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Reflexão Individual Maria Inês Fernandes

Ao longo da realização deste trabalho, enfrentei várias dificuldades, sobretudo relacionadas com a utilização do GeoGebra e com a organização dos conteúdos de forma coerente e criativa. Houve momentos em que me senti um pouco perdida e insegura quanto ao resultado final, especialmente por se tratar de uma tarefa que exigia tanto a componente artística como a matemática, duas áreas que nem sempre são fáceis de conciliar.

Apesar disso, tentei sempre manter o foco e dar o meu melhor, procurando ajuda quando necessário e esforçando-me por superar cada obstáculo que surgia. O trabalho em grupo também foi um apoio importante, pois permitiu a partilha de ideias e responsabilidades.

No final, sinto que este projeto contribuiu muito para o meu crescimento académico e pessoal. Aprendi a valorizar a relação entre a Matemática e a Arte, desenvolvi mais autonomia na utilização de ferramentas digitais e percebi que, mesmo com dificuldades, é possível construir algo com significado e criatividade. Foi um desafio que me obrigou a sair da zona de conforto e a acreditar mais na minha capacidade de superação.

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Educação Básica 2024/2025

Matemática IV

Docente: Catarina Cruz

Discentes:

Leonor Oliveira (2023144735)

João Remédios (2023134296)

Maria Fernandes (2023138612)

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A Matemática e a Arte têm um longo relacionamento histórico.

Desde o século IV a.C., os artistas utilizam a matemática como uma ferramenta essencial nas suas criações. Ambas partilham valores como a criatividade, a estética, a simetria e o dinamismo. A matemática oferece estrutura e rigor; a arte, expressão e imaginação. Juntas, revelam uma beleza precisa e harmoniosa.

A matemática revela padrões e estruturas que ajudam a compreender o mundo e a transformá-lo em formas visuais organizadas. Estimula a capacidade de sonhar e imaginar novos mundos, oferecendo formas claras de expressar essas ideias.

Como refere Vantongerloo (apud Medeiro, 2006), “A geometria participa da maioria das artes visuais: pintura, escultura, arquitetura...” Esta ligação íntima continua a inspirar artistas contemporâneos a criar obras onde a matemática não é só uma ferramenta, mas uma verdadeira linguagem visual.

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A proposta deste trabalho surgiu no âmbito da disciplina de Matemática IV e desafiou-nos a criar uma construção artística digital, utilizando o software GeoGebra, onde a matemática estivesse presente de forma visual e significativa. A nossa criação deveria explorar todos os tipos de isometrias – translação, reflexão, rotação e reflexão deslizante – e transmitir uma mensagem através da arte geométrica.

Inspirámo-nos nos mosaicos que se encontram frequentemente em elementos do nosso quotidiano, como os pavimentos em calçada portuguesa. Estes padrões, embora artísticos, estão profundamente enraizados em princípios matemáticos, nomeadamente na simetria, repetição e transformação.

Neste projeto, tentámos ligar a arte ao rigor matemático, explorando a beleza das formas, a harmonia das repetições e a precisão das construções. O resultado final é uma expressão criativa onde a Matemática ganha vida através do movimento, da cor e da forma.

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Este mosaico da Mesquita de Córdova (Espanha) é um exemplo clássico da arte islâmica, que recorre a padrões geométricos intrincados e repetições simétricas. A obra demonstra o uso de translações, rotações e reflexões, criando uma sensação de ordem infinita. A ausência de figuras humanas ou animais é substituída pela beleza matemática das formas abstratas.

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Mosaico geométrico da Villa Romana del Casale

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Mosaico geométrico da Villa Romana del Casale

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Este mosaico, localizado na Villa Romana del Casale, é um exemplo excecional da arte romana tardia. O pavimento apresenta rosáceas organizadas com simetrias rotacionais e translações regulares, revelando o uso intencional de padrões geométricos e isometrias.

A Villa Romana del Casale é classificada como Património Mundial da UNESCO desde 1997, precisamente pela riqueza e conservação dos seus mosaicos. Este exemplo demonstra como a Matemática, em especial a Geometria, foi utilizada não só como ferramenta de organização visual, mas também como expressão artística na Roma Antiga.

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Nesta obra, Escher mostra o seu domínio da tesselagem, preenchendo o plano com figuras de cavalos que se encaixam perfeitamente, sem sobreposição ou espaços vazios. O artista utiliza simetria rotacional e reflexões, criando uma composição dinâmica e visualmente envolvente. É um exemplo claro da fusão entre arte e matemática.

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Padrão de Azulejos do Palácio Nacional de Sintra

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Padrão de Azulejos do Palácio Nacional de Sintra

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Os azulejos do Palácio Nacional de Sintra são um exemplo rico da tradição portuguesa de decoração com padrões geométricos. As formas simples, como quadrados e losangos, são repetidas com translações e simetrias, criando superfícies decorativas harmoniosas. Estes azulejos mostram como a matemática foi usada como ferramenta estética na arte nacional.

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Temos quatro tipos de isometrias fundamentais: a translação, a rotação, a reflexão e a reflexão deslizante.

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A rotação é uma transformação geométrica em que uma figura gira à volta de um ponto fixo, chamado centro de rotação. Todos os pontos da figura movem-se ao longo de um arco circular com a mesma amplitude angular, mantendo-se sempre à mesma distância do centro. A rotação pode ser feita no sentido contrário ao dos ponteiros do relógio, sendo considerada positiva, ou no mesmo sentido dos ponteiros do relógio, sendo então negativa. Esta transformação preserva o tamanho e a forma da figura original.

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UNESCO World Heritage Centre. (s.d.). Historic Centre of Cordoba. https://whc.unesco.org/en/list/313/

Smarthistory. (s.d.). The Great Mosque of Córdoba. https://smarthistory.org/the-great-mosque-of-cordoba/

UNESCO. (s.d.). Villa Romana del Casale. UNESCO World Heritage Centre. https://whc.unesco.org/en/list/832/

Academia.edu. (s.d.). Los mosaicos de la villa del Casale en Piazza Armerina (Sicilia). https://www.academia.edu/39128814/Los_mosaicos_de_la_villa_del_Casale_en_Piazza_Armerina_Sicilia_

Invaluable. (s.d.). Azulejos: A brief history of Portuguese tiles. https://www.invaluable.com/blog/azulejos-a-brief-history-of-portuguese-tiles/

Escher in Het Paleis. (s.d.). Horseman. https://escherinhetpaleis.nl/story-of-escher/horseman/?lang=en

Wikipedia. (s.d.). M. C. Escher. https://en.wikipedia.org/wiki/M._C._Escher

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Reflexão Individual Leonor Oliveira

Ao longo da realização deste trabalho, confrontei-me com algumas dificuldades, tanto no domínio dos conteúdos matemáticos como na utilização da ferramenta digital GeoGebra. A Matemática, desde os meus primeiros anos de escolaridade, tem sido um desafio constante e até frustrante por achar que não sou capaz de mais . A introdução do GeoGebra no processo tornou a experiência ainda mais exigente. No início, senti-me pouco à vontade com o programa e enfrentei obstáculos que dificultaram a concretização das ideias que pretendia aplicar. No entanto, com persistência, prática e abertura à aprendizagem, fui capaz de ultrapassar essas dificuldades ,embora um pouco tarde. Aprendi a lidar com o erro, a procurar soluções e a não desistir perante a dificuldade também com a  ajuda do meu grupo. Sinto que evoluí não só em termos de conhecimentos matemáticos, mas também enquanto aluna.

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Reflexão Individual João Remédios

Ao longo da realização deste projeto, deparei-me com vários desafios, especialmente por ser uma tarefa que envolvia a aplicação de conceitos matemáticos com recurso a ferramentas digitais. A Matemática nunca foi uma disciplina fácil para mim, e isso refletiu-se ao longo do trabalho. Muitas vezes senti dúvidas e incertezas quanto ao que estava a fazer, principalmente quando tentava aplicar os conhecimentos de forma prática no GeoGebra, uma aplicação que não me era totalmente familiar.

Apesar das dificuldades iniciais, tentei manter uma atitude positiva e empenhada. Fui explorando as funcionalidades do programa com calma e sempre que possível, pedindo apoio aos colegas. Aos poucos, fui ganhando mais confiança e comecei a perceber como a Matemática pode ser trabalhada de forma visual e até criativa, o que me surpreendeu bastante.

Este projeto foi, sem dúvida, uma oportunidade para sair da minha zona de conforto. Senti que, mesmo com todas as limitações que tenho nesta área, fui capaz de evoluir e de contribuir para algo com valor. A experiência fez-me perceber que errar faz parte do processo de aprendizagem e que com paciência e persistência é possível ultrapassar obstáculos. No final, fico com a sensação de que aprendi mais do que esperava, tanto a nível técnico como pessoal.

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A nossa criação pretende transmitir a beleza escondida na ordem e na repetição, mostrar que a Matemática, para além de exata, pode ser visual, expressiva e até poética. Através das isometrias e da simetria, construímos uma representação onde a arte e a lógica caminham juntas, provando que o raciocínio matemático também pode ser uma forma de comunicar emoções e ideias.

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Escolhemos explorar a ideia de mosaicos geométricos porque representam de forma clara e apelativa os conceitos de simetria e isometrias. Além disso, são uma forma artística universal, presente em diversas culturas e períodos históricos. Ao desenvolver este trabalho, quisemos ligar passado e presente, tradição e tecnologia, utilizando o GeoGebra como uma ferramenta moderna para reinterpretar formas geométricas ancestrais. Esta escolha foi também motivada pela vontade de criar algo visualmente harmonioso, com significado e rigor matemático.

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A translação é um tipo de isometria que consiste no deslocamento de uma figura ao longo de uma direção, num determinado sentido e com uma certa distância. Esse movimento mantém a forma, o tamanho e a orientação da figura. Todos os pontos da figura original movem-se exatamente da mesma maneira, resultando numa figura igual, apenas noutra posição. Além disso, os segmentos de reta mantêm-se paralelos aos originais e com o mesmo comprimento.

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A reflexão é uma isometria que cria uma imagem simétrica em relação a uma linha chamada eixo de reflexão. Cada ponto da figura original tem um ponto correspondente na imagem refletida, estando ambos à mesma distância desse eixo. Esta transformação resulta numa figura semelhante à original, como se fosse vista ao espelho, sendo que o eixo de reflexão é perpendicular ao segmento que liga os pontos correspondentes.

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A reflexão deslizante é uma isometria que resulta da combinação de dois movimentos: uma reflexão em relação a um eixo e, de seguida, uma translação ao longo desse mesmo eixo. Ou seja, a figura é primeiro refletida e depois deslocada numa direção paralela ao eixo de reflexão, mantendo sempre a forma e o tamanho da figura original.

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Etapa 1: Criação do Polígono

No início do vídeo, é desenhado à mão um polígono irregular, com linhas curvas e ângulos distintos. Este polígono é a base da construção do mosaico.

Etapa 2: Reflexão sobre um Eixo

Depois do polígono estar definido:

É feita uma reflexão do polígono em relação a um eixo vertical (ou lateral) que atravessa o quadrado.

Esta imagem espelhada é colocada ao lado do polígono original, formando uma figura simétrica.

Este passo introduz a simetria axial, onde a figura original e a refletida se complementam e criam um motivo composto com equilíbrio visual.

Etapa 3: Aplicação de Translação

Com o par de polígonos simétricos criado:

Inicia-se a repetição do motivo composto ao longo do plano.

O motivo é transladado horizontalmente e/ou verticalmente, utilizando vetores de translação.

As figuras são copiadas para posições vizinhas, com distância constante, criando um padrão regular e coeso.

Etapa 4: Construção do Mosaico

À medida que o motivo é repetido várias vezes:

O plano começa a preencher-se com uma estrutura organizada.

O resultado final é um mosaico geométrico obtido por reflexão e translação — duas transformações geométricas fundamentais no estudo da simetria.