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Quali sono le possibili posizioni reciproche di due rette nel piano? Potreste mostrarmi una rappresentazione grafica delle varie posizioni di due rette nel piano cartesiano?

Vorrei anche sapere come si studia la posizione reciproca di due rette di cui si conoscono le equazioni. Potreste spiegarmi un metodo valido in generale e proporre qualche esempio di applicazione?

Due rette nel piano possono essere incidenti, parallele distinte oppure parallele coincidenti. Studiare la posizione reciproca di due rette nel piano significa stabilire se esse sono incidenti, parallele distinte oppure parallele coincidenti a partire dalle loro equazioni.

Cerchiamo di essere più precisi e consideriamo due rette nel piano cartesiano. Come già anticipato, per quanto concerne la loro posizione reciproca possono presentarsi tre possibili configurazioni: le rette possono essere parallele coincidenti, parallele distinte oppure incidenti. In particolare:

* sono rette incidenti se si intersecano in uno e un solo punto.

* sono rette parallele distinte se non hanno alcun punto in comune;

* sono rette parallele coincidenti se sono sovrapposte, ossia se coincidono punto per punto.

Possibili posizioni tra due rette nel piano cartesiano.

Studio della posizione reciproca di due rette nel piano

Vediamo come si affrontano gli esercizi che assegnano le equazioni di due rette nel piano cartesiano e che chiedono di studiare la loro posizione reciproca.

La prima cosa da fare è ricavare l' equazione in forma esplicita di entrambe le rette.

A questo punto possono presentarsi tre eventualità:

1) entrambe le equazioni sono della forma y=mx+q;

2) entrambe le equazioni sono della forma x=k;

3) un'equazione è della forma y=mx+q e l'altra è della forma x=k.

Vediamo come comportarci a seconda dei casi.

Caso 1) Studio della posizione reciproca di due rette nella forma y=mx+q

Siano

le equazioni in forma esplicita delle due rette.

* Se le rette sono incidenti; le coordinate cartesiane del punto di intersezione si ottengono risolvendo il sistema lineare formato dalle due equazioni.

* Se abbiamo due rette parallele, che sono:

- parallele distinte se ;

- parallele coincidenti se .

Caso 2) Studio della posizione reciproca di due rette nella forma x=k

Analizziamo il caso in cui le equazioni in forma esplicita delle due rette sono

Qui c'è davvero poco da fare:

* se , le rette sono parallele coincidenti;

* se , le rette sono parallele distinte.

Caso 3) Studio della posizione reciproca di una retta nella forma y=mx+q e l'altra nella forma x=k

Il caso rimanente è quello più semplice, infatti se una retta ha equazione in forma esplicita del tipo e l'altra ha equazione della forma , allora le due rette sono incidenti.

Laddove richiesto si possono calcolare le coordinate cartesiane del punto di intersezione risolvendo il sistema lineare:

Esempi sullo studio della posizione reciproca di due rette nel piano

1) Siano date le rette di equazioni

Studiare la loro posizione reciproca e, laddove siano incidenti, calcolare le coordinate cartesiane del punto di intersezione.

Svolgimento: la retta è già in forma esplicita, ma non lo è l'equazione della retta , che è data in forma implicita. Passiamo allora dall'equazione in forma implicita all'equazione in forma esplicita:

Le due rette hanno equazioni esplicite della forma , e in particolare:

Poiché i due coefficiente angolari sono diversi, le rette sono incidenti.

Per trovare le coordinate cartesiane del loro punto di intersezione mettiamo le due equazioni a sistema

e risolviamolo con il metodo di sostituzione.

Sostituiamo l'espressione della prima equazione nella seconda

e risolviamo l' equazione di primo grado nell'incognita

Sostituiamo il valore ottenuto per nella prima equazione

e ricaviamo a soluzione del sistema:

Le rette si incontrano dunque nel punto .

2) Studiare la posizione reciproca delle rette

Svolgimento: ricaviamo l'equazione in forma esplicita delle rette

Evidentemente hanno la stessa pendenza

e la stessa ordinata all'origine

per cui sono rette parallele coincidenti.

sono rette parallele distinte.

Svolgimento: oramai dovrebbe essere chiaro come si procede. Scriviamo le equazioni in forma esplicita

e confrontiamo tra loro i coefficienti angolari e le ordinate all'origine:

dunque le rette sono effettivamente parallele distinte.

***

Ci fermiamo qui, con un paio di riferimenti utili:

- formulario sulla retta;

- come disegnare una retta nel piano cartesiano.

Qualora volessi vedere come si studia la posizione reciproca di due rette nello spazio - click!

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Posizione reciproca di due rette nel piano

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Due rette nel piano possono essere incidenti, parallele distinte oppure parallele coincidenti. Studiare la posizione reciproca di due rette nel piano significa ...

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Posizioni di una retta rispetto a una parabola

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Possibili posizioni di una retta rispetto a una parabola, punti di intersezione e interpretazione algebrica con le equazioni di secondo grado.

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In questo articolo vedremo come ricavare le soluzioni nel caso delle disequazioni di secondo grado, mostrando il procedimento per la risoluzione e distinguendo tra i vari possibili casi.

Le disequazioni di secondo grado si presentano sotto questa forma:

numeri reali e . Importante: il coefficiente del termine di grado massimo (si chiama coefficiente direttore) deve essere diverso da zero, altrimenti la disequazione non sarebbe più di secondo grado, ma diventerebbe una disequazione di primo grado.

Metodo di risoluzione delle disequazioni di secondo grado

Nella disequazione di secondo grado che abbiamo scritto sopra compare il simbolo >, ma i casi possibili sono

Vediamo come procedere.

1. Assicuratevi che il coefficiente direttore a sia positivo. Quindi se a è già positivo non dovete fare nulla, se fosse negativo cambiate i segni e ricordatevi di cambiare il verso della disequazione.

2. Risolvete l' equazione di secondo grado associata:

Sappiamo che le soluzioni di un'equazione di secondo grado sono date da

3. Una volta ottenute le soluzioni (vi ricordiamo che le soluzioni di un'equazioni di secondo grado possono essere: due soluzioni distinte, due soluzioni coincidenti, ed è anche possibile che non esistano soluzioni), potete risolvere con un metodo standard la disequazione di secondo grado da cui siamo partiti.

Avendo a positivo ricaviamo le soluzioni della disequazione come indicato nella seguente tabella.

Soluzioni dell'equazione associata
Verso della disequazione
Soluzione

Due soluzioni reali e distinte:

e supponiamo

Due soluzioni reali e coincidenti

L'equazione associata non

ammette soluzioni reali

E se a fosse negativo? Non vogliamo certo imparare a memoria un'altra tabella! Semplicemente cambiamo i segni alla disequazione in modo da avere a positivo, ricordandoci di cambiarne anche il verso!

Esempio di disequazione di secondo grado

Data la disequazione

che ha coefficiente direttore a negativo è sufficiente riscriverla come

A questo punto otteniamo le soluzioni grazie alla tabella precedente! Risolviamo l'equazione associata:

Siamo nel caso in cui l'equazione associata ha due soluzioni distinte date da

La disequazione cui dobbiamo fare riferimento è quella a cui abbiamo cambiato i segni:

Dunque, secondo la nostra tabella le soluzioni sono date dai valori compresi tra le due soluzioni:

Nota bene : non vuoi imparare a memoria neanche la tabella riportata sopra? Benissimo! Leggi il paragrafo successivo e non ne avrai bisogno!

Metodo della parabola per le disequazioni di secondo grado

Sul piano cartesiano il grafico della funzione

con e è una parabola, cioè il luogo geometrico dei punti equidistanti da un punto fuoco e una retta detta direttrice:

Non abbiamo bisogno di sapere precisamente come disegnare una parabola, ci basterà fissare le idee con le figure seguenti:

1a. Se a>0 la parabola ha concavità verso l'alto e se il delta dell'equazione ax ²+bx+c=0 è positivo, allora la parabola ha due intersezioni distinte con l'asse x (che sono le soluzioni dell'equazione ax ²+bx+c=0).

Come vedete in figura la parabola è maggiore di zero (cioè sta sopra l'asse x) per valori esterni alle due soluzioni distinte, ed è minore di zero per valori interni.

1b. Se a>0 e il discriminante è uguale a zero la parabola è tangente all'asse delle x in un solo punto

Dunque sarà maggiore di zero per ogni valore reale tranne nel punto di tangenza dove vale proprio zero.

1c. Se a>0 e il discriminante è negativo allora la parabola non interseca l'asse delle x

Quindi è sempre strettamente positiva.

2a. Se a<0 la parabola ha concavità verso il basso e se il discriminante dell'equazione associata è maggiore di zero, graficamente avremo

Dunque la parabola, questa volta, è positiva per valori compresi tra i due punti di intersezione, mentre è negativa per valori esterni.

2b. Se il discriminante è zero si ha

Dunque la parabola è sempre negativa, tranne nel punto di tangenza (cioè la soluzione dell'equazione ax ²+bx+c=0 ), dove vale proprio zero.

2c. Se il discriminante dell'equazione associata è negativo e a<0 graficamente avremo

Quindi la parabola è negativa (sta sotto l'asse delle ascisse), per ogni x.

Confrontando questi grafici con i risultati algebrici riportati nella tabella che trovate nella prima parte dell'articolo vi renderete conto che vi danno esattamente le stesse informazioni, senza dover ricordare nulla a memoria. Dovrete ricordare solamente che ogni equazione di secondo grado ha come rappresentazione grafica una parabola la cui concavità è determinata dal coefficiente direttore, mentre le sue intersezioni con gli assi sono stabilite dal segno (positivo, negativo o nullo) del discriminante!

Se qualcosa non fosse chiaro, sappi che abbiamo risolto tonnellate di esercizi e risposto a migliaia di domande: cerca le risposte ai tuoi dubbi con la barra di ricerca di YM, ed eventualmente apri una discussione nel Forum.

Tags: disequazioni di secondo grado - disequazioni quadratiche - risoluzione di disequazioni di secondo grado - metodi per risolvere le disequazioni di secondo grado.

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In questo articolo vedremo come ricavare le soluzioni nel caso delle disequazioni di secondo grado, mostrando il procedimento per la risoluzione e distinguendo tra i vari possibili casi. Le disequazioni di secondo grado si presentano sotto questa forma: numeri reali e .

# data[].attributes.body
Determinare l'eventuale punto di intersezione tra le rette

r_1: 6x-5y+2=0

e

r_2: 2x+3y-4=0

# data[].attributes.body
Determinare i punti di intersezione tra la retta
y=x-2
e la parabola
y=x^2-2x+1

# data[].attributes.body
-2x^2+7x-5\leq0

# data[].attributes.body
Determinare l'eventuale punto di intersezione tra le rette

r_1: y=-1/2x+1

e

r_2: 3x+y+1=0

# data[].attributes.body
Stabilire se la retta

y=4x+5

è tangente, secante o esterna alla parabola

y=2x^2-3x-9

# data[].attributes.body
x^2-10x+25<0

# data[].attributes.body
Determinare per quali valori del parametro a la retta

r_1: x+2y+a=0

è parallela non coincidente alla retta

r_2: 2x+4y-5=0

# data[].attributes.body
Calcola l’equazione della retta tangente alla parabola di equazione

y=-2x^2+x+1

nel suo punto di ascissa nulla e verifica che la retta è parallela alla bisettrice del primo e del terzo quadrante.

# data[].attributes.body
x^2-2x+10>0

# data[].attributes.body
4x^2-12+9\leq0