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Ejemplo 4. Encontrar los valores máximos que se presentan en la siguiente ecuación:

Solución

Antes de realizar el desarrollo, se muestra la gráfica asociada a dicha ecuación:

Gráfica de la ecuación -x ² + 4x - 2 en el intervalo x(0,4)

Al observar nuestra gráfica se aprecia que, a diferencia del ejemplo sobre los mínimos, ésta tiene un valor máximo en la coordenada (2,2); entonces, igual que en aquel caso, se obtiene la derivación y se realiza una evaluación alrededor del punto máximo.

Derivación:

La ecuación (e4) se anula para x = 2; al observar los puntos alrededor de este valor, se toman lateralmente las abscisas x = 1 y x = 3 y se evalúan en (e4):

Pendientes de las tangentes m = 2 para x = 1; m = 0 para x = 2; m = -2 para x = 3

Al obtener los ángulos correspondientes:

Nuevamente se observa un cambio de signos alrededor del punto donde se presenta el máximo; sin embargo, al observar con más cuidado, se aprecia que ahora se da en sentido contrario (positivo, cero, negativo).

De esta manera, es posible resumir la forma en que se puede determinar cuándo se presenta un máximo y cuándo un mínimo a través de la derivación de dicha ecuación.

1. Obtener la derivada de la función bajo análisis, igualar dicha ecuación a cero y obtener las soluciones para esa condición.
2. Evaluar para valores cercanos antes y después de esos puntos donde se anula la derivada.
3. Obtener, si se presentan, los cambios de signo asociados a las tangentes evaluadas.
4. Se presenta un máximo si la variación de signos alrededor del valor que se anula se da de esta forma: positivo-cero-negativo.
5. Se presenta un mínimo si la variación de signos alrededor del punto que se anula se da de esta manera: negativo-cero-positivo.

Esto se resume en la siguiente tabla:

Tabla 1. Determinación de máximos y mínimos de una función, a partir de los valores de "x", donde se anula su primera derivada

Para finalizar, no hace falta obtener el valor del ángulo (tan ⁻¹), ya que el cambio de signos se observa desde antes; esto se realizó como una estrategia que aclarara aún más la interpretación de la pendiente de la tangente asociada.

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En este tema, revisarás el contexto de surgimiento del concepto de derivada de una función, sus interpretaciones físicas y geométricas, así como algunos procedimientos para su obtención, junto con la recurrencia del procedimiento de derivación y sus aplicaciones en la determinación de máximos y mínimos de una función.

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Qué es la derivada? | Concepto de derivada

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¿Como definirías el concepto de derivada? 

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¿Como definirías el concepto de derivada? 

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¿Como consideras que se relaciona una derivada con una función?

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¿Como consideras que se relaciona una derivada con una función?

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Derivada de una función en un punto. Qué es

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Variación de una función

Dada una función f (x), se define variación de la función entre dos puntos de su dominio x ₁ y x ₂, siendo x ₁ < x ₂, a la diferencia f (x ₂) - f (x ₁). Cuando esta diferencia es positiva, la función es creciente en el punto; si es negativa, la función es decreciente.

Relacionada con este concepto, se llama variación media de una función f (x) en un intervalo [a, b] al cociente siguiente:

El valor de este cociente coincide con la pendiente de la recta que pasa por los puntos de coordenadas (a, f (a)) y (b, f (b)).

Cuando los dos puntos del intervalo [a,b] están lo suficientemente próximos entre sí, el cociente anterior indica la variación instantánea de la función. En tal caso, el valor de b podría expresarse como b = a + h, siendo h un valor infinitamente pequeño.

Derivada de una función en un punto

Dada una función f (x), y considerado un punto a de su dominio, se llama derivada de la función en ese punto, denotada como f ¿ (a), al siguiente límite:

Este límite también puede expresarse de las dos formas alternativas siguientes:

Apoyo gráfico para la definición de derivada en un punto.

Interpretación geométrica de la derivada

La definición de derivada tiene mucho que ver con el concepto de variación instantánea. Teniendo en cuenta que el cociente:

expresa la pendiente de la recta que pasa por (a, f (a)) y (b, f(b)), es lógico pensar que si b y a están muy próximos entre sí, separados por un valor h que tiende a cero, esta recta se aproximará a la recta tangente a la función en el punto x = a.

Tal es la interpretación geométrica de la derivada de una función en un punto: coincide con la pendiente de la recta tangente a la función en dicho punto.

La derivada de una función en un punto coincide con la pendiente de la recta tangente a la función en dicho punto.

Derivadas laterales

Como sucedía con los límites, se pueden definir los conceptos de derivadas laterales de una función en un punto.

Dada una función f (x) y considerado un punto a de su dominio de definición, se define su derivada por la derecha, y se denota como f ¿ (a⁺), al límite siguiente:

Por su parte, la derivada por la izquierda de f (x) en el punto a, denotada por f ¿ (a⁻), se define como el siguiente límite:

Una función se dice derivable cuando tiene derivadas por la derecha y por la izquierda, y sus valores coinciden.

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Dada una función f (x), se define variación de la función entre dos puntos de su dominio x 1 y x 2, siendo x 1 < x 2, a la diferencia f (x 2) - f (x 1). Cuando esta diferencia es positiva, la función es creciente en el punto; si es negativa, la función es decreciente.

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Derivada de una función usando la definición | Ejemplo 1

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La derivada de una función f(x), o función derivada de f(x), es aquella función, denotada f'(x), que asocia a cada x la rapidez de cambio de la función original f(x) en ese punto, es decir, su tasa de variación instantánea. Las derivadas son herramientas fundamentales en todas las ciencias, incluida la física. Vamos a estudiarla a través de los siguientes puntos:

Antes de comenzar, te recomendamos que te familiarices, además de con el concepto de tasa de variación instantánea, con el de tasa de variación media. Son dos ideas sencillas que te van a permitir entender sin problemas las derivadas.

¿Empezamos?

Concepto

Ya sabes que la tasa de variación instantánea de f(x) en un punto a, T.V.I.(a), nos dice la rapidez de cambio de f(x) en ese punto. A esa tasa de variación instantánea de f(x) en el punto también se le llama derivada de la función en el punto, y se denota habitualmente f'(a). Así, pues:

Decimos que una función es derivable en x=a cuando existe la derivada en el punto, f'(a) y además ésta es continua en él.

Vamos ahora a tratar de generalizar esta idea para cualquier x, y no solo para el punto a. Pensemos en una función concreta, por ejemplo . Podemos confeccionar la siguiente tabla:

Como ves, a partir de f(x) hemos desarrollado otra función con el valor de la tasa de variación instantánea de f en cada abscisa x y la hemos llamado f'(x). Bueno... realmente solo tenemos los valores de f'(x) en algunas abscisas ( x=-2, x=-1, x=0, x=1 y x=2). Si somos capaces encontrar la expresión de la función que pase por esos puntos, habremos encontrado la función derivada de f para cualquier x (y no solo para a).
Concepto de función derivada
Se le denomina función derivada porque proviene (deriva) de otra.

Con estas ideas en mente ya podemos definir formalmente la función derivada y enseñarte a calcularla de manera sistemática.

Definición

Como ves, se trata de la tasa de variación media, cuando el intervalo considerado tiende a una longitud 0 y su extremo inferior se encuentra en un valor genérico x.

El conjunto de puntos en que una función es derivable se conoce como dominio de derivabilidad y se cumple que:

Volviendo a la función de nuestro ejemplo , podemos calcular su función derivada aplicando la definición:

Que es, justamente, el resultado que habíamos deducido a partir de la tabla anterior.

A no ser que te lo pidan específicamente, no será necesario que apliques la definición cada vez que tengas que calcular la derivada de una función, sino que harás uso de las reglas de derivación que veremos en un apartado posterior.

Interpretación geométrica

Geométricamente, la derivada de una función en el punto a es la pendiente de la recta tangente a la función en dicho punto:

Recuerda que la pendiente de una recta que pasa por los puntos , se puede expresar como:

Ahora bien si esta es la interpretación de la derivada de una función en un punto, ¿qué representa la función derivada?

Derivadas sucesivas

Es posible calcular la derivada de la derivada de una función, y a su vez volver a calcular la derivada de la función resultante. Puedes repetir este proceso tantas veces como quieras. De esta manera, tendríamos la primera derivada f'(x), la segunda derivada f''(x), la tercera derivada f'''(x) y así sucesivamente.

Originalmente, la notación de estas derivadas sucesivas consistía en ir añadiendo de superíndice números romanos que indicaban el orden de la derivada, por ejemplo para la derivada segunda y para la derivada quinta. No obstante en la actualidad se añade un símbolo prima (') a f(x) hasta la tercera derivada, y a partir de ahí sí que se utilizan números romanos.

Volviendo a la función de nuestro ejemplo, su derivada segunda queda:

En ocasiones puede que veas la derivada enésima escrita como . Así pues, la derivada 5 sería y la 20 sería .

Notaciones

A lo largo de la historia se han utilizado distintas notaciones para representar la derivada. La utilizada hasta ahora, f' fue propuesta por Lagrange (1736 - 1813) y es el símbolo para referirnos a la función derivada de f. Como "extensión" de la misma, en ocasiones se identifica f con y, y se escribe y' (si f(x)=y, entonces f'(x)=y').

Es también muy habitual que veas la notación Df. Dicha notación, propuesta por Euler no designa la función derivada, sino que se trata de un operador, es decir, es la orden de derivar la función f. De esta manera, Df=f'.

Aunque en ocasiones sucede, estrictamente hablando sería incorrecto escribir (x+2)', pero no D(x+2).

Otra notación habitual, especialmente en ciencias, es debida a Leibniz (1646 - 1716) y consiste en representar la derivada como un cociente del incremento infinitesimal (esto es, un incremento infinitamente pequeño) de dos magnitudes. Así, si utilizábamos el símbolo ∆ para designar un incremento (por ejemplo ∆x es incremento de x), utilizamos el signo d para designar un incremento infinitamente pequeño (por ejemplo dx significa incremento infinitesimal de x), y nos queda la derivada como:

Esta notación es de particular interés para el caso de las derivadas parciales, esto es, funciones de varias variables que se pueden derivar respecto a cada una de ellas.

La notación de Leibniz indica respecto a qué variable se deriva la función. Así df(x)/dx indica que derivamos f(x) respecto a x, y ds(t)/dt indica que derivamos s(t) respecto a t.

Finalmente, aunque menos usada en la actualidad, también podrás encontrar la notación de Newton (1643 - 1727) en la que se coloca un punto sobre el nombre de la función que estamos derivando. Por ejemplo .

Usos de la derivada

Historicamente, las derivadas surgieron para dar respuesta a problemas de naturaleza aparentemente distinta: el cálculo de la recta tangente a una curva (función) en un punto, y el cálculo de la velocidad instantánea. Una vez sistematizado su estudio, podemos aplicarlo a:

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Derivada de una Función: Contenidos teóricos, ejercicios resueltos, imágenes, animaciones y formularios de Física y Matemáticas.

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Antes que nada (y para que no me coman antes de nada), las demostraciones de todo lo que estoy diciendo están abajo, pero ahora empecemos por lo bueno, las formulas:

¡Recordemos que es la Derivada!

Ahora y antes de seguir, tienes que saber que hay muchas, muchas maneras de escribir esta operación... muchas:

Derivada como Operador Lineal:

Recuerda que la derivada es un operador Lineal:

Da lo mismo sacar la derivada de una suma de funciones que sumar la derivada de ambas funciones.

Da lo mismo sacar la derivada de una una función por una escalar que multiplicar la derivada de esa función por el escalar.

Es decir visualmente como:
Recuerda esta "simplificación" para que sea mas sencillo:
Los Clásicos de las Funciones

Regla de la Cadena (La reglas más útil para ti)

Forma 1:

Repite después de mi: " La derivada de la composición de dos funciones es igual a: La derivada de la primera función evaluada en la segunda multiplicada por la derivada de la segunda ".

Aquí hay un par de cosas que me gustaría contarles:

La mitad de las dificultades de esta formula esta en encontrar que tu expresión rara se puede expresar como una composición de funciones.

Recuerda que la ultima parte, esa función interna ( g(x) ) puede ser también una composición de funciones, así que esta formula cambie puede ser recursiva.

Forma 2:

Se puede derivar una función más compleja si se usa una variable intermedia y luego se multiplica por la derivada de dicha variable.

Usando esta regla sabremos que:

Trigonométricas

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Todo lo que necesitas saber de las Derivadas

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Antes que nada (y para que no me coman antes de nada), las demostraciones de todo lo que estoy diciendo están abajo, pero ahora empecemos por lo bueno, las formulas: ¡Recordemos que es la Derivada! Ahora y antes de seguir, tienes que saber que hay muchas, muchas maneras de escribir esta operación...