hipotenusa (a) y altura (h) con los catetos (b y c).

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Teoremas basados en los triángulos rectángulos:

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Teoremas basados en los triángulos rectángulos:

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Además del teorema de Pitágoras, existen tres teoremas importantes sobre los triángulos rectángulos que permiten resolver ciertos problemas geométricos de una forma rápida. Estos teoremas son los siguientes:

# data[].attributes.body
Teorema del triángulo equilátero.

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Es el inverso del teorema del triángulo isósceles.

“Los lados opuestos a los dos ángulos iguales de un triángulo son iguales”.

Demostración: Consideremos un triángulo isósceles DEF, aquí debemos demostrar que el lado DE = lado DF y DEF es isósceles.

El inverso del teorema del triángulo isósceles dice que si dos ángulos del triángulo son iguales, entonces el lado opuesto es el mismo.

Ahora te preguntas si esta afirmación es verdadera o no. No todas las afirmaciones inversas de una afirmación original son verdaderas. La afirmación inversa puede ser verdadera o falsa si la afirmación original es falsa.

Para demostrar la afirmación inversa, construyamos una bisectriz DG que corte el lado EF en ángulos rectos.

∠DEF = ∠DFE (dado)

DG = DG (propiedad reflectante)

∠DGE = ∠DGF = 90 grados (por construcción)

Por lo tanto, el triángulo DEG = triángulo DFG (por congruencia ALA)

Entonces, DE = DF (Por CPCTC)

En términos más simples, tenemos dos triángulos rectángulos pequeños, DEG y DFG, en lugar de un triángulo isósceles grande. Dado que la línea DG es una bisectriz de un ángulo, hace que <DGE y ∠DGF sean congruentes entre sí. Dado que el segmento DG se usa en ambos triángulos rectángulos, es congruente consigo mismo. Esto sería el teorema de ángulo, lado, ángulo (ALA). Al ser congruentes los triángulos, su parte correspondiente también lo es, lo que hace que DE=DF. Cabe destacar que el recíproco del teorema de isósceles es cierto.

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Teorema del triángulo isósceles y su demostración:

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Teorema del triángulo isósceles y su demostración:

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Teorema 1: “Los ángulos opuestos a los dos lados iguales de un triángulo isósceles también son iguales”.

Demostración: consideremos un triángulo isósceles ABC, donde AC=BC. Tendremos que demostrar que los ángulos opuestos a los lados AC y BC son iguales, es decir, ∠CAB = ∠CBA

Para comprobar esto matemáticamente, tendremos que introducir una línea mediana. En este caso, se debe construir una línea desde un ángulo interior hasta el punto medio del lado opuesto, que es el lado base AB.

Encontraremos el punto M en el lado base AB, donde podremos construir el segmento CM.

Después de construir, obtenemos dos triángulos; estos son CAM y CBM.

Ahora,

CA = CB (Dado)

AM= BM (mediana)

CM = CM (propiedad reflectante)

Por lo tanto, el triángulo CAM = triángulo CBM.

Entonces, ∠CAM = ∠CBM (CPCTC)

Expresando esto en palabras, hemos demostrado que los tres lados del triángulo CAM son congruentes con el triángulo CBM, lo que significa que aquí se obtiene el postulado LADO LADO LADO, que determina la congruencia. Por lo tanto, si dos triángulos son congruentes, entonces las partes correspondientes al triángulo congruente son congruentes (CPCTC). Esto nos da que A es congruente con ∠B.

# data[].attributes.body
Lado-Lado-Lado (LLL): Si los tres lados de un triángulo son congruentes a los tres lados correspondientes de otro triángulo.

Lado-Ángulo-Lado (LAL): Si dos lados y el ángulo incluido (el ángulo entre esos dos lados) de un triángulo son congruentes a los dos lados y el ángulo incluido de otro triángulo.

Ángulo-Lado-Ángulo (ALA): Si dos ángulos y el lado incluido de un triángulo son congruentes a los dos ángulos y el lado incluido de otro triángulo.

# data[].attributes.body
Dados los triángulos ΔABC y ΔDEF de modo que

AB=DE (arista)

BC=EF (arista)

AC=DF (arista)

Por consiguiente, deduciremos que: Δ ABC y Δ DEF son triángulos congruentes según el criterio de congruencia de Lado, Lado, Lado.

Lo escribiremos del siguiente modo:

Δ DEF≅Δ ABC según el criterio de congruencia: Lado, Lado, Lado (LLL)

De lo anterior también deduciremos que:

∠A=∠D∠A=∠D
∠B=∠E∠B=∠E
∠C=∠F∠C=∠F

ya que éstos son ángulos correspondientes e iguales en triángulos congruentes

# data[].attributes.body
Solución:

Para demostrar la congruencia por ALA, identificamos las condiciones:

1. Ángulo 1 (∠AKB = ∠CKD): Estos son ángulos opuestos por el vértice, por lo tanto, son iguales.

2. Lado (AK = KC): K es el punto medio del segmento AC, lo que significa que AK es igual a KC.

3. Ángulo 2 (∠KAB = ∠KCD): Estos son ángulos alternos internos entre las líneas AB y CD, y la transversal AC, por lo tanto, son iguales.

Dado que hemos identificado un ángulo, el lado entre ellos y otro ángulo en ambos triángulos, se cumple el criterio ALA.